Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone
|
|
- Krystian Zieliński
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych Rówaie kwadratowe ie ma pierwiastków rzeczywistych gdy < 0, bo wzory ogóle wymagają wtedy obliczeia pierwiastka z liczby ujemej. Wśród liczb rzeczywistych taki pierwiastek ie istieje. Gdy jedak wprowadzimy dodatkową liczbę i = 1, to moża rachować a liczbach postaci a + bi, a, b R, dodając do zwykłych reguł arytmetyki rówość i = 1. Tak postępowao od XVI wieku, azywając liczby bi liczbami urojoymi, bo trudo było uzasadić ich byt. Liczby a + bi azywao liczbami zespoloymi. Stosowao do ich zwykłe prawa algebry. Np. 4 = 4i = i. Ścisłe określeie liczb zespoloych pochodzi od Hamiltoa, który określił liczby zespoloe jako pary liczb rzeczywistych. Przedstawimy tę kostrukcję. Tworzymy iloczy kartezjański R R. Jego elemetami są pary liczb rzeczywistych. W zbiorze par wprowadzamy działaia dodawaia: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) i możeia (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). Parę z = (a, b) będziemy azywać liczbą zespoloą, a cały zbiór R R zbiorem liczb zespoloych. Będziemy go ozaczać literą C. Zbiór C z wprowadzoymi wyżej działaiami ma własości podobe do zbioru liczb rzeczywistych chodzi tu o własości działań: łączość, przemieość, istieie elemetu eutralego, przeciwego i odwrotego, oraz rozdzielość. Łatwo zauważyć, że para (0, 0) jest elemetem zerowym dodawaia, a para (1, 0) jest elemetem jedostkowym możeia. Rówież łatwo jest sprawdzić łączość dodawaia i możeia, i przemieość tych działań. Elemetem przeciwym do (a, b) jest taka para (x, y), że (a + x, b + y) = (0, 0); stąd (x, y) = ( a, b). Nieco trudiej jest wyliczyć elemet odwroty. Załóżmy więc, że z = (a, b) jest iezerową liczbą zespoloą, tj. a + b > 0 oraz że (a, b) (x, y) = (1, 0). Wtedy, zgodie z defiicją możeia, musi być: Rozwiązaiem tego układu jest para liczb ax by = 1, ay + bx = 0. x = a a + b, y = b a + b, a więc liczba zespoloa ( ) a a + b, b a + b jest odwrotością liczby z. 1
2 Sprawdzimy jeszcze rozdzielość możeia względem dodawaia. Niech z 1 = (a, b), z = (c, d), z = (e, f). Wtedy (z 1 + z ) z = (a + c, b + d)(e, f) = = ((a + c)e (b + d)f, (b + d)e + (a + c)f) = = (ae + ce bf df, be + de + af + ef) = = (ae bf, be + af) + (ce df, de + cf) = = z 1 z + z z. W pewym sesie zbiór C zawiera zbiór R. Formalie C jest zbiorem par, ale jeśli rozważymy zbiór par postaci (a, 0), to poieważ zachodzą rówości: (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0), więc pary takie moża utożsamić z liczbami rzeczywistymi. Iaczej mówiąc mamy wzajemie jedozacze odwzorowaie (a, 0) a zbioru liczb zespoloych postaci (a, 0) a zbiór liczb rzeczywistych. W tym przyporządkowaiu liczbom 1 i 1 odpowiadają pary (1, 0) i ( 1, 0). Jeśli wprowadzimy ozaczeie i = (0, 1), to liczba zespoloa (a, b) daje się przedstawić za pomocą liczby i oraz liczb rzeczywistych (a, 0) i (b, 0). Mamy bowiem (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi, gdzie zamiast (a, 0), (b, 0) apisaliśmy krótko a, b. Zauważmy, że i = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1. W dalszym ciągu liczby zespoloe będziemy zapisywać w postaci a + bi. Zapis te pozwala przy działaiach arytmetyczych operować liczbami a + bi jak wielomiaami, przy czym ależy zastępować i przez 1. Na przykład: (1 + i)( i) = 1 1 i + i i i = i + 4i 6i = 8 + i.. Własości liczb zespoloych W prostokątym układzie współrzędych liczbę zespoloą z = a + bi moża iterpretować jako pukt o odciętej a i rzędej b. Pukty rzeczywiste, tj. takie pukty z = a + bi, dla których b = 0, wypełiają oś układu zwaą osią rzeczywistą, zaś pukty, dla których a = 0 wypełiają drugą oś, zwaą osią urojoą. Czasem wygodiej jest traktować liczbę z = a + bi jako wektor zaczepioy w początku układu współrzędych i końcu (a, b). Moża zauważyć, że dodawaie liczb zespoloych jest (geometryczie) dodawaiem wektorów. Iterpretacja możeia ie jest tak prosta. Jeśli z jest wektorem, to ma długość, kieruek i zwrot. Długość wyosi a + b. Nazywamy ją modułem bądź wartością bezwzględą liczby zespoloej z i ozaczamy z. Przykładowo: 1 + i = = 5, 4i = = 5. Zauważmy, że rówość z = 1 jest spełioa przez te pukty płaszczyzy, które leżą a okręgu o środku w początku układu i promieiu 1. Nierówość z < 1 charakteryzuje pukty wewątrz tego okręgu.
3 Rysuek 1. Suma liczb zespoloych Przykład. Narysować zbiory 1) z i = ; ) < z + 1 i 4; ) z + = z i. Niech z = a + bi. Przyjmiemy ozaczeie a bi = z. Liczbę z azywamy sprzężoą z liczbą z. Liczby sprzężoe leżą symetryczie względem osi rzeczywistej. Łatwo jest sprawdzić wzory: Mamy także dla z = a + bi: z 1 + z = z 1 + z, z 1 z = z 1 z, z 1 z = z 1 z, ( z1 z ) = z 1 z. z z = (a + bi)(a bi) = a b i = a + b = z. Ostatią własość wykorzystujemy przy dzieleiu liczb zespoloych. Wykoaie dzieleia polega a przedstawieiu ilorazu w postaci a+bi. Osiągiemy to, możąc liczik i miaowik przez liczbę sprzężoą do miaowika. Przykładowo: 1 + i (1 + i)( + 4i) + 4i + 6i i = = = = 1 4i ( 4i)( + 4i) i. Twierdzeie 1. Dla dowolych liczb zespoloych z 1 i z Jeśli dodatkowo z 0, to z 1 z = z 1 z. z 1 z D o w ó d. Pierwszy wzór wyika z rówości: = z 1 z. z 1 z = (z 1 z )(z 1 z ) = z 1 z z 1 z = (z 1 z 1 )(z z ) = z 1 z, a drugi z pierwszego, bo z z 1 z = z 1 z = z 1. z
4 Twierdzeie. Dla dowolych liczb zespoloych z 1 i z zachodzą ierówości z 1 + z z 1 + z, z 1 z z 1 z. Dowód aalityczy pomiiemy. Zauważmy jedak, że wektor odpowiadający liczbie z 1 + z jest bokiem trójkąta, którego pozostałymi bokami są wektory odpowiadające liczbom z 1 i z. W trójkącie długość każdego boku jest ie większa iż suma długości pozostałych boków. Stąd mamy pierwszą ierówość, którą azywamy ierówością trójkąta. Niech z = a + bi. Wprowadzamy ozaczeia Re z = a, Im z = b. Liczby Re z i Im z azywamy odpowiedio częścią rzeczywistą i częścią urojoą liczby z.. Postać trygoometrycza liczby zespoloej Kieruek i zwrot wektora z = a + bi moża określić, podając miarę ϕ kąta skierowaego, którego pierwszym ramieiem jest półoś rzeczywista dodatia, a drugim ramieiem wektor z. Tę miarę azwiemy argumetem liczby z. Jak wiadomo jest oa wielozacza i wyraża się wzorem: ϕ = ϕ 0 + kπ, gdzie: 0 ϕ 0 < π, k Z. ϕ 0 azywamy argumetem główym. Ozaczamy: ϕ 0 = arg z, ϕ = Arg z. Argumetem liczby 0 azywamy dowolą liczbę ϕ. Rysuek. Moduł i argumet liczby zespoloej Przykładowo: arg i = 1 π, Arg i = 1 π + kπ, arg 1 = 0, Arg 1 = kπ. Odotujmy, że liczby rzeczywiste dodatie mają argumet główy rówy 0, a ujeme rówy π. Po rozpatrzeiu odpowiediego trójkąta prostokątego otrzymamy: cos ϕ = a a + b, si ϕ = b a + b. 4
5 W takim razie ( a z = a + bi = z z + i b ) = z (cos ϕ + i si ϕ). z Stąd otrzymujemy poiższe twierdzeie: Twierdzeie. Każda liczba zespoloa daje się przedstawić w postaci z = z (cos ϕ + i si ϕ), zwaej postacią trygoometryczą liczby z. Na przykład 1 = 1 (cos 0 + i si 0), i = 1 (cos π + i si π ), 1 + i = (cos π 4 + i si π 4 ). Wiemy już, że możeiu (dzieleiu) liczb zespoloych odpowiada możeie (dzieleie) modułów tych liczb. Następujące twierdzeie wyjaśia, co dzieje się z argumetami tych liczb. Twierdzeie 4. Dla dowolych liczb zespoloych z 1 i z : Arg z 1 z = Arg z 1 + Arg z. (1) U w a g a. Poieważ Arg z ie jest określoy jedozaczie, więc powyższy wzór ależy rozumieć astępująco: do każdych dwóch wartości argumetów występujących we wzorze moża dobrać trzecią wartość argumetu, tak aby zachodziła rówość. D o w ó d. Niech Wówczas z 1 = z 1 (cos ϕ 1 + i si ϕ 1 ), z = z (cos ϕ + i si ϕ ). z 1 z = z 1 (cos ϕ 1 + i si ϕ 1 ) z (cos ϕ + i si ϕ ) = = z 1 z (cos ϕ 1 cos ϕ si ϕ 1 si ϕ + + i si ϕ 1 cos ϕ + i cos ϕ 1 si ϕ ) = = z 1 z (cos(ϕ 1 + ϕ ) + i si(ϕ 1 + ϕ )). Podobie udowadia się astępe dwa twierdzeia. Twierdzeie 5. Dla dowolych liczb zespoloych z 1 i z, (z 0): Arg z 1 z = Arg z 1 Arg z. () Twierdzeie 6. Dla każdej liczby zespoloej z i każdego całkowitego : W szczególości zachodzi tzw. wzór de Moivre a: Arg z = Arg z. () (cos ϕ + i si ϕ) = cos ϕ + i si ϕ. (4) D o w ó d. Dla aturalego wzór () otrzymamy po wielokrotym zastosowaiu wzoru (1). Gdy = 0, to prawdziwość wzoru wyika z rówości Arg 1 = kπ. Natomiast, gdy = k, gdzie k N, to Arg z = Arg z k = Arg 1 z k = Arg 1 Arg zk = k Arg z = Arg z. 5
6 Przykłady. ( + i ) 6 = ( ) 1 + i = ( cos π 4 + i si π ) 6 6π 6π = cos + i si = ( = cos 6π + π ) ( + i si 6π + π ) = 4 4 = cos π + i si π = i, ( cos π + i si π ) = cos ( π) + i si ( π) = = cos 0 + i si 0 = 1. Jak widać potęgowaie jest łatwe, gdy zamy postać trygoometryczą liczby. Jeśli jej ie zamy, pozostaje wzór dwumiaowy Newtoa: ( ) z = (a + bi) = a k b k i k. k k=0 4. Postać wykładicza liczby zespoloej 4.1. Symbol e iϕ. Określamy: e iϕ = cos ϕ + i si ϕ. W te sposób został zdefiioway pewie symbol. Uzasadieiem celowości jego wprowadzeia są astępujące własości, pokazujące, że moża go traktować jako potęgę liczby e. Własości symbolu e iϕ. 1. e i(ϕ1+ϕ) = e iϕ1 e iϕ ;. e i(ϕ1 ϕ) = eiϕ 1 e ; iϕ. (e iϕ ) k = e ikϕ ; 4. e i(ϕ+kπ) = e iϕ ; 5. e iϕ 0; 6. e iϕ = 1; 7. e iϕ1 = e iϕ ϕ 1 = ϕ + kπ; Przykłady. Obliczyć e i π, e πi, e i. e i π π = cos + i si π = i, 4.. Wzory Eulera Poieważ e πi = cos π + i si π = 1, e i = cos 1 + i si 1. e iϕ = cos ϕ + i si ϕ e iϕ = cos ϕ i si ϕ więc po dodaiu (odjęciu) stroami i podzieleiu przez (odpowiedio i) otrzymujemy tożsamości, azywae wzorami Eulera: cos ϕ = eiϕ + e iϕ si ϕ = eiϕ e iϕ i 6
7 Przykład. Wyrazić cos ϕ w zależości od cos ϕ. ( e cos iϕ + e iϕ ) ϕ = = 1 ( e iϕ + + e iϕ ) = 1 (1 + eiϕ + e iϕ ) 4 = 1 (1 + cos ϕ). 4.. Postać wykładicza liczby Defiicja 1. Jeżeli ϕ jest argumetem liczby z, a r jej modułem, to re iϕ azywamy postacią wykładiczą liczby z. Przykład. Rozwiązać rówaie z = z. Podstawiając z = re iϕ otrzymujemy r e iϕ = re iϕ, skąd mamy r = 0 lub r = 1 i iϕ = kπ dla k Z. Róże kąty otrzymujemy dla k = 0, 1,. Są to ϕ = 0, ϕ = π, ϕ = 4 π. Zatem są 4 rozwiązaia: z = 0, z = 1 e 0, z = 1 e πi, z = 1 e 4 πi, czyli z = 0, z = 1, z = 1 + i, z = 1 i. Przykład. Rozwiązać rówaie z = ( + i) 6. Przykład. Rozwiązać rówaie z z = 1. Niech z = re iα. Wtedy (re iα ) re iα = 1, e iα = 1 iα = kπ, k Z. Zatem r jest dowole, a α ma wartości: 0, π/, 4π/. Geometryczie są to półproste wychodzące z początku układu, achyloe do osi rzeczywistej pod kątami 0, π/, 4π/. 5. Pierwiastki z liczb zespoloych Dla liczby rzeczywistej dodatiej a liczbę rzeczywistą dodatią b taką, że b = = a azywamy pierwiastkiem arytmetyczym z liczby a i ozaczamy a. Taka liczba jest tylko jeda. W przypadku zespoloym, pierwiastkiem stopia z liczby z azywamy taką liczbę w, że w = z. Jak zobaczymy, takich liczb jest dokładie (wyjątkiem jest 0, które ma jede pierwiastek). Rozważymy ajpierw pierwiastki kwadratowe. Zaczijmy od przykładu. Zajdziemy pierwiastki kwadratowe liczby z = 4i. Szukamy takiej liczby w = x + iy, że (x + iy) = 4i, tz. x + ixy y = 4i, czyli x y =, xy = 4. Po podstawieiu p. z drugiego rówaia y = /x do pierwszego otrzymamy (po pomożeiu przez x ) rówaie x 4 x 4 = 0, które ma dwa pierwiastki rzeczywiste x 1 =, x =. Stąd y 1 = 1, y = 1, więc pierwiastkami z 4i są liczby w 1 = i, w = + i. 7
8 Rachuek powyższy moża przeprowadzić w przypadku ogólym, choć wymaga to rozróżieia kilku przypadków. Wprowadzamy dla liczb rzeczywistych fukcję sg x (czytaj: sigum) wzorem: 1 dla x > 0, sg x = 0 dla x = 0, 1 dla x < 0. Twierdzeie 7. Każda liczba zespoloa z = a + bi 0 ma dwa róże pierwiastki drugiego stopia, określoe wzorami: z = ± a dla b = 0, a 0, ± ai dla b = 0, a < 0, ( ) a+ z a+ z ± + isg b dla b 0. Na przykład 4i = ± ( + 5 ) i( 1) = ±( i). Obliczaie pierwiastków stopia wyższego iż wymaga postaci trygoometryczej liczby z. Twierdzeie 8. Liczba z = z (cos ϕ + i si ϕ) 0 ma dokładie różych pierwiastków -tego stopia. Określoe są oe wzorem: w k = ( z cos ϕ + kπ + i si ϕ + kπ ), k = 0, 1,..., 1. Szczegóły dowodu pomiiemy, ograiczając się do zauważeia, że dla każdego w k mamy a mocy wzoru Moivre a: wk = [ z (cos ϕ + kπ + i si ϕ + kπ )] = = z (cos (ϕ + kπ) + i si (ϕ + kπ)) = z. Obliczymy i (tu uwaga: te symbol ozacza trzy liczby). Mamy: zatem ( π w 1 = cos i = cos π + i si π, w 0 = cos π 6 + i si π 6 = + 1 i, 6 + π ) ( π + i si 6 + π ) = ( π w = cos 6 + 4π ) ( π + i si 6 + 4π ) = i. + 1 i, Pierwiastki stopia szóstego liczby 64 = 64(cos 0 + i si 0) to: ( w k = cos kπ ) kπ + i si, k = 0, 1,..., Są oe wierzchołkami sześciokąta foremego wpisaego w okrąg o promieiu. 6. Rówaia algebraicze Rówaie algebraicze drugiego stopia: az + bz + c = 0, 8
9 Rysuek. Pierwiastki szóstego stopia liczby 64 o współczyikach zespoloych rozwiązujemy w zwykły sposób, tz. obliczamy wyróżik = b 4ac i stosujemy wzory: z 1, = b ±. a Zauważmy, że w tym przypadku (w przeciwieństwie do przypadku liczb rzeczywistych) zawsze istieje w istocie są dwa pierwiastki różiące się zakiem. Do powyższych wzorów wystarczy podstawiać dowoly z ich (te drugi da te same wartości z 1, ). Przykłady. 1. Rozwiązać rówaie z 4z + 5 = 0. Obliczamy = 4, = ±i, z 1 = 4+i = + i, z = 4 i = i. To rówaie miało współczyiki rzeczywiste i jego pierwiastki są liczbami sprzężoymi.. Rozwiązać rówaie z + ( 1 + i)z + ( + i) = 0. Obliczamy = 8 6i, = ±(1 i), więc z 1 = 1 i + 1 i = 1 i, z = 1 i 1 i W ogólym przypadku pierwiastki ie są sprzężoe. Tak więc rówaie algebraicze drugiego stopia ma dokładie dwa pierwiastki (jeśli przyjmiemy, że pierwiastek podwójy występujący, gdy = 0 liczymy dwa razy). Rozważmy teraz rówaie postaci: a z + a 1 z a 1 z + a 0 = 0, gdzie a k C dla k = 0, 1,..., i a 0. Takie rówaie azywamy rówaiem algebraiczym stopia. Twierdzeie 9. (zasadicze twierdzeie algebry) Rówaie algebraicze stopia o współczyikach zespoloych ma w ciele liczb zespoloych dokładie pierwiastków (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wyosi jego krotość). 9 = i.
10 Trudy dowód tego twierdzeia pomiiemy. Zauważymy dla przykładu, że rozwiązaiami rówaia z 1 = 0 są pierwiastki stopia z liczby 1. Tradycyjie używa się ozaczeia: ε k = cos kπ kπ + i si, k = 0, 1,..., 1. Dla k = 0 otrzymujemy oczywisty pierwiastek 1. Jeśli jest ieparzyste, to ie ma iych pierwiastków rzeczywistych. Gdy jest parzyste, to drugi pierwiastek rzeczywisty 1 otrzymujemy dla k = /. Geometryczie, pierwiastki leżą a okręgu o promieiu 1, w rówych odstępach kątowych (kąt między dwoma kolejymi pierwiastkami stopia wyosi π ). Łącząc je odcikami otrzymamy -kąt foremy wpisay w okrąg jedostkowy. Do rozwiązywaia rówań wyższych rzędów moża stosować zae metody. Np. rozwiązywaie rówaia: z 4z + 14z 0 = 0 moża rozpocząć od szukaia pierwiastków całkowitych wśród dzielików 0. Zajdziemy i stąd z 4z + 14z 0 = (z )(z z + 10). Wystarczy teraz rozwiązać rówaie z z + 10 = 0. W przypadku rówaia dwukwadratowego, p. podstawiamy t = z i zajdujemy z 4 z + 4 = 0 t 1 = 1 + i, t = 1 i. Dla każdej ze zalezioych wartości ależy teraz obliczyć pierwiastki kwadratowe. Otrzymamy z 1 = 1 ( + i), z = 1 ( + i), z = 1 ( i), z 4 = 1 ( + i). Rozwiązywaie rówań stopi wyższych wymaga a ogół pewej pomysłowości. Jeśli się da, warto korzystać z postaci trygoometryczej. Przykładowo rozważmy rówaie: (x + i) + i(x i) = 0 gdzie x R. Zauważmy, że i a pewo ie jest pierwiastkiem. Zatem możemy rówaie podzielić przez (x i). Otrzymamy ( ) x + i = i. x i Stadardowo obliczamy pierwiastki stopia liczby i = cos π + i si π: Zatem skąd wyliczamy x: w k = cos π + kπ + i si π + kπ, k = 0, 1, x + i x i = w k, x = i 1 + w k 1 w k. Podstawimy teraz wartości w k. Przy tym będziemy korzystać ze wzorów: 1 + cos ϕ + i si ϕ = cos ϕ (cos ϕ + i si ϕ ), 10
11 1 cos ϕ i si ϕ = 1 + cos(ϕ + π) + i si(ϕ + π) = cos ϕ + π (cos ϕ + π + i si ϕ + π ). Rachuek przebiega tak (dla uproszczeia zapisu piszemy a razie ϕ zamiast π+kπ ): x = i 1 + w k cos ϕ = i (cos ϕ + i si ϕ ) 1 w k cos ϕ+π ϕ+π (cos + i si ϕ+π ). Uwzględiając, że cos ϕ+π = si ϕ i wykoując dzieleie postaci trygoometryczych otrzymamy x = i ctg ϕ (cos( π ) ) + i si( π ) = i ctg ϕ ( i) = ctg ϕ. Podstawiamy teraz ϕ = π+kπ czyli ϕ = +4k 4 π. Otrzymujemy: x = ctg + 4k π, k = 0, 1,,
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone
Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych W starożytości okazało się, że zbiór liczb wymierych jest iewystarczający, bo ie ma takiej liczby
7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
c 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
"Liczby rządzą światem." Pitagoras
"Liczby rządzą światem." Pitagoras Def. Liczbą zespoloą azywamy liczbę postaci z= x +yi, gdzie x, y є oraz i = -1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez ={ x + yi: x, y є } Ozaczeia x= Re z częśd rzeczywista
Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Wyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych
Wyk lad W lasości cia la liczb zespoloych 1 Modu l, sprz eżeie, cz eść rzeczywista i cz eść urojoa Niech a, b bed a liczbami rzeczywistymi i iech z = a bi. (1) Przypomijmy, że liczba sprzeżo a do z jest
Wykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Spis treści. I. Wiadomości wstępne... 3
Spis treści I. Wiadomości wstępe... 3 II. Pojęcia ogóle wraz z twierdzeiami... 4 1. Jedostka urojoa... 4. Liczba zespoloa... 4 3. Iterpretacja geometrycza... 7 4. Moduł liczby zespoloej... 8 5. Liczba
ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
III. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f
O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
I. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Matematyczne Metody Fizyki I
Matematycze Metody Fizyki I Dr hab. iż.. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodików i iżyierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrae rozdziały matematyczych metod fizyki, A. Leda, B. Spisak, Wydawictwo
O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Funkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
a 2 + b, b ) ( ) Wówczas (a, b) =, =(1, 0). 2 a 2 + b 2 a 2 + b2 a 2 + b 2
Ciało liczb zespoloych Twierdzeie Niech C = R W zbiorze C określamy dodawaie: a, b)+c, d) =a + c, b + d) oraz możeie: a, b) c, d) =ac bd, ad + bc) Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym elemetem eutralym
Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Liczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
I kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki
liczbowe Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki liczbowe Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.maciej.grzesiak.pracownik.put.poznan.pl podręcznik: i algebra liniowa
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
a 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Wykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
MACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Przykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu
Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego
Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Geometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Parametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Ciągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej
201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac
Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać
Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Podstawowe struktury algebraiczne
Podstawowe struktury algebraicze Defiicja 1. Działaiem dwuargumetowym(biarym) określoym a iepustym zbiorze X azywamy fukcję f, która każdej parze uporządkowaej(a, b) elemetów zbioru X przyporządkowuje
Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych
Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup
1. Powtórzeie: określeie i przykłady grup Defiicja 1. Zbiór G z określoym a im działaiem dwuargumetowym azywamy grupą, gdy: G1. x,y,z G (x y) z = x (y z); G2. e G x G e x = x e = x; G3. x G x 1 G x x 1
Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.
FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x
Rozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5
Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie
Funkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać
LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1
LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać
Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
Analiza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty
MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zaiteresowaego matematyką licealisty Copyright by M. Kawecki 07 Spis treści Wstęp 3. Logika w praktyce 5. Liczby i działaia 0 3. Rówaia i układy rówań 6 4. Własości fukcji
Tematy zadań 2 razy 33 przykładowe zadania maturalne. Matura podstawowa
Tematy zadań razy przykładowe zadaia maturale Matura podstawowa Porówaj liczby: 54 + 5 oraz 4 W klasie jest 9 ucziów o średiej wieku 6 lat Średia wieku wzrośie o rok, jeżeli doliczy się wiek wychowawcy
Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
O kilku zastosowaniach grup i pierścieni grupowych
O kilku zastosowaiach grup i pierściei grupowych Czesław BAGIŃSKI, Edmud R. PUCZYŁOWSKI, Białystok Warszawa Nierzadko zdarza się, że rozwiązaie elemetarie brzmiącego zadaia, wymaga iestadardowych pomysłów.