Wyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych
|
|
- Marian Muszyński
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wyk lad W lasości cia la liczb zespoloych 1 Modu l, sprz eżeie, cz eść rzeczywista i cz eść urojoa Niech a, b bed a liczbami rzeczywistymi i iech z = a bi. (1) Przypomijmy, że liczba sprzeżo a do z jest z = a bi. Poadto cześci a rzeczywista liczby z jest liczba (rzeczywista) re(z) = a, zaś cześci a urojoa liczby z jest liczba (rzeczywista) im(z) = b. Modu lem liczby z postaci (1) azywamy liczbe rzeczywista ieujema Z tych określeń mamy od razu, że z = a b. () re(z) z oraz im(z) z, (3) z z = z. (4) Twierdzeie.1. wzory: Dla dowolych liczb zespoloych z, w, z 1,..., z zachodza astepuj ace z 1 z... z = z 1 z... z (5) z 1 z... z = z 1 z... z () z = (z) (7) ( z ) = z, w 0. (8) w w Dowód. (5). Istieja liczby rzeczywiste a 1,..., a, b 1,..., b takie, że z k = a k b k i dla k = 1,...,. Zatem z 1...z = (a 1 b 1 i)...(a b i) = (a 1...a )(b 1...b )i, skad z 1... z = (a 1...a ) (b 1...b )i oraz z 1...z = (a 1 b 1 i)...(a b i) = (a 1... a ) (b 1... b )i, skad mamy wzór (5). (). Dla = istieja liczby rzeczywiste a 1, a, b 1, b takie, że z 1 = a 1 b 1 i oraz z = a b i. Stad z 1 z = (a 1 a b 1 b ) (a 1 b a b 1 )i, czyli z 1 z = (a 1 a b 1 b ) (a 1 b a b 1 )i oraz z 1 z = (a 1 b 1 i) (a b i) = (a 1 a b 1 b ) (a 1 b a b 1 )i, czyli teza zachodzi dla =. Za lóżmy teraz, że teza zachodzi dla pewego aturalego. Wówczas dla liczb zespoloych z 1,..., z, z 1 a mocy pierwszej cześci dowodu mamy, że z 1... z z 1 = (z 1... z ) z 1 = z 1... z z 1, wiec a mocy za lożeia idukcyjego z 1... z z 1 = z 1... z z 1. Stad a mocy zasady idukcji mamy teze. (7). Wystarczy w poprzedim wzorze podstawić z = z 1 =... = z. 1
2 (8). Poieważ w 0, wiec też w 0 (dlaczego?). Z (5) mamy, że z = w z w = w ( ) z w, sk ad po podzieleiu obu stro przez w uzyskamy teze. Twierdzeie.. Dla dowolych liczb zespoloych z, w, z 1,..., z zachodza astepuj ace wzory: z 1 z... z = z 1 z... z (9) z = z w w, w 0 (10) z = z (11) z 1 z... z z 1 z... z (1) z w = odleg lość puktu z od puktu w. (13) Dowód. (9). Na mocy wzorów (4) i (5): z 1... z = (z 1... z ) (z 1... z ) = z 1... z z 1... z = (z 1 z 1 )... (z z ) = z 1... z, skad po spierwiastkowaiu obu stro uzyskamy teze. (10). Poieważ w 0, wiec też w 0 (dlaczego?). Na mocy wzoru (9) z = w z w = w z w, wiec po podzieleiu obu stro przez w uzyskamy teze. (11). Wystarczy podstawić z = z 1 =... = z we wzorze (9). (1). Stosujemy idukcje wzgledem. Niech =. Jeśli z 1 z = 0, to asz wzór zachodzi. ( Za lóżmy dalej, że z 1 z 0. Wtedy z 1 z > 0. Poadto 1 = re z1 z 1 z z = ( ) ( ) re z1 z 1 z re z z z 1 z 1 z 1 z z z 1 z = z 1 z 1 z z z 1 z, sk ad po pomożeiu obu stro przez z 1 z uzyskamy teze dla =. Za lóżmy teraz, że asza ierówość zachodzi dla pewej liczby aturalej i iech z 1,..., z 1 bed a dowolymi liczbami zespoloymi. Wówczas z pierwszej cześci dowodu i z za lożeia idukcyjego mamy, że z 1... z 1 = (z 1... z ) z 1 z 1... z z 1 z 1... z z 1, czyli asza ierówość zachodzi dla liczby 1. Stad a mocy zasady idukcji mamy teze. (13). Istieja liczby rzeczywiste a 1, a, b 1, b takie, że z = a 1 b 1 i (a 1, b 1 ) oraz w = a b i (a, b ). Poadto z w = (a 1 a ) (b 1 b )i, wiec z w = (a 1 a ) (b 1 b ). Zatem z geometrii aalityczej mamy teze. Przyk lad.3. Wyzaczymy wszystkie liczby zespoloe z takie, że z z = i. z 1 z ) W tym celu zapiszmy liczbe z w postaci algebraiczej z = x yi, gdzie x, y sa szukaymi liczbami rzeczywistymi. Poieważ z = x y, z = x yi, wiec asze rówaie przybiera postać x y x yi = i, czyli ( x y x) ( y)i = i.
3 Zatem x y x = oraz y = 1. Stad y = 1 oraz x 1 = x. Po podiesieiu stroami do kwadratu ostatiej rówości uzyskamy, że x 1 = 4 4x x, skad x = 3 4. Zatem jedyym rozwiazaiem aszego rówaia jest z = 3 4 i. Postać trygoometrycza liczby zespoloej Niech z 0 bedzie dowola liczba zespoloa. Wtedy istieja liczby rzeczywiste a, b takie, że z = a bi oraz a 0 lub b 0. Liczbe z możemy traktować jako pukt (a, b) p laszczyzy, którego odleg lość od puktu (0, 0) jest rówa z = a b. Ozaczmy przez φ miare kata skierowaego jaki tworzy wektor Oz z osia OX w orietacji p laszczyzy przeciwej do ruchów wskazówek zegara. Wtedy mamy, że φ 0, π) oraz cos φ = si φ = a a b b. a b Otrzymujemy stad wzór z = z (cos φ i si φ), (14) który azywamy postacia trygoometrycza liczby zespoloej z. Liczbe φ azywamy argumetem g lówym liczby z i ozaczamy przez Arg(z). Natomiast każda liczbe rzeczywista α = φ kπ dla ca lkowitych k azywamy argumetem liczby z i ozaczamy przez arg(z). Oczywiście dla takich α mamy, że z = z (cos α i si α). Możemy wiec apisać wzór z = z [cos arg(z) i si arg(z)]. Na odwrót, iech r bedzie dodatia liczba rzeczywista i iech β bedzie liczba rzeczywista taka, że z = r(cos β i si β). Wówczas z = r cos β i si β = r si β cos β = r, skad cos β = cos φ oraz si β = si φ, wiec z trygoometrii mamy, że istieje liczba ca lkowita k taka, że β = φ kπ. Dla iezerowych liczb zespoloych z, w rówość arg(z) = arg(w) bedziemy dalej rozumieli w te sposób, że liczby arg(z) i arg(w) różia sie jedyie o ca lkowita wielokrotość liczby π. Przyk lad.4. Zauważmy, że 1 = cos 0i si 0, i = cos π i si π, 1i = (cos π 4 i si π 4 ), 3 i = (cos π i si π ). Twierdzeie.5. Dla dowolych iezerowych liczb zespoloych z, w zachodza wzory: arg(z w) = arg(z) arg(w) (15) ( z ) arg = arg(z) arg(w). (1) w Dowód. (15). Ozaczmy arg(z) = α, arg(w) = β. Wtedy z = z (cos α i si α) oraz w = w (cos β i si β). Zatem z w = z w ((cos α cos β si α si β) i(cos α si β cos β si α)) = z w [cos(α β) i si(α β)], a mocy zaych wzorów trygoometryczych. Stad rzeczywiście arg(z w) = arg(z) arg(w). 3
4 (1). Poieważ z = w z w, wiec ze wzoru (15), arg(z) = arg(w) arg( z w ), sk ad arg ( ) z w = arg(z) arg(w). Z twierdzeia.5 przez prosta idukcje uzyskujemy astepuj ace Twierdzeie. (Wzór de Moivre a). Dla dowolej liczby rzeczywistej α i dla dowolej liczby aturalej zachodzi wzór: (cos α i si α) = cos α i si α. (17) Przyk lad.7. Obliczymy ( 3 i) 003. Poieważ 3 i = (cos π i si π ), wi ec ze wzoru de Moivre a ( 3i) 003 = 003 (cos 003 π π π 11π i si 003 ). Ale 003 = 33π, wiec cos 003 π 11π = cos = cos(π π Zatem ( 3 i) 003 = 00 ( 3 i). π ) = cos( ) = 3 oraz si 003 π = si ( π ) = 1. Ze wzorów (9) i (15) otrzymujemy atychmiast, że aby pomożyć iezerowe liczby zespoloe ależy pomożyć ich modu ly i dodać ich argumety. Niech z 0 bedzie ustaloa iezerowa liczba zespoloa. Wówczas ze wzoru (15) wyika, że przekszta lceie z z 0 z dla zespoloych z jest z lożeiem obrotu o kat o mierze Arg(z 0 ) i jedok ladości o środku O i skali z 0. 3 Pierwiastkowaie liczb zespoloych Pierwiastkiem -tego stopia z liczby zespoloej z azywamy każda taka liczbe zespoloa w, że w = z. Piszemy wtedy: w = z. Jedyym pierwiastkiem -tego stopia z liczby 0 jest 0. Pierwiastki kwadratowe z liczby z = abi (gdzie a, b sa liczbami rzeczywistymi) zajdujemy w postaci w = x yi, gdzie x i y sa szukaymi liczbami rzeczywistymi. Sprowadza sie to do rozwiazaia uk ladu rówań { x y = a xy = b. (18) Jeżeli z 0 i w = z, to wszystkimi pierwiastkami kwadratowymi z liczby z sa: w, w. Przyk lad.8. Obliczymy pierwiastki kwadratowe z liczby z = 11 0i. W tym celu rozwiazujemy uk lad rówań: { x y = 11 xy = 0. Najpierw próbujemy wyzaczyć ca lkowite rozwiazaie tego uk ladu (gdyby to zawiod lo, to z drugiego rówaia wyliczamy y i podstawiamy do rówaia pierwszego). W tym celu z drugiego rówaia otrzymujemy, że xy = 30. Zatem liczby x, y maja te sam zak i możemy za lożyć, że x, y N. Teraz wyzaczamy wszystkie dzieliki aturale liczby 30: 1,,3,5,,10,15,30. Po uwzgledieiu pierwszego rówaia mamy, że x > y, wiec x {, 10, 15, 30}, skad x = i y = 5. Zatem wszystkimi pierwiastkami kwadratowymi z liczby z sa: 5i oraz 5i. 4
5 Przy wyzaczaiu pierwiastków kwadratowych z liczb zespoloych możemy też pos lugiwać sie astepuj acym twierdzeiem: Twierdzeie.9. Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b wszystkie pierwiastki kwadratowe z liczby zespoloej z = a bi dae sa wzorami: a jeśli b = 0 i a 0 ω = a i jeśli b = 0 i a < 0 a. (19) a b a sg(b) b a i jeśli b 0 Przy czym 1 jeśli b > 0 sg(b) = 0 jeśli b = 0 1 jeśli b < 0. (0) Dowód. Dla a 0 i b = 0 mamy, że ( a) = a = a bi. Dla a < 0 i b = 0 jest a > 0 oraz ( a i) = ( a) ( 1) = a = a bi. Dla b 0 mamy, że a b a > 0. Ozaczmy a b a. Wtedy x y = a b a a b a = a oraz a x = b a, y = sg(b) a xy = sg(b) b a a b a = sg(b) b = sg(b) b = b. Zatem (x yi) = (x y ) xyi = a bi. Kończy to dowód pierwszej cześci twierdzeia. Zauważmy, że ( ω) = ω = a bi. Jeśli zaś z C jest takie, że z = a bi, to z = ω, skad 0 = z ω = (z ω) (z ω), wiec z = ω lub z = ω. Zatem wzór (19) jest udowodioy. Przyk lad.10. Wyzaczymy wszystkie pierwiastki kwadratowe z liczby z = 3i. Mamy tutaj b = 3 > 0, wiec sg(b) = 1. Poadto a =, wiec a b = 4 9 = 13. Zatem a a b a sg(b) b a i = i. Stad wszystkimi pierwiastkami kwadratowymi z liczby z sa: i oraz i. Pierwiastki wyższych stopi 3 z liczby zespoloej z 0 obliczamy zapisujac ajpierw te liczbe w postaci trygoometryczej (14). Wówczas zachodzi astepuj ace Twierdzeie.11. Jeśli z jest iezerowa liczba zespoloa oraz z = z (cos φ i si φ), to istieje dok ladie różych pierwiastków -tego stopia z liczby z i wszystkie te pierwiastki daja sie ujać wzorem ω k = ( z cos φ kπ i si φ kπ ), k = 0, 1,..., 1. (1) Dowód. Ze wzoru de Moivre a dla k = 0, 1,..., 1 mamy, że ωk = z [cos(φ kπ) i si(φkπ)] = z (cos φi si φ) = z, wiec liczby (1) sa pierwiastkami -tego stopia z liczby z. Niech teraz k, l {0, 1,..., 1} bed a takie, że ω k = ω l. Wówczas istieje liczba ca lkowita t taka, że φkπ φlπ = tπ, skad k l = t. Ale < k l <, wiec t = 0 i k = l. Zatem liczby (1) sa parami róże. Niech teraz ω bedzie pierwiastkiem -tego stopia z liczby z. Poieważ z 0, wiec też ω 0. Zatem istieje liczba rzeczywista α taka, że ω = ω (cos α i si α). Stad ze wzoru de Moivre a 5
6 mamy, że z = ω = ω (cos α i si α). Zatem ω = z oraz α = φ sπ dla pewego ca lkowitego s. Dzielac s przez z reszta uzyskamy, że istieje liczba ca lkowita q i istieje k {0, 1,..., 1} takie, że s = q k. Zatem α = φkπ qπ, skad wyika, że ω = ω k. Kończy to dowód aszego twierdzeia. 4 Rówaie kwadratowe Rówaie kwadratowe az bz c = 0, a 0 () posiada zawsze rozwiazaie w liczbach zespoloych z dla dowolych ustaloych liczb zespoloych a, b, c. Miaowicie obliczamy ajpierw = b 4ac. Nastepie wyzaczamy w =. Wówczas wszystkimi zespoloymi pierwiastkami rówaia () sa: z 1 = b w a Bardzo waża w lasość liczb zespoloych wyraża astepuj ace, z = b w. (3) a Twierdzeie.1 (Zasadicze twierdzeie algebry). Dla dowolej liczby aturalej i dla dowolych liczb zespoloych a 0, a 1,...,a, takich że a 0 rówaie algebraicze posiada pierwiastek zespoloy. a z a 1 z 1... a 1 z a 0 = 0 Dowód zasadiczego twierdzeia algebry jest dość d lugi i ie bedzie tu przedstawioy. Warto zazaczyć, że pierwszy pe ly dowód tego twierdzeia by l treścia rozprawy doktorskiej s lyego matematyka iemieckiego K. F. Gaussa. Ciekawostka jest też to, że tego twierdzeia ie da sie udowodić czysto algebraiczymi metodami bez odwo lywaia sie do pojeć aalizy matematyczej! 5 Zadaia do samodzielego rozwiazaia Zadaie.13. Udowodij tożsamości: a) z 1 z z 1 z = ( z 1 z ), b) 1 z 1 z z 1 z = (1 z 1 ) (1 z ), ( ) c) z 1 z = z 1 re(z 1 z ) z, d) 1 z z z = 1 z. 1z z z 1 z Zadaie.14. Rozwiaż rówaia: a) z z = 1 i, b) z z = i, c) zz (z z) = 3 i, d) i(z z) i(z z) = i 3, e) z = z, f) z iz = 11 8i. Odp. a) z = 3 i. b) z = c) z = 5 1 z = i. 51 i lub z = i lub i lub z = d) z = 1 3 i. e) z = 0 lub z = 1 lub z = 1 3 i lub z = 1 3 i. f) z = i lub z = 4 3i.
7 Zadaie.15. Przedstaw w postaci algebraiczej pierwiastki kwadratowe z astepuj acych liczb zespoloych: a) i, b) i, c) 8 i, d) 8 i, e) 8 i, f) 8 i, g) 3 4i, h) 11 0i, i) 15 8i. i oraz i. b) i oraz Odp. a) 3 i oraz 3 i. e) 1 3i oraz 1 3i. f) 1 3i oraz 1 3i. g) i oraz i. h) 5 i oraz 5 i. i) 1 4i oraz 1 4i. i. c) 3 i oraz 3 i. d) 7
8 Zadaie.1. Rozwiaż rówaia kwadratowe: a) z 3z 3 i = 0, b) z (1 4i)z (5 i) = 0, c) (4 3i)z ( 11i)z (5 i) = 0, d) z (1 i)z i = 0, e) z 5z 4 10i = 0, f) z z = i 1. Odp. a) z 1 = 1 i oraz z = i. b) z 1 = 3i oraz z = 1 i. c) z 1 = i oraz z = i. d) z 1 = z = 1 i. e) z 1 = i oraz z = 5 i. f) z 1 = i oraz z = i. Zadaie.17. Przedstaw w postaci trygoometryczej (bez pomo-cy tablic) astepuj ace liczby zespoloe: a) 1, 1, i, i, b) 1 i, 1 i, 1 i, 1 i, c) 1 i 3, 1 i 3, 1 i 3, 1 i 3, d) 3 i, 3 i, 3 i, 3 i. Odp. a) 1 = 1 (cos 0 i si 0), 1 = 1 (cos π i si π), i = 1 (cos π i si π ), i = 1 (cos 3π i si 3π ). b) 1 i = (cos π 4 i si π 4 ), 1 i = (cos 5π i si 5π ), 1 i = (cos 3π 4 i si 3π 4 ), 1 i = (cos 5π 4 i si 5π 4 ). c) 1 i 3 = (cos π 3 i si π 3 ), 1 i 3 = (cos 5π 3 i si 5π 3 ), 1i 3 = (cos π 3 i si π 3 ), 1 i 3 = (cos 4π 3 i si 4π 3 ). d) 3 i = (cos π i si π ), 3 i = (cos 11π 3 i = (cos 7π i si 7π ). Zadaie.18. trygoometryczej: a) (1 i) 10, b) (1 i 3) 15, c) Odp. a) 3i. b) 378. c) i si 11π ), 3 i = (cos 5π i si 5π ), Wykoaj dzia laia, stosujac przedstawieie liczb zespoloych w postaci ( ) 1i 199, 1i 3 d) ( 1i 3) 15 (1 i) i. d) 4. ( 1 i 3) 15. (1i) 0 Zadaie.19. Oblicz bez pomocy tablic pierwiastki 3-go stopia z astepuj acych liczb zespoloych: a) 1, b) 1, c) i, d) i. Odp. 1, 1 i 3, 1 i 3. b) 1, 1 i 3, 1 i 3. c) 3 1 i, 3 1 i, i. d) 3 1 i, 3 1 i, i. 8
Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowo"Liczby rządzą światem." Pitagoras
"Liczby rządzą światem." Pitagoras Def. Liczbą zespoloą azywamy liczbę postaci z= x +yi, gdzie x, y є oraz i = -1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez ={ x + yi: x, y є } Ozaczeia x= Re z częśd rzeczywista
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoZadania o liczbach zespolonych
Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone
Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych Rówaie kwadratowe ie ma pierwiastków rzeczywistych gdy < 0, bo wzory ogóle wymagają wtedy obliczeia
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoa 2 + b, b ) ( ) Wówczas (a, b) =, =(1, 0). 2 a 2 + b 2 a 2 + b2 a 2 + b 2
Ciało liczb zespoloych Twierdzeie Niech C = R W zbiorze C określamy dodawaie: a, b)+c, d) =a + c, b + d) oraz możeie: a, b) c, d) =ac bd, ad + bc) Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym elemetem eutralym
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki I
Matematycze Metody Fizyki I Dr hab. iż.. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodików i iżyierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrae rozdziały matematyczych metod fizyki, A. Leda, B. Spisak, Wydawictwo
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowotek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone
Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych W starożytości okazało się, że zbiór liczb wymierych jest iewystarczający, bo ie ma takiej liczby
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 2
Praca domowa - seria 0 listopada 01 Zadanie 1. Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających nierówność: A = {z C : i z < Im(z)}. Rozwiązanie 1 Niech z = a + ib, gdzie a, b R. Wtedy z =
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoKolorowa płaszczyzna zespolona
Kolorowa płaszczyzna zespolona Marta Szumańska MIMUW/IX LO w Warszawie Sielpia, 27 października 2018 p. 1 of 64 Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek
Bardziej szczegółowoSpis treści. I. Wiadomości wstępne... 3
Spis treści I. Wiadomości wstępe... 3 II. Pojęcia ogóle wraz z twierdzeiami... 4 1. Jedostka urojoa... 4. Liczba zespoloa... 4 3. Iterpretacja geometrycza... 7 4. Moduł liczby zespoloej... 8 5. Liczba
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5
Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombinatoryczna teoria zbiorów
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombiatorycza teoria zbiorów 23 maja 2012 Wyk lad poświe coy jest w lasościom rodzi podzbiorów skończoego zbioru. Rozpoczya go poje cie systemu różych reprezetatów wraz ze s
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowoZadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)
Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowodr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoLICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1
LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać
Bardziej szczegółowoZadania szkolne dla studentów chemii
Zadaia szkole dla studetów chemii Podstawowe ozaczeia R zbiór wszystkich liczb rzeczywistych N zbiór wszystkich liczb aturalych, tj. liczb 0,,,,... ; N dodatich, tj. liczb,,... Z zbiór wszystkich liczb
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoIII. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe techniki zliczania
Wy lad 1 Podstawowe techii zliczaia Wariacje bez powtórzeń Defiicja 1. Niech i bed a liczbami aturalymi taimi, że. Niech A bedzie dowolym zbiorem elemetowym. Każdy ciag różowartościowy a 1,..., a d lugości
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona
Definicja 9.1 (liczb zespolonych) Liczby zespolone Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, że i 2 = 1 zaś a i b sa liczbami rzeczywistymi. Suma
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowo