Wyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych"

Transkrypt

1 Wyk lad W lasości cia la liczb zespoloych 1 Modu l, sprz eżeie, cz eść rzeczywista i cz eść urojoa Niech a, b bed a liczbami rzeczywistymi i iech z = a bi. (1) Przypomijmy, że liczba sprzeżo a do z jest z = a bi. Poadto cześci a rzeczywista liczby z jest liczba (rzeczywista) re(z) = a, zaś cześci a urojoa liczby z jest liczba (rzeczywista) im(z) = b. Modu lem liczby z postaci (1) azywamy liczbe rzeczywista ieujema Z tych określeń mamy od razu, że z = a b. () re(z) z oraz im(z) z, (3) z z = z. (4) Twierdzeie.1. wzory: Dla dowolych liczb zespoloych z, w, z 1,..., z zachodza astepuj ace z 1 z... z = z 1 z... z (5) z 1 z... z = z 1 z... z () z = (z) (7) ( z ) = z, w 0. (8) w w Dowód. (5). Istieja liczby rzeczywiste a 1,..., a, b 1,..., b takie, że z k = a k b k i dla k = 1,...,. Zatem z 1...z = (a 1 b 1 i)...(a b i) = (a 1...a )(b 1...b )i, skad z 1... z = (a 1...a ) (b 1...b )i oraz z 1...z = (a 1 b 1 i)...(a b i) = (a 1... a ) (b 1... b )i, skad mamy wzór (5). (). Dla = istieja liczby rzeczywiste a 1, a, b 1, b takie, że z 1 = a 1 b 1 i oraz z = a b i. Stad z 1 z = (a 1 a b 1 b ) (a 1 b a b 1 )i, czyli z 1 z = (a 1 a b 1 b ) (a 1 b a b 1 )i oraz z 1 z = (a 1 b 1 i) (a b i) = (a 1 a b 1 b ) (a 1 b a b 1 )i, czyli teza zachodzi dla =. Za lóżmy teraz, że teza zachodzi dla pewego aturalego. Wówczas dla liczb zespoloych z 1,..., z, z 1 a mocy pierwszej cześci dowodu mamy, że z 1... z z 1 = (z 1... z ) z 1 = z 1... z z 1, wiec a mocy za lożeia idukcyjego z 1... z z 1 = z 1... z z 1. Stad a mocy zasady idukcji mamy teze. (7). Wystarczy w poprzedim wzorze podstawić z = z 1 =... = z. 1

2 (8). Poieważ w 0, wiec też w 0 (dlaczego?). Z (5) mamy, że z = w z w = w ( ) z w, sk ad po podzieleiu obu stro przez w uzyskamy teze. Twierdzeie.. Dla dowolych liczb zespoloych z, w, z 1,..., z zachodza astepuj ace wzory: z 1 z... z = z 1 z... z (9) z = z w w, w 0 (10) z = z (11) z 1 z... z z 1 z... z (1) z w = odleg lość puktu z od puktu w. (13) Dowód. (9). Na mocy wzorów (4) i (5): z 1... z = (z 1... z ) (z 1... z ) = z 1... z z 1... z = (z 1 z 1 )... (z z ) = z 1... z, skad po spierwiastkowaiu obu stro uzyskamy teze. (10). Poieważ w 0, wiec też w 0 (dlaczego?). Na mocy wzoru (9) z = w z w = w z w, wiec po podzieleiu obu stro przez w uzyskamy teze. (11). Wystarczy podstawić z = z 1 =... = z we wzorze (9). (1). Stosujemy idukcje wzgledem. Niech =. Jeśli z 1 z = 0, to asz wzór zachodzi. ( Za lóżmy dalej, że z 1 z 0. Wtedy z 1 z > 0. Poadto 1 = re z1 z 1 z z = ( ) ( ) re z1 z 1 z re z z z 1 z 1 z 1 z z z 1 z = z 1 z 1 z z z 1 z, sk ad po pomożeiu obu stro przez z 1 z uzyskamy teze dla =. Za lóżmy teraz, że asza ierówość zachodzi dla pewej liczby aturalej i iech z 1,..., z 1 bed a dowolymi liczbami zespoloymi. Wówczas z pierwszej cześci dowodu i z za lożeia idukcyjego mamy, że z 1... z 1 = (z 1... z ) z 1 z 1... z z 1 z 1... z z 1, czyli asza ierówość zachodzi dla liczby 1. Stad a mocy zasady idukcji mamy teze. (13). Istieja liczby rzeczywiste a 1, a, b 1, b takie, że z = a 1 b 1 i (a 1, b 1 ) oraz w = a b i (a, b ). Poadto z w = (a 1 a ) (b 1 b )i, wiec z w = (a 1 a ) (b 1 b ). Zatem z geometrii aalityczej mamy teze. Przyk lad.3. Wyzaczymy wszystkie liczby zespoloe z takie, że z z = i. z 1 z ) W tym celu zapiszmy liczbe z w postaci algebraiczej z = x yi, gdzie x, y sa szukaymi liczbami rzeczywistymi. Poieważ z = x y, z = x yi, wiec asze rówaie przybiera postać x y x yi = i, czyli ( x y x) ( y)i = i.

3 Zatem x y x = oraz y = 1. Stad y = 1 oraz x 1 = x. Po podiesieiu stroami do kwadratu ostatiej rówości uzyskamy, że x 1 = 4 4x x, skad x = 3 4. Zatem jedyym rozwiazaiem aszego rówaia jest z = 3 4 i. Postać trygoometrycza liczby zespoloej Niech z 0 bedzie dowola liczba zespoloa. Wtedy istieja liczby rzeczywiste a, b takie, że z = a bi oraz a 0 lub b 0. Liczbe z możemy traktować jako pukt (a, b) p laszczyzy, którego odleg lość od puktu (0, 0) jest rówa z = a b. Ozaczmy przez φ miare kata skierowaego jaki tworzy wektor Oz z osia OX w orietacji p laszczyzy przeciwej do ruchów wskazówek zegara. Wtedy mamy, że φ 0, π) oraz cos φ = si φ = a a b b. a b Otrzymujemy stad wzór z = z (cos φ i si φ), (14) który azywamy postacia trygoometrycza liczby zespoloej z. Liczbe φ azywamy argumetem g lówym liczby z i ozaczamy przez Arg(z). Natomiast każda liczbe rzeczywista α = φ kπ dla ca lkowitych k azywamy argumetem liczby z i ozaczamy przez arg(z). Oczywiście dla takich α mamy, że z = z (cos α i si α). Możemy wiec apisać wzór z = z [cos arg(z) i si arg(z)]. Na odwrót, iech r bedzie dodatia liczba rzeczywista i iech β bedzie liczba rzeczywista taka, że z = r(cos β i si β). Wówczas z = r cos β i si β = r si β cos β = r, skad cos β = cos φ oraz si β = si φ, wiec z trygoometrii mamy, że istieje liczba ca lkowita k taka, że β = φ kπ. Dla iezerowych liczb zespoloych z, w rówość arg(z) = arg(w) bedziemy dalej rozumieli w te sposób, że liczby arg(z) i arg(w) różia sie jedyie o ca lkowita wielokrotość liczby π. Przyk lad.4. Zauważmy, że 1 = cos 0i si 0, i = cos π i si π, 1i = (cos π 4 i si π 4 ), 3 i = (cos π i si π ). Twierdzeie.5. Dla dowolych iezerowych liczb zespoloych z, w zachodza wzory: arg(z w) = arg(z) arg(w) (15) ( z ) arg = arg(z) arg(w). (1) w Dowód. (15). Ozaczmy arg(z) = α, arg(w) = β. Wtedy z = z (cos α i si α) oraz w = w (cos β i si β). Zatem z w = z w ((cos α cos β si α si β) i(cos α si β cos β si α)) = z w [cos(α β) i si(α β)], a mocy zaych wzorów trygoometryczych. Stad rzeczywiście arg(z w) = arg(z) arg(w). 3

4 (1). Poieważ z = w z w, wiec ze wzoru (15), arg(z) = arg(w) arg( z w ), sk ad arg ( ) z w = arg(z) arg(w). Z twierdzeia.5 przez prosta idukcje uzyskujemy astepuj ace Twierdzeie. (Wzór de Moivre a). Dla dowolej liczby rzeczywistej α i dla dowolej liczby aturalej zachodzi wzór: (cos α i si α) = cos α i si α. (17) Przyk lad.7. Obliczymy ( 3 i) 003. Poieważ 3 i = (cos π i si π ), wi ec ze wzoru de Moivre a ( 3i) 003 = 003 (cos 003 π π π 11π i si 003 ). Ale 003 = 33π, wiec cos 003 π 11π = cos = cos(π π Zatem ( 3 i) 003 = 00 ( 3 i). π ) = cos( ) = 3 oraz si 003 π = si ( π ) = 1. Ze wzorów (9) i (15) otrzymujemy atychmiast, że aby pomożyć iezerowe liczby zespoloe ależy pomożyć ich modu ly i dodać ich argumety. Niech z 0 bedzie ustaloa iezerowa liczba zespoloa. Wówczas ze wzoru (15) wyika, że przekszta lceie z z 0 z dla zespoloych z jest z lożeiem obrotu o kat o mierze Arg(z 0 ) i jedok ladości o środku O i skali z 0. 3 Pierwiastkowaie liczb zespoloych Pierwiastkiem -tego stopia z liczby zespoloej z azywamy każda taka liczbe zespoloa w, że w = z. Piszemy wtedy: w = z. Jedyym pierwiastkiem -tego stopia z liczby 0 jest 0. Pierwiastki kwadratowe z liczby z = abi (gdzie a, b sa liczbami rzeczywistymi) zajdujemy w postaci w = x yi, gdzie x i y sa szukaymi liczbami rzeczywistymi. Sprowadza sie to do rozwiazaia uk ladu rówań { x y = a xy = b. (18) Jeżeli z 0 i w = z, to wszystkimi pierwiastkami kwadratowymi z liczby z sa: w, w. Przyk lad.8. Obliczymy pierwiastki kwadratowe z liczby z = 11 0i. W tym celu rozwiazujemy uk lad rówań: { x y = 11 xy = 0. Najpierw próbujemy wyzaczyć ca lkowite rozwiazaie tego uk ladu (gdyby to zawiod lo, to z drugiego rówaia wyliczamy y i podstawiamy do rówaia pierwszego). W tym celu z drugiego rówaia otrzymujemy, że xy = 30. Zatem liczby x, y maja te sam zak i możemy za lożyć, że x, y N. Teraz wyzaczamy wszystkie dzieliki aturale liczby 30: 1,,3,5,,10,15,30. Po uwzgledieiu pierwszego rówaia mamy, że x > y, wiec x {, 10, 15, 30}, skad x = i y = 5. Zatem wszystkimi pierwiastkami kwadratowymi z liczby z sa: 5i oraz 5i. 4

5 Przy wyzaczaiu pierwiastków kwadratowych z liczb zespoloych możemy też pos lugiwać sie astepuj acym twierdzeiem: Twierdzeie.9. Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b wszystkie pierwiastki kwadratowe z liczby zespoloej z = a bi dae sa wzorami: a jeśli b = 0 i a 0 ω = a i jeśli b = 0 i a < 0 a. (19) a b a sg(b) b a i jeśli b 0 Przy czym 1 jeśli b > 0 sg(b) = 0 jeśli b = 0 1 jeśli b < 0. (0) Dowód. Dla a 0 i b = 0 mamy, że ( a) = a = a bi. Dla a < 0 i b = 0 jest a > 0 oraz ( a i) = ( a) ( 1) = a = a bi. Dla b 0 mamy, że a b a > 0. Ozaczmy a b a. Wtedy x y = a b a a b a = a oraz a x = b a, y = sg(b) a xy = sg(b) b a a b a = sg(b) b = sg(b) b = b. Zatem (x yi) = (x y ) xyi = a bi. Kończy to dowód pierwszej cześci twierdzeia. Zauważmy, że ( ω) = ω = a bi. Jeśli zaś z C jest takie, że z = a bi, to z = ω, skad 0 = z ω = (z ω) (z ω), wiec z = ω lub z = ω. Zatem wzór (19) jest udowodioy. Przyk lad.10. Wyzaczymy wszystkie pierwiastki kwadratowe z liczby z = 3i. Mamy tutaj b = 3 > 0, wiec sg(b) = 1. Poadto a =, wiec a b = 4 9 = 13. Zatem a a b a sg(b) b a i = i. Stad wszystkimi pierwiastkami kwadratowymi z liczby z sa: i oraz i. Pierwiastki wyższych stopi 3 z liczby zespoloej z 0 obliczamy zapisujac ajpierw te liczbe w postaci trygoometryczej (14). Wówczas zachodzi astepuj ace Twierdzeie.11. Jeśli z jest iezerowa liczba zespoloa oraz z = z (cos φ i si φ), to istieje dok ladie różych pierwiastków -tego stopia z liczby z i wszystkie te pierwiastki daja sie ujać wzorem ω k = ( z cos φ kπ i si φ kπ ), k = 0, 1,..., 1. (1) Dowód. Ze wzoru de Moivre a dla k = 0, 1,..., 1 mamy, że ωk = z [cos(φ kπ) i si(φkπ)] = z (cos φi si φ) = z, wiec liczby (1) sa pierwiastkami -tego stopia z liczby z. Niech teraz k, l {0, 1,..., 1} bed a takie, że ω k = ω l. Wówczas istieje liczba ca lkowita t taka, że φkπ φlπ = tπ, skad k l = t. Ale < k l <, wiec t = 0 i k = l. Zatem liczby (1) sa parami róże. Niech teraz ω bedzie pierwiastkiem -tego stopia z liczby z. Poieważ z 0, wiec też ω 0. Zatem istieje liczba rzeczywista α taka, że ω = ω (cos α i si α). Stad ze wzoru de Moivre a 5

6 mamy, że z = ω = ω (cos α i si α). Zatem ω = z oraz α = φ sπ dla pewego ca lkowitego s. Dzielac s przez z reszta uzyskamy, że istieje liczba ca lkowita q i istieje k {0, 1,..., 1} takie, że s = q k. Zatem α = φkπ qπ, skad wyika, że ω = ω k. Kończy to dowód aszego twierdzeia. 4 Rówaie kwadratowe Rówaie kwadratowe az bz c = 0, a 0 () posiada zawsze rozwiazaie w liczbach zespoloych z dla dowolych ustaloych liczb zespoloych a, b, c. Miaowicie obliczamy ajpierw = b 4ac. Nastepie wyzaczamy w =. Wówczas wszystkimi zespoloymi pierwiastkami rówaia () sa: z 1 = b w a Bardzo waża w lasość liczb zespoloych wyraża astepuj ace, z = b w. (3) a Twierdzeie.1 (Zasadicze twierdzeie algebry). Dla dowolej liczby aturalej i dla dowolych liczb zespoloych a 0, a 1,...,a, takich że a 0 rówaie algebraicze posiada pierwiastek zespoloy. a z a 1 z 1... a 1 z a 0 = 0 Dowód zasadiczego twierdzeia algebry jest dość d lugi i ie bedzie tu przedstawioy. Warto zazaczyć, że pierwszy pe ly dowód tego twierdzeia by l treścia rozprawy doktorskiej s lyego matematyka iemieckiego K. F. Gaussa. Ciekawostka jest też to, że tego twierdzeia ie da sie udowodić czysto algebraiczymi metodami bez odwo lywaia sie do pojeć aalizy matematyczej! 5 Zadaia do samodzielego rozwiazaia Zadaie.13. Udowodij tożsamości: a) z 1 z z 1 z = ( z 1 z ), b) 1 z 1 z z 1 z = (1 z 1 ) (1 z ), ( ) c) z 1 z = z 1 re(z 1 z ) z, d) 1 z z z = 1 z. 1z z z 1 z Zadaie.14. Rozwiaż rówaia: a) z z = 1 i, b) z z = i, c) zz (z z) = 3 i, d) i(z z) i(z z) = i 3, e) z = z, f) z iz = 11 8i. Odp. a) z = 3 i. b) z = c) z = 5 1 z = i. 51 i lub z = i lub i lub z = d) z = 1 3 i. e) z = 0 lub z = 1 lub z = 1 3 i lub z = 1 3 i. f) z = i lub z = 4 3i.

7 Zadaie.15. Przedstaw w postaci algebraiczej pierwiastki kwadratowe z astepuj acych liczb zespoloych: a) i, b) i, c) 8 i, d) 8 i, e) 8 i, f) 8 i, g) 3 4i, h) 11 0i, i) 15 8i. i oraz i. b) i oraz Odp. a) 3 i oraz 3 i. e) 1 3i oraz 1 3i. f) 1 3i oraz 1 3i. g) i oraz i. h) 5 i oraz 5 i. i) 1 4i oraz 1 4i. i. c) 3 i oraz 3 i. d) 7

8 Zadaie.1. Rozwiaż rówaia kwadratowe: a) z 3z 3 i = 0, b) z (1 4i)z (5 i) = 0, c) (4 3i)z ( 11i)z (5 i) = 0, d) z (1 i)z i = 0, e) z 5z 4 10i = 0, f) z z = i 1. Odp. a) z 1 = 1 i oraz z = i. b) z 1 = 3i oraz z = 1 i. c) z 1 = i oraz z = i. d) z 1 = z = 1 i. e) z 1 = i oraz z = 5 i. f) z 1 = i oraz z = i. Zadaie.17. Przedstaw w postaci trygoometryczej (bez pomo-cy tablic) astepuj ace liczby zespoloe: a) 1, 1, i, i, b) 1 i, 1 i, 1 i, 1 i, c) 1 i 3, 1 i 3, 1 i 3, 1 i 3, d) 3 i, 3 i, 3 i, 3 i. Odp. a) 1 = 1 (cos 0 i si 0), 1 = 1 (cos π i si π), i = 1 (cos π i si π ), i = 1 (cos 3π i si 3π ). b) 1 i = (cos π 4 i si π 4 ), 1 i = (cos 5π i si 5π ), 1 i = (cos 3π 4 i si 3π 4 ), 1 i = (cos 5π 4 i si 5π 4 ). c) 1 i 3 = (cos π 3 i si π 3 ), 1 i 3 = (cos 5π 3 i si 5π 3 ), 1i 3 = (cos π 3 i si π 3 ), 1 i 3 = (cos 4π 3 i si 4π 3 ). d) 3 i = (cos π i si π ), 3 i = (cos 11π 3 i = (cos 7π i si 7π ). Zadaie.18. trygoometryczej: a) (1 i) 10, b) (1 i 3) 15, c) Odp. a) 3i. b) 378. c) i si 11π ), 3 i = (cos 5π i si 5π ), Wykoaj dzia laia, stosujac przedstawieie liczb zespoloych w postaci ( ) 1i 199, 1i 3 d) ( 1i 3) 15 (1 i) i. d) 4. ( 1 i 3) 15. (1i) 0 Zadaie.19. Oblicz bez pomocy tablic pierwiastki 3-go stopia z astepuj acych liczb zespoloych: a) 1, b) 1, c) i, d) i. Odp. 1, 1 i 3, 1 i 3. b) 1, 1 i 3, 1 i 3. c) 3 1 i, 3 1 i, i. d) 3 1 i, 3 1 i, i. 8

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C

Bardziej szczegółowo

"Liczby rządzą światem." Pitagoras

Liczby rządzą światem. Pitagoras "Liczby rządzą światem." Pitagoras Def. Liczbą zespoloą azywamy liczbę postaci z= x +yi, gdzie x, y є oraz i = -1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez ={ x + yi: x, y є } Ozaczeia x= Re z częśd rzeczywista

Bardziej szczegółowo

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi, 7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1

Bardziej szczegółowo

c 2 + d2 c 2 + d i, 2

c 2 + d2 c 2 + d i, 2 3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych Rówaie kwadratowe ie ma pierwiastków rzeczywistych gdy < 0, bo wzory ogóle wymagają wtedy obliczeia

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

a 2 + b, b ) ( ) Wówczas (a, b) =, =(1, 0). 2 a 2 + b 2 a 2 + b2 a 2 + b 2

a 2 + b, b ) ( ) Wówczas (a, b) =, =(1, 0). 2 a 2 + b 2 a 2 + b2 a 2 + b 2 Ciało liczb zespoloych Twierdzeie Niech C = R W zbiorze C określamy dodawaie: a, b)+c, d) =a + c, b + d) oraz możeie: a, b) c, d) =ac bd, ad + bc) Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym elemetem eutralym

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Metody Fizyki I

Matematyczne Metody Fizyki I Matematycze Metody Fizyki I Dr hab. iż.. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodików i iżyierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrae rozdziały matematyczych metod fizyki, A. Leda, B. Spisak, Wydawictwo

Bardziej szczegółowo

Funkcje tworz ce skrypt do zada«

Funkcje tworz ce skrypt do zada« Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw

Bardziej szczegółowo

tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze

tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych

Bardziej szczegółowo

dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że

dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej

Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Liczby zespolone Maciej Grzesiak Istytut Matematyki Politechiki Pozańskiej Liczby zespoloe 1. Określeie liczb zespoloych W starożytości okazało się, że zbiór liczb wymierych jest iewystarczający, bo ie ma takiej liczby

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17 Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 2

Praca domowa - seria 2 Praca domowa - seria 0 listopada 01 Zadanie 1. Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających nierówność: A = {z C : i z < Im(z)}. Rozwiązanie 1 Niech z = a + ib, gdzie a, b R. Wtedy z =

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 2 Podgrupa grupy

Wyk lad 2 Podgrupa grupy Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.

Bardziej szczegółowo

Kolorowa płaszczyzna zespolona

Kolorowa płaszczyzna zespolona Kolorowa płaszczyzna zespolona Marta Szumańska MIMUW/IX LO w Warszawie Sielpia, 27 października 2018 p. 1 of 64 Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek

Bardziej szczegółowo

Spis treści. I. Wiadomości wstępne... 3

Spis treści. I. Wiadomości wstępne... 3 Spis treści I. Wiadomości wstępe... 3 II. Pojęcia ogóle wraz z twierdzeiami... 4 1. Jedostka urojoa... 4. Liczba zespoloa... 4 3. Iterpretacja geometrycza... 7 4. Moduł liczby zespoloej... 8 5. Liczba

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12 Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5

Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5 Aaliza matematycza dla iformatyków Zajęcia 5 Twiereie (auchy ego) Niech Ω bęie otwartym pobiorem oraz f : Ω fukcją holomorficzą Wtedy dla dowolego koturu całkowicie zawartego w Ω zachoi f(z) = 0 Zadaie

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombinatoryczna teoria zbiorów

KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombinatoryczna teoria zbiorów KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombiatorycza teoria zbiorów 23 maja 2012 Wyk lad poświe coy jest w lasościom rodzi podzbiorów skończoego zbioru. Rozpoczya go poje cie systemu różych reprezetatów wraz ze s

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

GAL 80 zadań z liczb zespolonych

GAL 80 zadań z liczb zespolonych GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +

Bardziej szczegółowo

Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)

Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych) Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

1. Granica funkcji w punkcie

1. Granica funkcji w punkcie Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Zadania szkolne dla studentów chemii

Zadania szkolne dla studentów chemii Zadaia szkole dla studetów chemii Podstawowe ozaczeia R zbiór wszystkich liczb rzeczywistych N zbiór wszystkich liczb aturalych, tj. liczb 0,,,,... ; N dodatich, tj. liczb,,... Z zbiór wszystkich liczb

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.

CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx. CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204. Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy 12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!

Bardziej szczegółowo

III. LICZBY ZESPOLONE

III. LICZBY ZESPOLONE Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe techniki zliczania

Wyk lad 1 Podstawowe techniki zliczania Wy lad 1 Podstawowe techii zliczaia Wariacje bez powtórzeń Defiicja 1. Niech i bed a liczbami aturalymi taimi, że. Niech A bedzie dowolym zbiorem elemetowym. Każdy ciag różowartościowy a 1,..., a d lugości

Bardziej szczegółowo

MACIERZE STOCHASTYCZNE

MACIERZE STOCHASTYCZNE MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19 47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3

WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333)) 46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1 30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona

Liczby zespolone. Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona Definicja 9.1 (liczb zespolonych) Liczby zespolone Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, że i 2 = 1 zaś a i b sa liczbami rzeczywistymi. Suma

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję

Bardziej szczegółowo

Cia la i wielomiany Javier de Lucas

Cia la i wielomiany Javier de Lucas Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma

Bardziej szczegółowo