Liczby zespolone. dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». 6 pa¹dziernika Oznaczenia. B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«:

Transkrypt

1 Liczby zespolone Oznaczenia B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {1, 2, 3,...}- zbiór liczb naturalnych, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}- zbiór liczb caªkowitych, Q = { a b : a, b Z, b 0}- zbiór liczb wymiernych, R- zbiór liczb rzeczywistych, R + - zbiór liczb rzeczywistych dodatnich, x X- oznacza,»e element x nale»y do zbioru X, -kwantykator ogólny (du»y), x X φ(x) czyt.: dla ka»dego x nale» cego do zb. X zachodzi φ(x), -kwantykator szczegóªowy (maªy), x X φ(x)czyt.: istnieje x nale» cy do zb. X taki,»e zachodzi φ(x) B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: Iloczyn kartezja«ski A X-zb. A jest podzbiorem zb. X [ x (x A x X) ], - zbiór pusty. Iloczyn kartezja«ski zbiorów A i B to, z denicji, zbiór zªo»ony z uporz dkowanych par elementów zbiorów A i B : A B = {(a, b) : a A, b B}. Przykªad: Niech A = {1, 2, 3}, B = {p, q}. Wówczas iloczyn kartezja«ski zbiorów A i B: { } A B = (1, p), (1, q), (2, p), (2, q), (3, p), (3, q). Liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych Denicja. Liczbami zespolonymi nazywamy uporz dkowane pary liczb rzeczywistych np. (a, b). Liczb zespolon oznaczamy najcz ±ciej przez z, (z 1,, z 3,...), a zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy symbolem C (ªac. complexus - zespolony). Zatem: C = R R = { z = (a, b) : a, b R }. Niech z 1 = (a 1, b 1 ), = (a 2, b 2 ) b d dwiema dowolnymi liczbami zespolonymi. W zbiorze C wprowadzamy dziaªania dodawania i mno»enia liczb zespolonych: 1

2 z 1 + = (a 1 + a 2, b 1 + b 2 )-dodawanie liczb zespolonych z 1 = (a 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 2 + a 2 b 1 )-mno»enie liczb zespolonych. Przykªady: 1. (3, 5) + ( 2, 1) = (3 2, 5 + 1) = (1, 6) 2. (3, 5) ( 2, 1) = (3 ( 2) 5 1, ( 2) 5) = ( 11, 7). Geometryczne liczb zespolon z = (a, b) interpretujemy na pªaszczy¹nie jako punkt o wspóªrz dnych (a, b), albo jako wektor o pocz tku w punkcie (0, 0) i ko«cu w punkcie (a, b). Zbór wszystkich liczb zespolonych nazywamy pªaszczyzn zespolon. O± poziom (Re z) nazywamy osi rzeczywist, a o± pionow (Im z) osi urojon. Liczby zespolone jako wielomiany Ze zbioru liczb zespolonych mo»na wyodr bni podzbiory o elementach (a, 0), które wzgl dem dodawania i mno»enia jego elementów ma analogiczne wªa±ciwo±ci jak zbiór liczb R : (a 1, 0) + (a 2, 0) = (a 1 + a 2, 0), (a 1, 0) (a 2, 0) = (a 1 a 2, 0). Wobec tego zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych: R C. Zamiast (a, 0) b dziemy pisa a. Natomiast liczby postaci (0,b), ró»nej od zera, nie mo»na w analogiczny sposób uto»sami z»adn liczb rzeczywist. St d mamy nast puj c denicj : Denicja: ( Liczb (0, ) 1) b dziemy nazywa jednostk urojon (jedynk urojon ) oraz oznacza symbolem i i = (0, 1). Jedynk urojon dlatego,»e i 2 = 1 : i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( , ) = ( 1, 0) = 1. 2

3 Liczb zespolon z = (a, b) mo»emy zapisa : z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1) = a + bi. Posta z = a + bi nazywamy postaci algebraiczn liczby zespolonej (postaci kanoniczn Gaussa). Zatem, mamy C = { a + bi : a, b R, i 2 = 1 }. Niech z = a + bi, gdzie a, b R, b dzie liczb zespolon. Wówczas: liczb a nazywamy cz ±ci rzeczywist (ªac. realis) liczby zespolonej z, co oznaczamy: Re z = a; liczb b nazywamy cz ±ci urojon (ªac. imaginarius) liczby zespolonej z, co oznaczamy: Im z = b. Dodawanie, odejmowanie i mno»enie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy jak odpowiednie dziaªania na wielomianach zmiennej i zachowuj c warunek i 2 = 1 oraz odpowiednio i 3 = i 2 i = i, i 4 = i 2 i 2 = 1, i 5 = i 3 i 2 = i, itd. Przykªady: 1) (3 + 5i) + ( 2 + i) = (3 2) + (5 + 1)i = 1 + 6i 2) (3+5i) ( 2+i) = 3 ( 2)+3 i+5i ( 2)+5i i = 6+3i 10i+5i 2 = 6 7i + 5 ( 1) = 11 7i. Sprz»enie liczby zespolonej Denicja. Liczb sprz»on do liczby zespolonej z = a + bi oznaczamy poprzez z i okre±lamy wzorem: z = a bi. 3

4 Przykªady: 1) 3 + 5i = 3 5i; 2) 2 4i = 2 + 4i. Wªasno±ci sprz»enia: Niech z, z 1, b d liczbami zespolonymi. Wówczas: 1. z 1 ± = z 1 ±, 2. z 1 = z 1, ( ) z 3. 1 = z 1, dla 0 = (0, 0), 4. (z) = z. Dzielenie liczb zespolonych Aby podzieli liczb zespolon z 1 = a 1 + ib 1, przez liczb zespolon = a 2 + ib 2 nale»y dzieln i dzielnik pomno»y przez liczb sprz»on do dzielnika ( ): Przykªad: z 1 = a 1 + ib 1 a 2 + ib 2 = a 1 + ib 1 a 2 + ib 2 a2 ib 2 a 2 ib 2 = (a 1a 2 + b 1 b 2 ) i(a 1 b 2 b 1 a 2 ) a b i 3 4i = 1 + 2i 3 4i 3 + 4i 3 + 4i = 3 + 4i + 6i = i 25 Funkcje trygonometryczne - wtr cenie = i Zdeniujmy funkcje trygonometryczne dowolnego k ta α [0, 2π) : sin α = y r, cos α = x r, tg α = y x, ctg α = x y, gdzie r to odlegªo± punktu P (x, y) od pocz tku ukªadu wspóªrz dnych, wi c r = x 2 + y 2. 4

5 dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». Rysunek 1: wykres funkcji sinus Rysunek 2: wykres funkcji kosinus Rysunek 3: wykres funkcji tanges Rysunek 4: wykres funkcji kotanges 5 6 pa¹dziernika 2016

6 Znaki funkcji trygonometrycznych w wiartkach ϕ I w. II w. III w. IV w. sin ϕ + + cos ϕ + + tg ϕ + + ctg ϕ + + Mo»na nauczy si wierszyka, który obrazuje powy»sz tabel : w pierwszej wiartce same plusy, w drugiej tylko sinus(jest dodatni), w trzeciej tangens i kotangens, a w czwartej kosinus. Wzory redukcyjne π ϕ π 3π 3π sin ϕ cos α cos α sin α sin α cos α cos α sin α cos ϕ sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α tg ϕ ctg α ctg α tg α tg α ctg α ctg α tg α ctg ϕ tg α tg α ctg α ctg α tg α tg α ctg α Pewne wªasno±ci funkcji trygonometrycznych: funkcje sinus, tangens, kotangens s funkcjami nieparzystymi tzn. sin( x) = sin x, tg( x) = tg x, ctg( x) = ctg x; funkcja kosinus jest parzysta tzn. cos( x) = cos x; funkcje sinus i kosinus s okresowe o okresie podstawowym 2π tzn. k Z, sin(x + 2π k) = sin x, cos(x + 2π k) = cos x; funkcje tangens i kotangens s okresowe o okresie podstawowym π tzn. k Z, tg(x + π k) = tg x, ctg(x + π k) = ctg x. Przykªad. Wykorzystuj c wªasno±ci (równie» wzory redukcyjne) funkcji trygonometrycznych mamy: a) sin 5 4 π = sin(π + π 4 ) = sin π 4 = 2 2 ; b) cos( π) = cos π = cos π = cos(π + π 3 ) = cos π 3 = 1 2 ; c) tg π = tg 3 4 π = tg( π 2 + π 4 ) = ctg π 4 = 1; d) ctg( 25 3 π) = ctg π = ctg 1 3 =

7 Moduª liczby zespolonej Denicja.Moduªem liczby zespolonej z = a + ib nazywamy liczb rzeczywist z okre±lon nast puj co: z = a 2 + b 2. Ma on nast puj ce wªasno±ci: 1. z = z, 2. z 1 = z 1, 3. z n = z n, 4. z 1 = z 1, 5. z 1 + z 1 +. Przykªad. 3 4i = ( 4) 2 = 25 = 5. Argument liczby zespolonej Denicja. Argumentem niezerowej liczby zespolonej z = a + bi (ozn. arg z ) nazywamy ka»d liczb ϕ R speªniaj c warunki: cos ϕ = a z oraz sin ϕ = b z. Argument liczby z = 0 jest nieokre±lony. Argumentem gªównym niezerowej liczby z (ozn. Arg z ) nazywamy ten argument ϕ liczby z, nale»y do przedziaªu [0, 2π). Interpretacja geometryczna moduªu i argumentu liczby zespolonej: 7

8 Posta trygonometryczna liczby zespolonej Dokonujemy przeksztaªcenia dla liczby zespolonej z 0 : z = a + bi = { } a a 2 + b 2 a2 + b + i b = z (cos ϕ + i sin ϕ). 2 a2 + b 2 Otrzyman posta z = z (cos ϕ + i sin ϕ) nazywamy postaci trygonometryczn liczby zespolonej. Przykªad: Napisa w postaci trygonometrycznej liczb z = 3 + i. 3 2 Liczymy moduª: z = + 12 = 2. Liczymy argument: { cos ϕ = 3 2 ϕ = π + 2kπ, k N. sin ϕ = St d liczba z = 3 + i ma nast puj c posta trygonometryczn ( z = 2 cos π 6 + i sin π ). 6 Korzystaj c ze wzorów Eulera: mamy: Wobec tego Mo»emy zapisa Posta wykªadnicza liczby zespolonej cos ϕ = eiϕ + e iϕ, sin ϕ = eiϕ e iϕ 2 2i e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. z = z (cos ϕ + i sin ϕ) = z e iϕ. Posta z = z e iϕ nazywamy postaci wykªadnicz liczby zespolonej. Przykªad: Liczba zespolona z = 3 + i korzystaj c z wylicze«poprzedniego przykªadu ma nast puj c posta wykªadnicz z = 2e π 6 i. Mno»enie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej Denicja. Dwie liczby zespolonych s równe: z 1 = 0 z 1 = = 0, z z 1 = ( z 1 = Arg z 1 = Arg ). Twierdzenie. Niech z 1, C i z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ), = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ), gdzie r 1 = z 1, r 2 =. Wówczas: z 1 = [r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )] [r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 )] = r 1 r 2 [(cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) + i(cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2 )] = r 1 r 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )] z 1 = r 1 r 2 [cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 )]. 8

9 Wniosek. Niech z 1, C. Wówczas: arg (z 1 ) = arg z 1 + arg, ( ) z arg 1 = arg z 1 arg, Arg (z 1 ) = Arg z 1 + Arg ± 2kπ dla pewnego k N, ( ) z Arg 1 = Arg z 1 Arg ± 2kπ dla pewnego k N. Przykªad. Niech z 1 = 2(cos 3π + i sin 3π) oraz z = 2[cos 2π + i sin 2 π]. Wówczas: 5 5 oraz z 1 = 2(cos π + i sin π) z 1 = (cos 1 5 π + i sin 1 5 π). Pot gowanie liczb zespolonych Twierdzenie. (Wzór de Moivre'a) Niech z = r(cos ϕ + i sin ϕ) b dzie dowoln liczb zespolon oraz n N. Wówczas zachodzi wzór z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ). Uwaga. Powy»szy wzór zachodzi równie» dla liczb caªkowitych ujemnych. Przykªad. Obliczy (1 i) 8. Obliczaj c mamy z = 2 oraz Arg φ = 7 π. Wobec tego 4 (1 i) 8 = [ 2 (cos 74 π + i sin 74 )] 8 π = [ ( ) ( )] 2 8 7π 7π cos i sin 4 8 Pierwiastkowanie liczb zespolonych = 16[cos 14π + i sin 14π] = 16[1 + i 0] = 16. Denicja. Pierwiastkiem stopnia n N z liczby zespolonej z nazywamy ka»d liczb zespolon w speªniaj c warunek: w n = z. Twierdzenie. Dla ka»dej liczby zespolonej z = r(cosϕ + i sin ϕ) istnieje dokªadnie n ró»nych liczb zespolonych z 0, z 1,..., z n 1 takich,»e (z k ) n = z. Pierwiastki te wyra»aj si wzorem: ( z k = n r cos ϕ + 2kπ + i sin ϕ + 2kπ ) dla k = 0, 1, 2,..., n 1. n n Geometryczne zbiór pierwiastków stopnia n 3 z liczby zespolonej z pokrywa si ze zbiorem wierzchoªków n-k ta foremnego wpisanego w okr g o promieniu n r i o ±rodku w pocz tku ukªadu wspóªrz dnych. Wierzchoªki wyznaczone s w punktach z 0, z 1,..., z n 1, a k t pomi dzy ich s siednimi promieniami wodz cymi wynosi 2π n. 9

10 Zadania 1.Wykonaj podane dziaªania w zbiorze liczb zespolonych. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej. (a) ( 4 + 3i) + (8 7i) (b) (4i 3) (1 10i) (c) (1 + 2i) ( 3 6i) (d) ( 2 + i)(3 3i) (e) ( 7 + 3i)( 7 + 3i) (f) (3 2i)(1 + i) i (g) i(2 3i) (h) (2 3i)2 3 7i (i) (1 i) i 1 i 2 3i (1+i) W zbiorze liczb zespolonych rozwi» podane równania. (a) 4z + 13 = 0 (b) z + i z + i = 0 (c) (i 3)z = 5 + i z (d) + (2 + 2i)z + 3 2i = 0 (e) 3+i Re z iz 2i (f) z 2i+1 2 iz (i+1)im z i (g) + (1 + 3i)z + i 2 = 0 (h) 6z + 10 = 0 4. Na pªaszczy¹nie zespolonej narysowa zbiory liczb speªniaj ce podane warunki. (a) Re z = 3 (b) Im z = 2 (c) z 2i < 3 π (d) < arg z < 4π (e) 1 < z 3 + 2i < 3 (f) 3 3 z2 Im (4z) Przedstaw w postaci trygonometrycznej nast puj ce liczby zespolone. (a) 5 (b) i (c) i (d) 2 + 2i (e) 1 i (f) 3 i (g) 2 6i 6. Korzystaj c ze wzorów redukcyjnych oraz wªasno±ci funkcji trygonometrycznych oblicz: (a) sin 135 o (b) cos 2π (c) tg 5π (d) cos o (e) ctg 5 π (f) sin 210o 4 (g) sin 3π (h) ctg 2 315o (i) cos 330 o (j) sin 7π (k) cos 11 π (l) tg 510o 3 3 (m) ctg 32π (n) sin 37 2π (o) cos 58 4π (p) tg π Oblicz i zapisz w postaci algebraicznej. (a) ( 3 i) 32 (b) (2 3 2i) 30 (c) ( ) 6 1 i 3+i (1+i) 22 (d) (cos i sin 33 0 ) 10 (e) (1 + i) 6 (f) (1 3i) ( 6 1+i (g) ) 4 ( i ) 4 7 (h) (1 + i) 8 (1 i 3) 6 (i) (1 + i) 8 + (1 i) 8 2 ( (j) (l) (1+i) 42 ( 3 i) 17 (k) (1 i 3) 6 i 9 (1+i) 3 ) 20 3+i 1 i 8. Oblicz i narysuj na pªaszczy¹nie zespolonej. (a) 3 1 (b) 6 64 (c) 4 116i (d) i (e) 1 3i (f) i (g) 3 i (h) i (i) 3 4i (j) 3 4i Literatura: 1. Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra i geometria analityczna. Denicje, twierdzenia, wzory, wyd. Ocyna Wydawnicza GiS, 2008r. 2. Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra i geometria analityczna. Przykªady i zadania, wyd. Ocyna Wydawnicza GiS, 2008r. 3. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1. Denicje, twierdzenia, wzory., wyd. Ocyna Wydawnicza GiS, 2001r. 4. Krysicki W., Wªodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach., wyd. PWN, t.i, 2001r. 5. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1. Przykªady i zadania., wyd. Ocyna Wydawnicza GiS, 2001r. 10

11 6. Siewierski L., wiczenia z anzlizy matematycznej., wyd. PWN, 1982r. 7. Borsuk M., Dawidowicz A., Wykªady z analizy matematycznej., wyd. WSIiE TWP, 1998r. 11