Materiał ddaktce Matematka I Semestr Ćwiceia kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
Semestr Predmiot: MTEMTYK Kieruek: Mechatroika Specjalość: Elektroautomatka okrętowa Rokład ajęć w casie studiów Studia pierwsego stopia Licba godi Licba godi Licba tgodi w tgodiu w semestre w semestre W Ć L S Σ W Ć L S I E II III E Raem w casie studiów Zwiąki imi predmiotami: fika mechaika techica wtrmałość materiałów podstaw kostrukcji mas elektrotechika i elektroika automatka i robotka metrologia i sstem pomiarowe Zakres wied do opaowaia Pukt kredtowe Po wsłuchaiu wkładów prewidwach programem ora wkoaiu ćwiceń studet powiie: Zać ) Defiicje i podstawowe twierdeia dotcące bioru licb espoloch macier wacików i układów rówań liiowch ) Rachuek wektorow rówaia płasc i prostej w prestrei R ) Defiicje i podstawowe twierdeia dotcące wsechstroego badaia prebiegu mieości fukcji jedej mieej recwistej ) Podstawowe agadieia dotcące rachuku różickowego fukcji wielu miech ) Podstaw rachuku całkowego całka ieoacoa całka oacoa całki iewłaściwe całki wielokrote i krwoliiowe) ) Krteria bieżości seregów licbowch podstawowe twierdeia dotcące seregów fukcjch ) Sposob rowiąwaia wbrach tpów rówań różickowch wcajch pierwsego i drugiego rędu 8) Elemet rachuku prawdopodobieństwa podstaw statstki matematcej Umieć kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
) Wkować diałaia a licbach espoloch i macierach oblicać waciki ora rowiąwać układ rówań liiowch metodą macierową a pomocą worów Cramera ora w oparciu o twierdeie Kroeckera-Capellego ) Preprowadać wsechstroe badaie fukcji jedej mieej recwistej ) Wacać całki ieoacoe oblicać całki oacoe podwóje potróje i krwoliiowe stosować rachuek całkow w geometrii i predmiotach techicch ) Wacać ekstrema lokale i warukowe fukcji wielu miech badać bieżość seregów licbowch i fukcjch rowijać fukcje w sereg Talora ) Rowiąwać wbrae tp rówań różickowch wcajch i cąstkowch pierwsego i drugiego rędu ) Oblicać prawdopodobieństwo dareń losowch wacać estmator i prediał ufości stosować test statstce do werfikacji hipote statstcch Treść ajęć ddaktcch Nr Temat i ich rowiięcie tematu Semestr I Elemet logiki matematcej: wacaie wartości logicch dań łożoch sprawdaie formuł rachuku dań metodą erojedkową dowodeie twierdeń klascego rachuku kwatfikatorów Elemet teorii biorów: wkowaie diałań a biorach dowodeie wbrach praw algebr biorów lgebra Boole a: dowodeie twierdeń algebr Boole a a podstawie aksjomatów prkład realiacji algebr Boole a algebra dań algebra biorów) lgebra wżsa: potęgowaie i pierwiastkowaie licb espoloch rowiąwaie rówań algebraicch w biore licb espoloch Maciere waciki układ rówań liiowch: wkowaie diałań a macierach oblicaie wacików wacaie macier odwrotej rowiąwaie układów rówań liiowch metodą macierową i a pomocą worów Cramera Geometria aalitca w prestrei R : oblicaie ilocu skalarego i miesaego wacaie współrędch ilocu wektorowego wacaie rówań płasc i prostej oblicaie odległości puktu od płasc puktu od prostej i prostej od prostej Rachuek różickow fukcji jedej mieej recwistej: oblicaie graic ciągów i graic fukcji badaie ciągłości fukcji wacaie pochodch a podstawie defiicji i a pomocą reguł różickowaia; wacaie ekstremów prediałów mootoicości puktów pregięcia i prediałów wpukłości i wklęsłości fukcji; wacaie asmptot rowijaie fukcji według woru Talora kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci Licba godi Raem W Ć L S Raem
I Metod ddaktce Predmiot jest realiowa w formie wkładów i ćwiceń rachukowch a I i II roku studiów Pomoce ddaktce staowią: - literatura podstawowa i uupełiająca do wkładów i ćwiceń rachukowch - dieicki studetów II Forma i waruki aliceia predmiotu II- Forma i waruki aliceia ćwiceń rachukowch - obecość studeta a ćwiceiach - uskaie potwch oce sprawdiaów pisemch w ciągu semestru preprowadoch w termiach ugodioch e studetami - aliceie oceą kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
CI ELEMENTY LOGIKI LGEBR ZBIORÓW LGEBR BOOLE Elemet logiki matematcej lgebra biorów lgebra Boole a Elemet logiki matematcej Rachuek dań Prkład Sprawdić metodą ero-jedkową że wrażeie [p q r)] [p q) p r)] prawo rodielości koiukcji wględem alteratw) jest tautologią rachuku dań Dowód predstawioo w postaci tabelarcej p q r q r p q p r p q r) p q) p r) Poieważ wartości logice dań podach w dwóch ostatich kolumach są rówe więc daie jest twierdeiem rachuku dań lgebra biorów Prkład W oparciu o prawa rachuku dań udowodić prawo de Morgaa B) ' ' B' Niech U oaca biór którego podbiorami są ropatrwae bior a B) a U B)) a U a B a U a a B) a U a ) a U a B) a ) a B ) a B a B) a a B otrmaliśm prawa de Morgaa p q) p q kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
poadto a U a a B) a U a ) a U a B) otrmaliśm astępującego prawa rachuku dań p q r) p q) p r) lgebra Boole a Prkład W oparciu o aksjomat algebr Boole a [WI ] wkaać że: Smbol B k ad akiem rówości oaca umer odpowiediego aksjomatu Zadaia Udowodić astępujące prawa rachuku dań: a) [p q ) q)] p b) Sprawdić c astępujące daia są twierdeiami rachuku dań: [ p q) p q)] q p) p q) [ p q) p] Za pomocą kwatfikatorów i fuktorów daiotwórcch apisać wrażeia: a) Fukcja f ma dokładie jedo miejsce erowe b) Fukcja f jest fukcją malejącą Udowodić prawa algebr biorów: B C) B) C) B C) B) C) Na podstawie aksjomatów algebr Boole a wkaać że: Literatura: R Ro I kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
CI Diałaia a licbach espoloch Wór de Moivre a Pierwiastkowaie licb espoloch Rówaia Prkład ZBIÓR LICZB ZESPOLONYCH Diałaia a licbach espoloch Oblicć: ± ) gdie i i i) i) ) ) i i) i) ) ) i) i) 8i i i i ) i i ) i [ ] i i i 8i i i i i i) i i i Licbę predstawić w postaci trgoometrcej Postać trgoometrca licb a bi ) : cosϕ isiϕ) a bi a b i ) a b ; cosϕ siϕ a b π cosϕ cos π α ) cosα α i cos π isi π Oblicć ) i π ϕ π π kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
Korstam e woru de Moivre a cosϕ isiϕ cosϕ isiϕ ) i ) cos π isi π cos π isi π cosπ isiπ ) cosπ isiπ ) i) Oblicć i ϕ kπ ϕ kπ Korstam e woru w k cos isi k Licbę i predstawiam w postaci trgoometrcej: i cos π isi π π kπ π kπ w cos isi k k π π π π π π w cos isi i w i π π cos si cos si i w i Rowiąać w biore licb espoloch rówaia: a) ; b) i a) Wróżik 8 i i i Ze worów a pierwiastki rówaia kwadratowego mam: i i i i b) Wróżik ) i) i wacam korstając defiicji pierwiastka stopia drugiego ω ω ) Niech i i R) Wówcas i i) i i stąd otrmuję układ rówań kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 8
Wacam drugiego rówaia ) i podstawiam do pierwsego rówaia otrmujem rówaie dwukwadratowe Podstawiam t i mam rówaie t t którego rowiąaia pierwiastkami są t ora t Stąd mam rówaie sprece w biore R ) ora więc lub i i i i Ostatecie i i i i i Zadaia Predstawić w postaci trgoometrcej be pomoc tablic) astępujące licb espoloe: a) ; b) i ; c) ; d) i Oblicć pierwiastki treciego stopia astępującch licb espoloch: a) i ; b) ; c) i Rowiąać rówaia kwadratowe: a) i) i ; b) i) i ; c) i i Rowiąać rówaia dwukwadratowe: a) ; b) 89 Odpowiedi a) cosπ isiπ ; b) cos π isi π ; c) cos π i si π ; d) cos π i si π a) i i i ; b) i i ; c) k k cos π isi π 9 9 k kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 9
a) i i ; b) i i ; c) i i a) Literatura: Z Ro I ± i ± ; b) ± ± i kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci CI MCIERZE DZIŁNI N MCIERZCH Diałaia a macierach Wacaie macier odwrotej defiicji Prkład Dae są maciere B Wacć: a) T ; b) ; c) B ; d) B ; e) B ; f) B ; g) ) T B ; h) T T B Korstam defiicji diałań a macierach podach w [WI ]: a) T ; b) ) ) ; c) 8 8 ) ) ) B ; d) ; ) ) ) B e) 8 9 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) B alogicie wacam f) 9 8 B
kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci Prkład jest ilustracją te: możeie macier a ogół) ie jest premiee t B B g) ) 8 9 T B h) 8 9 8 9 T T B Prkład g) i h) są więc ilustracją twierdeia ) T T T B B Korstając defiicji macier odwrotej [WI ] wacć macier odwrotą do macier Sukam macier u t takiej że J cli u t Stąd u t u u t t u t u t stąd Zadaia Dae są maciere: C B Wkaać że: a) ) ) C B C B ; b) ) )C B BC ; c) ) T T T B B ; d) ) BC B B C ; e) ) C B C B ; f) ) T T T B B Wacć macier X rówaia: a) 8 X ; b) X ; c) X ;
d) X [ ] Odpowiedi: 8 9 a) ; b) ; c) 8 Literatura: P Ro I ; P Ro I ; d) [ ] kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
CI WYZNCZNIKI MCIERZE CD Waciki Macier odwrota Rąd macier Prkład Waciki Na podstawie defiicji [WI ] oblicć wacik det det 9 ) 8 9) 9 ) ) 9 ) 9 Oblicć wacik 8 Z podach w [WI ] własości wacika wika że wartość wacika ie miei się gd do dowolego wiersa kolum) dodam i wiers kolumę) pomożo pre licbę Możem p uskać tr era w pierwsm wiersu możąc odpowiedio kolum pierwsej pre - - i dodając do kolum drugiej treciej i cwartej 8 8 9 ) 9 * Metoda Sarrusa) Dae są maciere: B kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
Sprawdić że det B) det det B twierdeie Cauch ego) B 9 det B) 9 det det B więc det B) det det B Macier odwrota Wacć macier odwrotą do macier 8 9 8 Macier odwrotą możem wacć korstając e woru [WI ]: 8 D T ) det det det 8 macier jest macierą ieosobliwą więc 9 Wacam macier dopełień algebraicch macier t D * i j i j macier [ ] ) ij [ ] ij * 8 * * 8 istieje * 9 * 8 * 8 9 * 9 * 8 * 8 9 8 8 kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci ) det T T D Ocwiście moża sprawdić że J Rąd macier Określeie rędu macier a podstawie podaej defiicji może okaać się kłopotliwe Zaleieie ajwięksego stopia podwacika różego od era bwa iekied żmude Moża wkaać że rąd macier rów jest rędowi macier powstałej pre dodawaie do dowolego wiersa kolum) macier iego wiersa kolum) pomożoego pre licbę W wiku stosowaia wielokrotego tch operacji elemetarch a wiersach kolumach) otrmam macier o maksmalej licbie er Wówcas rąd tej macier rówież rąd daej macier ) rówa się ilości wiers kolum) w którch są elemet róże od era Oblicć rąd macier 8 8 8 Stosujem p astępujące operacje elemetare a wiersach macier : od wiersa drugiego i cwartego odejmujem wiers pierws pomożo pre ora odejmujem wiers pierws od wiersa treciego i piątego i otrmujem macier B ) ) B R R ): 9 9 8 B Następie od treciego wiersa macier B odejmujem wiers drugi pomożo pre od cwartego drugi pomożo pre ora od piątego drugi
kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci Otrmujem macier 9 8 C Poieważ wiers pierws i drugi macier ie awierają odpowiedich elemetów proporcjoalch ie otrmam kolejego pierwsego lub drugiego) wiersa awierającego włącie era Stąd ) ) ) R B R C R Zadaia Oblicć waciki: a) ; b) Wacć macier odwrotą do macier: a) 9 8 ; b) Określić rąd macier: a) 8 8 ; b) 9 Odpowiedi a) 8 ; b) 9 a) ; b) a) ; b) Literatura: Z Ro I
kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 8 CI UKŁDY RÓWNŃ LINIOWYCH Układ rówań Cramera Metoda macierowa Układ m rówań o iewiadomch prpadek ogól) Prkład Rowiąać układ rówań stosując wor Cramera [WI ]: Oblicam wacik macier główej ora waciki macier ) k K powstałch macier pre astąpieie k-tej kolum kolumą wraów wolch det det det det Następie korstam e worów Cramera: det det det det det det Rowiąać układ rówań prkładu metodą macierową [WI ] Zapis macierow układu rówań: B X stąd B X Gdie X B det Następie wacam macier odwrotą do macier [WI ] ) det T T D
kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 9 X atem Rowiąać układ rówań: 8 : Poieważ licba iewiadomch ie rówa się ilości rówań układ rówań ie jest układem Cramera Na podstawie twierdeia Kroeckera-Capellego [WI ] rostrgam c układ ma rowiąaie Wacam rąd macier główej a podstawie defiicji rędu macier: 8 Oblicam p wacik macier C utworoej trech pierwsch wiers macier Poieważ det C więc ) R Następie wacam rąd macier uupełioej 8 B Wkoujem astępujące operacje elemetare a wiersach macier B : możm wiers drugi pre i dodajem do wiersa treciego a astępie otrma wiers treci odejmujem od wiersa cwartego Otrmujem macier D o rędie rówm rędowi macier B ) ) B R D R Poieważ ) R ora ) ) B R R więc ) B R
Stąd R ) R B) więc układ rówań ma rowiąaie twierdeie Kroeckera- Capellego) Korstając e schematu podaego w [WI ] roważa układ jest rówoważ układowi rówań Cramera o macier główej C : Następie oblicam waciki macier C K k ) utworoch pre astąpieie k- tej kolum macier C kolumą wraów wolch detc detc detc Stosując wor Cramera otrmujem: det C detc det C det C det C detc Łatwo sprawdić że licb - są rówież rowiąaiami cwartego rówaia rowiąwaego układu rówań Rowiąać układ rówań w w w Da układ ie jest układem Cramera ależ sprawdić c ma o rowiąaie jest iesprec) Wacam rąd macier główej układu: Moża sprawdić że wsstkie cter podwaciki macier stopia treciego są rówe eru więc rąd tej macier R ) < Poieważ p podwacik detc więc R ) Wacam rąd macier uupełioej B Wkoujem astępujące operacje elemetare a wiersach macier B : odejmujem kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
wiers drugi od treciego ora wiers drugi pomożo pre od pierwsego Otrmujem macier: 8 D Możąc wiers pierws macier D pre i odejmując od wiersa treciego mam macier: 8 E R E) Poieważ ręd macier E D B są rówe więc R) R B) twierdeie Kroeckera- Capellego) Da układ sprowadam do rówoważego układu Cramera [WI ] Poieważ detc więc odrucam trecie rówaie daego układu ora podstawiam dowole stałe c d c d R) a iewiadome Otrmujem układ rówań Cramera: w c d w c d Oblicam waciki macier C C utworoch pre astąpieie odpowiedio pierwsej i drugiej kolum macier C kolumą wraów wolch c d c d detc c d detc c d 8 c d c d Stosując wor Cramera otrmujem: det C c d w c d det C det C c d 8 c c 8 detc c d Ropatrwa układ ieoaco) ma ieskońceie wiele rowiąań ależch od prjętch wartości c d Np dla c d otrmujem rowiąaie w Zadaia Rowiąać metodą Cramera układ rówań: 8 a) ; b) Rowiąać metodą macierową układ rówań; kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci a) ; b) Rowiąać układ rówań: a) 9 ; b) ; c) Odpowiedi: a) ; b) ; a) ; b) ; a) układ sprec; b) ; c) C C Literatura: Z Ro I
CI RCHUNEK WEKTOROWY Iloc skalar Iloc wektorow Iloc miesa Prkład ) Iloc skalar: a b a b cos a b) k Postać kartejańska ilocu skalarego: a b a b a b a b Dae są pukt ) B ) ) Zaleźć kąt międ wektorami B i C Zajdujem współręde wektorów B i BC B [ ] [ ] C Oblicam cosius kąta międ wektorami B i C ϕ K B C ) ) ) cosϕ ϕ arccos cos ϕ B C B C Iloc wektorow i j k ) ) ) c a b a a a i a b a b j a b a b k a b a b b b b Oblicć pole trójkąta o wierchołkach ) B ) C ) Z określeia ilocu wektorowego wika że pole trójkąta BC jest rówe połowie długości ilocu wektorowego wektorów B i C rs) [WI ] Rs Wacam współręde wektorów B i C kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
B [ ) ] [ ] [ ) ] [ ] Iloc wektorow [WI ] C B C wacam korstając postaci smbolicej wacik) i j k B C 9i 8 j k więc pole S BC 9 8 8 [ j ] Iloc miesa a b c a a a b b b c c c Oblicć objętość cworościau o wierchołkach ) B ) C ) D ) Korstam iterpretacji geometrcej ilocu miesaego [WI ] Objętość V rówoległościau budowaego a wektorach a b c o wspólm pocątku rówa się wartości bewględej ilocu miesaego tch wektorów V a b) c Objętość V cworościau budowaego a wektorach a b c jest rówa objętości rówoległościau cli V a b) c Niech B a b C c D Wacam współręde wektorów a b c a [ 8] b [ ] [ ] c Iloc miesa wektorów a b c oblicam e woru wacik) podaego w [WI ] 8 a b) c [ ] V j kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
Zadaia Zaleźć wektor prostopadł do wektorów a [ ] i [ ] gdie d [ ] Dae są pukt P ) ) Zaleźć wersor wektora a P P P P i P ) P Wkaać że wektor [ ] b [ ] c [ ] b taki że a d a ie są komplaare Odpowiedi [ ] ; 8 Literatura: Z Ro II kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
CI PŁSZCZYZN I PROST W PRZESTRZENI R Płasca Prosta w prestrei R Odległości Prkład Zaleźć rówaie płasc prechodącej pre tr pukt ) B ) C ) Sposób Korstam e woru podaego w [WI 8] π : ) B ) C ) gdie P ) π i π [ B C] π Zajdujem wektor o Wacam wektor o BC B C o o o o o B [ ] [ ] C [ ] [ ] i j BC i 8 j k k Wacam rówaie płasc prechodącej pre pukt ) i prostopadłej do wektora [ 8 ] π : ) 8 ) ) Ostatecie π : Sposób π : Rowijam wacik wględem pierwsego wiersa cli 8 więc π : kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
Wacć rówaie prostej l prechodącej pre pukt P ) i P ) Zaleźć odległość puktu P ) od wacoej prostej a) Wacam rówaia parametrce prostej prechodącej pre pukt P i rówoległej do wektora a P P [WI 8] t a P P [ 8] l : t t R 8t Rówaie kaoice kierukowe) prostej l [WI 8] l : 8 b) Odległość puktu P od prostej l wacam e woru [WI 8]: a P P d d P l) a P P ] a P P 8 i j k [ i d 8 9 Oblicć odległość prostch skośch l i l : t l : t l : 8 t Odległość prostch skośch l l : j k kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
a a a b b b a b P P d d l l ) a b i j k a a a b b b P ) l P ) l a [ ] a l P P [ ] i j k ; b [ 8 ] b l a b i j k a b) P P 8 9 8 Zadaia 9 9 9 d d l l ) 9 Napisać rówaie płasc prechodącej pre pukt P ) i prostopadłej do wektora [ ] Napisać rówaie płasc prechodącej pre pukt P ) P ) ) P t Oblicć kąt międ prostą l : t a płascą t Oblicć odległość międ prostmi l i l : l : l : t Oblicć odległość puktu P ) od prostej l : t 8 t Odpowiedi ; ; prosta jest rówoległa do płasc; ; Literatura: Z Ro II kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 8
CI 8 CIĄGI LICZBOWE GRNIC CIĄGU Mootoicość ciągu Graica ciągu Mootoicość ciągu Prkład Wkaać że ciąg o wraie ogólm a > ) jest ciągiem malejącm! Poieważ dla dowolego N a > więc ciąg a ) będie malejąc wted i tlko wted gd a a < gdż ierówość a > a jest wówcas rówoważa ierówości a a a! a < dla > )!! ) a! ) < cli ciąg a ) jest malejąc dla > Graia ciągu Prkład Da jest ciąg a ) o wraie ogólm a Sprawdić c graicą ciągu jest lim a g ε > m > m a g < ε Licba będie graicą ciągu a ) jeżeli dla dowolej licb ε > ajdiem licbę m taką że gd > m to a < ε a < ε ) ) Otrmaą ierówość rowiąujem wględem kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 9
ε < ε < ε ) > ) 9ε Wkaaliśm że wstępująca w defiicji graic ierówość a g < ε jest spełioa dla ε wsstkich więksch od gdie ε dowola licba dodatia Istieje więc licba 9ε ε m cli g jest graicą daego ciągu 9ε Prkład Wkaać że lim Załóżm że g godie defiicją dla dowolej licb recwistej spełioa musi bć wówcas ierówość a > t > Ostatia ierówość jest spełioa dla > a więc istieje licba m rówa p cli graicą daego ciągu ) jest Prkład Oblicć lim Poieważ lim ora lim więc mam smbol ieoaco postaci [ ] Wra ogól ciągu a prekstałcam a podstawie woru a b) a b ) a b a b a b a b lim lim Poieważ licik i miaowik otrmaego ułamka dążą do więc otrmaliśm kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
smbol ieoaco tpu rówoważ smbolowi [ ] Wra ogól a możem tak prekstałcić ab otrmać smbol oaco W tm celu dielim licik i miaowik pre Otrmujem a Poieważ lim więc lim Zadaia Wkaać a podstawie defiicji że: a) lim ; b) lim Oblicć graice ciągu: a) lim ) Odpowiedi a) ; b) ; c) ; b) lim ; c) lim Literatura: Z Ro III kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
CI 9 GRNIC FUNKCJI CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Defiicja graic Graice jedostroe Ciągłość fukcji Oblicaie graic Defiicja graic fukcji Prkład 8 Na podstawie defiicji Heiego wkaać że lim ) lim f ) g lim lim f ) g Niech ) będie dowolm ciągiem takim że lim Odpowiada mu ciąg wartości fukcji f ) o wraie ogólm f ) lim f 8 ) lim ) ) ) lim lim Z defiicji wika więc że graicą daej fukcji w pukcie jest Graice jedostroe Prkład Zbadać istieie graic fukcji f ) w pukcie Zbadam istieie graic jedostroch w ere lim lim lim lim lim lim ) kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
Wika stąd że daa fukcja ie ma graic w ere gdż graice jedostroe ie są rówe Ciągłość fukcji Prkład Wkaać że fukcja cos jest ciągła dla R Fukcja f ) określoa w pukcie jest ciągła w tm pukcie jeżeli istieje graica lim f ) i lim f ) f ) Wkażem a podstawie defiicji graic Cauch ego) że lim cos cos Wkażem że dla dowolego ε > będie istiała δ > taka że dla wsstkich δ δ ) wartości fukcji będą spełiał ierówość cos cos < ε Korstam e woru cos cos si si cos cos si si si si si Poadto si Zatem poieważ si kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci więc cos cos cos cos < ε gd < ε Wkaaliśm że istieje licba δ ε więc godie defiicją graic Oblicaie graic limcos cos cli fukcja jest ciągła alogicie jak dla ciągów oblicaie graic fukcji a podstawie twierdeń ropocam awse od sprawdeia smbolu: jeżeli wstępuje smbol oaco graicę otrmujem twierdeń jeżeli atomiast jest jede smboli ieoacoch [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] musim tak prekstałcić fukcję ab otrmać smbol oaco i dopiero wted korstać twierdeń Prkład cos Oblicć graicę fukcji lim o
Dla licik i miaowik fukcji cos są rówe eru więc mam smbol ieoaco tpu cos si lim lim Poieważ si si cos si więc f ) Korstaliśm twierdeia lim si si lim Zadaia Na podstawie defiicji Heiego wkaać że ie istieje limsi Wacć graice fukcji a) lim si ; b) lim Dla jakich wartości parametru a fukcja si dla f ) a dla jest ciągła? ; c) lim Odpowiedi a) ; b) 8 ; c) Literatura: Z Ro III kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
CI POCHODN FUNKCJI Defiicja pochodej Iterpretacja geometrca Oblicaie pochodch Prkład Na podstawie defiicji oblicć pochodą fukcji: f ) cos w pukcie ) ) f f lim lim f ) gdie lim f ) f ) cos lim ) cos ) ) si si lim si )si si lim si lim si si gdż lim Iterpretacja geometrca pochodej Pochodą fukcji f ) stcej do wkresu fukcji w pukcie P ) ) si iterpretujem geometrcie jako współcik kierukow ależącm do wkresu fukcji t f tgα α kąt achleia stcej do wkresu fukcji wględem dodatiego wrotu osi OX rs ) f P leżącm a tej krwej Rówaie stcej do krwej ) w pukcie ) jest postaci f ) ) pr ałożeiu że istieje f ) Rówaie ormalej prostej prostopadłej do stcej w pukcie stcości) do f jest postaci pr ałożeiu że f ) rs ) f krwej ) ) ) kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
Rs Rs Prkład Wprowadić rówaie stcej do paraboli p w pukcie P ) Niech p > rs) dla p < wprowadeie jest aalogice) p p góra gałąź paraboli lub p dola gałąź paraboli) rs ) Rs Załóżm dla ustaleia uwagi że > rs ) Zajdujem współcik kierukow stcej m f ) ) p p p p > m ) p p p Otrmujem więc sukae rówaie stcej Poieważ p ) p p p więc ) Pomóżm ostatie rówaie pre otrmujem p p stąd p p p Ostatecie rówaie stcej do paraboli p jest postaci p ) kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
Oblicaie pochodch Pochode oblicam w oparciu o podae reguł różickowaia i wór a pochodą fukcji łożoej [WI ] Prkład Oblicć pochodą fukcji f ) si Fukcją ewętrą jest f u) u atomiast wętrem fukcja u si która rówież jest fukcją łożoą Fukcją ewętrą jest u siv wętrem v Poieważ u )' u si v)' cosv v' więc si )' si cos 9 si cos Zadaia Na podstawie defiicji wacć pochodą fukcji f ) Wacć pochode fukcji: cos a) f ) e ; b) f ) lsi ) ; c) f ) arcsi Odpowiedi cos f ' ) l ; a) f ' ) e si ) ; b) f ' ) ctg ; c) f ' ) Literatura: Z Ro kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
CI POCHODN LOGRYTMICZN POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW RÓŻNICZK FUNKCJI Pochoda logartmica Pochode wżsch rędów Różicka fukcji Pochoda logartmica [ ] ) ) Pochodą fukcji f ) g ) f > oblicam w astępując sposób: Logartmujem obie stro i otrmujem f ) g cli l g ) l f ) l l ) ) astępie różickujem obie stro traktując l jako fukcję łożoą) Z otrmaej rówości oblicam ) ) ) g l f g f f : ) ) ) a ) ) f ) g [ ] ) g ) ) f f g l Pochodą logartmicą stosujem rówież wówcas gd fukcja jest ilocem iloraem awiera pierwiastki potęgi te diałaia które dają się łatwo logartmować) Pochode wżsch rędów Pochoda rędu N ) fukcji f jest pochodą pochodej rędu t [ ] ) ) ) ) ) ) f f Fukcję f która ma pochodą rędu awam fukcją -krotie różickowalą Prkład Wacć pochodą -tego rędu fukcji f ) f ' ) )' l f '' ) l)' )'l l)l l ) f ''' ) l )' )'l l )l l f ) l dowód idukcj) Wór Leibia Jeżeli fukcja f i g są -krotie różickowale to k f g ) ) k f g ) k ) k gdie ) ) f f g g kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 8
Prkład Moża wkaać że pochoda -tego rędu fukcji f ) ) l l) f ) rówa się Różicka fukcji Różicka fukcji f w pukcie dla prrostu d Różicka fukcji w pukcie fukcja): df ) f ) d Różicka -tego rędu N ) Jeżeli fukcja f jest -krotie różickowala dla : ) ) X p to ) d f ) d[ d f ) ] f ) ) d df f d Prkład Różicka -tego rędu fukcji f ) rówa się d f ) l d Zadaia Oblicć pochode fukcji: a) f ) l ) f ) si ; b) ) Wprowadić wór a -tą pochodą fukcji a) f ) l ; b) f ) e si Odpowiedi a) f ' ) l ) [ l ll ) ] > e si b) f ' ) si ) cos lsi ) si > ) ) a) f ) ) )! > ; b) f ) e ) Literatura: Z Ro III 9 ; kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 9
CI MONOTONICZNOŚĆ EKSTREM FUNKCJI Mootoicość fukcji Ekstrema lokale Ekstrema globale wartość ajwięksa wartość ajmiejsa) Mootoicość fukcji Jeżeli pochoda fukcji f jest w każdm pukcie prediału a b) dodatia ujema) to fukcja jest w tm prediale rosąca malejąca) Prkład Wacć prediał mootoicości fukcji f ) e : : Korstam podaego twierdeia [WI ] Diedia fukcji f ) R f ' ) e e ) e ) ' : Diedia pochodej f ) R f ' ) > gd > stąd ' ) < f gd Fukcja ) ora malejąca w prediałach Ekstrema lokale f jest rosąca w prediałach Prkład Oblicć ekstrema lokale fukcji f ) l a pomocą pochodej pierwsego rędu Diedia fukcji f : > Oblicam pochodą f ' ) l l ) > Wacam pukt w którch może wstąpić ekstremum fukcji f ' ) l ) l stąd e kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
Badam ak f ' ) w sąsiedtwie puktu e f ' ) > l ) > l > e f ' ) < dla e Poieważ w sąsiedtwie puktu e pochoda mieia ak - a więc w tm pukcie fukcja ma miimum e e mi mi mi e f e P e Prkład Pewa ilość doświadceń doprowadiła do różch wartości badaej wielkości Gauss apropoował prjąć a wartość X taką wartość dla której suma kwadratów jej różic wartościami osiąga miimum Wacć f ) ) ) ) Wacam ekstremum fukcji f ) f ) ) ) ) ) f ) ) f '' ) Poieważ f '' ) > więc fukcja f osiąga w wacom pukcie miimum cli mi średia artmetca) Wartość ajwięksa i wartość ajmiejsa Prkład π π Wacć wartość ajmiejsą i ajwięksą fukcji f ) si f π π π π π π π π si si π) f si si π π π Wacam miejsca erowe pochodej w prediale π π f ) si ) cos f ) cos cos kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
π Rowiąujem rówaie cos kπ π π π stąd kπ k C lub kπ ora kπ k C Poieważ π π π π więc i π π π π π π f si si π π π π π π f si si Wartością ajwięksą daej fukcji w prediale π π jest M π atomiast wartością ajmiejsą jest m π Zadaia Zaleźć prediał mootoicości fukcji f ) l l Wacć ekstrema lokale fukcji ) ) e f Zaleźć wartość ajmiejsą i ajwięksą fukcji f ) si cos w prediale π Odpowiedi > < e ) - fukcja rosąca e e e 9 P mi e) ; m M 8 - fukcja malejąca Literatura: Z Ro III kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
CI PRZEDZIŁY WYPUKŁOŚCI WKLĘSŁOŚCI PUNKTY PRZEGIĘCI Prediał wpukłości wklęsłości wkresu fukcji Pukt pregięcia Prediał wpukłości wklęsłości Jeżeli fukcja f ma drugą pochodą dodatią ujemą) w pukcie to jest wpukła wklęsła) w tm pukcie Prkład Wacć prediał wpukłości i wklęsłości fukcji f ) l Diedia fukcji: ) ) Oblicam f ' ) i f '' ) : l l f ' ) f '' ) l l Diedia pochodch jest taka jak diedia fukcji Badam ak drugiej pochodej: l f '' ) > > l l ) > e ) - fukcja wpukła l '' ) < e - fukcja wklęsła f dla ) ) Pukt pregięcia Jeżeli fukcja f dwukrotie różickowala w otoceiu U puktu spełia waruki a) f ) ; b) ) ) dla lub ) dla ) f > > f < < f > dla < f < dla > to jest puktem pregięcia waruek koiec i dostatec) Prkład Wacć pukt pregięcia wkresu fukcji f ) e Oblicam f ' ) i f '' ) : f ' ) ) e f '' ) e ) f '' ) e stąd lub Następie badam ak f '' ) w sąsiedtwie tch puktów kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci R ) > > i f '' ) > e
Poieważ w sąsiedtwie wacoch puktów f '' ) mieia ak więc fukcja f ma pukt pregięcia: P e P e Zadaia Wacć prediał wpukłości i wklęsłości fukcji a) f ) l ; b) f ) e Wacć pukt pregięcia wkresu fukcji a) f ) ; b) f ) e l Odpowiedi a) ; b) wpukła dla > ; a) e Literatura: Z Ro III e ; b) e) kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
CI REGUŁY DE L HOSPITL SYMPTOTY Reguł de L Hospitala smptot wkresu fukcji Reguł de L Hospitala Korstam twierdeń podach w [WI ] Prkład Oblicć graice fukcji: a) lim ; b) lim l ; c) lim si Smbol H ad akiem rówości oaca że stosujem regułę de L Hospitala Poadto akładam że istieje graica po prawej stroie rówości H l a) lim lim l ; b) Wstąpił smbol ieoaco [ ] więc musim predstawić fukcję w takiej postaci ab wstąpił rówoważ smbol lub l lim lim Mam smbol ieoaco postaci l ) l stosować reguł de L Hospitala dwukrotie) l H lim lim l lim kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci H lim lim l a więc możem ) l l l c) Mam smbol ieoaco [ ] si si si l Niech h ) l h ) l l h ) si l stąd h ) e Następie oblicam lim si l Wstąpił smbol ieoaco [ ] więc prekstałcam fukcję i dwukrotie stosujem regułę de L Hospitala
lim si l l H lim lim si si si H si cos lim lim cos cos si cos Ostatecie sukaa graica daej fukcji rówa się e smptot Prkład Wacć rówaia asmptot daej krwej: l ; Wacam diedię fukcji; > ) > ) ) Sprawdam c fukcja ma asmptot pioowe w puktach lub l lim l lim jest asmptotą pioową H lim lim wika stąd że prosta ie lim l więc prosta jest asmptotą pioową prawostroą Z kolei sukam asmptot ukośch: f ) m lim lim l l Dla rówież m l H H lim f ) m) lim l lim lim lim rówież dla m Mam więc asmptotę poiomą kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
Zadaia Oblicć graice: a a) lim a > ; b) lim ; c) lim ) α ; d) l ) lim Wacć rówaia asmptot dach krwch: l a) f ) ; b) f ) e Odpowiedi a) l a ; b) e ; c) α ; d) a) ; b) Literatura: Z Ro 8 9 kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci
CI BDNIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Badaie prebiegu mieości fukcji możem preprowadić według astępującego schematu: Określam diedię fukcji Wacam graice fukcji a krańcach prediałów określoości Zajdujem pukt precięcia wkresu fukcji osiami układu współrędch Sprawdam c fukcja jest parsta ieparsta lub okresowa Wacam asmptot wkresu fukcji pioowe ukośe) Zajdujem ekstrema fukcji ora prediał mootoicości Zajdujem pukt pregięcia ora prediał wpukłości i wklęsłości 8 Skicujem wkres fukcji a podstawie iformacji uskach w puktach które moża estawić w postaci tabelarcej Prkład Zbadać prebieg mieości fukcji f ) Rowiąaia Diedią fukcji jest prediał domkięt poieważ ) ) Badam graice fukcji dla ora lim lim Zajdujem pukt precięcia wkresu fukcji osiami układu współrędch : lub lub : Możem auważć że fukcja jest ieparsta f ) f ) więc jej wkres musi bć smetrc wględem pocątku układu współrędch Fukcja ie ma asmptot Badam pochodą fukcji: f ) 8) 8 kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 8
Diedią pochodej jest prediał otwart poieważ > Zajdujem miejsca erowe pochodej: f ) 8 Badam ak pochodej > > f ) 8 < < f ) 8 Ekstrema fukcji W pukcie pochoda mieia ak: kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 9 f ) < dla < f ) > dla > f więc fukcja osiąga w tm pukcie miimum: mi mi f alogicie wkaujem że w pukcie fukcja osiąga maksimum: ma ma f Ocwiście pukt P mi mi ) i P ma ma ) są smetrce wględem pocątku układu fukcja ieparsta) Prediał mootoicości Fukcja jest rosąca dla ora Prediał wpukłości i wklęsłości pukt pregięcia f '' ) ' 8 ) ) 8 ) 8 atomiast malejąca dla f '' ) 8 8 Fukcja f może mieć pukt pregięcia tlko w pukcie poieważ poostałe pukt ie ależą do diedi fukcji 8 '' ) ) ) 8 ) > f > f '' ) < dla Wika stąd że fukcja f jest wpukła dla < ) ora wklęsła dla > Poieważ w pukcie pochoda f '' ) mieia ak więc pukt O ) jest puktem pregięcia wkresu fukcji
8 Wkres fukcji rs) Zadaia Preprowadić badaie fukcji: a) f ) e ; b) π Literatura: Z Ro III f ) Rs kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci