MACIERZE I WYZNACZNIKI
|
|
- Aneta Czajkowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej) Mcier ocmy symbolem lub symbolem i pisujemy w postci tblicy Licby ik [ ] ik mx m m ywmy elemetmi mciery m
2 Defiicj Elemety [ ], i,,,, i i i m ywmy i-tym wiersem mciery, tomist elemety k k, k,,, mk ywmy k-tą kolumą mciery Pry tych defiicjch licb m jest licbą wiersy, tomist licb jest licbą kolum mciery
3 Defiicj Mcier ywmy kwdrtową gdy licb jej wiersy jest rów licbie jej kolum, t gdy m W preciwym prypdku mcier ywmy prostokątą Defiicj Mcier kwdrtową o wymire x ywmy mcierą stopi, licbę stopiem tej mciery
4 Defiicj Elemety,,, mciery kwdrtowej ywmy jej prekątą główą
5 Defiicj 6 Dwie mciere [ ik ] mx i B [ b ik ] mx tego smego wymiru m x ywmy rówymi, jeśli wsystkie ich elemety położoe tych smych miejscch są sobie rówe, t jeśli i,, m, k,,,, ik b ik Wiosek Relcj rówości mciery jest wrot, symetryc i prechodi
6 Defiicj 6 Dwie mciere [ ik ] mx i B [ b ik ] mx tego smego wymiru m x ywmy rówymi, jeśli wsystkie ich elemety położoe tych smych miejscch są sobie rówe, t jeśli i,, m, k,,,, ik b ik Wiosek Relcj rówości mciery jest wrot, symetryc i prechodi Defiicj 7 Mcierą trspoową mciery [ ik ] mx wymiru m x T ywmy mcier [ bik ] xm wymiru x m utworoą mciery popre mię jej wiersy kolumy (lub kolum wierse) chowiem ich kolejości, t : i,,, m, k,,,, b ik ki
7 Defiicj Mcierą erową ywmy mcier, której wsystkie elemety są rówe ero Mcier erową rędu m x ocmy O x symbolem lub O m
8 Defiicj Mcierą erową ywmy mcier, której wsystkie elemety są rówe ero Mcier erową rędu m x ocmy O x symbolem lub O m Defiicj 9 Mcierą symetrycą ywmy mcier kwdrtową [ ik ] x, której elemety położoe symetrycie wględem prekątej główej są rówe, t jeśli ij ji I
9 Defiicj Mcierą erową ywmy mcier, której wsystkie elemety są rówe ero Mcier erową rędu m x ocmy O x symbolem lub O m Defiicj 9 Mcierą symetrycą ywmy mcier kwdrtową [ ik ] x, której elemety położoe symetrycie wględem prekątej główej są rówe, t jeśli ij Defiicj Mcierą digolą ywmy mcier kwdrtową [ ik ] x, której elemety położoe po prekątą główą są rówe ero, t jeśli i k, ik, i,,,, k,,, ji
10 Defiicj Mcierą erową ywmy mcier, której wsystkie elemety są rówe ero Mcier erową rędu m x ocmy O x symbolem lub O m Defiicj 9 Mcierą symetrycą ywmy mcier kwdrtową [ ik ] x, której elemety położoe symetrycie wględem prekątej główej są rówe, t jeśli ij Defiicj Mcierą digolą ywmy mcier kwdrtową [ ik ] x, której elemety położoe po prekątą główą są rówe ero, t jeśli i k, ik, i,,,, k,,, Defiicj Mcierą jedostkową ywmy mcier digolą tką, że ii, i,,, Mcier jedostkową stopi ocmy symbolem lub I ji I
11 Defiicj Sumą (różicą) dwóch mciery [ ik ] mx i B [ bik ] mx tego smego wymiru m x ywmy mcier tego smego wymiru B C ik ( B C [ c ) [ c ] której elemetmi są cik ik bik, i,,, m, k,,, m ( c b, i,,, m, k, ) ik ik ik,, Powyżs defiicj oc, że dodwie (odejmowie) mciery poleg dodwiu (odejmowiu) ich elemetów położoych w tych smych miejscch ik x ] m x
12 Defiicj Ilocyem mciery [ ik ] mx o wymire m x pre licbę λ ywmy mcier C [ c ik ] tego smego wymiru, mx której elemetmi są cik λik, i,,, m, k,,, Pisemy wtedy C λ Powyżs defiicj oc, że możeie mciery pre licbęλ poleg pomożeiu pre tę licbę kżdego elemetu tej mciery Wiosek Możeie mciery pre licbę jest premiee, t λ λ
13 Defiicj Ilocyem mciery B [ b jk ] r x o wymire m x r i mciery o wymire r x ywmy mcier o wymire m x, której elemetmi są c ik i b k ib k irbrk, i,,, m, k,,, Powyżs defiicj oc, że wyr położoy w i-tym wiersu i k-tej kolumie mciery C jest sumą ilocyów odpowidjących sobie elemetów i-tego wiers mciery i k-tej kolumy mciery B, t jest ilocyem sklrym wektor,,, ] i wektor b, b,, b ] [ i i ir C [ ij B ] m x [ r c ik ] m x c ik [ k k rk
14 Uwg Możeie mciery pre mcier jest określoe tylko dl mciery których pierws m licbę kolum rówą licbie wiersy drugiej ich Oc to, że możeie mciery ie jest premiee, t jeśli możeie B jest wykole to ie wse jest wykole możeie B i ie wse chodi rówość BB Wiosek Jeśli możeie mciery jest wykole, to I, I O O, O O ( B ) C ( BC) (łącość) ( ± B) C C ± BC (rodielość) Uwg Mciere jedostkow I or erow O podcs możei mciery pełią tką smą rolę jk licby i w możeiu licb
15 Mciery kwdrtowej wymiru x pryporądkow jest licb w jej wycikiem Wycik mciery ocmy symbolem lub krótko symbolmi W det,,
16 Defiicj Miorem mciery lub wycik ywmy kżdy wycik powstły dej mciery lub wycik popre skreśleie odpowiediej licby wiersy i kolum tej mciery lub wycik Prykłd 6 Prykłdowe miory: 6 otrymy w wyiku skreślei -ciej i -tej kolumy mciery otrymy w wyiku skreślei -go wiers or -giej, -tej i -tej kolumy mciery
17 Defiicj 6 Miorem odpowidjącym elemetowi lub wycik ywmy wycik mciery kwdrtowej powstły dej mciery lub wycik popre skreśleie i-tego wiers or ik M ik k-tej kolumy tej mciery lub wycik Prykłd 6 Miorem odpowidjącym elemetowi M jest wycik otrymy w wyiku skreślei -go wiers i -giej kolumy
18 Defiicj 7 Dopełieiem lgebricym elemetu kwdrtowej ywmy licbę Defiicj Wycikiem mciery kwdrtowej pierwsego ywmy licbę ik mciery i k ik ( ) M [ ] ik stopi Defiicj 9 (rowiięcie Lplce [wg -sego wiers]) Wycikiem mciery kwdrtowej stopi,, ywmy licbę det i i i
19 Włsość (rowiięcie Lplce [wg i-tego wiers]) Wycik mciery kwdrtowej stopi,, jest rówy: det ii i i i i Włsość (rowiięcie Lplce [wg k-tej kolumy]) Wycik mciery kwdrtowej stopi,, jest rówy: det k k k k Włsości i ocją, że wycik jest sumą ilocyów elemetów dowolego jego wiers lub kolumy pre ich dopełiei lgebrice k k
20 Prykłd Oblicyć wycik treciego stopi Rowiąie: Stosując rowiięcie według treciego wiers otrymujemy ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
21 Twierdeie (włsości wycików) wycik posidjący wiers lub kolumę łożoą smych er jest rówy ero wycik posidjący dw tkie sme wierse lub dwie tkie sme kolumy jest rówy ero wycik posidjący wiers lub kolumę będącą ilocyem iego wiers lub odpowiedio kolumy or licby jest rówy ero wycik posidjący wiers lub kolumę będącą kombicją liiową iych wiersy lub odpowiedio kolum jest rówy ero prestwieie dwóch wiersy lub kolum wycik miei jego k preciwy
22 Twierdeie (włsości wycików) wycik posidjący wiers lub kolumę łożoą smych er jest rówy ero wycik posidjący dw tkie sme wierse lub dwie tkie sme kolumy jest rówy ero wycik posidjący wiers lub kolumę będącą ilocyem iego wiers lub odpowiedio kolumy or licby jest rówy ero wycik posidjący wiers lub kolumę będącą kombicją liiową iych wiersy lub odpowiedio kolum jest rówy ero prestwieie dwóch wiersy lub kolum wycik miei jego k preciwy 6 dodie do wiers lub kolumy odpowiedio iego wiers lub kolumy którego elemety pomożoe ostły pre pewą licbę ie miei wrtości wycik
23 7 dodie lub odjęcie od wiers lub kolumy odpowiedio kombicji liiowej iych wiersy lub kolum ie miei wrtości wycik 9 pomożeie wsystkich elemetów wiers lub kolumy wycik pre licbę oc pomożeie wrtości wycik pre tę licbę jeżeli jest mcierą kwdrtową stopi, to α α jeżeli i B są mciermi kwdrtowymi stopi, to B B T jeżeli jest digol, to Prykłd Rowiąż rówie 6 j
24 k k ( ) k k w w k k w w Rowiie
25 ) si 6(cos 6 π π j j ) si (cos π π j ) si (cos π π j ) 9 si 9 (cos π π j ) si (cos π π j
26 Defiicj Mcierą osobliwą ywmy mcier kwdrtową, której wycik jest rówy ero Prykłd Mciermi osobliwymi są: [ ] B 6 6 C Defiicj Mcierą ieosobliwą ywmy mcier kwdrtową, której wycik jest róży od er Mciermi ieosobliwymi są prykłd I
27 Defiicj Mcierą dołącoą mciery kwdrtowej ywmy mcier trspoową mciery dopełień lgebricych mciery, t T D x gdie,,,,,,,,, ) ( k i M ik k i ik są dopełieimi elemetów ik mciery
28 Defiicj Mcierą odwrotą mciery kwdrtowej ieosobliwej x ik ] [ ywmy mcier spełijącą rówość I Prykłd Korystjąc defiicji wycyć mcier odwrotą mciery stępie sprwdić uysky wyik Rowiąie d c b I d c b
29 Twierdeie Jeśli mcier kwdrtow jest mcierą ieosobliwą, t, to jej mcier odwrot określo jest worem D, Wiosek
30 Prykłd Wycyć mcier odwrotą mciery Rowiąie:, det więc mcier jest ieosobliw
31 Prykłd Wycyć mcier odwrotą mciery Rowiąie:, det więc mcier jest ieosobliw stępie 6 9 D T D
32 Metod Guss w w 6 w w w w ( ) w w w w Mcier otrym po prwej stroie jest mcierą odwrotą mciery Tworymy stępującą mcier:
33 X Prykłd Rowiąć rówie mcierowe
34 Defiicj Rędem r() mciery ieerowej [ ik ] mx ywmy jwięksy spośród stopi różych od er miorów tej mciery Pryjmujemy r( ) x Wiosek Jeśli jest mcierą wymiru mx, to r( ) mi(, m) Wiosek dodie lub odjęcie od wiers lub kolumy odpowiedio kombicji liiowej iych wiersy lub kolum ie miei wrtości rędu mciery pomożeie wsystkich elemetów wiers lub kolumy mciery pre licbę różą od er ie miei wrtości rędu mciery prestwieie dwóch wiersy lub kolum mciery ie miei wrtości rędu mciery pomiięcie wiers lub kolumy, których wsystkie elemety są rówe ero ie miei wrtości rędu mciery m
Dowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01
WYKŁD / RZĄD MCIERZY POSTĆ BZOW MCIERZY Dowolą ieerową mcier o wymirch m pomocą ciągu prekłceń elemerych moż prowdić do poci I r C m wej bową (koicą) W cególości mcier bow może mieć poć: r I dl r m I r
Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Rachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab
Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Dziłi liczbch Dodwie i odejmowie + b 3 + = 5 b = + (-b) 3 = 3 + (-) = + 0 = + (-) = 0 Rchuek wektorowo-mcierzowy w
GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa
/ WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu
PODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ ALGEBRA MACIERZY
PODSTWY LGEBRY LINIOWEJ LGEBR MCIERZY Mcierzą prostokątą o m ierszch i kolumch zymy tblicę m liczb rzeczyistych ij (i,,...,m; j,,...,) zpisą postci ujętego isy kdrtoe prostokąt liczb M m M m Liczby rzeczyiste
UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Matematyka I. WYKŁAD 8. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH II Macierzowa Postać Eliminacji Gaussa. gdzie
Mtemtk I /9 WYKŁD 8. UKŁDY RÓWNŃ LINIOWYCH II Mcierow ostć limincji Guss B gdie nn n n n B n Metod elimincji: () Odejmownie od pewnego równni wielokrotności (nieerowej) wrnego innego równni, nie mienijąc
Parametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH.
AGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH. MACIERZE Mcierzą o wymirch m (m ) zywmy prostokątą tblicę której elemetmi jest m liczb rzeczywistych mjącą m wierszy i kolum postci A m m kolumy wiersze m Stosujemy
Macierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Plan wykładu. Obliczanie pierwiastków wielomianów. Własności wielomianów. Własności wielomianów. Schemat Hornera. Własności wielomianów. p z. p c r.
Pl wyłdu Olicie pierwistów wielomiów Włsości wielomiów Schemt Horer olicie wrtości dieleie wielomiów deflcj omplety schemt Horer metod Newto eśli, to p m stopień. p p /3 3/3 Włsości wielomiów Włsości wielomiów
3. RACHUNEK MACIERZOWY UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ m równań liniowych z n niewiadomymi zapisujemy w postaci. b...
RACHUNEK MACIERZOWY UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Ukłd rówń liiowch iewidoi isuje w ostci Z ukłde () wiąe są ciere A X B które w: A cierą wsółcików X koluą iewidoch B koluą wrów wolch Wkorstując owżse ocei ukłd
Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdei Morsk w Gdyi Ktedr utotyki Okrętowej Teori sterowi lgebr cierzow Mirosłw Toer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W owoczesej teorii sterowi brdzo często istieje potrzeb zstosowi otcji cierzowej uprszczjącej
MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
III. LICZBY ZESPOLONE
Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam
Def.12. Minorem stopnia k N macierzy nazywamy wyznacznik utworzony z elementów tej macierzy stojących na przecięciu dowolnie wybranych
Fk. Niech mciee i B ego smego sopi będą odrcle or iech R-{}, N. Wed mciee -, T, B,, są kże odrcle i prdie są róości:. de ( - )=(de ) -. ( - ) - =. ( T ) - =( - ) T. (B) - =B - -. ( ) - = ( - ). ( ) - =(
METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer.
ETODY NUERYCZNE Wykłd 6. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych dr hb. iż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH et.numer. wykłd 6 Pl etody dokłde etod elimicji Guss etod Guss-Seidl Rozkłd LU et.numer. wykłd 6 Ukłd rówń
3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
A A A A11 A12 A1. m m mn
DODTEK NR. GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy ajważiejsze defiicje rachuku macierzowego i omówimy iektóre fukcje i trasformacje macierzy ajbardziej przydate w zastosowaiach umeryczych a w szczególości w
Operacje elementarne na macierzach. Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji Gaussa. Badanie rozwiązalności układów równań
WYKŁAD 3 Opecje elemete mciezch Rozwiązywie ukłdów ówń metodą elimicji Guss Bdie ozwiązlości ukłdów ówń Wcmy tez do ukłdów ówń liiowych lgeiczych A53 (Defiicj) Ukłdem m ówń liiowych z iewidomymi zywmy
MACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ
I UKŁAD RÓNAŃ Defiicj Ukłd rówń liiowych z iewidoyi,,., : Defiicj Postć cierzow ukłdu rówń: A, lu krócej A, gdzie: A,,. Mcierz A zywy cierzą ukłdu rówń, wektor zywy wektore wyrzów wolych (koluą wyrzów
Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.
Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech
Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy
Temt: Mcierze Pojęci Dziłni n mcierzch Wyzncznik mcierzy Symbolem gwizdki (*) oznczono zgdnieni przeznczone dl studentów wybitnie zinteresownych prezentowną temtyką. Ann Rjfur Pojęcie mcierzy Mcierz to
1. ALGEBRA Liczby zespolone
ALGEBRA Licby espoloe Opracowaie: Vladimir Marcheko WYKŁAD Postać algebraica i trygoometryca licby espoloe; dodawaie, możeie, potęgowaie i dieleie licb espoloych A+B+C (Wstęp: pochodeie licb espoloych)
Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia
Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki 11 Mcierze podstwowe okre±leni Denicj 1 Mcierz (rzeczywist ) wymiru m n, gdzie m, n N, nzywmy prostok tn tblic zªo»on z m n liczb rzeczywistych ustwionych w m wierszch i n
CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.
CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.
PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach
PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j
ALGORYTMY PRZELICZANIA WSPÓŁRZĘDNYCH KARTEZJAŃSKICH NA GEODEZYJNE
Mteriły dydktyce eodej geometryc Mrci Ligs, Ktedr eomtyki, Wydił eodeji óricej i Iżyierii Środowisk ALORYMY PRZELICZANIA WSPÓŁRZĘDNYCH KAREZJAŃSKICH NA EODEZYJNE Predstwioe poiżej metody trsformcji ostą
WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
LICZBY ZESPOLONE. = 0, wie c np. i v 3 = q
LICZBY ZESPOLONE W tym rodiale ajmiemy sie omówieiem defiicji i iektórych w lasości licb espoloych. Zaciemy od uwagi o charaktere historycym. W XVI w. aucoo sie rowia ywać rówaia treciego stopia. Każde
Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A
Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn
Zmiany w wydaniu drugim skryptu Konstrukcje stalowe. Przykłady obliczeń według PN-EN
Zminy w wydniu drugim skryptu Konstrukcje stlowe. Prykłdy obliceń według PN-EN 99- Rodił. Dodno nowy punkt.. Inormcje o minch (str. 0.) obecnym wydniu uwględniono miny: wynikjące wprowdeni pre PKN w cerwcu
Collegium Novum Akademia Maturalna
Collegium Novum Akdemi Mturl wwwcollegium-ovumpl 0- -89-66 Mtemtyk (GP dt: 00008 sobot Collegium Novum Akdemi Mturl Temt 5: CIĄGI Prowdzący: Grzegorz Płg Termi: 0007 godzi 9:00-:0 8 Zdie Które wyrzy ciągu
Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej
c 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Układy równań liniowych Macierze rzadkie
5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -
Metody dokładne w zastosowaniu do rozwiązywania łańcuchów Markowa
Metody dokładne w astosowaniu do rowiąywania łańcuchów Markowa Beata Bylina, Paweł Górny Zakład Informatyki, Instytut Matematyki, Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej Plac Marii Curie-Skłodowskiej 5, 2-31
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1.
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1. Literatura do wykładu M. Gewert, Z. Skocylas, Analia matematycna 1; T. Jurlewic, Z. Skocylas, Algebra liniowa 1; Stankiewic, Zadania matematyki wyżsej dla wyżsych
Podstawy Konstrukcji Maszyn
Pdsty Knstrukcji Msyn Wykłd 9 Prekłdnie ębte cęść Krekcje Dr inŝ. Jcek Crnigski Obróbk kół ębtych Metd biedni Pdcięcie ębó Pdcięcie stpy ęb Wstępuje gdy jest duŝ kąt dległść ębó, cyli pry ncinniu młej
Wykład 3. Typowe opisy obiektów
Wkłd 3. Tpowe opi obiektów Ste prodkcji pir Prkłd te łożoego prodkcj pir 3 Proce wejście wjście kłócei ierle kłócei ieierle 4 F F ; F where: wejście wjście kłócei pretr U Y Z Prpdek ciągł: Wektor t: t
ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE
. Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:
Wykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Zastosowanie działań na hipersześcianach binarnych w diagnostyce sieci komputerowych
toowe dłń hpereścch brych w dgotyce ec komputerowych Formle, -wymrowym hpereścem brym ywmy grf wykły o węłch których kżdy opy jet ym wektorem brym (,..., ),( {, }, ) or o krwędch, łącących te węły, których
, +, - przestrzeń afiniczna, gdzie w wprowadzono iloczyn
EUKLIDESOWA PRZESTRZEŃ AFINICZNA (WEKTOROWA) RZECZYWISTA Deiicja 1,, +, u = ( x x x ) v = ( y y y ),,..., 1 2,,..., 1 2 1 1 2 2 u/ v : = x y + x y +... + xy - aywamy ilocyem skalarym Możemy go rówież oacać
Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Funkcje tworzące - przypomnienie
Zadaia z ćwiczeń # (po. marca) Matematyka Dyskreta Fukcje tworzące - przypomieie Fukcje tworzące są początkowo trude do przełkięcia, ale stosuje się je dość automatyczie i potrafimy je policzyć dla praktyczie
Transformator Φ M. uzwojenia; siła elektromotoryczna indukowana w i-tym zwoju: dφ. = z1, z2 liczba zwojów uzwojenia pierwotnego i wtórnego.
Transformator Φ r Φ M Φ r i i u u Φ i strumień magnetycny prenikający pre i-ty wój pierwsego uwojenia; siła elektromotorycna indukowana w i-tym woju: dφ ei, licba wojów uwojenia pierwotnego i wtórnego.
Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a
Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy
Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności
Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym
POWTÓRKA ( ) ( ) ROZRÓŻNIENIE MIĘDZY PARAMETREM A STATYSTYKĄ
Zwsowe Metod Ali Prestrech Powtórk I Mrci Ligs Ktedr Geomtki WGGiIŚ AGH w Krkowie POWÓRKA ROZRÓŻNINI MIĘDZY PARAMRM A SAYSYKĄ Populcj sttstc populcj geerl iorowość) peł iór elemetów podlegjącch diu sttstcemu.
DLSX - dualna metoda simpleks
Mrek Miyńki KO UŁ 6 - dul metod implek (DLSX)_(poprwioy)_Dorot Miyńk DLSX - dul metod implek WPROWADZENIE Rowżmy tępuąe die PL: m m m(mi) m DEFINICJE. ę ywmy prymlie dopulą eżeli pełioy et wruek. ę ywmy
Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Przestrzeń liniowa R n.
MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c
Działania wewnętrzne i zewnętrzne
Autmtyk i Rtyk Alger -Wykłd - dr Adm Ćmiel miel@gedupl Dziłi wewętrze i zewętrze Nie X ędzie ustlym iepustym zirem Def Dwurgumetwym dziłiem wewętrzym w zirze X zywmy fukję Jeśli X i y X t y X zywmy wyikiem
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Rozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu
Rozdził. Ciągi liczbowe, gric ciągu. Rodzje i włsości ciągów liczbowych W życiu codzieym często moż spotkć się z ciągmi: ciąg smochodów ulicy (pierwszy, drugi, trzeci ), ciąg ludzi w kolejce (zerowy chwilę
A B - zawieranie słabe
NAZEWNICTWO: : rówoważość defcj : rówość defcj dla każdego steje! ZBIORY steje dokłade jede {,,,...} - całkowte * - całkowte be era - wmere - ujeme plus ero - recwste - espoloe A B - awerae słabe A :
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania
Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x
x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
Programowanie dynamiczne i modele rekurencyjne w ekonomii Wykład 3
Programowaie dyamice i modele rekurecyje w ekoomii Wykład 3 Michał Ramsa sierpia 0 Stresceie Wykład treci bauje główie a [, ro 7] i dotycy wykorystaia fukcji tworacych do rowiaywaia rekurecji Materiał
Z-TRANSFORMACJA Spis treści
Z-TRANSFORMACJA Spi treści. Deiicja. Pryłady traormat 3. Właości -traormacji 4. Zwiąe -traormacji traormacją Fouriera 5. Z-traormacja ygału dwuwymiarowego Deiicja -traormacji Z-traormata jet eregiem Laureta
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.
KONKURS MTEMTYCZNY dl ucziów gimzjów w roku szkolym 0/ III etp zwodów (wojewódzki) styczi 0 r. Propozycj puktowi rozwiązń zdń Uwg Łączie uczeń może zdobyć 0 puktów. Luretmi zostją uczesticy etpu wojewódzkiego,
Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Liczby zespolone i wielomiany
/5 Liczby zespoloe i wielomiy Rówie x ie m rozwiązi w zbiorze liczb rzeczywistych. Tk więc ie kżdy wielomi o współczyikch leżących do posid miejsce zerowe (zwe iczej pierwistkiem) w tym zbiorze. Okzuje
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy
Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne
2.3.1. Iloczyn skalarny
2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi
Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
6. Układy równań liniowych
6. Ukłdy rówń liiowych 6. Podstwowe określei Defiicj 6.. (ukłd rówń liiowych rozwiązie ukłdu rówń) Ukłde rówń liiowych z iewidoyi gdzie N zywy ukłd rówń postci:...... (6..) O... gdzie ij R to tzw. współczyiki
Rozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A
Rowiaania adań Zadanie A = ( i) = 4 8i 4 = 8i Badam licbȩ espolon a 8i Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = /π St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam
LICZBY ZESPOLONE. j= -1, j = 1. Liczby zespolone będą oznaczane przez podkreślenie symbolu (litery), oznaczającej tę liczbę:
LICZBY ZESPOLONE 1. Historia licb espoloych Licby espoloe poawiły się w XVI w., w wiąku badaiami sposobów rowiąywaia rówań algebraicych treciego i cwartego stopia. Okaało się, że rowiąaia rówań treciego
Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Współęde postoąte De są t osie OX OY OZ wjemie postopdłe peijąe się w puie O. Oiem pewie odie jo jedostow i om pe współęde putów odpowiedih osih. DEFINICJA Postoątm
Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod rozwiązi ( PITAGORAS ): Sporządzeie rysuku w ukłdzie współrzędych: p C A y 0
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Wykład 8: Całka oznanczona
Wykłd 8: Cłk ozczo dr Mriusz Grządziel grudi 28 Pole trójkt prboliczego Problem. Chcemy obliczyć pole s figury S ogriczoej prostą y =, prostą = i wykresem fukcji f() = 2. Rozwizie przybliżoe. Dzielimy
O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej
ZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).
ZADANIA NA POCZA TEK Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4 = 4 3 3 Udowodić, że dl kżdej liczby turlej zchodzi wzór: 3 3 4
7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
CIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).
Ciągi i szeregi - Lucj owlski CIĄGI LICZBOWE N,,,... zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej). Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY
Przykłdowy zestw zdń r z mtemtyki Odpowiedzi i schemt puktowi poziom rozszerzoy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zdi Nr czyości Etpy rozwiązi zdi Liczb puktów Uwgi I metod
TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM
TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze: