1. ALGEBRA Liczby zespolone

Transkrypt

1 ALGEBRA Licby espoloe Opracowaie: Vladimir Marcheko WYKŁAD Postać algebraica i trygoometryca licby espoloe; dodawaie, możeie, potęgowaie i dieleie licb espoloych A+B+C (Wstęp: pochodeie licb espoloych) Cy możliwe est: ) rowiąać algebraice i trygoometryce rówaia 0, si 00 ; ) oblicyć l( ) (albo lg( ) ); 3) prekoać się, że fukca y e est okresowa? Nie est to prawdą, eżeli argumet ależy do bioru licb recywistych, ale możliwe est to wtedy, kiedy biór roseramy (astąpimy) do bioru owych licb licb espoloych A (Defiica: licby espoloe) Licbami espoloymi aywamy uporądkowae pary licb recywistych, a prykład: (, y),( a, b),( c, d),( i, y i), (,) (,), które maą astępuące własości: ) rówość licb espoloych (dla (, y ), (, y )): ora y y; ) suma (dodawaie) i różica (odemowaie) licb espoloych: (, y y); 3) ilocy (możeie) licb espoloych: ( y y, y y); 4) ilora (dieleie) licb espoloych (dieleie est możeiem pre odwrotość): y y y y :, y y A+B3 (Fakt) Mamy astępuące własości: 3) (,0) (,0) (,0); 3) (,0) (,0) (,0); 33) (,0):(,0) ( :,0), gdie 0 To dokładie odpowiada diałaiom algebraicym ad licbami recywistymi A4 (Uwaga) Z własości A+B3 wyika, że biór { : (,0), } licb espoloych moża utożsamiać e biorem licb recywistych Wtedy będiemy pisali amiast (,0), w scególości (,0) est edostką

2 recywistą, a biór espoloych licb recywistych est podbiorem bioru licb A5 (Defiica) Licbę espoloą (0,) aywamy edostką urooą i oacamy ą pre Wtedy Licbę espoloą o postaci y, y 0, aywamy licbą cysto urooą (0,) y, gdie A+B6 (Ćwiceie) Uasadić, że będie ora 0 i wtedy rowiąaiem rówaia A+B7 (Uwaga: dodatek do A+B+C) Wiadomo, że iterpretaca geometryca bioru est osią licbową O 0 i uż ie mamy miesca a te osi dla licb espoloych Będiemy predstawiali licbę espoloą a płascyźie Oy ak uporądkowaą parę (, ) licb recywistych (pierwsa licba, druga y ) to est w postaci puktu o współrędych ( y, ) lub w postaci wektora o pocątku w pukcie (0,0) i końcu w pukcie ( y, ) Wtedy uważamy licbę espoloą (,0) a edostką recywistą, a licbę espoloą (0,) = a edostką urooą Mamy, atem (, y) (,0) (0, y) (,0) y (0,) y W te iterpretaci (, y) geometryce biór (, y):, y aywamy płascyą espoloą 0 wsystkich licb espoloych Wtedy diałaia dodawaia, odemowaia licb espoloych ora możeia licb espoloych pre licbę recywistą wykouemy tak, ak a wektorach (B) y y = +y 0 Odośie możeia licb espoloych: mamy wykoywać (ak dla licb recywistych) tak, ak możeie wielomiaów miee, to est ( y) ( y) ( y y) y y y y ( y y ), gdie

3 C8 (Uwaga) Zakładamy ogólie, że p q ( p, q ) Moża udowodić, że są tylko 3 róże możliwości: 0,, Ale tylko ostati waruek (licby espoloy) dae możliwość dieleia Uwaga Wsystkie reguły cterech podstawowych diałań algebraicych (dodawaie, odemowaie, możeie i dieleie), ae dla licb recywistych, obowiąuą także w biore licb espoloych W scególości, prawdiwe są wory skrócoego możeia, itd A+B9 (Fakt: postać algebraica licby espoloe) Każdą licbę espoloą moża apisać w postaci algebraice y, gdie Tuta licba est cęścią recywistą Re licby espoloe, co apisuemy ; podobie licba Im est cęścią urooą licby espoloe Re y y, A0 (Ćwiceie) Podać reguły diałań (dodawaia itd) licbami espoloymi w postaci algebraice A (Defiica: sprężeie licb espoloych) Sprężeiem licby espoloe y (, y ) aywamy licbę espoloą określoą worem: y (ćwiceie: podać iterpretacę geometrycą) y = +y 0 -y = - y A (Defiica) Modułem licby espoloe y (, y ) aywamy licbę recywistą określoą worem: y (Re ) (Im ) y 0 - A+B3 (Defiica) Argumetem licby espoloe y (, y ) aywamy każdą licbę spełiaącą układ rówań:

4 cos, gdie 0 y si, Argumetem główym arg licby espoloe aywamy argumet te licby taki, że 0 (casami ) y arg Zbiór Arg wsystkich argumetów licby espoloe aywamy Arg : arg k : k, gdie est biorem argumetem pełym: licb całkowitych Prymuemy, e argumetem główym licby espoloe 0 est 0 ( arg0 0) ora Arg dla 0 Niech est argumetem i r est modułem Wtedy A4 (Fakt: postać trygoometryca licby espoloe) Każdą licbę espoloą moża predstawić w postaci: r(cos si ) A+B5 (Fakt: diałaia a licbach espoloych w postaci trygoometryce) 5) dodawaie i odemowaie licb espoloych w postaci trygoometryce est takie, ak w postaci algebraice (ie dae ic owego); 5) możeie uż dae: [ r cos si ] [ r cos si ] r r [cos si ] (reguła: pry możeiu licb espoloych (w postaci trygoometryce) ich moduły możymy, a argumety dodaemy i est to prawdiwe dla dowole licby cyików), w scególym prypadku mamy (wór de Moivre a): potęgowaie (podoseie do potęgi) licby espoloe: [ r cos si ] r (cos si ) (reguła: pry potęgowaiu licb espoloych ich moduły podosimy do te potęgi, a argumety możymy pre tę potęge); 53) dieleie licb espoloych: r ( cos si ) r [cos( ) si( )] r ( cos si ) r

5 (reguła: pry dieleiu licb espoloych ich moduły dielimy, a argumety odemuemy) Dowód: aprykład dla możeia Mamy: r cos r si r cos r si r cos r cos r si r cos r cos r si r si r si r r (cos cos si si ) r r (si cos cos si ) r r (cos( ) si( )) W podoby sposób możemy sprawdić (B) ostatie twierdeia (koiec dowodu) Im r = r r r r r Im 0 φ=0 Re φ r r φ Re Im r r r = : φ r r : r, Re A6 (Defiica) Licby 0,, ora aywa się odpowiedio: elemetem eutralym dodawaia, elemetem preciwym do licby, elemetem eutralym możeia ora elemetem odwrotym do licby A+C7 (Ćwiceia) Uasadić astępuące własości licb espoloych

6 ( y, y,): 7) (dodawaie est premiee); 7) ( ) 3 ( 3) (dodawaie est łące); 73) +0= dla każde licby espoloe i licby 0 (0,0) 0 0; 74) ( ) 0, gdie (, y) y ; 75) (możeie licb espoloych est premiee); 76) ( ) 3 ( 3) (możeie est łące); 77) (dla każde licby espoloe i 78) y y (, ) ; y y y 79) ; : (wygodie est pry oblicaiu ilorau); 70) ( 3) 3 (,0)); (możeie licb espoloych est rodiele wględem dodawaia); Re( ) Re Re, Im( ) Im Im, 7) Re( ) Im, Im( ) Re ; Re Re, 7) Im Im ; 73),,, eżeli 0; 74) 75), Re, Im, Im Im ;,,, o ile 0 ; (ierówość trókąta);, Re, Im, Re( ) ; ( ) Ćwiceie (B+C): podać iterpretacę geometrycą własości A+C7 Uwaga Licby 0,, ora, wprowadoe w A+B, są edoacie ustaloymi licbami o takich własościach

7 A+C8 (Ćwiceia) Uasadić astępuące twierdeia ( i ri (cosi si i )): 8) r r ora k dla pewego k 8) arg( ) arg arg k dla k 0 lub k ; 83) arg( ) arg k dla pewego k ; ( 84) arg arg arg k dla k 0 lub k o ile 0; 85) arg( ) arg ; 86) arg( ) arg k dla k 0 lub k ; 87) arg arg o ile 88) 0; 0, 0); Ćwiceie (B+C): podać iterpretacę geometrycą własości A+C8 B9 (Ćwiceie) Podać iterpretacę geometrycą diałań algebraicych dla licb espoloych w postaci trygoometryce A+B+C0 (Ćwiceie) Korystaąc e woru de Moivre a wyraić podae fukce kąta pre cos i si : A) si ; B) cos4 ; C) si, cos Pierwiastkowaie licb espoloych Rówaie algebraice Postać wykładica licy espoloe A (Defiica: pierwiastek licby espoloe) Pierwiastkiem stopia licby espoloe aywamy każdą licbę espoloą u spełiaącą rówość u Zbiór pierwiastków stopia licby espoloe oacamy pre Wtedy u, argu arg k dla k skąd mamy, że tylko rożych argumetów u są: Wtedy arg arg u k, gdie k 0,,, A+B (Fakt: wór a pierwiastki licby espoloe) Każda licba espoloa r(cos si ), gdie r 0 ora, ma dokładie pierwiastków stopia Zbiór tych pierwiastków ma postać: { 0,,, }, gdie k k k r (cos si ) dla k 0,,, A+B3 (Fakt) Prawdiwa est ależość:

8 arg k arg k (cos si ) (cos si ) (cos si ) k dla k 0,,, k 0 A+B4 (Iterpretaca geometryca bioru pierwiastków licby espoloe) Zbiór pierwiastków stopia r, gdie ora, pokrywa się e biorem wierchołków -kąta foremego r arg 3 licby espoloe (cos si ) wpisaego w okrąg o promieiu i środku w pocątku układu współrędych Pierwsy wierchołek tego wielokąta est w pukcie 0 r(cos si ) a kąty międy promieiami, wodącymi koleych wierchołków, są rówe Im r k π/ π/ ₒ π/ Re π/ Prykłady: 3 4, ;, cos si, cos si ;,,, ;, : π/ π/ W scególości, pierwiastki dielą koło edostkowe a rówych cęści o pocątku 0 (ćwiceie (B): podać iterpretacę geometrycą) A+B5 (Uwaga) Symbol ma ie aceie w odiesieiu do licb recywistych i ie do licb espoloych (w tym także recywistych traktowaych ako espoloych) Pierwiastek w diediie recywiste est

9 określoy edoacie i est to fukca [0, ) [0, ) dla parystych, aprykład: dla ieparystych ora fukca W biore : W biore : 4 4 4, 4,,, ie istiee, 4, 4, Pierwiastkowaie w diediie espoloe est sukaiem rowiąań rówaia, atem est biorem rowiąań tego rówaia Symbolu pierwiastka w diediie espoloe ie wolo używać do żadych obliceń, a podstawowe wory dla pierwiastków, prawdiwe w diediie recywiste, tuta ie maą w sesu (prykład: { 4,4, 4 4 } 4 ) A6 (Defiica) Wielomiaem recywistym (odpowiedio espoloym) stopia N aywamy fukcę W : (odp ) określoą worem: W( ) c c c c0, gdie ck (odpowiedio ck ) dla k 0,,, ora c 0 Licby 0 k, aywamy współcyikami wielomiau W c k, gdie A7 (Uwaga) Każdy wielomia recywisty moża traktować ako wielomia espoloy Wtedy będiemy mówili krótko wielomia A8 (Defiica) Licbę (recywistą, espoloą) aywamy pierwiastkiem (recywistym, espoloym) wielomiau W, eżeli W ( 0) 0 A9 (Defiica) Rówaie, określoe worem W ( ) 0, gdie W est wielomiaem, aywamy algebraicym A+C30 (Fakt) Jeżeli licba espoloa 0 est pierwiastkiem wielomiau (rówaia algebraicego) o współcyikach recywistych, to 0 także est pierwiastkiem tego wielomiau (rówaia) A+C3 (Fakt: asadice twierdeie algebry) Każdy wielomia espoloy stopia dodatiego ma co amie ede pierwiastek espoloy Stąd mamy: każdy wielomia espoloy stopia ma dokładie pierwiastków espoloych (uwględiaąc pierwiastki wielokrote): 0

10 k km ( ) 0 ( ) ( ) ( ˆ) ( ˆm), W c c c c () ˆ,, ˆm gdie odpowiedio k,, km A+C3 (wory Viète a): c, c c 3, c są róże pierwiastki (wielomiau, gdie k km c 3 3 4, c W() ) o krotościach 0 3 ( ) c c Uwaga Twierdeia A+C30, A+C3, A+C3, ora wór () są bardo waże w rowiąywaiu rówań algebraicych A33 (Defiica: symbol oacamy krótko pre e e ) Dla : e cos si licbę espoloą cos si Wtedy A+B34 (Wory Eulera) Mamy: e e e e cos, si, gdie A35 (Fakt: postać wykładica licby espoloe) Każdą licbę espoloą moża apisać w postaci wykładice: re, gdie r 0, Licba r est wówcas modułem licby, a est e argumetom Dowód: r(cos si ) re A+B36 (Fakt: własości symbolu e ) Niech,, 3 będą dowolymi licbami recywistymi ora iech k będie dowolą licbą całkowitą Wtedy: ( ) 36) e e e ; ( 36) ) e e ; e k 363) ( e ) k e ; 364) e ( k ) e ;

11 e 0 365) ; 366) e e l dla pewego l ; 367) e ; 368) arge l dla pewego l ( ) e Dowód: aprykład ): cos( ) si( ) cos cos si si (si cos cos si ) (cos si ) (cos si ) e e W podoby sposób moża sprawdić ostatie twierdeia Niech est licbą espoloą ora w est fukcą w:, określoą worem: y y W W( ) e e e e e (cosy si y) A+B+C37 (Fakt) Fukca est okresowa o okresie Re T ; W e e, argw Im k dla pewego k Niech atem fukca e e W W L W ReW i ReW l Stąd mamy e est taka, że e W Wtedy: ; arg Im W k, k A+B38 (Defiica) W L l (arg k ), k ; l l arg aywamy logarytmem główym A+B39 (Ćwiceie) l( ) l arg( ) A+B+C40 (Ćwiceie: rowiąaie rówań algebraicych) Rowiąać astępuące rówaia: 40) rówaie kwadratowe (, a 0) awse ma pierwiastki espoloe: b b 4ac a b c 0, gdie b 4ac est edym pierwiastków a kwadratowych licby espoloe b 4ac, a precież w diediie espoloe b b 4ac ( a, b, c, a 0) możemy apisać te wór w postaci ; a 40) rówaie dwukwadratowe ma 4 pierwiastki espoloe: a 4 b c 0 iech u wtedy mamy rówaie kwadratowe; 403) rowiąać podae rówaia algebraice: a) 3 3 0, b) , c) ( ), d) , e) ( ) ; 404) uasadić, że

12 eżeli,, są pierwiastkami rówaia 0, to wtedy 0 A+B4 (Ćwiceie): 4) korystaąc e worów Eulera wyraić fukce a), b) 4) oblicyć sumy: a) cos cos cos, b) si si Wskaówka: ( ) e e e ( e e )( e ) e ( e ) ( e ) e ( e )( e ) si 3 cos w ależości siusów i kosiusów wielokrotości kąta ;