MODEL CZASU OBSŁUGI NAZIEMNEJ STATKU POWIETRZNEGO

KIERZKOWSKI Arur 1 Transpor loniczy, szeregi czasowe, eksploaacja, modelowanie MODEL CZASU OBSŁUGI NAZIEMNEJ STATKU POWIETRZNEGO W referacie przedsawiono probabilisyczny model czasu obsługi naziemnej saku powierznego w porcie loniczym. Model en zosanie zaimplemenowany w symulacji kompuerowej odzwierciedlającej proces eksploaacji saków powierznych, kórego zadaniem będzie minimalizacja czasu obsługi echnicznej saków powierznych. MODEL FOR GROUNG HANDLING TIME OF AIRCRAFT The paper presens probabilisic model ime ground handling of aircraf. The model will be implemened in a kompuer simulaion process ha reflecs he operaion of aircraf, whose ask will be o minimize he ime mainenence aircraf. 1. WSTĘP Proces modelowania siaki połączeń przewoźnika loniczego jes niezwykle skomplikowany. Z punku widzenia pasaŝera loniczego isone jes erminowe wykonanie połączenia lub by czas opóźnienia był minimalny, a z punku widzenia linii loniczej isone jes by koszy związane z wykonaniem połączenia były minimalne. Kluczowe jes więc wcześniejsze zamodelowanie siaki połączeń oraz symulacyjne sprawdzenie poprawności jej funkcjonowania. Rysunek 1 przedsawia przykładowy cykl procesu uŝykowania saku powierznego. Rys.1. Cykl procesu uŝykowania saku powierznego. 1 Poliechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Insyu Konsrukcji i Eksploaacji Maszyn Wyb. Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław, arur.kierzkowski@pwr.wroc.pl

1620 Arur KIERZKOWSKI W zaprezenowanym przykładzie procesu uŝykowania saku powierznego przewoźnik posiadający pojedyncze cykle (połączenia zamodelował sekwencje loów składającą się z rzech roacji. W przypadku isnienia dokładnych danych z procesu eksploaacji saków powierznych, agencji Ŝeglugi powierznej przydane jes zbudowanie modelu czasu pomiędzy połączeniami (rys. 2). Rys.2. Dwie roacje saku powierznego z oznaczeniem czasu obsługi naziemnej. W celu dokładnego oszacowania czasu obsługi naziemnej, kóry wykonuje się w celu sprawdzenia poprawności rozkładowego planu loów, zasosować moŝna eorie szeregów czasowych. Zagadnienie rozparywane było juŝ w laach 70 XX wieku, kiedy o A. Levin sprecyzował zagadnienie problemu odpowiedniego modelowania połączeń loniczych oraz roacji saków powierznych. Zagadnienie o zosało opisane w [1]. Podobnym zagadnieniem w laach 90 XX wieku zajmował się G. Desaulniers, kóry zaprezenował niezwykle ciekawy model dziennego harmonogramowania procesu eksploaacji saków powierznych [2]. Model opymalizacji procesu eksploaacji uwzględniający konieczność wykonywania przeglądów echnicznych zaprezenowany zosał przez Sriram C. oraz Haghani A. w [3]. 2. ANALIZA ORAZ MODELOWANIE SZEREGÓW CZASOWYCH Isnieje wiele ogólnych modeli szeregów. Do najczęściej spoykanych zalicza się nasępujące rzy modele: X = m + s + e X = m s e X = m s + e gdzie m s, e, : m składowa rendu (deerminisyczna funkcja rendu) s składowa sezonowości (deerminisyczna funkcja sezonowości) e błąd losowy (proces sacjonarny o średniej zero)

MODEL CZASU OBSŁUGI NAZIEMNEJ STATKU POWIETRZNEGO 1621 Pierwszy model nazywa się modelem addyywnym, drugi muliplikaywnym, naomias rzeci modelem mieszanym. Odpowiednia ransformacja (Boxa-Coxa) umoŝliwia sprowadzenie modelu muliplikaywnego i mieszanego do modelu addyywnego. W modelach eksploaacji saków powierznych najczęściej funkcja rendu jes wielomianem sopnia nie większego niŝ 1, naomias sezonowość ma okres 1 roku. Zdarzają się jednak procesy mające wielkości inne niŝ wyŝej wskazane. Taka syuacja ma miejsce w przypadku procesów czasów opóźnienia saku powierznego w porcie loniczym gdzie sezonowość jes ygodniowa poniewaŝ zaleŝy od naęŝenia ruchu w danym porcie loniczym. Procedura analizy i dopasowania jednowymiarowego szeregu czasowego składa się z nasępujących kroków: 1. Dokonuje się klasyfikacji szeregu czasowego na podsawie jego wykresu (czy jes addyywny czy muliplikaywny). Jeśli jes muliplikaywny sprowadza się go do posaci addyywnej, jeśli jes addyywny pozosawia się bez zmian. Ponado przeprowadza się wizualną analizę wykresu szeregu czasowego pod kąem isnienia funkcji rendu i funkcji sezonowej oraz ich ogólnej charakerysyki. 2. Dokonuje się esymacji funkcji rendu (po wcześniejszym sprowadzeniu modelu do posaci addyywnej) mˆ i funkcji sezonowej ŝ (jeŝeli isnieją). MoŜliwe jes eŝ usunięcie ych składowych meodą róŝnicowania. Po esymacji ych funkcji worzy się proces eˆ = e mˆ sˆ. Proces en nazywany jes procesem residuów. JeŜeli prawidłowo zosała wykonana esymacja funkcji mˆ, ŝ, o proces ê jes sacjonarny, w innym przypadku zabieg esymacji funkcji rendu i sezonowości naleŝy powórzyć. 3. Mając proces residuów esuje się czy jes on ciągiem niezaleŝnych jednakowo rozłoŝonych zmiennych losowych (IID szumem) jedną z meod: - sprawdzający czy warość funkcji auokorelacji cząskowej naleŝy do przedziału ± 1,96 / n, gdzie n jes liczbą obserwacji - esem Junga-Boxa, gdzie warość saysyki wynosi: Q = n 2 ˆ ρ ( j) jes funkcja auokorelacji cząskowej. JeŜeli Q ( ) χ1 α h h j= 1 2 ˆρ ( j), > hipoezę Ŝe proces residuów jes ciągiem niezaleŝnych jednakowo rozłoŝonych zmiennych losowych (IID szumem) odrzucamy w odwronym przypadku przyjmujemy 2 ( ( ) - jes kwanylem rozkładu chi kwadra z h sopniami swobody). χ1 α h - esem rang - sprawdzając czy proces ma rozkład normalny. JeŜeli nie odrzuca się hipoezy zerowej, zn. Ŝe proces residuów jes ciągiem niezaleŝnych jednakowo rozłoŝonych zmiennych losowych (IID- szumem), o przyjmuje się, Ŝe esymowany proces ma posać { } Xˆ mˆ + sˆ + eˆ =, gdzie ê jes IID szumem. NaleŜy jeszcze wyznaczyć jego wariancję.

1622 Arur KIERZKOWSKI 4. JeŜeli proces residuów nie pochodzi z IID szumu o dopasowuje się do niego proces sacjonarny ypu AR(p) auoregresji rzędu p, lub proces MA(q) średniej ruchomej rzędu q, lub proces ARMA(p,q) proces mieszany auoregresji i średniej ruchomej rzędu p i q odpowiednio. Meoda dopasowania ych procesów do danych jes opisana w rozdziale 5 [4]. Meoda dopasowania procesu do danych jes wielosopniowa. Końcowym eapem jes dopasowanie procesu do danych meodą największej wiarygodności. Jakość dopasowania procesu charakeryzowana jes przez wiele wskaźników. Jednym z nich jes wskaźnik AICC (rozdział 5.5. [4]). Im mniejszy jes en wskaźnik ym lepszy jes sopień dopasowania procesu do danych. 5. Po dopasowaniu procesu do danych ponownie dokonuje się esowania residuów zgodnie z meodami zawarymi w rozdziale 1.6 [4]. JeŜeli proces residuów nie pochodzi z białego szumu, o znaczy Ŝe źle zosały wyesymowane mˆ, ŝ lub niepoprawnie zosał dobrany jeden z procesów AR(p), MA(q), ARMA (p,q). Wedy procedurę dopasowania szeregu czasowego naleŝy powórzyć. 3. MODEL CZASU OBSŁUGI NAZIEMNEJ STATKU POWIETRZNEGO Isonym elemenem odwzorowania procesu eksploaacji saku powierznego jes sworzenie modelu czasu obsługi naziemnej i posoju w ransporcie loniczym. Zagadnienie o moŝna rozparywać na kilka sposobów. Pierwszym jes analiza przyczyn powsania zakłóceń w ruchu oraz wyznaczenie modelu z uwzględnieniem moŝliwych zdarzeń oraz skuków. Opóźnienie saku powierznego w porcie loniczym moŝe być spowodowane kilkoma czynnikami: - dłuŝszym czasem wykonania obsługi naziemnej - brakiem moŝliwości wykonania procedury sarowej w porcie loniczym - brakiem moŝliwości wykonania procedury podejścia do lądowania - brakiem wolnej przesrzeni powierznej koniecznej do wykonania połączenia loniczego. Drugim ze sposobów jes esymacja szeregu czasowego, kóry w swojej naurze będzie zawierał wszyskie moŝliwe przyczyny powsania zakłóceń naomias dosarczał nam informacje doyczące oczekiwanego czasu pomiędzy połączeniami loniczymi. Kolejnym sposobem określenia czasu pomiędzy połączeniami loniczymi jes wyznaczenie funkcji gęsości prawdopodobieńswa na podsawie hisorycznych danych. 3.1 Model czasu obsługi naziemnej saku powierznego z wykorzysaniem eorii szeregów czasowych Rysunek 3 przedsawia czas pomiędzy połączeniami loniczymi, gdy saek powierzny przylauje z poru A i odlauje do poru B. Dane e zosały zgromadzone w czasie jednego okresu isnienia leniej siaki połączeń przewoźnika loniczego. Przewoźnik wykonywał połączenia na danej rasie raz dziennie, kaŝdego dnia ygodnia.

MODEL CZASU OBSŁUGI NAZIEMNEJ STATKU POWIETRZNEGO 1623 Rys. 3 Wykres czasu pomiędzy połączeniami loniczymi dla połączenia z poru A do B. Funkcja rendu dla akiego procesu będzie miała posać: mˆ = 0,00083396 + 0,47567 i zosała ona wyznaczona zgodnie z procedurami przedsawionymi w rozdziale 1.5 [4]. Rysunek 4 przedsawia zmodyfikowany proces liczby przewiezionych pasaŝerów z usunięym rendem X = ( m mˆ ) + s + e Rys. 4. Zmodyfikowany proces liczby przewiezionych pasaŝerów z usunięym rendem. Funkcji auokorelacji cząskowej procesu na rysunku 5. X = m mˆ ) + s + e ( jes przedsawiona

1624 Arur KIERZKOWSKI Rys. 5. Funkcja auokorelacji cząskowej dla procesu X = m mˆ ) + s + e (. Z wykresu funkcji auokorelacji cząskowej wynika, Ŝe proces posiada wyraźną składową sezonową o okresie równym 7. W ransporcie loniczym jes o dość nauralne zjawisko poniewaŝ siaka połączeń powarza się cyklicznie co ydzień. Wyesymowana funkcja sezonowa zosała przedsawiona na rysunku 6. Rys. 6 Wyesymowana funkcja sezonowa.

MODEL CZASU OBSŁUGI NAZIEMNEJ STATKU POWIETRZNEGO 1625 Wykres funkcji auokorelacji dla danych procesu przedsawiony na rysunku 7. X = m mˆ ) + ( s sˆ ) + e ( zosał Rys. 7. Funkcja auokorelacji procesu X = ( m mˆ ) + ( s sˆ ) + e. Warość saysyki dla esu Ljunga Boxa wynosi Q LB = 12, 694, naomias prawdopodobieńswo Ŝe jes o ciąg niezaleŝnych zmiennych losowych wynosi 0,89. Proces en, zakładając 90% poziom prawdopodobieńswa, nie jes ciągiem niezaleŝnych zmiennych losowych. Proces en nie jes białym szumem więc dopasowuje się do niego jeden z procesów AR(p), MA(q), ARMA(p,q). Procedurę e wykonuje się zgodnie z rozdziałem 5.2. [1]. X() = -.07528 X(-1) +.01150 X(-2) Proces najlepiej dopasowany do danych (zgodnie z kryerium AICC) o proces AR(2) X 0,07528X + 0, X + Z. Residua procesu przedsawione są na = 1 1150 1 rysunku 8. Rys. 8. Residua procesu X 0 + Z. =,07528X 1 + 0, 1150X 1

1626 Warość funkcji auokorelacji dla procesu przedsawiona na rysunku 9. =,07528X 1 + 0, 1150X 1 Arur KIERZKOWSKI X + Z 0 zosała Rys. 9 Funkcja auokorelacji procesu X + Z = 0,07528X 1 + 0, 1150X 1 Warość saysyki dla esu Ljunga Boxa wynosi Q LB = 10, 923, naomias prawdopodobieńswo Ŝe jes o ciąg niezaleŝnych zmiennych losowych wynosi 0,94819. Proces en więc jes ciągiem niezaleŝnych zmiennych losowych. 3.2. Weryfikacja modelu szeregu czasowego czasu obsługi naziemnej Dane zgromadzone na porzeby modelu czasu pomiędzy połączeniami loniczymi pochodziły z roku 2008. Weryfikacja ych danych wykonana zosanie za pomocą esu Chikwadra porównując prognozowane wyniki (z modelu) z danymi rzeczywisymi uzyskanymi w 2009 roku. (rysunek 10) Rys. 10 Porównanie prognozowanych danych z modelu z danymi rzeczywisymi

MODEL CZASU OBSŁUGI NAZIEMNEJ STATKU POWIETRZNEGO 1627 Jak moŝna zauwaŝyć na rysunku sopien zbieŝności dla pierwszych 30 obserwacji jes bardzo wysoki, podobna syuacja ma miejsce dla całego rozparywanego okresu. Dla poziomu isoności α=0,95 es zgodności Chi-kwadra wykazuje Ŝe model posiada odpowiednie paramery. 4. WNIOSKI Zaprezenowany model będzie jednym z części modelu eksploaacji saków powierznych. Celem referau było wskazanie słuszności uŝycia modelu szeregu czasowego dla rozparywanego problemu. Dalsze prace prowadzone będą w kierunku budowy programu kompuerowego będącego inegralną częścią zaproponowanego modelu szeregu czasowego. Przy zadanych paramerach operacyjnych porów loniczych: dosępna przepusowość w danych przedziałach czasu, prawdopodobieńswo powsania zakłóceń ruchu w porcie loniczym, jak równieŝ w srefach doloowych lonisk wynikających ze względów operacyjnych lub pogodowych, moŝliwe będzie przeprowadzenie symulacji procesu eksploaacji. Symulacja a umoŝliwi wyznaczenie chwil powsawania zakłóceń. UŜycie aplikacji umoŝliwi weryfikacje planowanej siaki połączeń umoŝliwiając minimalizację pojawienia się zakłóceń przy jednoczesnej maksymalizacji popyu na usługi lonicze. Do powsania arykułu przyczynił się udział w Projekcie Przedsiębiorczy dokoran- inwesycja w innowacyjny rozwój regionu. Projek współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego funduszu społecznego. 5. BIBLIOGRAFIA [1] Levin A., 1971. Scheduling and flee rouing models for ransporaion sysem. Transporaion Science 5, 232-255. [2] Desaulniers. G., 1997. Daily aircraf rouing and scheduling. Managemen Science 43, 841-855. [3] Sriram C., Haghani A., 2003. An opimizaion model for aircraf mainenance scheduling and re-assignmen. Transporaion Research Par A 37, 29-48. [4] Peer J. Brockwell, Richard A. Davis Inroducion o Time Series and Forecasing, Springer, 1996.