TESTOWANIE EGZOGENICZNOŚCI ZMIENNYCH W MODELACH EKONOMETRYCZNYCH

Transkrypt

1 STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 15 Mariusz Doszyń TESTOWANIE EGZOGENICZNOŚCI ZMIENNYCH W MODELACH EKONOMETRYCZNYCH Od pewnego czasu w lieraurze ekonomerycznej pojawiają się głosy kryyczne doyczące podejścia Fundacji Cowlesa, zgodnie z kórym podział zmiennych na endogeniczne i egzogeniczne oraz przyczynowa srukura modelu są znane a priori GS Maddala wskazuje na rzy główne przyczyny kryyki ych założeń 1 W wielu przypadkach podział zmiennych na endogeniczne i egzogeniczne jes arbiralny Kolejny argumen, zwany kryyką Liu, doyczy faku, że w celu uzyskania idenyfikacji częso pomija się wiele zmiennych, kóre powinny być uwzględniane Trzecia przyczyna doyczy zw kryyki Lucasa, kóry swierdził, że paramery modeli wielorównaniowych częso są zależne od zmian zmiennych egzogenicznych Przed oszacowaniem modelu: y = 1 β 0 β x u (1) gdzie u składnik losowy, należy rozsrzygnąć, czy zmienna x może być rakowana jako zmienna egzogeniczna Jeśli zmiennej x nie można rakować jako zmiennej egzogenicznej, należy skonsruować model wielorównaniowy 1 [3]

2 34 MARIUSZ DOSZYŃ 1 Charakerysyka wybranych koncepcji egzogeniczności Podsawowe dwie koncepcje doyczące egzogeniczności o usalenie z góry oraz ścisła egzogeniczność [3] Zmienną można rakować jako z góry usaloną w danym równaniu, jeśli jes niezależna od bieżących i przyszłych warości składnika losowego rozważanego równania Jeżeli określona zmienna jes niezależna od przeszłych, bieżących i przyszłych warości składnika losowego w analizowanym równaniu, o jes o zmienna ściśle egzogeniczna GS Maddala podaje nasępujący przykład modelu ze zmiennymi opóźnionymi 2 : y = α1x β11y 1 β12x 1 u1 (2) x = α 2 y β21y 1 β22x 1 u2 (3) gdzie u 1, u nie podlegają auokorelacji i są niezależne 2 Jeśli α 2 = 0, o zmienną x można rakować jako zmienną z góry usaloną w równaniu (2) Nie zależy ona bowiem od bieżących i przyszłych warości u 1 Jeśli α 2 = 0 i β 2 = 0, o zmienna x jes zmienną ściśle egzogeniczną, kóra nie zależy wedy od bieżących, przyszłych i przeszłych warości u 1 W lieraurze można spokać również akie koncepcje egzogeniczności, jak słaba egzogeniczność, superegzogeniczność i silna egzogeniczność, kóre zosały zaproponowane przez Engle a, Hendry ego i Richarda [1] Z koncepcją silnej egzogeniczności wiąże się z kolei ak zwana przyczynowość w sensie Grangera Zmienna jes określana jako słabo egzogeniczna z punku widzenia esymacji danego zbioru paramerów A, jeśli wnioskowanie o zbiorze A warunkowe względem x nie wiąże się z uraą informacji [3] Jeśli dwuwymiarowy rozkład zmiennych zapiszemy w posaci: f(y,x ) = g(y /x ) h(x ), gdzie g(y /x ) zawiera paramery ze zbioru A, o z warunku słabej egzogeniczności wynika, że paramery e nie wysępują w rozkładzie brzegowym h(x ) W modelu (1) słaba egzogeniczność miałaby 2 Ibidem, s 429

3 TESTOWANIE EGZOGENICZNOŚCI ZMIENNYCH W MODELACH EKONOMETRYCZNYCH 35 miejsce wedy, gdyby zbiór paramerów rozkładu zmiennej x był rozłączny względem zbioru paramerów ego modelu Zmienna x jes określana jako superegzogeniczna, jeśli wysępuje słaba egzogeniczność, a paramery funkcji g(y /x ) są niezmiennicze względem zmian w h(x ) W modelu (1) zmienna x może częso nie być superegzogeniczna, ponieważ zmiany paramerów rozkładu h(x ) zazwyczaj współwysępują ze zmianami ocen paramerów w modelu (1) Jeżeli x jes zmienną słabo egzogeniczną i nie poprzedza jej żadna zmienna endogeniczna, o mamy do czynienia ze zmienną silnie egzogeniczną Przykładem zmiennej silnie egzogenicznej jes zmienna x w nasępującym modelu: y = βx u1 (4) x = αx 1 u2 (5) gdzie: (u 1, u 2 ) składniki losowe niepodlegające auokorelacji i mające dwuwymiarowy rozkład normalny; σ 11, σ 22 wariancje składników losowych u 1 i u 12, σ 12 kowariancja między u 1 i u 2 W przypadku gdy σ 12 = 0, zmienna x jes słabo egzogeniczna (w rozkładzie brzegowym x nie wysępują paramery β i σ 11 ) Zmienna x jes również silnie egzogeniczna, ponieważ w równaniu (5) nie wysępuje opóźniona zmienna y Definicja silnej egzogeniczności wiąże się z ak zwaną przyczynowością w sensie Grangera Zmienna X nie jes przyczyną zmiennej y w sensie Grangera, jeśli β i = 0 (i = 1, 2,, k) w nasępującym równaniu regresji względem opóźnionych zmiennych [3]: y k = α y i= 1 i i k β x i= 1 i i u (6) Tes en nie jes zby użyeczny jako es egzogeniczności Z braku przyczynowości w sensie Grangera niekoniecznie musi wynikać ścisła egzogeniczność lub fak, że zmienna x jes z góry usalona

4 36 MARIUSZ DOSZYŃ W konekście rozważań doyczących egzogeniczności ineresujące jes podejście zaproponowane prof J Hozera, zgodnie z kórym w ekonomii mamy do czynienia z rzema rodzajami związków między zdarzeniami [2] Pomiędzy zmiennymi mogą wysępować związki przyczynowe, celowe i współisnienia (abela 1) Tabela 1 Rodzaje związków między zdarzeniami Lp Rodzaje Zmienna objaśniana Zmienna objaśniająca Rodzaj pyania Rodzaj odpowiedzi 1 Przyczynowy y x +τ dlaczego y? dlaego, że x +τ 2 Celowy y +τ x po co x? po o, aby y +τ 3 Współisnienia y x co z czym? y z x Źródło: [2] W przypadku procesów gospodarczych relacje o charakerze przyczynowym są zazwyczaj rudne do zidenyfikowania Celowość wiąże się ze świadomą akywnością człowieka W ekonomii najczęściej mamy do czynienia z relacjami współisnienia Na podsawie przeprowadzonych rozważań można swierdzić, że egzogeniczność zmiennych nie zawsze jes oczywisa i powinna podlegać esowaniu Jednym z esów pozwalających na weryfikację hipoezy o egzogeniczności jes es błędu specyfikacji Hausmana 2 Tes błędu specyfikacji Hausmana Hipoeza zerowa (H 0 ) w eście Hausmana oznacza poprawną specyfikację modelu, naomias hipoeza alernaywna (H 1 ) błędy specyfikacji W przypadku modelu: Y = X u (7) gdzie: X macierz obserwacji dokonanych na zmiennych objaśniających (z wyłączeniem wyrazu wolnego), u wekor składników losowych

5 TESTOWANIE EGZOGENICZNOŚCI ZMIENNYCH W MODELACH EKONOMETRYCZNYCH 37 Odpowiednie hipoezy są formułowane w nasępujący sposób: H 0 : X i u są niezależne, H 1 : X i u są zależne W eście Hausmana konsruuje się dwa esymaory wekora paramerów β Esymaor ˆ 0 jes zgodny i efekywny, jeśli H 0 jes prawdziwa, lecz nie jes zgodny przy prawdziwości H 1 Esymaor ˆ 1 jes zgodny, jeśli H 0 lub H 1 jes prawdziwa, ale nie jes efekywny przy prawdziwości hipoezy zerowej 3 Jeżeli prawdziwa jes hipoeza H 1, esymaor ˆ 0 nie jes zgodny W związku z ym dla uzyskania zgodnego esymaora ˆ 1 sosuje się meodę zmiennych insrumenalnych: ˆ = 1 T 1 T Z X ) Z Y (8) gdzie Z macierz zmiennych insrumenalnych Saysyka esu Hausmana jes nasępująca 4 : m = qˆ Vˆ qˆ ) 1 qˆ (9) gdzie: qˆ = Bˆ ˆ 1 B0; Vˆ qˆ ) = V 1 V 0, V 0, V 1 macierze wariancji i kowariancji esymaorów paramerów ˆ 0 i ˆ 1 Przy wyznaczaniu V 1 esymaorem σ 2 może być esymaor wariancji składnika losowego w modelu oszacowanym KMNK Saysyka (9) ma rozkład χ 2 z k sopniami swobody Jeśli zmienne objaśniające w równaniu (7) nie są skorelowane ze składnikiem losowym, o można je rakować jako zmienne egzogeniczne Właśnie o swierdza H 0 Esymaor KMNK jes w akim przypadku zgodny Jeśli prawdziwa jes H 1, należy przyjąć, że zmienne objaśniające są endogeniczne (są powiązane ze składnikiem losowym) Esymaor KMNK nie jes wedy esymaorem zgodnym Równanie (7) powinno być zaem rakowane jako jedno z równań modelu wielorównaniowego 3 Ibidem, s Ibidem

6 38 MARIUSZ DOSZYŃ Model (7) można również rakować jako model z błędami w zmiennych Skorelowanie zmiennych objaśniających ze składnikiem losowym świadczy o ym, że zmienne zawierają w sobie błędy, co oznacza, iż prawdziwa jes H 1 Błędy w zmiennych nie wysępują, gdy H 0 jes prawdziwa 3 Przykład empiryczny Oszacowano nasępujący model (w nawiasach pod ocenami paramerów podane są warości saysyk -Sudena): yˆ = ,512 x 11965,4 4,874) 7,913) 8,140) (10) W modelu (10) zmienną objaśnianą jes spożycie indywidualne z dochodów osobisych w mln zł Zmienne objaśniające o dochody do dyspozycji bruo w mln zł (x ) oraz zmienna czasowa () Dane wykorzysane w przykładzie odnoszą się do syuacji w Polsce w laach i zosały zaczerpnięe z Rocznika Saysycznego GUS Zmienne zosały wyrażone w cenach z 2005 roku Do wyeliminowania wpływu zmian cen zasosowano wskaźnik cen spożycia indywidualnego z dochodów osobisych Warości eoreyczne są bardzo dobrze dopasowane do warości empirycznych (skorygowany współczynnik deerminacji R 2 = 0,997) Wszyskie oceny paramerów modelu różnią się w sposób saysycznie isony od zera, o czym świadczą podane warości saysyk -Sudena Błąd sandardowy resz wyniósł S e = 4950,42 zł Po przeprowadzeniu esu RESET, Jarque a-bery, Breuscha-Godfrey a oraz esu Whie a można swierdzić, że w modelu (10) nie ma podsaw do odrzucenia hipoez zerowych, w kórych swierdza się poprawną specyfikację modelu, normalność rozkładu resz, brak auokorelacji resz pierwszego i drugiego rzędu oraz homoskedasyczność resz (poziom isoności α = 0,05) Na podsawie modelu (10) można swierdzić, że wzros realnych dochodów do dyspozycji o 100,00 zł współwysępował ze wzrosem spożycia przecięnie o 51,20 zł Na skuek wysępowania inercji spożycie rosło z roku na rok przecięnie o ,40 zł Ocenę wyrazu wolnego ( ,00 zł) można rakować jako wydaki auonomiczne

7 TESTOWANIE EGZOGENICZNOŚCI ZMIENNYCH W MODELACH EKONOMETRYCZNYCH 39 W konekście rozważań o egzogeniczności pojawia się pyanie: czy zmienną x można rakować jako zmienną egzogeniczną? Hipoeza a zosanie zweryfikowana na podsawie przedsawionego wcześniej esu Hausmana Rozważany model (10) oszacowano również meodą zmiennych insrumenalnych (MZI) po przyjęciu za zmienną insrumenalną wydaków inwesycyjnych ogółem i (w nawiasach podane są warości saysyk -Sudena): y ˆ = ,464 ) x ) ) 2,930 4,710 3,726 (11) Wydaki inwesycyjne ogółem zosały oczyszczone z wpływu zmian cen za pomocą wskaźnika cen nakładów inwesycyjnych Współczynnik korelacji między nakładami inwesycyjnymi oraz dochodami do dyspozycji bruo wynosi 0,783 i jes saysycznie isony przy poziomie isoności 0,05 Wszyskie oceny paramerów modelu (11) isonie różnią się od zera Błąd sandardowy resz wyniósł S e = 5084,98 zł W modelu nie wysępuje auokorelacja resz pierwszego rzędu (sayska Durbina-Wasona d = 1,85) Na podsawie esu Jarque a-bery swierdzamy, iż nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej zakładającej normalność rozkładu resz modelu (poziom isoności α = 0,05) W przypadku esowania egzogeniczności jednej zmiennej saysykę esu Hausmana (9) można zapisać nasępująco [3]: 2 2 qˆ r m = 2 (1 r ) Vˆ 0 (12) gdzie: qˆ r 2 Vˆ 0 różnica między oceną parameru przy zmiennej x uzyskaną MZI oraz KMNK, kwadra współczynnika korelacji między zmienną x i zmienną insrumenalną x, wariancja esymaora parameru przy zmiennej x oszacowanego KMNK Warość saysyki m = 0,875 Warość kryyczna odczyana z rozkładu χ 2 dla pierwszego sopnia swobody i poziomu isoności α = 0,05 wynosi 3,84 Nie ma zaem

8 40 MARIUSZ DOSZYŃ podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej, w kórej zakłada się egzogeniczność zmiennej x Lieraura 1 Greene W, Economeric analysis, Fifh Ediion, Prenice Hall Hozer J, Doszyń M, Ekonomeria skłonności, PWE, Warszawa Maddala GS, Ekonomeria, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 2006 TESTING EXOGENEITY IN ECONOMETRIC MODELS Summary In he aricle necessiy of esing exogeneiy of variables in economeric models was emphasized Mos popular in economeric lieraure concepions of exogeneiy such as predeerminaion, sric exogeneiy, weak exogeneiy, superexogeneiy, srong exogeneiy, Granger causaliy were presened Hausman es useful while esing exogeneiy (bu also when verifying hypohesis ha saes errors in variables) was described Types of relaionships beween variables were presened Hausman es is based on comparison of esimaor of ordinary leas squares mehod (OLS) and insrumenal variable esimaor (IV) In empirical example exogeneiy of disposable incomes in economeric model wih individual consumpion as a dependen variable was esed Time variable was also involved as a independen variable Translaed by Mariusz Doszyń