WYBRANE TESTY NIEOBCIĄŻONOŚCI MIAR RYZYKA NA PRZYKŁADZIE VALUE AT RISK

Transkrypt

1 Przemysław Jeziorski Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Informayki i Komunikacji Zakład Demografii i Saysyki Ekonomicznej przemyslaw.jeziorski@ue.kaowice.pl WYBRANE TESTY NIEOBCIĄŻONOŚCI MIAR RYZYKA NA PRZYKŁADZIE VAUE AT RISK Sreszczenie: Celem pracy jes analiza porównawcza esów nieobciążoności służących do oceny poprawności szacowania ryzyka meodą Value a Risk. Przedsawiono wybrane esy, kóre weryfikują liczbę przekroczeń oraz ich niezależność. Słowa kluczowe: nieobciążoność, ryzyko, Value a Risk. Wprowadzenie Arykuł podejmuje emaykę oceny nieobciążoności Value a Risk (VaR). Nieobciążoność jes rozumiana jako zgodność liczby przekroczeń VaR z założonym poziomem isoności oraz niezależność przekroczeń w czasie. iczba przekroczeń powinna odpowiadać poziomowi isoności w szczególności, gdy poziom isoności wynosi 0,05, w przypadku 00 obserwacji liczba przekroczeń powinna wynosić 5. Isniejące rozwiązania do oceny poprawności esymaorów VaR, m.in. es Kupca, uwzględniają w ocenie nieobciążoności wyłącznie binarną zmienną mówiącą o ym, czy rzeczywisa warość rynkowej sopy zwrou przekroczyła szacowaną miarę zagrożenia. Kluczową kwesią saję się ocena efekywności oszacowań modeli VaR. Według Giacomini i Komunjer [005] kiedy dosępne są prognozy miar ryzyka, pożądane jes posiadanie formalnej procedury esowej, dla kórej nie byłoby niezbędne posiadanie wiedzy o założonym modelu oraz skupianie się na procedurze esymacji modelu. W lieraurze isnieje wiele esów (backess), akich jak np. Kupca [995], Chrisoffersena [998] oraz Engle a i Manganelliego [004].

2 Wybrane esy nieobciążoności miar ryzyka... Przedsawione w pracy esy nieobciążoności uwzględniają mechanizm, dzięki kóremu możliwa jes ocena efekywności modelu VaR oraz udzielenie odpowiedzi na pyanie, dlaczego pomiar ryzyka jes obciążony. Ponado dobrze znany es Kupca [995] charakeryzuje się niską mocą i częso nie odrzuca modelu, kóry powinien zosać odrzucony. W niniejszej pracy zosaną przedsawione rzy meody szacowania VaR: meoda wariancji-kowariancji, meoda hisoryczna oraz meoda regresji kwanylowej. Value a Risk zosanie wyznaczony dla indeksu WIG0 dla szerokości okna obserwacji 0, 60, 0, 50 oraz 500 sesji. Celem pracy jes porównanie jakości szacowanych VaR za pomocą esu Kupca, Chrisoffersena oraz Engle a i Manganelliego.. Wybrane esy nieobciążoności Value a Risk pozwala oszacować maksymalną sraę, jakiej można się spodziewać dla założonego poziomu isoności w zadanym horyzoncie czasu. Jeśli R oznacza sopę zwrou porfela w okresie oraz τ ( 0,) oznacza założony poziom isoności, o VaR (V ) jes zdefiniowany za pomocą wyrażenia: [ V F ] = τ Pr R () < gdzie F - są o informacje (rozkład sóp zwrou) dosępne w okresie. Z powyższej definicji wynika, że V jes warunkowym kwanylem rzędu τ z R. Procedura esowa poprawności modelu VaR polega na sprawdzeniu, czy jes spełnione wyrażenie Pr[ R < V F ] = τ, co oznacza, że V jes poprawnie oszacowanym kwanylem rzędu τ sóp zwrou R. Poprawnie skonsruowany model VaR dla poziomu isoności τ zwraca warunkowy kwanyl rzędu τ ze sóp zwrou R. Celem jes zweryfikowanie hipoezy zerowej, głoszącej, że VaR poprawnie szacuje warunkowe kwanyle dla założonego poziomu isoności τ. W arykule zosanie przedsawiony es zawierający więcej informacji (zmiennych) w porównaniu z isniejącymi esami, posiadający ym samym większą moc dla skończonej liczebności próby. W pierwszej kolejności zosanie zdefiniowana funkcja wskaźnikowa określająca sekwencję przekroczeń VaR: ; gdy R < V = 0; gdy R V ()

3 Przemysław Jeziorski Z definicji prawdopodobieńswo wysępujących przekroczeń VaR powinno Pr = τ. = F spełniać warunek: ( ).. Tes Kupca [995] Nieparameryczny es opierający się na proporcji przekroczeń. Zakładając wielkość próby T oraz liczbę przekroczeń N = T =, celem esu jes określe- nie, czy pˆ N T jes saysycznie równe τ : : 0 p = E( ) = τ. Prawdopodobieńswo wysąpienia N przekroczeń w próbie T jes opisywane rozkładem dwumianowym. ipoeza zerowa : p = τ 0 może być zweryfikowana esem R (nazywanym również bezwarunkowym esem pokrycia). Tes odrzuca hipoezę zerową mówiącą o poprawności modelu VaR, jeżeli frakcja przekroczeń VaR w próbie jes saysycznie różna od τ. Kupiec zwracał jednak uwagę, że es ma niską moc dla skończonych prób, a większa moc dla esu pojawia się w chwili wysępowania bardzo dużej liczby obserwacji. Saysyka esowa dla esu posiada posać [Kupiec, 995]: T N [( N ) ] T N N N N R = ln α α + ln (3) T T.. Tes Chrisoffersena [998] Tes Kupca [995] weryfikuje hipoezę o poprawnej liczbie przekroczeń, jednak es nie reaguje na wysępowanie skupień w przekroczeniach VaR. Isone jes zidenyfikowanie przekroczeń, kóre nie spełniają warunku niezależności. Model VaR, kóry ma niewłaściwą liczbę przekroczeń lub przekroczenia nie posiadają własności niezależności powinien być odrzucony. Niezależność jes ważną cechą, gdyż skupianie się przekroczeń VaR powoduje wzros ryzyka i przyczynia się do kumulacji sra. Sekwencja przekroczeń posiada własność efekywności, jeżeli dla zasobu informacji F zachodzi warunek: E [ F ] = τ. Tak sformułowany es nie wymaga zakładania rozkładu eoreycznego dla procesu, kóry jes prognozowany. Jes o isona zalea, gdyż jakiekolwiek założenie rozkładu do opisu zjawiska w zasosowaniach ekonomicznych jes bardzo dyskusyjne. Sandardowa meoda oceny poprawności oszacowań VaR skupia się

4 Wybrane esy nieobciążoności miar ryzyka... 3 wyłącznie na sprawdzeniu czy pˆ N T zmierza do prawdziwej warości poziomu isoności τ. W prezenowanym podejściu będzie również esowana warunkowa efekywność. W pierwszej kolejności zosanie zbudowane kryerium określające obserwacje poza próbą (ou-of-sample). Założono zasób informacji w okresie F mówiący o sekwencji przekroczeń F = {,, 3,, }. Celem esu nie jes badanie isoności modelu, lecz skupienie się na ym, aby frakcja przekroczeń była zbieżna z założoną oraz aby sekwencja przekroczeń była niezależna. Tes Chrisoffersena [998] posiada rzy wersje. Pierwsza wersja esuje wyłącznie poprawność bezwarunkowej zbieżności do założonego poziomu isoności. Drugi es weryfikuje wyłącznie hipoezę o niezależności, naomias rzeci es jes połączeniem dwóch poprzednich i pozwala weryfikować warunkową zbieżność do założonego poziomu isoności [Chrisoffersen, 998].... Bezwarunkowa zbieżność do poziomu isoności Zakładając sekwencję przekroczeń { }, celem jes zweryfikowanie hipoezy o poprawnej warości frakcji odpowiadającej założonemu poziomowi isoności E [ ] = τ wobec alernaywy E [ ] τ. Prawdopodobieńswo dla pierwszej hipoezy jes określone wyrażeniem: n0 n ( p,,, ) = ( p) p ; oraz prawdopodobieńswo dla alernaywy: K (4) n0 n ( π,,, ) = ( π ) π ; K (5) Tesowanie bezwarunkowej zbieżności do poziomu isoności może zosać sprowadzone do sandardowego esu ilorazu wiarygodności: R uc gdzie ˆ = n ( n + n ) 0 ( p;,, K, ) ( π;,, K, ) log asy = ~ χ s χ ( ) = ( ) π jes szacunkiem π oraz s = jes liczbą możliwych warości, jaka może wysąpić w zbiorze sekwencji { }. Tes weryfikuje czy wysępująca frakcja przekroczeń w próbie odpowiada założonemu poziomowi p. (6)

5 4 Przemysław Jeziorski... Niezależność przekroczeń Tes pozwala weryfikować hipoezę o niezależności w sekwencji przekroczeń { }. Założono binarny łańcuch Markova pierwszego rzędu. Przybliżona funkcja prawdopodobieńswa dla ego procesu ma posać: n00 n0 n0 n ( ;,,, ) = ( π ) π ( π ) π Π K (7) 0 0 gdzie n ij jes liczbą obserwacji z warością j poprzedzoną warością i. Zakłada się, że sekwencją przekroczeń { } można oszacować łańcuch Markova pierwszego rzędu dla modelu, co w konsekwencji pozwoli zweryfikować hipoezę o niezależności sekwencji przekroczeń. Prawdopodobieńswo dla procesu może zosać oszacowane jako: ( ) ( ) ( n ) ( ) 00 + n0 n0+ n Π ;,,, = π π K (8) gdzie macierz Π może być oszacowana przy użyciu wyrażenia: ( n + n ) ( n + n + n + n ) ˆ π = (9) Zgodnie z oelem [954] iloraz wiarygodności R dla esu niezależności posiada asympoycznie rozkład chi-kwadra z (s ) sopniami swobody: R ind ( Πˆ ;,, K, ) ( Πˆ ;,, K, ) 0 ( ) ) () log asy = ~ χ s = χ (0) W dalszym ciągu sekwencja przekroczeń { } jes opisana binarną zmienną, dlaego s =. Isony jes fak, że warość saysyki esowej jes niezależna od założonego poziomu isoności p i ym samym es weryfikuje hipoezę wyłącznie o niezależności sekwencji przekroczeń...3. Zbieżności do założonego poziomu isoności oraz niezależności przekroczeń Powyższe dwa esy (bezwarunkowej zbieżności oraz niezależności) mogą zosać połączone w jeden es, kóry weryfikuje warunkową zbieżność do założonego poziomu isoności. Saysyka esowa R dla esu warunkowej zbieżności do poziomu isoności posiada asympoyczny rozkład chi-kwadra z s(s ) sopniami swobody.

6 Wybrane esy nieobciążoności miar ryzyka... 5 R cc ( p;,, K, ) log ~ ( asy = ˆ χ s = ;,,, ) χ Π K ( s( ) ) ( ) () Tes pozwala weryfikować niezależność przekroczeń oraz bierze pod uwagę wyłącznie auokorelacje rzędu pierwszego w sekwencji przekroczeń..3. Podejście Engle a i Manganelliego [004] Engle i Manganelli zaproponowali es, kóry posiada wiele wersji. Używając poprzedniego zapisu, zmienna losowa i = τ zosała wykorzysana przez auorów do konsrukcji dynamicznego warunkowego esu kwanyla (DQ). Zmienna i może być opisana za pomocą szeregu zmiennych objaśniających: i δ p+ = δ + δ i VaR 0 + δ p+ + K+ δ i year, p + K+ δ p p+ + n + yearn, + u () gdzie wekor X może zawierać opóźnione i, V i jego opóźnienia. Saysyka esowa (DQ) posiada posać: ˆT T ˆ asy δ OS X Xδ OS DQ = ~ χ n θ ( θ ) ( p + + ) (3) Zaproponowany es posiada saysykę chi-kwadra z liczbą sopni p + n +, gdzie p jes rzędem macierzy X. Waro zauważyć, że es DQ może być używany do oceny poprawności każdego modelu VaR szacowanego podejściami innymi niż zaproponowane przez auorów modele CaViaR [Engle, Manganelli, 004].. Badania empiryczne Weryfikacji zosaną poddane modele VaR oszacowane meodą wariancji- -kowariancji, meodą hisoryczną oraz meodą regresji kwanylowej dla WIG0. Modele zosały oszacowane na podsawie danych z okresu od r. do r. Szerokość okna obserwacji wynosiła 0, 60, 0, 50 oraz 500 sesji. Przyjęo poziom isoności dla modeli %, % oraz 5%. Okres od r. do r. posłużył do weryfikacji modeli i obejmował łącznie 500 sesji. Porównane ze sobą zosały es Kupca (R), es przekroczeń Chrisoffersena (R uc ), es niezależności Chrisoffersena (R ind ), es przekroczeń i niezależności

7 6 Przemysław Jeziorski Chrisoffersena oraz es Engle a i Manganelliego (DQ). Kolumna N/T przedsawia obserwowaną liczbę przekroczeń szarym wypełnieniem oznaczono odchylenia o ±30% od założonego poziomu isoności. W kolumnach zosały oznaczone szarym wypełnieniem warości mniejsze od 0,05 (założony poziom isoności dla esów), kóry świadczy o odrzuceniu hipoezy o poprawnym oszacowaniu modelu VaR. Tabela. Wyniki nieobicążoności dla WIG0 meoda wariancji-kowariancji WIG0 meoda wariancji-kowariancji (prognozy jednosesyjne) T N N/T alfa. sesji (R) (Ruc) (Rind) (Rcc) (DQ) ,0% % 0,000 0,07 0,69 0,050 0, ,0% % 0,005 0,063 0,433 0,9 0, ,4% 5% 0,68 0,363 0,09 0,9 0, ,8% % 0,00 0,09 0,05 0,04 0, ,6% % 0,0 0,30 0,34 0,0 0, ,% 5% 0,35 0,433 0,6 0,69 0, ,8% % 0,00 0,09 0,06 0,06 0, ,% % 0,078 0,45 0,093 0,3 0, ,4% 5% 0,685 0,789 0,05 0,050 0, ,4% % 0,008 0,079 0,008 0,006 0, ,6% % 0,359 0,546 0,0 0,033 0, ,6% 5% 0,678 0,784 0,005 0,08 0, ,0% % 0,048 0,9 0,098 0,08 0, ,0% % 0,37 0,37 0,076 0,7 0, ,8% 5% 0,836 0,89 0,0 0,0663 0,000 Źródło: Opracowanie własne Tabela. Wyniki nieobicążoności dla WIG0 meoda hisoryczna WIG0 meoda symulacji hisorycznej (prognozy jednosesyjne) T N N/T alfa. sesji (R) (Ruc) (Rind) (Rcc) (DQ) ,% % 0,000 0,000 0,85 0,000 0, ,8% % 0,000 0,00 0,69 0,004 0, ,8% 5% 0,000 0,00 0,738 0,060 0, ,0% % 0,000 0,00 0,883 0,003 0, ,6% % 0,000 0,09 0,570 0,053 0, ,8% 5% 0,079 0,47 0,760 0,474 0, ,0% % 0,000 0,07 0,38 0,08 0, ,0% % 0,005 0,063 0,84 0,073 0, ,4% 5% 0,685 0,789 0,099 0,4 0,00 500,% % 0,00 0,5 0, 0,09 0, ,4% % 0,536 0,683 0,037 0,04 0, ,0% 5%,000,000 0,003 0,0 0, ,% % 0,663 0,774 0,04 0,46 0, ,% % 0,753 0,836 0, 0,9 0, ,4% 5% 0,530 0,679 0,037 0,0 0,000 Źródło: Opracowanie własne

8 Wybrane esy nieobciążoności miar ryzyka... 7 Tabela 3. Wyniki nieobicążoności dla WIG0 meoda regresji kwanylowej WIG0 meoda regresji kwanylowej (prognozy jednosesyjne) T N N/T alfa. sesji (R) (Ruc) (Rind) (Rcc) (DQ) ,6% % 0,000 0,003 0,444 0,009 0, ,6% % 0,0 0,30 0,444 0,33 0, ,6% 5% 0,3 0,30 0,444 0,448 0, ,6% % 0,5 0,44 0,737 0,67 0, ,8% % 0,745 0,830 0,705 0,90 0, ,0% 5% 0,07 0,45 0,69 0,304 0, ,0% %,000,000 0,834 0,974 0, ,% % 0,753 0,836 0,43 0,7 0, ,6% 5% 0,3 0,30 0,78 0,578 0, ,% % 0,663 0,774 0,04 0,46 0, ,4% % 0,3 0,505 0,47 0,407 0, ,0% 5% 0,07 0,45 0,076 0,07 0, ,8% % 0,64 0,759 0,867 0,937 0, ,8% % 0,09 0,5 0,867 0,35 0, ,8% 5% 0,04 0,06 0,05 0,0 0,008 Źródło: Opracowanie własne Podsumowanie Zaprezenowane esy wyraźnie różnią się mocą es Kupca wielokronie uznaje model za poprawnie oszacowany, podczas gdy es DQ odrzuca hipoezę głoszącą nieobciążoność modelu. Czery dodakowo przedsawione esy dają bardziej obszerną informację w porównaniu z esem Kupca. Pozwalają zidenyfikować powód odrzucenia modelu VaR brak zgodności liczby przekroczeń z zakładanym poziomem isoności lub brak niezależności liczby przekroczeń. Ponado es DQ posiada zauważalnie wyższą moc i reaguje zarówno na brak niezależności liczby przekroczeń, jak i na niezgodność liczby przekroczeń z założonym poziomem isoności dla modelu VaR. W pracy zaprezenowano akże meodę regresji kwanylowej do wyznaczania prognoz VaR, kóra pozwoliła znacznie częściej osiągnąć nieobiążoność (es DQ) w porównaniu z meodą wariancji i kowariancji oraz meodą hisoryczną. ieraura Chrisoffersen P.F. (998), Evaluaing Inerval Forecass, Inernaional Economic Review, Vol. 39, Iss. 4, s Engle R.F., Manganelli S. (004), CAViaR: Condiional Auoregressive Value a Risk by Regression Quaniles, Journal of Business and Economic Saisics, Vol., Iss. 4, s

9 8 Przemysław Jeziorski Giacomini R., Komunjer I. (005), Evaluaion and Combinaion of Condiional Quanile Forecass, Journal of Business and Economic Saisics, Vol. 3, Iss. 4, s oel P.G. (954), A Tes for Markov Chains, Biomerika, Vol. 4, s Kupiec P. (995), Techniques for Verifying he Accuracy of risk Measuremen Models, Journal of Derivaives, Vol. 3, No., s SOME UNBIASEDNESS TEST ON TE EXAMPE OF VAUE AT RISK Summary: Aricle conain comparaive analysis of unbiasedness es in calculaion of Value a Risk. Auhor presened seleced ess which verify number and he independence of exceedances. Keywords: unbiasedness, risk, Value a Risk.