Modelowanie i analiza szeregów czasowych

Transkrypt

1 Modelowanie i analiza szeregów czasowych Małgorzaa Doman Plan zajęć Część. Modelowanie szeregów jednowymiarowych.. Szeregi jednowymiarowe własności i diagnozowanie. Modele auoregresji i średniej ruchomej 3. Idenyfikowanie i ocena dopasowania modelu 4. Modele ARMA i ARIMA Część. Modelowanie szeregów wielowymiarowych. 5. Modele wekorowej auoregresji 6. Analiza impuls response 7. Koinegracja 8. Model VECM Lieraura: T. Kufel Ekonomeria. Rozwiazywanie problemów z wykorzysaniem programu GRETL WN PWN Warszawa 7 M. Osińska Ekonomeria współczesna Dom Organizaora Toruń 7. M. Osińska Ekonomeria finansowa PWE Warszawa 6. G.S. Maddala Ekonomeria PWN Warszawa 6. J.D. Hamilon Time Series Analysis Princeon Universiy Press Princeon 994. A. Welfe Ekonomeria PWE 3.

2 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych Część. Modelowanie szeregów jednowymiarowych. Zajęcia. Szeregi jednowymiarowe własności i diagnozowanie A. Wiadomości eoreyczne Rodzinę ( X ) zmiennych losowych określonych na ej samej przesrzeni probabilisycznej nazywa się procesem sochasycznym. Zazwyczaj przyjmuje się że zbiór indeksów jes podzbiorem przedziału [ ) i inerpreuje się go jako czas. Gdy zbiór jes przeliczalny mówimy że rozparywany proces jes procesem z czasem dyskrenym a gdy jes przedziałem mówimy o procesie z czasem ciągłym. Dla usalonego proces sochasyczny X wyznacza odwzorowanie X ( ) kóre nazywa się realizacją lub rajekorią procesu X odpowiadającą zdarzeniu elemenarnemu. W analizie szeregów czasowych ale nie ylko realizację procesu sochasycznego X ( kóra gdy { } jes ciągiem x ) obserwacji x nazywa się szeregiem czasowym i oznacza ( x ). Powszechna jes akże konwencja kóra będzie również sosowana w rakcie ego wykładu nazywania szeregiem czasowym nie ylko realizacji procesu sochasycznego z czasem dyskrenym ale również samego procesu w syuacjach gdy nie prowadzi o do nieporozumień. Przy ej konwencji proces sochasyczny X oznacza się ak samo jak szereg czasowy symbolem ( x ) a zmienną losową X oznacza się ak jak jej realizację symbolem x. x Pojęcie sacjonarności szeregu czasowego. Szereg ( r ) nazywamy ściśle sacjonarnym jeśli dla każdego ciągu liczb indeksów ( k ) oraz dla każdych liczb całkowiych k łączny rozkład wekora losowego ( K r r r ) jes aki sam jak rozkład wekora r r r ). ( k Słaba (kowariancyjna) sacjonarność szeregu ( r ) oznacza że zmienne r mają skończony drugi momen E ( r ) oraz E ( r ) i cov( r r l ) l dla dowolnych indeksów i l. Oznacza o w szczególności że wszyskie r mają ę samą skończoną wariancję a kowariancja między r i r s zależy jedynie od s.

3 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 3 Funkcja auokorelacji (ACF) Rozważamy słabo sacjonarny szereg czasowy ( r ). Funkcja auokorelacji (ang. auocorrelaion funcion ACF) przyporządkowuje liczbie całkowiej l współczynnik korelacji l między zmiennymi r i r. l (.) l cov( r r l ) var( r )var( r l cov( r r l ) l ) var( r ). Z definicji ej wynika że l l oraz l. Mówimy że w szeregu ( r ) wysępuje auokorelacja jeśli oraz l dla wszyskich l. nie Szereg czasowy ( r ) nazywa się ścisłym białym szumem (ang. sric whie noise) jeśli zmienne r worzą ciąg niezależnych zmiennych losowych o ym samym rozkładzie (ang. independen and idenically disribued iid) z zerową średnią i skończoną wariancją. Jeśli ponado zmienne r mają rozkład normalny o szereg ( r ) nazywa się gaussowskim białym szumem. Jeśli zmienne r mają zerową średnią jednakową skończoną wariancję i warości funkcji auokorelacji szeregu ( r ) są równe zeru dla wszyskich l o ( r ) nazywa się białym szumem (ang. whie noise). Dla danego ciągu obserwacji l T T ( r ) niech r oznacza średnią z próby zn. r r T Wówczas współczynnik auokorelacji z próby z opóźnieniem l określa się wzorem. (.) T ( r r)( r r) l l ˆ l T. ( r r) Przy pewnych ogólnych założeniach ˆ l jes zgodnym esymaorem współczynnika auokorelacji. Na przykład jeśli r ) jes ciągiem iid spełniającym warunek E ( ) ) o dla l ( r dowolnego całkowiego l ˆ l ma rozkład asympoycznie normalny ze średnią i wariancją T. Fak en może być wykorzysany w prakyce do esowania hipoezy zerowej

4 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 4 H : l przeciw alernaywie H a : l. Rozkład saysyki esowej posaci T ˆ l jes asympoycznie sandardowy normalny. Ogólniej jeśli ( r ) jes szeregiem słabo sacjonarnym spełniającym warunek q r a gdzie a ( a j ) jes gaussowskim białym szumem o ˆ l ma rozkład i i i asympoycznie normalny z zerową średnią i wariancją q i dla l q. T i Tesy Boxa-Pierce a i Ljunga-Boxa W analizie szeregów czasowych częso pojawia się konieczność łącznego esowania czy dla szeregu r auokorelacje o różnych opóźnieniach są równe zero. Tes Boxa- Pierce a (97) Tes en opiera się na saysyce walizkowej (ang. pormaneau saisic) (.3) Q ( m) T ˆ l gdzie m l ˆ l jes współczynnikiem auokorelacji z próby określonym wzorem (.). Hipoezą zerową jes H a hipoezą alernaywną jes H : dla pewnego : m i { m}. Przy założeniu że r ) jes iid (oraz isnieją momeny czwarego rzędu) Q (m) ma asympoycznie rozkład ( m ). Tes Ljunga-Boxa (978) Saysyka Q(m) esu Ljunga-Boxa jes modyfikacją saysyki Q (m) mającą na celu uzyskania większej mocy esu dla skończonych prób: m ˆ l (.4) Q( m) T( T ). T l ( Asympoyczny rozkład saysyki Q(m) jes aki sam jak saysyki Q (m). l a i W prakyce wybór maksymalnego opóźnienia m ma znaczący wpływ na wyniku esu. Zwykle przeprowadza się go dla kilku różnych m. Symulacje wskazują że najlepsze wyniki daje wybór m lnt.

5 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 5 B. Ćwiczenia w Grelu i Saisice impor danych z Excela do grela wsępne analizy saysyczne

6 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 6

7 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 7 wykresy danych oraz funkcji ACF i PACF esowanie sacjonarności esowanie zależności liniowych

8 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 8

9 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 9

10 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych To samo w Saisice

11 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych

12 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych

13 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 3 Zajęcia. Modele auoregresji i średniej ruchomej A. Wiadomości eoreyczne Jeżeli szereg czasowy wykazuje saysycznie isoną warość auokorelacji z opóźnieniem o można się spodziewać że opóźniona wielkość r okaże się użyeczna w prognozowaniu wielkości r. Prosy model wykorzysujący aką zależność jes określony równaniem (.) r a ar gdzie jes ścisłym białym szumem z wariancją. Jes o model auoregresji rzędu czyli inaczej model AR(). Zauważmy że mamy zależności (.) E ( r r ) a ar var( r. r ) var( ) Nauralnym uogólnieniem modelu AR() są modele AR(p) określone równaniem (.3) r a ar a pr p. Własności modeli AR Przedyskuujemy eraz dokładnie własności modeli AR() i AR() oraz podamy pewne informacje o własnościach modeli AR(p). Własności modelu AR() Kowariancyjna sacjonarność Przyjmijmy że szereg r jes kowariancyjnie sacjonarny. Wedy z równania (.) orzymujemy E r ) a a E( r ). ( r Wobec kowariancyjnej sacjonarności E r ) E( ) a zaem ( r r (.4) E ( r ) a a. Wynika sąd że średnia warość zmiennej r isnieje pod warunkiem że a oraz że r ma średnią zero ylko wedy gdy a.

14 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 4 Kowariancyjna sacjonarność modelu AR() określonego równaniem (.) jes równoważna warunkowi a. ACF dla modelu AR() Mnożąc równość (.) przez biorąc obusronnie warości oczekiwane i korzysając z ego że E[( ) ] orzymujemy r E [ ( r )]. Pozwala o orzymać zależność a dla l l a l dla l z kórej wynika że dla kowariancyjnie sacjonarnego modelu AR() określonego przez (.5) ACF spełnia zależność l Ponieważ więc l a dla l. a dla l. l l Własności modelu AR(p) Dla modelu AR(p) określonego równaniem (.3) mamy (.5) a E( r ) a a pod warunkiem że mianownik jes różny od. p Sacjonarność Model AR(p) jes sacjonarny jeśli moduły pierwiasków równania a L p a L p są większe od. ACF spełnia równanie (.6) ( a L a L p a L p ). l

15 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 5 Modele średniej ruchomej (ang. moving-average MA) Posać modelu MA() nasępująca: (.7) r c b gdzie c jes sałą a ścisłym białym szumem. Ogólnie model MA(q) jes posaci (.8) r c b bq q. Własności modeli MA Procesy opisywane przez modele MA są kowariancyjnie sacjonarne ponieważ są skończonymi kombinacjami liniowymi zmiennych worzących ścisły biały szum. W przypadku modelu (.7) (.9) E( r ) c Posać ACF. Dla MA(): b b l dla l. var( r ) ( b b b q ). Dla MA(): b bb b b b b b l dla l. Dla modelu MA(q) warość ACF z opóźnieniem q jes różna od zera a dla każdego opóźnienia l q jes równa zero. Tę własność można wykorzysać przy idenyfikacji rzędu modelu MA.

16 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 6 B. Ćwiczenia w grelu Diagnozowanie ACF i PACF Szacowanie modeli AR i MA

17 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 7 Inerpreacja oszacowań To samo w Saisice

18 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 8

19 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 9

20 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych

21 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych Zajęcia 3. Idenyfikowanie i ocena dopasowania modelu A. Wiadomości eoreyczne Idenyfikowanie modeli AR i MA w prakyce. Modele AR(p) Problem: Nie wiemy jakie jes p. Możliwe rozwiązania: PACF lub kryeria informacyjne. W prakyce rząd p modelu AR(p) jes nieznany i rzeba go wyznaczyć empirycznie. Możliwe rozwiązania ego problemu osiągnięe poprzez zasosowanie funkcji auokorelacji cząskowej lub kryeriów informacyjnych. PACF PACF czyli funkcja auokorelacji cząskowej (ang. parial auocorrelaion funcion) jes użyecznym narzędziem służącym do wyznaczania rzędu p w modelu auoregresji AR(p). Określa się ja nasępująco: Rozważmy modele AR kolejnych rzędów: r a ar e r r a a a r ar e 3 a r 3 a r 3 a r 33 3 e 3 Są o równania w posaci równań modeli wielorakiej regresji liniowej i mogą być esymowane za pomocą meody najmniejszych kwadraów. Oszacowanie parameru ˆa w pierwszym równaniu jes nazywane warością PACF z opóźnieniem ˆa w drugim równaniu warością PACF z opóźnieniem id. Z określenia ego wynika że PACF z opóźnieniem pokazuje dodakowy wkład warości r do r ponad o co już zosało wniesione za pośrednicwem r w modelu AR(). PACF z opóźnieniem 3 pokazuje dodakowy wkład warości r 3 do r a a r e ponad o co zosało wniesione przez model AR(3) id. Zaem dla modelu AR(p) PACF z

22 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych opóźnieniem p nie powinno się zerować naomias z opóźnieniami większymi od p powinno być bliskie. Przy spełnieniu pewnych warunków regularności można wykazać że PACF z próby wyznaczone dla modelu AR(p) ma nasępujące własności: a p p a j j ˆ jes zbieżne do a p gdy długość próby T dąży do ˆ dąży do dla wszyskich j p asympoyczna wariancja zmiennych a ˆ j j jes równa /T dla j p. Kryeria informacyjne Podane niżej kryeria informacyjne wykorzysują funkcję wiarygodności kórą oznaczamy u przez L. W skrócie jeśli dana jes próba r r } o { T (3.) L( ) f ( r r ; ) T { T gdzie f jes gęsością łącznego rozkładu zmiennych r r } a jes wekorem paramerów określającym jednoznacznie en rozkład. Przy esymacji paramerów modeli szeregów czasowych meodą największej wiarygodności na ogół korzysa się z równości T T (3.) f ( r r ; ) f ( r ; ) f ( r r r ; ). Najbardziej popularne jes kryerium informacyjne Akaike (ang. Akaike Informaion Crierion AIC) ln L( ˆ) AIC T k T wyraz karzący za liczbę paramerów modelu gdzie k jes liczba paramerów modelu a L (ˆ ) jes warością funkcji wiarygodności dla obserwacji r r } wyliczoną dla oszacowania ˆ wekora paramerów kóre ją maksymalizuje. { T

23 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 3 Sosowanie kryerium informacyjnego AIC do wyboru rzędu modelu AR polega na wyznaczaniu jego warości dla modeli AR(l) l P i wybraniu akiego rzędu l dla kórego AIC ma najmniejszą warość Oprócz kryerium AIC do najczęściej sosowanych należą jeszcze skorygowane kryerium Akaike (AICc) oraz kryeria Schwarza (Bayessian Informaion Crierion BIC) Hannana-Quinna (H-Q) i Shibay (Sh) określone wzorami: ln L( ˆ) T k AICc T T k ln L( ˆ) k lnt BIC T T ln k T L ( ˆ) ln(ln H -Q ) T T ln L( ˆ) T k Sh ln. T T Czym się różnią? Przedsawione kryeria informacyjne różnią się regułą według kórej wyliczają karę za liczbę paramerów modelu. Na przykład z ego że dla T 7 lnt wynika iż kryerium BIC karze bardziej za liczbę paramerów modelu niż kryerium AIC (jeśli T 7 ). Należy podkreślić że chociaż podane u definicje kryeriów informacyjnych należą do najczęściej spoykanych w lieraurze ekonomerycznej o jednak czasami kryeria informacyjne definiowane są inaczej. Niekiedy używa się nasępujących definicji: AIC ln L( ˆ ) k BIC ln L( ˆ) k lnt H -Q ln L( ˆ) k ln(ln T). W akiej syuacji przeciwnie niż poprzednio większa warość kryerium oznacza że model jes lepszy. O ym czy min czy max decyduje znak przy logarymie funkcji wiarygodności

24 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 4 Ocena dopasowania modelu. Jeśli model jes odpowiednio dobrany o ciąg resz powinien być ścisłym białym szumem. Należy o sprawdzić za pomocą esów. Zwróćmy uwagę że esy omawiane na poprzednio doyczą ylko zależności liniowych. Ponieważ w definicji modelu AR(p) jes mowa o ścisłym białym szumie więc powinno się sosować esy wykrywające akże zależności nieliniowe. Modele MA(q) Dla modelu MA(q) warość ACF z opóźnieniem q jes różna od zera a dla każdego opóźnienia l q jes równa zero a funkcja PACF maleje w sposób wykładniczy. Tę własność można wykorzysać przy idenyfikacji rzędu modelu MA. B. Ćwiczenia w Grelu i w Saisice - samodzielne wykorzysanie omówionych wcześniej funkcji - Dane: plik4 - Insrukcja 3

25 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 5 Zajęcia 4. Modele ARMA i ARIMA A. Wiadomości eoreyczne (4.) r ar a b gdzie jes ścisłym białym szumem a b. Własności modelu ARMA() Sacjonarność Model ARMA() Jeśli szereg jes kowariancyjnie sacjonarny o warość oczekiwana (4.) oraz wariancja E ( r ) a a ( ab b ) (4.3) var( r ). a Zaem warunkiem słabej sacjonarności jes a. ACF Dla auokowariancji procesu ARMA() zachodzą równości (4.4) a b. inaczej niż dla AR() Dla l orzymujemy naomias a i ak samo dla wszyskich l (4.5) l a l. Przechodząc z ym do ACF mamy dla modelu ARMA() (4.6) b a l a l dla l. ak jak dla AR() PACF Można wykazać że PACF dla procesu ARMA() nie znika przy żadnym opóźnieniu i zachowuje się podobnie jak dla MA() poza ym że wykładniczy spadek warości PACF dla

26 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 6 procesu ARMA() zaczyna się dopiero od opóźnienia a nie jak dla MA() od opóźnienia. Ogólna posać: Modele ARMA(p q) p q bi i i i (4.7) r a air i gdzie jes ścisłym białym szumem a p i q są nieujemnymi liczbami całkowiymi. Równość (.4) możemy zapisać za pomocą operaora opóźnienia k L k L r r jako k p q (4.8) ( al a pl ) r a ( b L bq L ). wielomian AR wielomian MA Wielomian a L a L a L a L p ( ) p nazywamy wielomianem AR a wielomian b L b L b L b L q ( ) q wielomianem MA. Żądamy by wielomiany AR i MA nie miały wspólnych czynników; w przeciwnym wypadku rząd (pq) modelu ARMA(p q) można zredukować. Model ARMA(p q) jes kowariancyjnie sacjonarny gdy wszyskie pierwiaski równania a ( L) gdzie a (L) jes wielomianem AR mają moduły większe od. Gdy spełniony jes en warunek o średnia procesu ARMA(p q) określonego wzorem (4.7) jes równa (4.9) a E( r ). a a p Idenyfikacja modeli ARMA ACF i PACF nie niosą informacji użyecznych przy wyborze rzędu procesu ARMA. Modele ARIMA Rozważmy model ARMA określony równaniem (.44) albo równoważnie (.45). p ( al a pl ) r a ( b L q b L ) q (L) (L)

27 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 7 Jeśli wielomian AR w ym równaniu posiada pierwiasek o module równym o proces opisany za pomocą ego modelu jes niesacjonarny. Obecność pierwiaska jednoskowego powoduje zmienność auokorelacji procesu w czasie. Inną konsekwencją isnienia pierwiaska jednoskowego jes o że wpływ szoku na szereg czasowy jes rwały (persysencja). Zauważmy że jeśli wielomianu (L) ma dokładnie jeden pierwiasek jednoskowy i nie ma pierwiasków w kole jednoskowym o może być przedsawiony w posaci ( L) ( L)( L) gdzie (L) jes wielomianem rzędu p kóry ma wszyskie pierwiaski poza kołem jednoskowym. Proces (zróżnicowany) w ( L) r może być wedy opisany za pomocą kowariancyjnie sacjonarnego modelu ARMA. Jeśli pierwiasków jednoskowych jes więcej (d) uzyskujemy przedsawienie d ( L ) ( L)( L) co oznacza że po d-kronym zróżnicowaniu proces może być opisany za pomocą kowariancyjnie sacjonarnego modelu ARMA. Orzymane w en sposób równanie d (7.) ( L)( L) a b( L) opisuje auoregresyjny zinegrowany model średniej ruchomej ARIMA (ang. auoregressive inegraed moving average). Zapis ARIMA(pdq) oznacza model dla procesu kóry po d-kronym zróżnicowaniu może być opisany za pomocą modelu ARMA(p q). B. Ćwiczenia w Grelu Szacowanie modelu ARMA Tesy pierwiaska jednoskowego (zob. zajęcia ) Szacowanie modelu ARIMA

28 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 8 i w Saisice

29 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 9

30 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 3 Prognozy

31 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 3

32 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 3

33 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 33 Cześć. Modelowanie szeregów wielowymiarowych. Zajęcia 5. Modele wekorowej auoregresji A. Wiadomości eoreyczne Kowariancyjna sacjonarność i macierze korelacji krzyżowych. Rozważmy eraz k-wymiarowy szereg czasowy r ( r r ). Szereg czasowy jes kowariancyjnie (słabo) sacjonarny jeśli jego warość średnia μ E( ) ( Er Er ) oraz macierz kowariancji Γ E [( r μ)( r μ) ] nie zmieniają się w czasie. k r k Γ var( r ) cov( r r ) Γij () cov( rn r ) cov( r var( r cov( r n r ) r ) ) cov( r cov( r var( r Jeśli przez D oznaczymy macierz diagonalną na kórej głównej przekąnej znajdują się odchylenia sandardowe zmiennych r i o macierz korelacji krzyżowych z opóźnieniem ma posać ρ D D. Elemenem ij macierzy ρ jes korelacja pomiędzy zmiennymi r i oraz r j. Ważnym elemenem badania zależności między zmiennymi jes analiza korelacji pomiędzy akualnymi a opóźnionymi warościami zmiennych r i. W pewnym sopniu pozwala ona określić zmienne wiodące i zmienne opóźnione. Macierz kowariancji krzyżowych z opóźnieniem l jes zdefiniowana nasępująco: Γ [ Γ ( l )] E[ (r μ)( r μ)] a macierz korelacji krzyżowych z opóźnieniem l jes posaci l ij ρ l D l D. l r r n n ) ) ) Jakie informacje zawiera a macierz? Macierz korelacji krzyżowych z próby wiadomo jak.

34 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 34 Modele wekorowej auoregresji (VAR) Wielowymiarowy szereg czasowy jes procesem VAR() jeśli można go opisać za pomocą modelu (5.) r φ Φr ε gdzie φ jes k-wymiarowym wekorem Φ macierzą o wymiarach k k a ε } jes ciągiem szeregowo nieskorelowanych wekorów losowych o zerowej średniej i macierzy kowariancji. W przypadku dwuwymiarowym mamy: r r r r r r { Jaka jes inerpreacja współczynników? W podobny sposób jak w przypadku jednowymiarowym można wyprowadzić dla modelu VAR() warunki kowariancyjnej sacjonarności i inne własności modelu VAR(). Jeśli założymy że model (5.) jes słabo sacjonarny o z równania Er φ ΦEr Eε mamy μ E ( r ) ( I Φ) φ przy założeniu że macierz ( I Φ) jes nieosobliwa. Warunek sacjonarności: wszyskie warości własne macierzy Φ muszą być co do modułu mniejsze od. Równanie (.8) określa model VAR(p): (5.) r φ Φr Φpr p ε. Podobnie jak powyżej { ε } jes u ciągiem szeregowo nieskorelowanych wekorów losowych o zerowej średniej i macierzy kowariancji. Własności: cov( r ε ) Σ cov( r l ε dla l ) dla l. l l p l p

35 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 35 Wekorowe modele średniej ruchomej (VMA) Wekorowy proces średniej ruchomej VMA(q) jes posaci (5.3) q q ε ε ε θ r gdzie θ jes k-wymiarowym wekorem a i są macierzami wymiaru k k. Dla przykładu dwuwymiarowy proces VMA() jes opisany za pomocą równań (5.4) r r Inerpreacja paramerów? Modele VARMA Wekorowe modele ARMA (VARMA) sanowią uogólnienie modeli ARMA. Sprawiają one sporo kłopoów jeśli chodzi o sosowanie w prakyce. Jednym z podsawowych jes problem idenyfikacji modelu. Na przykład model VARMA()=VMA() r r jes idenyczny z modelem VARMA()=VAR() r r r r B. Ćwiczenia w grelu

36 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 36 C.

37 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 37

38 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 38

39 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 39

40 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 4

41 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 4 Zajęcia 6. Analiza impulse-response A. Wiadomości eoreyczne Analiza impulse response jes narzędziem pozwalającym na zbadanie wpływu jednoskowych szoków obserwowanych w jednym szeregu czasowym na inny szereg. Umożliwia ona np. ocenę w jaki sposób nagłe nieoczekiwane zmiany w jednym obszarze gospodarki wpływają na inny jej obszar. Punkem wyjścia do budowy funkcji reakcji jes przedsawienie procesu auoregresyjnego w posaci procesu średniej ruchomej (na podsawie wierdzenia Wolda o dekompozycji). Zgodnie z wierdzeniem Wolda dowolny proces kowariancyjnie sacjonarny średniej można przedsawić w posaci y o zerowej y j j j gdzie i j. j W powyższej dekompozycji jes białym szumem (zn. E( ) E( ) oraz są y jako funk- nieskorelowane) i reprezenuje błąd popełniany przy prognozowaniu zmiennej cji liniowej jej opóźnionych warości. Rozważmy model posaci (6.) x b bz x y x (6.) y b bz y y x gdzie o zmiennych x y nie dzielimy na egzo- i endogeniczne a x y są białymi szumami. O procesach x y zakładamy że są sacjonarne. Model posaci (3.4)-(3.5) może być zapisany w posaci zredukowanej czyli akiej w kórej zmienne objaśniane zależą ylko od zmiennych z góry usalonych: b b x b y b Inaczej można napisać x y x. y

42 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 4 * x a a ax (3.6) * y a a ay a b b gdzie a b b a a a a b b * * b b x y bb b b Model (3.6) może zosać zapisany nasępująco: x x y y gdzie i a a a a i * i * i x. y x y są średnimi warościami odpowiednio x y. Dalej możemy uzyskać nasępującą zależność zmiennych x y od szoków x i y : x x y y b x y i φi i a a b b i a a b x i y i x i y i gdzie macierz φ [ ( j)] jes aka jak o wynika z równania czyli i ik a a b φ i. bb a a b i Model średniej ruchomej umożliwia badanie wzajemnych powiązań między procesami x y. Elemeny macierzy φ są nazywane mnożnikami naychmiasowymi. Elemeny macierzy i φ ( i ) są nazywane mnożnikami opóźnionymi. Obrazują one reakcję zmiennej wywołaną jednoskową nagłą zmianą kóra zaszła i okresów wcześniej. Np. elemen () wyraża reakcję po dwóch okresach zmiennej x wywołaną przez jednoskową zmianę y. Suma mnożników () przez n okresów (zn. n i ( j) n) wyraża skumulowany wpływ zmian y na x i nazywana jes mnożnikiem długookresowym albo skumulowanym Sumowanie można przeprowadzić dla każdego ciągu współczynników macierzy φ i.

43 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 43 Elemeny macierzy φ i nazywane są razem funkcją reakcji. Analizując warości funkcji reakcji w zależności od i można zbadać zachowanie zmiennych x i różnorodnych szoków jednoskowych. y w przypadku B. Ćwiczenia w grelu

44 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 44

45 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 45 Zajęcia 7. Problemy z pierwiaskiem jednoskowym A. Wiadomości eoreyczne Mówiąc o modelach AR(p) zauważyliśmy że warunkiem sacjonarności procesu AR(p) jes p o aby wszyskie pierwiaski wielomianu a L a L p były co do modułu większe od. Tesowanie ego założenia najczęściej sprowadza się do badania czy wysępują pierwiaski o module równym. Wśród niesacjonarnych szeregów czasowych do najważniejszych należą zw. procesy pierwiaska jednoskowego. Przykładem akiego procesu jes błądzenie losowe określone równaniem (5.) r r gdzie jes białym szumem. Zauważmy że jes o proces AR() ze współczynnikami a i a. Równanie (5.) można zapisać w posaci (5.) r r. Widać zaem że po zróżnicowaniu procesu r orzymujemy proces sacjonarny. Jeżeli proces r jes niesacjonarny a proces jego pierwszych różnic jes sacjonarny o o r mówimy że jes zinegrowany w sopniu co oznaczamy r ~I(). Inne przykłady procesów I() o proces błądzenia losowego z dryfem (5.3) r r oraz proces błądzenia losowego z rendem (5.4) r Jeżeli niesacjonarny proces r saje się sacjonarny dopiero po k-kronym zróżnicowaniu o nazywamy go zinegrowanym w sopniu k co oznaczamy r ~I(k). Szeregi sacjonarne oznaczamy przez r ~I().

46 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 46 Regresje pozorne W przypadku gdy modelujemy szeregi czasowe generowane przez proces pierwiaska jednoskowego możliwe jes wysępowanie zw. pozornej regresji. Z regresją pozorną mamy do czynienia wówczas gdy po oszacowaniu modelu warość współczynnika R jes wysoka i warości saysyk -Sudena dla zmiennych objaśniających w modelu wskazują że zmienne e są isone saysycznie przy założonym poziomie isoności a nie wysępuje powiązania meryorycznego pomiędzy zmienną objaśnianą i między zmiennymi objaśniającymi. Inaczej mówiąc zmienna objaśniana i zmienne objaśniające są szeregami generowanymi przez niezależne procesy sochasyczne naomias ich regresja wskazuje na wysępowanie isonej zależności i sugeruje że mamy dobrze oszacowany model ej zależności. Zaem kiedy mamy do czynienia z szeregami niesacjonarnymi o bez sarannej analizy doyczącej poprawności modelu możemy wyciągnąć błędne wnioski doyczące powiązań między zmiennymi. Tesy pierwiaska jednoskowego Tes Dickeya-Fullera. Jes o najczęściej sosowany es pierwiaska jednoskowego. Rozważa się w nim rzy ypy równań (w zależności od ego czy esujemy sacjonarność względem poziomu czy względem rendu: ~ (7.) r r x r ~ (7.) r r x r ~ (7.3) r r x 3r 3 Hipoeza zerowa w każdym przypadku mówi że wysępuje co najmniej jeden pierwiasek ~ jednoskowy ( ) a hipoeza alernaywna że brak akiego pierwiaska ( ~ ) gdzie ~ i i a ~iid(; ). i Jeżeli nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej o przyjmujemy że mamy do czynienia z obecnością co najmniej jednego pierwiaska jednoskowego w procesie x. i

47 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 47 Jeżeli hipoeza zerowa zosaje odrzucona o mamy do czynienia odpowiednio ze:. sacjonarnym procesem AR(). sacjonarnym procesem AR() z dryfem 3.sacjonarnym procesem AR() z deerminisycznym rendem. Saysyka esu Dickeya-Fullera jes nasępująca ~ DF ( ~ S ) gdzie ~ jes oszacowaniem parameru przy opóźnionej zmiennej w równaniach (3.6)-(3.8) a ~ S ( ) błędem esymacji parameru ~. Trzeba korzysać z empirycznych warości kryycznych wyznaczonych przez auorów esu. Programy kompuerowe z reguły podają od razu p-warości. Rozszerzony es Dickeya-Fullera (ADF) Tes Phillipsa-Perrona. H : r ~I() Tes KPSS: H : r ~I() B. Ćwiczenia w grelu samodzielne przeprowadzenie esów omówionych na zajęciach i zajęciach 6 plik5

48 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 48 Zajęcia 7. Koinegracja A. Wiadomości eoreyczne Klasyczne podejście do analizy niesacjonarnych szeregów czasowych zakładało procedurę kilkakronego różnicowania ich aż do uzyskania szeregów sacjonarnych. Powodowało o jednak uraę informacji o długookresowych zależnościach pomiędzy zmiennymi. Koncepcja koinegracji zosała opracowana przez Engle a i Grangera. Isoą pojęcia koinegracji zmiennych jes isnienie długookresowych powiązań pomiędzy ymi zmiennymi. Koinegracja oznacza wysępowanie sanu równowagi długookresowej przy czym w krókim okresie mogą wysępować odchylenia od ego sanu. Odchylenia od sanu równowagi (danej ścieżki wzrosu) mogą być wynikiem wahań przypadkowych lub eż wahań sezonowych. Żeby można było mówić o koinegracji zmienne powinny charakeryzować się wspólną ścieżką wzrosu. Założenie o wysępowaniu koinegracji jes silnym założeniem gdyż pozwala na opisanie sanu równowagi pomiędzy zmiennymi kóre są niesacjonarne o ile ich liniowa kombinacja worzy szereg sacjonarny. Zmienne będące procesami pierwiaska jednoskowego kórych liniowa kombinacja jes procesem sacjonarnym nazywamy zmiennymi skoinegrowanymi. x Dokładnie mówiąc dwa procesy y ~ CI( d b; d b ) x ) jeżeli x x i y są skoinegrowane rzędu ( d b) (ozn. y ~ I( d) oraz isnieje kombinacja liniowa ych procesów y kóra jes procesem zinegrowanym w sopniu d b. Wekor ] nazywamy wekorem koinegrującym. [ W ogólnym przypadku n procesów ( x x x x ) ) warunek skoinegrowania ( n procesów x x xn jes nasępujący: x x xn ~ I( d ) oraz isnieje wekor β aki że x β ~ I( d b).

49 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 49 Najkorzysniejszą syuację z punku widzenia modelowania mamy gdy d b (najlepiej d b. Wedy pewna kombinacja danych szeregów czasowych jes procesem sacjonarnym. Możliwa jes na przykład koinegracja zmiennych w sopniu ( ) jednak relacja aka nie jes specjalnie użyeczna gdyż liniowa kombinacja zmiennych worzy proces zinegrowany (w sopniu pierwszym). Jeżeli x y ~ CI ( ) (7.) y βx czyli o (7.) [ y x ] [ y x ] β. Zależność opisana równaniem (7.) może być rakowana jako opisująca długookresowy (nie zależący od czasu) san równowagi pomiędzy procesami x i y. Rozważmy możliwe syuacje doyczące szeregów x i y z kórych każdy jes co najwyżej I():. x ~I() i y ~I() lub x ~I() i y ~I() wedy ~I() więc procesy x i y nie są skoinegrowane.. x ~I() i y ~I() wedy mamy dwie możliwości: A. ~I() co oznacza że procesy x i y nie są skoinegrowane. B. ~I() wedy procesy x i y są skoinegrowane. 3. x ~I() i y ~I() szeregi są sacjonarne. Nie porzeba się zasanawiać nad koinegracją. Tesowanie koinegracji opiera się na ych samych esach co badanie sopnia inegracji szeregów czasowych. Przy ym esy przeprowadzane są dla resz z jednego z nasępujących równań: y x y x y x n n x

50 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 5 Na przykład w przypadku esu Dickeya-Fullera sosuje się do oszacowania saysyki esowej esu nasępujące równanie: są reszami z jednego z powyższych równań a jes białym szumem gdzie W przypadku gdy w reszach wysępuje silna auokorelacja należy szacowane równania rozszerzyć o odpowiednią liczbę opóźnień. W przypadku esów doyczących koinegracji sosuje się ablice ze skorygowanymi warościami kryycznymi. B. Ćwiczenia w grelu

51 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 5

52 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 5 Zajęcia 8. Model koreky błędem (VECM) A. Wiadomości eoreyczne Równanie koinegracji (7.) opisuje san równowagi długookresowej pomiędzy procesami. W celu wychwycenia dososowań krókookresowych można zasosować model koreky błędem (ECM). Pozwala on na opis dososowań kóre nie zależą od poziomu zmiennych objaśniających a od różnicy między poziomem zmiennych objaśniających a poziomem wynikającym z równowagi długookresowej. Model koreky błędem składa się z dwóch równań. Pierwsze z nich opisuje równowagę dłuookresową a drugie opare na przyrosach procesów dososowania krókookresowe Zaem w celu zbudowania modelu koreky błędem dla szeregów x y ~ I( d ) skoinegrowanych w sopniu pierwszym x y ~ CI ( ) ) należy najpierw usalić równanie koinegrujące. Paramery ego równania można rakować jako dane lub oszacować. Nasępnie konsruuje się równanie krókookresowe dla przyrosów procesów x y : (8.) y x ( y x ) x (8.) y x ECM gdzie jes procesem białego szumu. W równaniu (8.) wysępują procesy sacjonarne. Składnik oznaczony symbolem ECM opisuje san równowagi długookresowej osiągnięy w okresie - jes o mechanizm koreky błędem. Paramer niesie informację o dososowaniach krókookresowych w czasie do sanu równowagi z okresu -. Paramer powinien być ujemny gdyż ylko aka jego warość zapewni dochodzenie do sanu równowagi w miarę upływu czasu. Model opisany równaniem (8.) nie uwzględnia auokorelacji w badanych procesach. Zmodyfikowana posać (8.3) jes pozbawiona ej słabości: (8.3) y x ( y x ) aiy i bjy j Paramery modelu ECM mogą być szacowane klasyczną meodą najmniejszych kwadraów. p i q j

53 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 53 B. Ćwiczenia w grelu

54 Małgorzaa Doman Modelowanie i analiza szeregów czasowych 54