Elżbieta Szulc Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Modelowanie zależności między przestrzennoczasowymi procesami ekonomicznymi

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyk Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Modelowanie zależności między przesrzennoczasowymi procesami ekonomicznymi. Wprowadzenie Główną ezą referau jes swierdzenie, że podsawą odpowiedniego modelowania zależności miedzy procesami przesrzenno-czasowymi jes uwzględnienie ich wewnęrznej srukury. Procesy przesrzenno-czasowe charakeryzowane są przez zbiory podwójnie indeksowanych zmiennych, zw. pola losowe. Modele srukury akich pól X u i, losowych, omawiane w punkach i referau będą miały isone znaczenie dla specyfikacji modeli zależności miedzy procesami (polami) przesrzennoczasowymi. Modele omawiane w punkcie 4 uwzględniają zasadę dynamiki czasowe przesrzennej i przesrzenno-czasowe przejawiającą się w wyspecyfikowaniu odpowiednich opóźnień czasowych, przesunięć przesrzennych a akże jednoczesnych przesunięć przesrzenno-czasowych w modelowaniu zależnośc oraz zasadę zgodnośc kóra jes rozwinięciem zasady zgodności sosowanej w ekonomerii w liniowym dynamicznym modelowaniu zależności procesów sochasycznych. Wskazuje się na korzyści wynikające z akiego podejścia dla modelowania zależności ekonomicznych zjawisk przesrzenno-czasowych. Rozważania eoreyczne ilusrowane są przykładem empirycznym doyczącym zależności między bezrobociem a wynagrodzeniami bruo w sekorze przedsiębiorsw w Polsce, kóry zamieszczono w punkcie 5 referau. W punkcie 6 sformułowano wnioski i wskazano na kierunki dalszych badań.

2 6. Modelowanie srukury rendowo-sezonowej Niejednorodne/ niesacjonarne ze względu na średnią przesrzenno-czasowe procesy ekonomiczne można modelować wykorzysując wielomianowe funkcje rendu przesrzenno-czasowego/ i zero-jedynkowe modele składnika sezonowego. Niech oznacza przesrzenno-czasowy proces, obserwowany w prze- X i, u ( ) srzennych jednoskach o współrzędnych lokalizacji u i = u i, ui, w czasie. Wyrażenie posaci: f ( u i, ui ; ) = r r γ r r r u i u i,, + r + r r przedsawia przesrzenno-czasowy rend sopnia r. Model procesu przesrzenno-czasowego z rendem i z sezonowością przyjmuje posać: m r r X ui, = γ r, r, r u i ui + d kq k + ηui, + r + r r k = (), () gdzie: Q k zero-jedynkowe zmienne sezonowe, η jednorodny/ sacjonarny przesrzenno-czasowy proces reszowy. u i,. Modelowanie srukury auoregresyjnej Konsrukcja auoregresyjnych modeli przesrzenno-czasowych opiera się na założeniu, że warości zjawiska obserwowanego w określonych punkach w czasie i w przesrzeni zależą od wcześniejszych obserwacji ego zjawiska w innych punkach w przesrzeni. Powiązania między zmiennymi w różnych jednoskach w przesrzeni zależą w sysemayczny sposób od odległości przesrzenne podobnie jak zależności w czasie zależą od odległości czasowej. Rozważa się zależności między sąsiadami rożnych rzędów. Aby formalnie wyrazić powiązania obserwacji zmiennej w jednym miejscu z obserwacjami na ej samej zmiennej w innych miejscach, wygodnie jes odwołać się do koncepcji przesrzennego lagu, j. operaora przesunięcia przesrzennego. Operaor przesunięć przesrzennych różni się od operaora przesunięć czasowych, ponieważ en osani powoduje przesunięcia zmiennej o jeden lub więcej okresów wsecz, podczas gdy operaor przesrzenny działa w różnych kierunkach, zgodnie z fakem, iż kierunek przesunięć w przesrzeni może być różny. Definicja operaora przesunięć przesrzennych zależy od układu danych przesrzennych oraz od ego, co jes wiadomo z góry o badanym zjawisku, na przykład, czy uzasadnione jes założenie, że wpływ zmiennej zlokalizowanej w określonym miejscu na aką zmienną zlokalizowaną w innym miejscu zale-

3 Modelowanie zależności między przesrzenno-czasowymi procesami ekonomicznymi 6 ży głównie od odległości między lokalizacjami a nie zależy od kierunku, czy eż należy przyjąć, że zależy akże od kierunku. Punkem wyjścia odpowiedniego określenia operaora przesunięć przesrzennych jes idenyfikacja sąsiadów każdego miejsca i na siace D, zgodnie z określonym kryerium specyfikacji (np. wspólna granica dla zw. najbliższych sąsiadów). Idenyfikuje się sąsiadów pierwszego-, drugiego-, id. rzędu. Odpowiednie zbiory sąsiadów oznacza się przez: N (i), N (i),... (ogólnie, N s (i), gdzie s oznacza rząd sąsiedzwa). Po wyznaczeniu zbiorów sąsiadów dla każdego miejsca można zdefiniować operaor przesunięć przesrzennych rzędu s (ozn. L (s) ) w nasępujący sposób: ( s) ( s) L X = j w N () i ij X s. () Z powyższego wynika, że przesrzenny operaor przesunięć jes raczej operaorem odsępów rozłożonych w przesrzen niż operaorem przesunięć w określonym kierunku. Przyjmuje się, że wagi w () spełniają nasępujące warunki: ( s) ) 0, w ij ) ( s) = 0, ) ( s) w () ij =. w ii j N s i Wagi e są zwykle usalane a priori przez badacza. Mogą one odzwierciedlać długość wspólnych granic, liczbę dróg, połączeń kolejowych, odległość geograficzną lub ekonomiczną między regionami. Wykorzysując podane wyżej określenie przesrzennego operaora L (s) można zdefiniować przesrzenno-czasowy auoregresyjny model rzędu l w przesrzeni oraz q w czasie, ozn.: STAR(l, q), j.: X l q ( s) j = α sτl X τ s= 0 τ= + ε i. (4) W modelu (4) nie uwzględnia się zw. auozależności czyso przesrzennych, j. zależności między jednoskami przesrzennymi w ym samym czasie. Na ogół jes o uzasadnione. Można bowiem zgodzić się z argumenacją, że zdarzenia w różnych punkach w przesrzeni nie wpływają na zdarzenia w innych lokalizacjach naychmias, ponieważ realizacja efeków oddziaływania Operaor przesunięć przesrzennych jes czasami przedsawiany jako zw. srukura przesrzennych przesunięć w modelu. Możliwe są różne srukury przesunięć przesrzennych. O ich roli w definiowaniu oraz własnościach zw. modeli STARMA (spaioemporal auoregressive-moving-average models) piszą, np. Hopper i Hewings (98). Określenie przesrzennej siaki można znaleźć, np. w: Cressie (99), rozdz. 6. Por., np. Giacomin Clive, Granger (004).

4 64 wymaga pewnego odsępu czasowego. Jednak należy zwrócić uwagę, że założenie o braku naychmiasowej zależności przesrzennej jes ważne, o ile odsęp czasu między obserwacjami jes mniejszy niż rzeczywise opóźnienie reakcji. Jeśli mechanizm generujący przebieg zjawiska worzy je z częsoliwością większą niż częsoliwość z jaką obserwowane są dane, wedy mogą zachodzić pozornie naychmiasowe oddziaływania. Zaem, o czy przesrzenno-czasowy model auoregresyjny powinien zawierać składnik czyso przesrzenny zależy od skali czasu realizacji i pomiaru zjawiska. Ponado, podczas gdy naychmiasowa przyczynowa zależność może być wąpliwa, przesrzenna korelacja w ym samym czasie (zw. auokorelacja przesrzenna) jes oczywiście możliwa. W niniejszym opracowaniu konsruując przesrzenno-czasowe modele auoregresyjne uwagę ogranicza się do modeli posaci (4). Zakłada się zaem, że porzebny jes przynajmniej jeden odsęp czasu dla zaisnienia ewenualnej zależności przesrzennej. 4. Modelowanie zależności między procesami Ważną koncepcją modelowania zależności między procesami przesrzennoczasowym uwzględniającą srukurę powiązań w czasie i w przesrzeni jes zgodne modelowanie pól losowych, powsałe na wzór ekonomerycznego modelowania zgodnego, odnoszącego się do procesów sochasycznych. Auorka podejmowała już próby konsrukcji modeli zgodnych dla pól losowych i badania ich własności na gruncie rozważań eoreycznych oraz na podsawie danych generowanych 4. W niniejszym opracowaniu zaprezenowano przykład empiryczny modelowania zależności dwóch procesów przesrzennoczasowych. Procedura budowy modelu zgodnego jes w ym wypadku nasępująca: ) Dopasowuje się modele z przesrzenno-czasowym rendem i sezonowością: X m r r u, = i γ, r, r u i ui + r + r + r r k = d k Q k + η u, i, (5) Y u, i m r r = δ, r, r u i ui + ( y ) r + r + r r k = d ( y) k Q k + η ( y) u, i. (6),, ( y) ui, 5 : ) Przesrzenno-czasowe procesy η u η idenyfikuje się jako procesy auoregresyjne, dopasowując modele posaci η l q = αs, τl τ ε s= 0 τ= i ( s) η +, (7) 4 Parz, Szulc (998, 00). 5 Dla uproszczenia noacji w dalszych zapisach indeks u i zasąpiono indeksem i.

5 Modelowanie zależności między przesrzenno-czasowymi procesami ekonomicznymi 65 h p ( y) ( s) ( y) ( y) η = β η +. (8) s, τl τ ε s= 0 τ= ) Konsruuje się równanie zależności dla białoszumowych procesów przesrzenno-czasowych ε i,, ε, ( y) j.: ( y) ε = ρε + i, ε gdzie: ε, (9) biały szum niezależny od ε. 4) Zgodny model dla procesów rzeczywisych orzymuje się wyznaczając procesy reszowe z (5) i (6) i podsawiając odpowiednio do (7) i (8), a nasępnie przekszałcone (7) i (8) podsawiając do (9). W efekcie orzymuje się: Y = + gdzie:, r, r + r + r r h p θ s= 0 τ= β s, τ u i u r i l ( s) ( s) L Y + α L X τ r + m k = d q s= 0 τ= k Q k s, τ + ρx ( y) r = max{ r, r }, = ρα. α s, τ s, τ τ + ε, (0) Uwzględnienie w modelu (0) składnika rendowo-sezonowego filruje z procesów Y niejednorodną/ niesacjonarną średnią, dzięki czemu paramery: α X, s, τ, βs, τ, ρ mierzą zależności między jednorodnymi/ sacjonarnymi składowymi ych procesów. Oprócz bieżącej zależności między procesami X, Y, mierzonej przez paramer ρ, w modelu (0) uwzględnia się zależności opóźnione i przesunięe w przesrzeni. Wpływ zjawiska objaśniającego obserwowanego w ych samych punkach w czasie i przesrzen w kórych obserwowane jes zjawisko objaśniane zosał oddzielony od wpływu ego zjawiska obserwowanego gdzie indziej i kiedy indziej. Te wpływy mierzone są odpowiednio przez ρ oraz α s,τ. Paramery β s, τ odzwierciedlają związki w czasie między wielkościami zjawiska objaśnianego w sąsiadujących jednoskach przesrzennych. Dzięki wyodrębnieniu explicie zmiennych L s X i, τ, nie będą one ( ) mieściły w sobie zw. pośrednich wpływów na Y i,. Specyfikacja modelu (0) wynika z badania wewnęrznej srukury poszczególnych procesów. Jes o model pełny, kóry po oszacowaniu paramerów wymaga redukcji nieisonych składników. 5. Przykład empiryczny Przykład empiryczny doyczy zależności między bezrobociem i wynagrodzeniami bruo w sekorze przedsiębiorsw w Polsce w układzie wojewódzw

6 66 w okresie: syczeń 999 grudzień 006. Analizuje się sopę bezrobocia oraz realne wynagrodzenia. Dane pochodzą z Biuleynów saysycznych wojewódzw za odpowiednie okresy oraz ze źródeł inerneowych: hp:// Próba saysyczna składa się z dwóch zbiorów danych, liczących po 96 obserwacji czasowych dla każdej z 6 jednosek przesrzennych, j. łącznie 56 obserwacji. Zebrane dane zarówno w zakresie bezrobocia, jak i wynagrodzeń wykazują zmiany rendowe i sezonowe. Uzasadnione jes akże podejrzenie, że dane e mogą być przesrzennie skorelowane. A. Badanie rendu i sezonowości Rozważono modele wielomianowych funkcji rendu przesrzennoczasowego z sezonowością. Dla procesu wynagrodzeń wybrano model posaci: x ij = 884,4+ 504,4i + 700,86 j +,547 ( 57,448) ( 8,9) ( 8,9) (,7) 504,88i 598,97 j 0, ,50ij ( 5,6069) ( 5,6069) ( 0,04675) ( 0,85) 40,64ij + 0,00877 i 0,786ij + 90,776i ( 4,405) ( 0,0060) ( 0,659) ( 6,9076) + 0,0905i + 0,9846 j 78,70i j + 0,0005i (,0849) (,0849) ( 4,405) ( 0,67074) + 95,09 j + 0,0007 0,05476 j 0, j ( 6,9076) ( 0,000) ( 0,67074) ( 0,0060) 6,57 Q 65,4650Q + 6,898Q 7,4584Q ( 5,455) ( 5486) ( 5,9) ( 5,746) 4,648Q5,88Q6 + 4,99Q7,558Q ( 564) ( 5,564) ( 5,564) ( 5,64) 4,97 0,907 46,7 Q9 Q0 + Q + uij. ( 5,746) ( 5,9) ( 5,486) 8 4 () Model () przedsawia przesrzenno-czasowy rend rzeciego sopnia i sezonowość. Charakeryzuje się on isonością większości paramerów. Sopień dopasowania modelu do rzeczywisości jes w ym wypadku niewielki (R =0,4566). Analiza zmian rendowych i sezonowych w przesrzenno-czasowym procesie bezrobocia pozwoliła na dopasowanie modelu (), kóry charakeryzuje się isonością zdecydowanej większości paramerów oraz wysokim sopniem dopasowania do rzeczywisości (R = 0,8868).

7 Modelowanie zależności między przesrzenno-czasowymi procesami ekonomicznymi 67 y ij = 9,407 9,85i,787 j + 0, ,48565i (,6964) (,4887) (,4887) ( 0,057) ( 0,577588) 8, j + 0, ,447ij 0,045969i ( 0,577588) ( 0,0005) ( 0,559) ( 0,0674) 0,09844 j + 0,494i j + 0,0004i +,06ij ( 0,0674) ( 0,044679) ( 0,008) ( 0,04468) + 0,000i + 0,0045ij 0,9569i,7988 j ( 0,000006) ( 0,0044) ( 0,0746) ( 0,0746) 0, ,005 j 0,0007 j + 0,85Q ( 0,00000) ( 0,008) ( 0,00006) ( 0,6648) + 0,8959Q + 0,75089Q + 0,656Q4 0,647Q ( 0,668) ( 0,65854) ( 0,6565) ( 0,655) 0,4965Q6 0,6445Q7 0,44557Q ( 0,65458) ( 0,65458) ( 0,655) 0,49765 Q9 0,6057 Q0 0,4996 Q ( 0,6565) ( 0,65854) ( 0,668) 8 ( y) + u. ij 5 () B. Badanie srukury auoregresyjnej Celem analizy srukury auoregresyjnej badanych procesów była idenyfikacja największych isonych opóźnień czasowych i przesunięć przesrzennych. W zakresie opóźnień czasowych w obu procesach swierdzono isoność opóźnień rzędu, naomias w zakresie przesunięć przesrzennych, isoność przesunięć rzędu pierwszego, zn. powiązania między najbliższymi sąsiadami. Oszacowano modele STAR(, ). Na przykład, dla wynagrodzeń orzymano: u = 0, ,869u + 0,084u + 0,00984u (,748) ( 0,05) ( 0,057) ( 0,057) + 0,0756u 4 0,04647u 5 + 0,047u 6 + 0,079u 7 ( 0,088) ( 0,06) ( 0,0) ( 0,0) 0,056u 8 0,0754u 9 + 0,006u 0 + 0,0700u ( 0,05) ( 0,07) ( 0,0057) ( 0,048) () () + 0,6846u + 0,6958L u + 0,098L u ( 0,09) ( 0,0977) ( 0,0405) () () () () + 0,08 L u 0,0055L u 4 + 0,065L u 5 ( 0,0466) ( 0,0499) ( 0,04) () () () 0,089L u 6 0,0699L u 7 + 0,000L u 8 ( 0,06) ( 0,04) ( 0,045) () () () + 0,0965L u 9 0,0565L u 0 + 0,00 L u ( 0,04488) ( 0,046) ( 0,047) 0,86 ( ) L u + ei,. ( 0,097) Modele auoregresyjne odnoszące się zarówno do wynagrodzeń, jak i bezrobocia zawierały nieisone składniki. Jednak na ym eapie analizy nie prze-

8 68 prowadzono redukcji. Redukcja nieisonych składników zosała przeprowadzona dopiero w odniesieniu do pełnego modelu zgodnego. C. Empiryczny model zgodny Sosując procedurę opisaną w punkcie 4 niniejszego opracowania orzymano model zgodny, opisujący zależności między wynagrodzeniami a bezrobociem. Model zredukowany do isonych składników przyjął nasępującą posać: y = 0,5759+,5554i + 0,8459 j + 0,06988 ( 0,60599) ( 0,56) ( 0,75879) ( 0,0879) 0,558 i + 0,0765 j 0,0004 0,897ij ( 0,999) ( 0,78) ( 0,000) ( 0,08458) + 0,0574ij + 0,00006i + 0,0007ij + 0,0646i ( 0,0040) ( 0,00004) ( 0,00047) ( 0,04874) 0,00565i 0,00899 j + 0,0997i j 0,00009i ( 0,0065) ( 0,00566) ( 0,00964) ( 0,000) 0,095 j 0, ,0006 j + 0,000 j ( 0,0586) ( 0,000008) ( 0,0000) ( 0,00007) + 0,75Q + 0,0754Q 0,0705Q 0,87Q ( 0,0446) ( 0,090) ( 0,08657) ( 0,069) 0,44Q5 0,477Q6 0,0750Q7 0,4575Q ( 0,0984) ( 0,0078) ( 0,05848) ( 0,0548) 0,0807Q9 0,0577Q0 + 0,0698Q +,0768 y ( 0,0756) ( 0,0875) ( 0,0767) ( 0,0445) 0,500 y + 0,9646 y 0,6087 y ( 0,04409) ( 0,04476) ( 0,04494) () () () 0,7677 L y + 0,4694 L y 0,55L y ( 0,0508) ( 0,049885) ( 0,050076) () () + 0,605 L y + 0,000 x 4 + 0,0008L x ( 0,050608) ( 0,00008) ( 0,0009) () 0,00087 L x 0 + e ; ( 0,00099) R = 0, (4) Model (4) orzymano z pełnego modelu zgodnego sosując meodę selekcji a poseriori. W modelu pozosał rend i sezonowość, sopa bezrobocia w danym wojewódzwie i wojewódzwach sąsiadujących z poprzedniego miesiąca, sprzed dwóch, jedenasu i dwunasu miesięcy oraz wynagrodzenia w danym wojewódzwie sprzed czerech miesięcy. Ponado, na sopę bezrobocia w danym wojewódzwie isony wpływ zdają się mieć wynagrodzenia z poprzedniego miesiąca i sprzed dziesięciu miesięcy w wojewódzwach sąsiadujących. Model (4) nie zawiera bieżących wynagrodzeń. Należy zauważyć, iż bieżące wynagrodzenia znalazłyby się w modelu sopy bezrobocia, gdyby w modelu zależności między rozważanymi procesami nie

9 Modelowanie zależności między przesrzenno-czasowymi procesami ekonomicznymi 69 uwzględniono srukury rendowo-sezonowo-auoregresyjnej. Model przyjąłby wówczas nasępującą posać: y i,, = 5,846 0, x + u j (5) ( 0,804) ( 0, ) i charakeryzowałby się auozależnościami w reszach oraz bardzo niskim sopniem dopasowania do rzeczywisości (R = 0,068769). Również uwzględnienie jedynie srukury rendowo-sezonowej badanych procesów powoduje, że w modelu sopy bezrobocia wśród składników objaśniających pozosają bieżące wynagrodzenia w sekorze przedsiębiorsw. W ym wypadku oszacowany model jes nasępujący: y = 40,944 8,54i,54 j + 0,4976 (,6964) (,476) (,48) ( 0,0) + 5,698i + 7,06 j 0,0008 5,468ij ( 0,58687) ( 0,5954) ( 0,000498) ( 0,57) + 0,945ij + 0,000i + 0,00404ij 0,7999i ( 0,045447) ( 0,000064) ( 0,004) ( 0,07754),699 j 0, ,004 j + 0,00067 j ( 0,0779) ( 0,00000) ( 0,00777) ( 0,00006) + 0,7807 Q + 0,784Q + 0,7664Q ( 0,6577) ( 0,6505) ( 0,6786) + 0,045Q4 0,988Q5 0,560Q ( 0,6589) ( 0,6886) ( 0,649) 0,558Q7 0,4496Q8 0,50574Q ( 0,69) ( 0,645) ( 0,658) 0,696Q0 0,977 Q 0,007 x ( 0,680) ( 0,6454) ( 0,00074) 0,045i 0,0905 j + 0,544i j + 0,0004i ( 0,058) ( 0,05) ( 0,049064) ( 0,0078) u. (6) Współczynnik R dla modelu (6) wynosi 0,808. Reszy wykazują auokorelację przesrzenną i przesrzenno-czasową. W różnych modelach przy bieżących wynagrodzeniach orzymuje się różne paramery nie ylko co do isonośc ale akże co do warości. Ponado, paramery wpływu wynagrodzeń na bezrobocie w różnych odsępach czasu różnią się co do isonośc warości i znaku. Fak en należy wiązać m.in. z oddziaływaniem wynagrodzeń, z jednej srony na popy na siłę roboczą, z drugiej zaś na akywność zawodową. Wydaje się, że wpływy e mogą przejawiać się z różną siłą w różnym czasie. Wracając do modelu (4), dokonano analizy procesu reszowego. Model STAR (, ) przyjął nasępującą posać: ( ) e ˆ = 0,009+ 0,095e 0, L e. (7) ( 0,00798) ( 0,04889) ( 0,05494)

10 70 Nieisoność paramerów modelu (7) świadczy o braku czasowej i przesrzenno-czasowej auokorelacji rzędu pierwszego. Rozważano również modele STAR wyższych rzędów w wymiarze. Nie swierdzono isonych paramerów w ych modelach. 6. Podsumowanie Uwzględnienie wewnęrznej srukury procesów przesrzenno-czasowych jes ważnym elemenem modelowania zależności między ymi procesami. Orzymuje się model zgodny, kóry charakeryzuje się odpowiednimi własnościami resz, wysokim sopniem dopasowania do rzeczywisości oraz inerpreowalnością paramerów. W prezenowanej analizie przyjęo założenia upraszczające. W zakresie srukury auoregresyjnej badanych procesów w wymiarze przesrzennym, uwagę ograniczono do auozależnosci pierwszego rzędu, co oznacza, że idenyfikowano jedynie zw. najbliższych sąsiadów. W modelach nie uwzględniano zw. auozależności czyso przesrzennych. Do kwesii ych należy wrócić w kolejnych badaniach. Lieraura Cressie, N. A. (99), Saisics for Spaial Daa, John Wiley & Sons, New York. Giacomin R., Clive, C. W. J., Granger, W. J. (004), Aggregaion of Space-Time Processes, Journal of Economerics, 8/, 7 6. Hopper, P. M., Hewings, G. J. D. (98), Some Properies of Space-Time Processes, Geographical Analysis,, 0. Szulc, E. (998), On Conformable Economeric Modelling of Space-Time Series, w: Zielińsk Z. (red.), Dynamic Economeric Models,, UMK, Toruń, Szulc, E. (00), Idenyfikacja odsępów czasowych realizacji zależności w przesrzenno-czasowych modelach ekonomerycznych, w: Zeliaś, A. (red.), Przesrzennoczasowe modelowanie i prognozowanie zjawisk gospodarczych, AE, Kraków,