Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN Nr

Transkrypt

1 Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN Nr Alicja Ganczarek-Gamro Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Informayki i Komunikacji Kaedra Demografii i Saysyki Ekonomicznej alicja.ganczarek-gamro@ue.kaowice.pl PORÓWNANIE METOD ESTYMACJI VaR NA POLSKIM RYNKU GAZU Sreszczenie: Celem pracy jes przeprowadzenie analizy porównawczej meod esymacji ryzyka zmiany ceny gazu oszacowanego za pomocą Value-a-Risk (VaR). W pracy do porównania efekywności esymacji ryzyka zmiany ceny gazu wybrano meodę symulacji Mone Carlo, w kórej VaR rakowany jes jako kwanyl rozkładu zmiennej losowej o rozkładzie normalnym, -Sudena, GED oraz skośnym rozkładzie -Sudena z VaR oszacowanym z uwzględnieniem dynamiki zmienności cen gazu za pomocą liniowych oraz nieliniowych modeli szeregów czasowych AR-GARCH. Analiza porównawcza zosała przeprowadzona w oparciu o wyniki esu przekroczeń Kupca na podsawie logarymicznych sóp zwrou warości indeksu gas_base noowanego na Rynku Dnia Nasępnego (RDN) TGE w okresie od sycznia do 20 lisopada 204 roku. Słowa kluczowe: VaR, rozkład sóp zwrou, modele szeregów czasowych. Wprowadzenie W 202 roku na Rynku Terminowym Towarowym polskiej Towarowej Giełdy Energii (TGE) pojawiły się insrumeny erminowe owarowe na gaz, a 3 grudnia 202 roku uruchomiony zosał rynek spo gazu, na kórym od marca 203 roku podawane są noowania ciągłe konraków na dosawę gazu, łączny dzienny wolumen obrou oraz warości indeksów gas_base i gas_weekend. Celem pracy jes przeprowadzenie analizy porównawczej meod esymacji ryzyka zmiany ceny gazu oszacowanego za pomocą Value-a-Risk (VaR). Meody esymacji warości zagrożonej generalnie można podzielić na meody rakujące VaR jako paramer, czyli kwanyl rozkładu zmiennej losowej, lub jako funkcję zależną od czasu, czyli kwanyl rozkładu procesu sochasycznego. W pracy do porównania efekywności esymacji ryzyka zmiany ceny gazu wybrano meodę,

2 42 Alicja Ganczarek-Gamro w kórej VaR rakowany jes jako kwanyl rozkładu: normalnego, -Sudena, GED oraz skośnego -Sudena z VaR oszacowanym z uwzględnieniem dynamiki zmienności cen gazu za pomocą liniowych i nieliniowych modeli szeregów czasowych. Analiza porównawcza zosała przeprowadzona w oparciu o wyniki esu przekroczeń Kupca na podsawie dziennych logarymicznych sóp zwrou warości indeksu gas_base noowanego na Rynku Dnia Nasępnego (RDN) TGE w okresie od sycznia do 20 lisopada 204 roku.. Wybrane meody esymacji VaR Warość narażona na ryzyko (ang. Value-a-Risk, VaR) jes o aka sraa warości, kóra z zadanym prawdopodobieńswem ( 0, ) nie zosanie przekroczona w określonym czasie Δ [Jajuga, 2000]. VaR dla pozycji krókiej definiowana jes nasępująco: P( X + Δ X VaR ) =, () gdzie: X obecna warość waloru w chwili, X + Δ zmienna losowa, warość waloru na końcu rwania inwesycji. Oznaczając przez Z logarymiczną sopę zwrou z inwesycji X Δ Z = ln( + ), (2) X równość () można zapisać jako kwanyl rzędu ( 0, ) rozkładu logarymicznych sóp zwrou [Jajuga, 2000]: VaR (e Z = -)X. (3) Spośród meod esymacji kwanyla w niniejszym arykule wybrano meodę symulacji Mone Carlo, w kórej przyjmuje się pewien hipoeyczny model najlepiej opisujący rozkład sóp zwrou w szczególności w ogonach rozkładu. Kwanyl rzędu ( 0, ) można zapisać nasępująco [Blanco, 998]: Z = μ + F ( σ, (4) ) Dla pozycji długiej warość sray VaR można zdefiniować nasępująco: P( X + Δ X VaR ) =.

3 Porównanie meod esymacji VaR na polskim rynku gazu 43 gdzie: μ średnia rozkładu sóp zwrou, σ odchylenie sandardowe rozkładu sóp zwrou, F ( ) kwanyl rzędu rozparywanego zesandaryzowanego rozkładu, F () dysrybuana rozkładu. Podejście esymacji kwanyla danego równością (4) zosało porównane z esymacją kwanyla będącego funkcją czasu w nasępujący sposób [Doman, 2004a; Doman, 2004b, Pionek, 2002]: Z μ + F ( ) σ =, (5) gdzie: μ średnia sóp zwrou zależna od czasu, σ odchylenie sandardowe sóp zwrou zależne od czasu, F ( ) kwanyl rzędu rozparywanego zesandaryzowanego rozkładu, F () dysrybuana rozkładu. Biorąc pod uwagę charaker zmienności oraz częsoliwość danych warość oczekiwaną procesu sochasycznego zmienności cen gazu μ można zapisać, wykorzysując modele uwzględniające rend, sezonowość i auokorelację, np. model SARIMA (ang. Seasonal Auo-Regressive Inegraed Moving Average) (p,d,q) (P, D, Q) [Brockwell i Davis, 996]: gdzie: p( B )P ( s d s s B ) s z = q( B )Qs ( B ) p ε, (6) p ( B ) = p B, P ( B ) = P B, i= q i i= i i i s P si i= q ( B ) = q B, Q ( B ) = Q B, s Q i= s opóźnienie sezonowe, d rząd zinegrowania szeregu, z empiryczne warości szeregu, s B operaor przesunięcia B z = z s, s operaor różnicowy z = z z s s = ( B )z, ε reszy modelu, p rząd opóźnienia części auoregresyjnej modelu, d rząd sopnia zinegrowania modelu, si i i

4 44 Alicja Ganczarek-Gamro q rząd opóźnienia części średniej ruchomej modelu, P rząd opóźnienia sezonowej części auoregresyjnej modelu, D rząd sezonowego sopnia zinegrowania modelu, Q rząd opóźnienia sezonowej części średniej ruchomej modelu. Ze względu na obserwowany efek skupiania się zmienności wariancję szeregu logarymicznych sóp zwrou cen gazu opisano uogólnionym modelem wariancji GARCH(m, k) (ang. Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy) [Engle i Bollerslev, 986]: σ + + m l = iz i βiσ i= i= 0, (7) gdzie: 0 warość bezwarunkowej wariancji procesu ( a 0 0 ),, β q p > 0 a pozosałe współczynniki są nieujemne, m, l rząd modelu. Do porównania poprawności esymacji warości VaR w pracy wykorzysano es ilości przekroczeń VaR [Kupiec, 995], w kórym weryfikowana jes hipoeza: H w = 0 : VaR wobec hipoezy alernaywnej H w : VaR, gdzie: rząd przekroczeń VaR, w VaR udział przekroczeń VaR w procesie rozparywanych sóp zwrou, w = K udział przekroczeń VaR VaR w szeregu rozparywanych sóp zwrou T (K liczba przekroczeń, T długość szeregu). Przy założeniu prawdziwości hipoezy zerowej saysyka: LR POF ( ) 2ln T K T T K = K K K K T ~ χ 2 (8) 2 ma asympoyczny rozkład χ z jednym sopniem swobody [Kupiec, 995].

5 Porównanie meod esymacji VaR na polskim rynku gazu Analiza empiryczna Na rys. przedsawiono szereg czasowy warości indeksu gas_base noowanego od marca 203 roku (począku funkcjonowania RDN gazu) do 20 lisopada 204 roku. Warość indeksu gas_base odpowiada średniej dziennej cenie gazu [PLN/MWh] spośród wszyskich ransakcji zawarych na dany dzień. Indeks noowany jes każdego dnia ygodnia łącznie z dniami świąecznymi. Na począku wprowadzenia handlu konrakami na gaz poza nielicznymi wyjąkami ceny gazu kszałowały się na sałym poziomie. Dopiero pod koniec roku 203 można zauważyć zmiany w poziomie kszałowania się cen gazu, jak również rend i siedmiodniową cykliczność /03/0 203/04/25 203/06/07 203/07/7 203/08/26 203/0/05 203//4 203/2/24 204/02/05 204/04/05 204/05/5 204/06/24 204/08/03 204/09/2 indeks [PLN/MWh] 204/0/22 Rys.. Warości indeksu gas_base [PLN/MWh] noowanego na Rynku Dnia Nasępnego Towarowej Giełdy Energii w okresie od do Źródło: [www ]. Na rys. 2 przedsawiono szereg czasowy dziennych logarymicznych sóp zwrou indeksu gas_base dla analogicznego okresu. W szeregu sóp zwrou rend nie jes widoczny, naomias wyraźnie widać okresy bardzo niskiej zmienności cen, czyli okresy niskiego ryzyka zmiany ceny gazu, jak również okresy podwyższonej zmienności cen, a najwyższy poziom ryzyka zmiany ceny obserwujemy w momencie pojawienia się konfliku na Ukrainie.

6 46 Alicja Ganczarek-Gamro 0,2 0,0 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00-0,02-0,04-0,06-0,08-0,0-0,2-0,4-0,6 203/03/0 203/04/25 203/06/07 203/07/7 203/08/26 203/0/05 203//4 203/2/24 204/02/05 204/04/05 204/05/5 204/06/24 204/08/03 204/09/2 z 204/0/22 Rys. 2. Szereg czasowy logarymicznych sóp zwrou warości indeksu gas_base w okresie od do Biorąc pod uwagę kszałowanie się cen oraz logarymicznych sóp zwrou cen gazu (rys. -2), do analizy porównawczej efekywności meod esymacji VaR wybrano szereg logarymicznych sóp zwrou cen gazu noowanych na RDN od sycznia do 20 października 204. Na rys. 3 przedsawiono hisogram rozkładu oraz wykres kwanyl-kwanyl. Na poziomie isoności 0,05 należy odrzucić hipoezę, że rozkład sóp zwrou cen gazu jes rozkładem normalnym. W ocenie rozkładu należy uwzględnić akie charakerysyki jak: obserwowana na rys. 3 asymeria, grube ogony oraz lepokuryczność ,2 0,0 0,08 z = 2,2445E-5+0,0283*x 0,0 0,05 0,25 0,50 0,75 0,90 0,99 Liczba obserwacji ,490-0,068-0,0646-0,0224 0,098 0,0620 0,042-0,279-0,0857-0,0435-0,003 0,0409 0,083 z Warość obserwowana 0,06 0,04 0,02 0,00-0,02-0,04-0,06-0,08-0,0-0,2-0,4-0, Kwanyl eoreyczny Rys. 3. Rozkład logarymicznych sóp zwrou warości indeksu gas_base w okresie od do

7 Porównanie meod esymacji VaR na polskim rynku gazu 47 0,2 0,0 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 z -0,02-0,04-0,06-0,08-0,0-0,2-0,4-0, dzień ygodnia Mediana 5%-95% Zakres nieodsających Odsające Eksremalne Rys. 4. Wykres ramka-wąsy logarymicznych sóp zwrou warości indeksu gas_base w okresie od do w poszczególne dni ygodnia ( poniedziałek, 7 niedziela) W wyborze modelu szeregu czasowego logarymicznych sóp zwrou cen gazu należy uwzględnić brak rendu oraz efek skupiania się zmienności (rys. 2), jak również wysępującą w szeregu auokorelację związaną z cyklicznością ygodniową widoczną na rys Warości funkcji auokorelacji (ACF) oraz auokorelacji cząskowej (PACF) (rys. 5) zanikają. Biorąc pod uwagę wymienione charakerysyki szeregu empirycznego (auokorelację, sezonowość) oraz isoność paramerów modelu, oszacowany model SARIMA meodą najmniejszych kwadraów zosał zredukowany do posaci μ = 0,5z 7.

8 48 Alicja Ganczarek-Gamro 0,20 0,5 0,0 0,05 0,00-0,05-0,0-0, ACF PACF Rys. 5. Wykres funkcji ACF oraz PACF logarymicznych sóp zwrou warości indeksu gas_base w okresie od do Paramery modelu wariancji w zależności od zakładanego rozkładu zawiera abela. Na mocy kryerium Schwarza (BIC) [Schwarz, 978] najlepiej do danych dopasowany jes model z lepokurycznym rozkładem GED. Tabela. Paramery modelu wariancji Rozkład a 0 a b Paramery rozkładu BIC normalny (N) 2,54 0,23 0,43 N(0, ) -4, Sudena () 2,28 0,3 0,46 (0,, 4,3) -4, GED 2,27 0,26 0,45 GED(0,,,6) -4, skośny -Sudena (sk-) 2,28 0,3 0,45 sk-(0,, 0,02, 4,) -4,4748 W abeli 2 przedsawiono udział przekroczeń VaR, oszacowanego z jednodniowym horyzonem rwania inwesycji, w zależności od wybranej meody szacunku oraz usalonego rzędu. Dla warości VaR oszacowanych z rozkładu zmiennej losowej udział przekroczeń znacznie odbiega od oczekiwanej. Naomias w przypadku VaR szacowanego przy uwzględnieniu zmienności paramerów rozkładu udział przekroczeń jes zbliżony do oczekiwanych z wyjąkiem rozkładów z grubymi ogonami (rozkładem -Sudena, GED, rozkładem skośnym -Sudena) dla pozycji długiej i niskich warości. Tabela 2. Empiryczna liczba przekroczeń VaR w zależności od meody esymacji Meoda Zmienna losowa Proces sochasyczny Rozkład N GED sk- N GED sk- K w VaR = T Pozycja króka 0,0500 0,3907 0,4404 0,4570 0,4404 0,0497 0,0563 0,0530 0,0563 0,0250 0,3676 0,4305 0,437 0,4305 0,033 0,0298 0,0298 0,0298

9 Porównanie meod esymacji VaR na polskim rynku gazu 49 cd. abeli ,000 0,3543 0,3676 0,3676 0,3676 0,033 0,0066 0,0066 0,0066 0,0050 0,3344 0,3344 0,3046 0,3278 0,0066 0,0033 0,0066 0,0033 0,0025 0,3278 0,275 0,238 0,266 0,0066 0,0033 0,0033 0,0033 Pozycja długa 0,0500 0,384 0,3676 0, ,3676 0,0629 0,0695 0,0563 0,0762 0,0250 0,3676 0,3477 0,333 0,3477 0,033 0,033 0,0265 0,033 0,000 0,3477 0,2947 0,2566 0,2947 0,0232 0,0066 0,0099 0,0066 0,0050 0,33 0,247 0,292 0,257 0,032 0,0000 0,0000 0,0000 0,0025 0,379 0,29 0,5563 0,252 0,0033 0,0000 0,0000 0,0000 W abeli 3 zamieszczono p-warości esu przekroczeń Kupca. Biorąc pod uwagę wyniki z abel 2-3 można powiedzieć, że spośród omawianych meod esymacji VaR zdecydowanie lepsze wyniki esymacji daje meoda rakująca obserwowane warości sóp zwrou jako realizacje procesu sochasycznego. Uwzględnienie zależności obserwacji od czasu wyraźnie poprawiło jakość esymacji warości VaR na polskim rynku gazu. Porównując ze sobą wyniki esymacji VaR za pomocą modelu auokorelacji i warunkowej wariancji można dodakowo swierdzić, że efek skośności, lepokuryczności i grubych ogonów rozkładu logarymicznych sóp zwrou zosał poprawnie oszacowany za pomocą modeli warunkowych z rozkładem normalnym. Tabela 3. P-warości esu przekroczeń Kupca Meoda Zmienna losowa Proces sochasyczny Rozkład N GED sk- N GED sk- p-warość Pozycja króka 0,0500 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9789 0,6226 0,839 0,6226 0,0250 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,3893 0,6038 0,6038 0,6038 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,5893 0,5297 0,5297 0,5297 0,0050 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,7034 0,6574 0,7034 0,6574 0,0025 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2347 0,788 0,788 0,788 Pozycja długa 0,0500 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,323 0,403 0,6226 0,0520 0,0250 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,3893 0,3893 0,8695 0,3893 0,000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0494 0,5297 0,9908 0,5297 0,0050 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0923 0,0000 0,0000 0,0000 0,0025 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,788 0,0000 0,0000 0,0000 Podsumowanie Na rysunkach zilusrowano wybrane oszacowania VaR jako kwanyla rozkładu zmiennej losowej oszacowanego na podsawie próby (rys. 6) oraz kwanyla procesu sochasycznego oszacowanego na podsawie empirycznego szeregu czasowego.

10 50 Alicja Ganczarek-Gamro Rys. 6. VaR oszacowane w oparciu o rozkład normalny w okresie od do Rys. 7. VaR oszacowane w oparciu o model uwzględniający zmienność warości oczekiwanej i wariancji w czasie z rozkładem normalnym w okresie od do

11 Porównanie meod esymacji VaR na polskim rynku gazu 5 Podsumowując uzyskane wyniki należy swierdzić, że w esymacji VaR na polskim rynku gazu zdecydowanie należy uwzględniać w zmienności cen sezonowość oraz heeroskedasyczność wariancji. Dla wybranego szeregu czasowego najprossze modele GARCH(,) z rozkładem normalnym na poziomie isoności 0,05 poprawnie oszacowały warość zagrożoną dla większości poziomów olerancji. Lieraura Blanco C. (998), Value a risk for energy: Is VaR useful o manage energy price risk?, Commodiies-Now, December. Brockwell P.J., Davis R.A. (996), Inroducion o Time Series and Forecasing, Springer-Verlag, New York. Doman M. (2004a), Zasosowanie modeli CAViaR w szacowaniu warości zagrożonej, Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Szczecińskiego, nr 389. Doman R. (2004b), Dynamika korelacji między rynkami kapiałowymi krajów Europy Środkowej, Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Szczecińskiego, nr 389. Engle R.F., Bollerslev T. (986), Modeling he persisence of condiional variance, Economeric Review, Vol. 5. Jajuga K., Jajuga T. (999), Inwesycje, WN PWN, Warszawa. Jajuga K. (2000), Ryzyko w finansach. Ujęcie saysyczne [w:] A. Zeliaś (red.), Współczesne problemy badań saysycznych i ekonomerycznych, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków. Kupiec P. (995), Techniques for verifying he accuracy of risk managemen models, Journal of Derivaives, Vol. 2. Pionek. K. (2002), Pomiar ryzyka meodą VaR a modele AR-GARCH ze składnikiem losowym o warunkowym rozkładzie z grubymi ogonami, Rynek Kapiałowy. Skueczne Inwesowanie. Schwarz G. (978), Esimaing he Dimension of a Model, The Annals of Saisics, Vol. 6. [www ] COMPARISON OF VaR ESTIMATION METHODS ON POLISH NATURAL GAS MARKET Summary: This work is aimed a comparing mehods of Value-a-Risk (VaR) esimaion on Polish naural gas marke. Two mehods of calculaing VaR were examined. One of hem uses a quanile of he normal, -Suden, skewed -Suden or GED disribuion. Anoher mehod is based on AR-GARCH models. Empirical analysis was carried ou for

12 52 Alicja Ganczarek-Gamro logarihmic raes of reurn of gas-base index noed on he Day Ahead Marke from h January o 20 h November 204. Based on Kupiec es resuls one may say ha on Polish naural gas marke VaR esimaes calculaed by ime series models are more appropriae han VaR esimaes calculaed as a quanile of disribuion. Key words: VaR, raes of reurn disribuion, ime series models.