Integracja zmiennych Zmienna y

Transkrypt

1 Inegracja zmiennych Zmienna y jes zinegrowana rzędu d jeśli jej różnice rzędu d są sacjonarne. Zapisujemy o y ~ I ( d ). Przyjmuje się również, że zmienna sacjonarna y (jako że nie rzeba jej różnicować, żeby uzyskać jej sacjonarność) jes zinegrowana sopnia zero, co zapisujemy y ~ I (0). Regresja pozorna Mamy dwa szeregi błądzenia losowego: x = x 1 + ε1, gdzie ε1, ε 2 ~ N(0,1). y = y 1 + ε 2 Rzecz jasna, szeregi e nie mają z sobą nic wspólnego. Owórzmy w Sacie dane syne.da i zobaczmy jak szeregi e wyglądają na wykresie (do file: dofile1 ): se ma 800 se mem 200m sse ime scaer (y x) ime, c(l l) s(i i) Jak widać, niewiele da się powiedzieć o szeregu y znając szereg x i odwronie. Tym samym, regresja y na x: y = α + β x + ε powinna zakończyć się oalną klapą. Spróbujmy więc ją wykonać: reg y x Okazuje się, że zmienna x (oraz sała) w sanowczo isony sposób wpływa na zmienną y! Dodakowo model jes dość 2 dobrze dopasowany do danych, na kórych zosał zbudowany ( R 70% ). Czemu więc zawdzięczamy pozornie dobry, choć bezsensowny model? Odpowiedź kryje sopień inegracji zmiennych x i y. Były o procesy błądzenia losowego, o kórych wiemy, że są niesacjonarne, a dokładniej są zinegrowane rzędu 1 ( x, y ~ I (1) ). Regresja wykonywana dla niesacjonarnych zmiennych najczęściej kończy się regresją pozorną odnajdujemy zależność pomiędzy ymi zmiennymi, kórej ak naprawdę nie ma. Jedyne, co regresję pozorną może wskazywać, o ewidenna auokorelacja błędu losowego: dwsa

2 Czy więc regresji y względem x nie da się oszacować? Na poziomach zmiennych nie można, co pokazaliśmy przed chwilą. Gdyby jednak sprowadzić zmienne do sacjonarności, o problem regresji pozornej byłby wyeliminowany. Wiemy, że błądzenie losowe jes procesem I(1). Oznacza o, że pierwsze różnice ego procesu są już I(0), a więc sacjonarne. Gdybyśmy więc oszacowali model: y = α + β x + ε o jes o model szacowany dla zmiennych sacjonarnych, nie będzie więc w nim problemu regresji pozornej. Oszacujmy en model: reg d.y d.x Oszacowania ego modelu są już spójne z ym, co wiemy o zmiennych x i y (czyli o braku związku pomiędzy ymi zmiennymi). Ani zmienna x, ani sała są w modelu nieisone. Dodakowo współczynnik deerminacji przyjmuje eksremalnie małą wielkość, co dla nas nie jes wielkim zaskoczeniem. Sprawdźmy jeszcze auokorelację składnika losowego: dwsa Obydwa esy wskazują na brak auokorelacji składnika losowego. Badanie sopnia inegracji Jak widać, brak sacjonarności zmiennych może być powodem poważnych uchybień w czasie esymacji paramerów. Musimy więc mieć narzędzie pozwalające nam sprawdzić rząd inegracji zmiennej. Takim narzędziem są esy Dickey-Fullera i KPSS (a niekiedy jes również sosowany es Phillipsa-Perrona). Tes Dickey-Fullera Techniczny sposób przeprowadzenia esu zaproponowali Dickey i Fuller. W najprosszym przypadku (błądzenie losowe bez dryfu), poddaje się równanie błądzenia losowego y = ρ y 1 + ε nasępującym przekszałceniom (dla pozosałych przypadków idea pozosaje a sama i es przebiega analogicznie): y = ρ y + ε 1 y y = ρ y y + ε y = ( ρ 1) y 1 + ε Przyjmując zaś, że ( ρ 1) = δ, czyli ρ = 1+ δ, esowane równanie przyjmuje posać: (*) y = δ y 1 + ε W modelu ym możemy przeesować nasępujące hipoezy:

3 H : δ = 0 ρ = 1 y I(1) 0 H : δ < 0 ρ < 1 y I(0) 1 A więc szereg y jes sacjonarny przy hipoezie zerowej. Aby zweryfikować hipoezy, szacujemy model (*) za pomocą MNK. Okazuje się jednak, że przy prawdziwości hipoezy zerowej, saysyki -Sudena, obliczane do esowania hipoez, nie mają rozkładu -Sudena, gdyż y jes wedy niesacjonarny. Saysyki -Sudena obliczamy δ w sandardowy sposób ( δ = ) i nazywamy je saysykami Dickey-Fullera (saysykami DF). Ponieważ saysyki σ δ DF nie mają znanego rozkładu, nie wiemy z jakich warości kryycznych dla nich korzysać. Dickey i Fuller symulacyjnie wyprowadzili empiryczne rozkłady dla ych saysyk i sworzyli dla nich ablice warości kryycznych. Warości kryyczne ych saysyk są zawsze ujemne (najczęściej są podawane w ablicach jako dodanie, z zaznaczeniem, że pominięo znak - ) i zawsze odczyujemy dwie warości kryyczne dolną (l) i górną (u). Jeżeli: 1. DF < l, o przyjmujemy hipoezę alernaywną (badany szereg sacjonarny), 2. l < DF < u, o es nie rozsrzyga o (nie)sacjonarności, 3. DF > u, o nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej o niesacjonarności. Niekiedy nie podaje się dwóch warości kryycznych (l i u) ylko jedną ( DF ). Pojęcie decyzji jes wedy analogiczne, wykluczamy jedynie obszar niekonkluzywności ( DF < DF przyjmujemy hipoezę alernaywną; DF DF kry przyjmujemy hipoezę zerową). Jeśli wynikiem esu Dickey-Fullera jes sacjonarność badanego szeregu, o nie mamy się już czym marwić. Gorzej, jeżeli przyjmujemy hipoezę zerową i wierdzimy, że szereg jes niesacjonarny. Nie wynika z ego, że jes on zinegrowany sopnia jeden, jak soi w hipoezie zerowej, ale że jes zinegrowany sopnia co najmniej jeden. Aby poznać jego sopień inegracji rzeba procedurę esu Dickeya-Fullera przeprowadzić dla pierwszych różnic szeregu y, a więc dla y. Pamięając o definicji inegracji mamy, że jeżeli pierwsze różnice szeregu są zinegrowane sopnia 0, a więc są sacjonarne, o sam szereg jes zinegrowany sopnia 1. Tesowane równanie przyjmuje więc posać: y = δ y 1 + ε A hipoezy są eraz nasępujące: H : δ = 0 y I(1) y ~ I (2) 0 H1 : δ < 0 y I(0) y ~ I(1) Dalsze wnioskowanie jes analogiczne, jak w pierwszym kroku. Ten sposób posępowania pozwala nam swierdzić jaki jes sopień inegracji szeregu. Jeśli wynikiem esu Dickey-Fullera jes sacjonarność badanego szeregu, o nie mamy się już czym marwić. Gorzej, jeżeli przyjmujemy hipoezę zerową i wierdzimy, że szereg jes niesacjonarny. Nie wynika z ego, że jes on zinegrowany sopnia jeden, jak soi w hipoezie zerowej, ale że jes zinegrowany sopnia co najmniej jeden. Aby poznać jego sopień inegracji rzeba procedurę esu Dickeya-Fullera przeprowadzić dla pierwszych różnic szeregu y, a więc dla y. Pamięając o definicji inegracji mamy, że jeżeli pierwsze różnice szeregu są zinegrowane sopnia 0, a więc są sacjonarne, o sam szereg jes zinegrowany sopnia 1. Tesowane równanie przyjmuje więc posać: y = δ y 1 + ε A hipoezy są eraz nasępujące: H : δ = 0 y I(1) y ~ I (2) 0 H1 : δ < 0 y I(0) y ~ I(1) Dalsze wnioskowanie jes analogiczne, jak w pierwszym kroku. Ten sposób posępowania pozwala nam swierdzić jaki jes sopień inegracji szeregu. kry kry Owórzmy dane kons.da (do file: dofile2 ). Zbiór en zawiera kwaralne odsezonowane informacje doyczące dochodu i konsumpcji w USA (od 1970:1 do 1991:4) i pozwala na modelowanie konsumpcji w zależności od dochodu. Usalmy kóra zmienna odpowiada za czas ( daa ) i zobaczmy jak wyglądają nasze zmienne ( cons i inc ):

4 sse daa scaer (cons inc) daa, c(l l) s(i i) To, co widać na wykresach, o niesacjonarność analizowanych szeregów. Aby się o niej przekonać, sprawdźmy sopień ich inegracji za pomocą formalnych esu (Dickey-Fullera). Obydwa szeregi charakeryzują się rendem (wygląda na o, że liniowym), dlaego jeśli miałby się one zawierać pierwiaski jednoskowe (być błądzeniami przypadkowymi wokół rendu), o opisane byłyby równaniami: cons = α + β + cons + ε 1 inc = α + β + inc 1 + ε Zajmijmy się najpierw równaniem konsumpcji. Zakładając, że nie wiemy, czy jes o proces błądzenia losowego z dryfem (wyraz wolny) i rendem deerminisycznym, zapiszemy: (**) cons = α + β + ρcons 1 + ε Sprawdźmy, czy możemy w ogóle podejrzewać, że konsumpcja kszałuje się zgodnie z procesem błądzenia losowego (czy paramer ρ jes równy 1). reg cons ime l.cons Paramer ρ jes prawie równy jeden, jednak o prawie robi w ym przypadku wielką różnicę, bo deerminuje sacjonarność (możliwość używania sandardowych meod ekonomerycznych) lub niesacjonarność (porzebę przekszałcania szeregu, żeby móc używać sandardowe meody ekonomeryczne). Musimy więc sprawdzić, czy ρ dla szereg konsumpcji jes nieodróżnialne od jedynki (szereg niesacjonarny), czy jes isonie od niej mniejsze (szereg sacjonarny). Reparameryzując równanie (**), odejmijmy od obydwu sron opóźnioną konsumpcję ( cons 1 ):

5 cons cons = α + β + ρcons cons + ε Mamy dalej: cons = α + β + ( ρ 1) cons + ε 1 a podsawiając δ = ρ 1 mamy: cons = α + β + δ cons + ε 1 Jes o równanie esowe esu Dickey-Fullera. Z jego pomocą esujemy nasępujące hipoezy: H : δ = 0 ρ = 1 y I(1) H : δ = 0 ρ = 1 y I(1) 0 H : δ < 0 ρ < 1 y I(0) 1 Oszacujmy równanie esowe w Sacie: reg d.cons ime l.cons 0 H : δ < 0 ρ < 1 y I(0) 1 Jak widać, saysyka DF (nazywana w innych okolicznościach po prosu saysyką ) równa jes Z podanych niżej ablic wynika, że dla modelu z dryfem i rendem, warość kryyczna waha się w zależności od ilości obserwacji od (dla n=50) do (dla n=100). W naszym przypadku (n=87) nie ma o większego znaczenia, gdyż i ak zachodzi DF>warość kryyczna, a więc nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej o niesacjonarności szeregu konsumpcji. Czy jednak samo wyznaczenie saysyki DF było poprawne? Sprawdźmy auokorelację składnika losowego: Okazuje się, że auokorelacja składnika losowego wysępuje, a w modelu były losowe zmienne objaśniające (opóźnienia zmiennej objaśnianej), esymaory MNK są więc niezgodne! Rozszerzony es Dickey-Fullera (Augmened Dickey-Fuller Tes - ADF) Ułomnością esu Dickey-Fullera jes brak odporności na możliwość wysępowania równaniu esowym auokorelacji składnika losowego. Wysępujący w akich przypadkach problem równoczesności może powodować niezgodność esymaorów MNK. Ułomności ej pozbawiony jes już rozszerzony es Dickey-Fullera, kóry wśród zmiennych objaśniających zawiera również opóźnienia zmiennej objaśnianej (augmenacje), korygujące auokorelację składnika losowego. Liczba augmenacji dobierana jes za pomocą meodologii od ogólnego do szczegółowego lub za pomocą kryeriów informacyjnych, jednak głównym zadaniem augmenacji jes usunięcie z modelu auokorelacji składnika losowego. Oo ogólna posać ego esu dla najprosszego przypadku (podobnie jak poprzednio bardzo ławo rozbudować go na model z dryfem i deerminisycznym rendem) o: y = δ y 1 + δ i 1 i y i + ε = Hipoezy esu są akie same, jak w eście Dickey-Fullera. k

6 Zasosujmy es ADF z jedną augmenacją: cons = α + β + δ cons + γ cons + ε reg d.cons ime l.cons l.d.cons Problem auokorelacji pozosał. Dodajmy drugą augmenację: cons = α + β + δ cons + γ cons + γ cons + ε reg d.cons ime l.cons l.d.cons l2.d.cons Dodanie drugiej eż nie pomogło. Dodajmy więc rzecią: cons = α + β + δ cons + γ cons + γ cons + γ cons + ε reg d.cons ime l.cons l(1/3).d.cons

7 Dodanie rzeciej augmenacji pomogło. Skoro esymaory MNK są eraz zgodne, o saysyka DF=-2.43 wyznaczona jes poprawnie. Warość kryyczna esu ADF spada wraz z dodawaniem kolejnych augmenacji. Skoro więc bez augmenacji wynosiła ona około -3.46, o dodanie augmenacji ylko ją zmniejszy. Wciąż zachodzi DF>warość kryyczna, więc wciąż nie ma podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej, że szereg konsumpcji jes zinegrowany sopnia co najmniej 1. Kolejnym krokiem będzie przeprowadzenie esu ADF dla pierwszych różnic szeregu. Jeśli okaże się, że pierwsze różnice są sacjonarne, o oznaczać o będzie, że szereg konsumpcji jes zinegrowany sopnia 1 (rzeba go raz zróżnicować, aby orzymać szereg sacjonarny). Gdyby pierwsze różnice okazały się niesacjonarne, o es rzeba będzie powórzyć dla drugich różnic i ak dalej, aż swierdzimy, że d-e różnice są sacjonarne, więc szereg rzeba d razy zróżnicować, żeby sał się sacjonarny, więc jes on zinegrowany rzędu d. Tes ADF w Sacie W Sacie es ADF można oszacować auomaycznie wykorzysując do ego komendę dfuller. Jej składnia jes nasępująca: gdzie varname o nazwa zmiennej, kórej sacjonarność badamy, a opcjonalnie możemy wybrać noconsan wyklucza z modelu wyraz wolny, lags(#) oznacza ilość augmenacji, rend dodaje do modelu rend liniowy, regress raporuje szczegóły regresji. Tes ADF w formie usuwającej z modelu auokorelację, wywołany mógłby być komendą: dfuller cons, rend regress l(3) Widać, że dochodzimy do podobnych wniosków konsumpcja jes zinegrowana rzędu co najmniej 1. W przypadku komendy dfuller nie ma porzeby znajdowania warości kryycznych w ablicach. Są one raporowane w ramach wyniku. Raporowane jes również p-value, co również uławia podjęcie decyzji. Po komendzie dfuller w sandardowy sposób powinna działać komenda bgodfrey, jednak zdarza się, że wyświela ona wyniki niespójne z analogicznymi wynikami uzyskanymi po ręcznym oszacowaniu modelu do esu ADF. bgodfrey, lags(1/4) Tesowanie sacjonarności 1-szych różnic konsumpcji Skoro wiemy, że konsumpcja jes co najmniej I(1), o sprawdźmy, czy jej pierwsze różnice są sacjonarne (jeśli są akie, o znaczy, że konsumpcja jes dokładnie I(1), jeśli nie są, o znaczy, że jes ona co najmniej I(2)). scaer d.cons daa, c(l) s(i)

8 Tesujemy więc pierwiasek jednoskowy w modelu (nie zachodzi już porzeba uwzględniania rendu, może w modelu pozosać dryf): cons = α + ρ cons + ε 1 cons cons = α + ρ cons cons + ε α ( ρ 1) ε 2 cons = + cons 1 + Czyli: α δ ε 2 cons = + cons 1 + reg d2.cons l.d.cons dfuller d.cons, regress W ym przypadku nie musimy rozbudowywać modelu o augmenacje, gdyż już bez nich nie wysępuje problem auokorelacji (niezgodności esymaorów MNK). Saysyka DF=-7.62 jes mniejsza od warości kryycznej wynoszącej -2.9, przyjmujemy więc hipoezę alernaywną, mówiącą, że pierwsze różnice szeregu konsumpcji są sacjonarne, czyli szereg konsumpcji jes zinegrowany I(1). Do ego samego wniosku dojdziemy inerpreując p-value esu. Proszę analogiczną analizę przeprowadzić dla szeregu dochodu inc. /z analizy ej powinno się okazać, że inc ~ I (1) / Tym samym, jes wysoko prawdopodobne, że regresja konsumpcji na dochodzie będzie regresją pozorną.

9 /Ze skrypu dra Mycielskiego/

10 W Sacie es KPSS możemy przeprowadzić w nasępujący sposób (UWAGA! Komenda kpss nie jes sandardową komendą Say i musi zosać doinsalowana (np. z zasobów sieciowych)): W naszym przypadku, dla konsumpcji es wykonamy za pomocą komendy: kpss cons, m(5) A dla pierwszych różnic konsumpcji: kpss d.cons, m(5) norend Przy esowaniu sacjonarności szeregu konsumpcji, hipoezę zerową o sacjonarności odrzucamy dla każdego opóźnienia, zaś przy esowaniu sacjonarności pierwszych różnic - hipoezę o sacjonarności przyjmujemy dla każdego (es wykonujemy dla posaci modelu bez rendu).

11 Dla szeregu dochodu syuacja wygląda ak: kpss inc, m(5) oraz: kpss d.inc, m(5) norend Dla dochodu na poziomach hipoezę o sacjonarności odrzucamy we wszyskich (oprócz dwóch osanich) przypadkach, za o przyjmujemy, że pierwsze różnice szeregu dochodu są sacjonarne niezależnie od ilości opóźnień umieszczonych w modelu. Wyniki esu Dickey-Fullera i KPSS są dość zbieżne. Zaznaczane było, że wyniki e mogą być rozbieżne, co nie zawsze pozwala podjąć jednoznaczną decyzję o rzędzie inegracji szeregu. Zbliżone wyniki obydwu esów pozwalają wierzyć, że szeregi konsumpcji i dochodu są zinegrowane rzędu 1. Koinegracja Czyli nie można oszacować modelu konsumpcji względem dochodu? Znowu możemy mieć nadzieję, że będziemy mogli zrobić o dla pierwszych różnic (kóre są sacjonarne). Zamias więc szacować model: cons = α + βinc + u odejmiemy od ej posaci posać opóźnioną ( cons 1 = α + βinc 1 + u 1 ) i oszacujemy model: cons = β inc + ε Problemem w ym podejściu jes znalezienie równowagi długookresowej (przykładowo w modelu na różnicach nie ma sałej moglibyśmy ją dodać, ale nie byłaby ona ą samą sałą, co w równaniu wyjściowym; innych przykładów szukaj w skrypcie). Problem en możemy rozwiązać wprowadzając pojęcie koinegracji. Idea koinegracji jes aka: Jeśli pomiędzy zmiennymi niesacjonarnymi wysępuje zależność długookresowa, o koinegracja ych zmiennych oznacza, że odchylenia od ścieżki długookresowej będą sacjonarne.

12 Definicja koinegracji: Zmienne x i y są skoinegrowane rzędu ( d, b ), gdzie d > b > 1, co zapisujemy x, y ~ CI ( d, b ), jeśli: a. zarówno x, jak i y są zinegrowane rzędu d, b. isnieje kombinacja liniowa zmiennych x i y, powiedzmy α1x + α2 y, kóra jes zinegrowana rzędu d b. Wekor [ α1 α 2 ] nazywamy wekorem koinegrującym. W prosszej posaci, zaprezenowanej na wykładzie (posać a aplikuje się do znakomiej większości szeregów ekonomicznych) mamy: Zmienne x i y są skoinegrowane, jeśli: c. zarówno x, jak i y są zinegrowane rzędu 1, d. isnieje kombinacja liniowa zmiennych x i y, powiedzmy α1x + α2 y, kóra jes sacjonarna. Wekor [ α1 α 2 ] nazywamy wekorem koinegrującym. ECM mechanizm koreky błędem (error correcion mechanism) Możliwość analizowania niesacjonarnych zmiennych daje zasosowanie zw. mechanizmu koreky błędem. Mechanizm en ma swoje podsawy w wierdzeniu Grangera: Każde skoinegrowane szeregi y i x mają swoją reprezenację w posaci ECM. W przypadku najczęściej spoykanym w ekonomii, wierdzenie o będzie brzmiało: Każde skoinegrowane szereg y i x, z kórych y, x ~ I (1) mają swoją reprezenację w posaci ECM: k 1 k 1 y = α( y β x ) + θ y + γ x + ε, gdzie ( y 1 x 1 ) ~ I(0) 1 1 i i i i i= 1 i= 0 ECM Dzięki wprowadzeniu ECM, mamy możliwość wyznaczenia równowagi długookresowej. β Dwusopniowa procedura Engla-Grangera Wracając do modelu konsumpcji: cons = α + βinc + ε (1) Konsumpcja i dochód, jak wcześniej zosało usalone, są zinegrowane rzędu 1. Oczywiście chcemy, żeby ε był białym szumem, czyli szeregiem I(0), (że sała jes I(0), o nie ulega wąpliwości). Przekszałcając model (1) mamy: cons βinc = α + ε Czyli jeśli ε rzeczywiście będzie szeregiem I(0), o ( cons βinc ) ~ I(0), więc konsumpcja i dochód są skoinegrowane z wekorem koinegrującym [ 1 β ]. Pierwszy krok dwusopniowej procedury Engla-Grangera polegać będzie na oszacowaniu modelu (1). Oczywiście zmiennej w ym modelu są niesacjonarne, nie ma więc mowy o żadnej jego diagnosyce. Jednak nawe w przypadku niesacjonarnych zmiennych, esymaory MNK są zgodne. Wynika z ego, że możemy analizę sacjonarności nieznanego ε zasąpić analizą sacjonarności resz modelu (1): u = cons βinc Spróbujmy o zrobić: reg cons inc predic reszy, r

13 Jeśli szeregi konsumpcji i dochodu miałyby być skoinegrowane, o reszy z ej regresji musiałyby być sacjonarne. Wekorem koinegrującym dla y, x byłby wedy [ ]. Sprawdźmy rząd inegracji szeregu reszy. UWAGA! Warość kryyczna ego esu zależy od ilości zmiennych w wekorze koinegrującym. Warość p dla ego esu, kóra uwzględnia ę okoliczność może być uzyskana za pomocą funkcji auprob (funkcja a niekiedy wymaga doinsalowania). Funkcja auprob ma nasępującą składnię: auprob {c lub c lub c} vars au gdzie c, c i c o posać równania esowego z odpowiednio sałą, sałą i rendem liniowym oraz sałą, rendem liniowym i rendem kwadraowym, vars o liczba zmiennych z wekora koinegrującego, zaś au o wielkość saysyki DF ( auprob wykonywane bezpośrednio po dfuller pozwala jako paramer au wpisać r(z) wedy Saa sama pobiera wielkość saysyki DF wyznaczoną w procedurze dfuller ). Aby wyświelić wynik działania funkcji auprob należy po użyciu ej komendy wykonać: macro lis S_1 W naszym przypadku mamy: dfuller reszy, regress auprob c 2 r(z) macro lis S_1 lub jeśli chcemy ręcznie podać warość saysyki DF: dfuller reszy, regress auprob c macro lis S_1 Wynik esu pozwala odrzucić hipoezę zerową o niesacjonarności resz modelu (1) i uznać je za sacjonarne. Tym samym, konsumpcja i dochód są skoinegrowane, z wekorem koinegrującym [ ].

14 ECM Korzysając z wierdzenia Grangera, możemy przedsawić model konsumpcji jako model z mechanizmem koreky błędem: (2) k 1 k 1 cons ( = α cons 1 βinc 1 ) + θi cons i + γ i inc i + ε ECM i= 1 i= 0 Rzecz jasna, cons 1 βinc o po prosu opóźnione reszy z modelu (1), czyli 1 cons 1 βinc 1 = u 1. Żeby usalić opymalną wielkość k (ilość opóźnień), skorzysamy z meodologii od ogólnego do szczegółowego, przyjmując dla modelu ogólnego 5-e opóźnienia. Model (2) możemy więc oszacować komendą: reg d.cons l.re l(1/5).d.cons l(0/5).d.inc, nocons Sosując meodologię od ogólnego do szczegółowego, dosajemy, że nie powinniśmy z modelu usuwać rzecich opóźnień. Tym samym mamy: reg d.cons l.re l(1/3).d.cons l(0/3).d.inc, nocons Oszacowanie parameru dla zmiennej reprezenującej ECM jes poprawne z punku widzenia lieraury przedmiou (najczęściej paramer en leży w przedziale (-1;0)). Jego wielkość (-0.107) oznacza, że jednoskowe odchylenie od sanu równowagi korygowane jes w pierwszym okresie (kwarale) o jednoski. W modelu nie wysępuje auokorelacja składnika losowego.

15 Tablice Dickey-Fullera: