Krzysztof Piontek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa dla opcji na WIG20

Transkrypt

1 Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informayki Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Krzyszof Pionek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa oraz AR-GARCH dla opcji na WIG. Model Blacka-Scholesa, Merona. Model wyceny GARCH 3. Własności modelu wyceny GARCH 4. Przykład empiryczny

2 Model Merona, uogólnienie modelu Blacka-Scholesa qt rt rt qt c = Se N( d ) Xe N( d ) p = Xe N( d ) Se N( d ) d = σ ln S + r q + T X σ T d = σ ln S + r q T X σ T Toruń,

3 -Nierealisyczne załoŝenie, Ŝe sopy zwrou mają rozkład normalny i zmieniają się zgodnie z geomerycznym ruchem Browna, kórego paramery są sałe. -Nie obserwuje się niezaleŝności zmienności implikowanej od erminu do wygaśnięcia opcji (srukury czasowe zmienności) oraz od współczynnika moneyness (zw. uśmiech zmienności implikowanej ). moneyness = S Xe rt 3

4 Toruń,

5 Model szeregu prosych sóp p zwrou w czasie dyskrenym: y = µ + ε = µ + h z gdzie: X - cena w chwili, µ - warunkowa warość oczekiwana sopy zwrou w chwili, h - warunkowa wariancja sopy zwrou w chwili, z - niezaleŝne reszy modelu o zerowej średniej i jednoskowej wariancji Toruń,

6 warunkowa warość oczekiwana µ E y = I µ = µ + φ y warunkowa wariancja h = Var ε I I ( p) = ; gdy p = prawda ; gdy p = fałsz ( ) h = + + I( z ) z + h < ω α α β sandaryzowany błąd modelu z ~ N(,) Toruń,

7 Duan (995) - uogólnienie radycyjnej meody wyceny przy neuralnym podejściu do ryzyka, - dla modeli AR-GARCH modyfikuje się proces sóp zwrou, by dla kaŝdej chwili warunkowa warość oczekiwana była równa sopie wolnej od ryzyka, -wprowadza się więc pojęcia miary P, dla procesu nieprzekszałconego oraz arbiraŝowej miary Q, względem kórej zdyskonowany proces cen insrumenu bazowego jes maryngałem. - podejście o nazwane zosało "wyceną przy punkowej neuralności wobec ryzyka" (Locally Risk-Neural Valuaion Relaionship - LRNVR) Względem miar Q sopy zwrou mają nadal warunkowy rozkład normalny P var y I = var y I ( ) Q ( ) Q E y I = ( ) r Toruń,

8 Uwzględnienie zmiennej w czasie wariancji powoduje, zw. "niezupełność rynku" (incompleness of marke) oraz isnienie w ogólności wielu moŝliwych miar Q, dla kórych spełnione jes załoŝenie braku arbiraŝu. Niezbędne saje się załoŝenie o preferencjach inwesora względem ryzyka i posaci funkcji uŝyeczności. Względna awersja do ryzyka jes sała U ( y) = a ln( by) + c Toruń,

9 Locally risk-neural valuaion relaionship (LRNVR) "wycena przy punkowej własności neuralności wobec ryzyka Jin-Chuan Duan (995) y = r + λ h.5h + h z miara P z ~ N(,) h = ω + αε + βh y S = ln S y = r.5h + hη miara Q η ~ N(,) ( ) h = ω + α η λ h + βh Toruń,

10 LRNVR dla modelu AR-GJR-GARCH Härdle, Hafner (996) y = µ + φ y.5h + h z miara P z ~ N(,) h ω ( = + α + α I ) ( z ) z + β h < y S = ln S miara y = r.5h + hη η ~ N(,) ( Q h = ω + α + α I( ) )( η λ ) + β h η λ < µ + φ y r λ = h Toruń,

11 ) Esymacja paramerów modelu względem miary P µ, ϕ, ω, α, α, β ) Generowanie m rajekorii długości n względem miary Q ( z war. począkowym na h ) y = r d.5h + h η i, i, i, i, ( )( ) h = ω + α + α I ( η λ ) η λ + β < 3) Wyznaczenie m cen insrumenu bazowego po n dniach, ewenualna poprawka (Empirical Maringale Simulaion, Duan, Simonao,998) 4) Wyznaczenie warości opcji =,,..., n i =,,..., m, n n S = S exp nr nd.5 h + η i, n i, + s i, + s s= s= m c exp( ) = nr max S X, m = i, n i Toruń,

12 moneyness = S Xe rt opcje call moneyness < OTM moneyness = ATM moneyness > ITM Toruń,

13 Wyznaczanie współczynnika GARCH { } ( ) Q S n c = exp r n E I( Sn > X ) S S exp n i GARCH { c} ( r n) n, i I m S ( S ), > X i= m Toruń,

14 Φ = h σ Toruń,

15 Przykład empiryczny -Analizie poddano serie opcji wygasających w 7 roku, dla danych dosępnych do dnia łącznie 5 serii opcji (5 serii opcji kupna (C,F,I,L) oraz 55 serii opcji sprzedaŝy (O,R,U,X)) -Przyjęa sopa wolna od ryzyka w skali roku 4,5% -Przyjęa sopa dywidendy w skali roku,5% -Dla kaŝdej ransakcji dla opcji odczyano odpowiadający kurs indeksu WIG -Odrzucono ransakcje dla opcji o erminie do wykonania krószym niŝ 5 dni roboczych -Analizie poddano 3.4 ransakcji dla opcji kupna oraz ransakcji dla opcji sprzedaŝy -Paramery modelu GARCH esymowano dla obserwacji do dnia poprzedzającego dzień ransakcji -Paramery zmienności dla modelu Merona esymowano dla, 5 oraz 5 obserwacji do dnia poprzedzającego ransakcję Toruń,

16 Liczba ransakcji dla opcji kupna łącznie 3.4 Toruń, ,35,3,5,,5,,5,95,9,85,8 ITM ATM OTM Długość okresu do wygaśnięcia opcji (w dniach sesyjnych) Współczynnik moneyness 6

17 Liczba ransakcji dla opcji sprzedaŝy łącznie Toruń, Długość okresu do wygaśnięcia opcji (w dniach sesyjnych) Współczynnik moneyness ,35,3,5,,5,,5,95,9,85,8 OTM ATM ITM 7

18 GARCH OTM ATM ITM,8,85,9,95,5,,5,,5,3, ,5774,5548,99,56,344,,47,9,55,8 5-4,9,79,88,96,975,9737,8,9979,9559,59,9, ,8389,439,449,7,9,547,6,73,53,58,77, ,3384,963,9,959,9878,9947,989,9676,977,9933, ,3778,3,9433,4,438,97,9399,9565,6,8, ,7697,7668,8369,95,9454,973,975,9634,76, ,9855,958,995,959,986,7,9753,95,9565,96,969, ,378,895,9448,9436,974,9835,993,93,9888,9478, ,33,453,863,875,897,664,644,968,9474, ,784,989,8567,887,937,57,377,9668,997, ,95,993,49,8,9336,9765,,999,9888, ,8978,8,85,8937,995,46,59, 5-34,6436,636,874,895,898,9933,65,9854,9496 BLS OTM ATM ITM,8,85,9,95,5,,5,,5,3, ,979 8,469,854,45,4,38,55,93,57, ,653 4,758,9988,733,94,385,56,9985,956,73,94, ,5683 4,3869,495,9797,36,76,68,777,57,65,8, ,53,886,9568,9836,49,6,49,9689,97,9937, ,765,667,9646,9794,43,99,9479,9588,5,83, ,3488,978,989,967,988,9955,,9734,9, ,8479,57,83,968,9937,89,84,959,9593,968,964, ,3549,5873,5,9636,9585,96,36,37,995,949, ,5,93,857,899,96,63,66,9783,95, ,66,668,8999,935,9493,54,374,993,93,96 5-4,894,8963,8,58,966,96,74,993,993, ,965,864,84,946,978,443,69, ,54,94,973,95,9,39,3,7,969 BLS - Opcje kupna Toruń,

19 Opcje sprzedaŝy GARCH ITM ATM OTM,8,85,9,95,5,,5,,5,3,35 5-4,98,,99,988,65,6 5,34 9,79 7,459 3,763,547,9 5-4,9,995,993,39,584,84 5,5 6,486 6,59 3,59, 5-34,8,999,74,7,76,96 7,48 9,394 9,565 8,4 3, ,44,84,96,498,5 3,89 4,84 7,876 7,77 4, ,3,98,36,6,353,74,44 3,74 4,3 4,933 4, ,9,5,,6,73,64,5,665 3,433 4,36 5, ,3,39,64,8,89,568,973,45 3,545 4,33 5, 75-84,989,,93,,343,56,,547 3,939 3, ,36,4,,76,4,5,866,3,856 3,746, ,,33,93,,84,6,6,683 3,348 5, 5-4,5,8,3,37,45,94,436,863, ,7,88,7,89,39,86,87,93,7, ,993,75,3,465,67,899,67,458 BLS ITM ATM OTM,8,85,9,95,5,,5,,5,3,35 5-4,9797,5,997,3,835,8376 4,88 39, ,75 855,6 4873, ,4 5-4,37,86,36,846,968 4,47,99 6, ,394 46, , ,9,94,839,35,7837 3,33 8,839, ,369 33,67 6, ,548,86,4,55,3978 4,545 8,955 4,587 6, , ,44,986,53,3,3969,887 3,56 5,5,549 9,96 6, ,98,787,475,,376,8445,83 4,797 8,54,96 3, 65-74,567,783,454,6,47,85,569 3,6679 5,48 8,798 3, ,97,79,6,5,3995,6846,9,99 4,8387 6, ,53,7,99,99,343,56,4,565 3,375 4,56, ,8,5,65,55,379,686,535,97 3,887 6,73 5-4,355,88,86,463,4575,447,56 3,83 3,76 5-4,99,96,76,53,4877,763 3,777 3,544 3,88 3, ,9795,733,45,549,84,79,585,9736 BLS - Toruń,

20 Podsumowanie: - Trudno zagadnienie oceniać dosłownie w kaegorii poprawności modeli wyceny opcji, gdyŝ akŝe obserwowane ceny opcji mogą nie odzwierciedlać ceny sprawiedliwej i być właściwe dla rynku polskiego w pewnym danym, charakerysycznym okresie. - Analiza sprowadziła się więc bardziej do porównania ceny obserwowanej na rynku polskim w drugiej połowie 6 roku oraz w pierwszej połowie 7 i warości eoreycznych uzyskanych dla badanych modeli. - NaleŜy równieŝ uwzględnić fak popularności modelu B-S, kóry jes punkem odniesienia dla inwesorów. Toruń,

21 Podsumowanie: -Modele B-S i GARCH prowadzą do bardzo zbliŝonych wyników dla opcji ITM, szczególnie o dłuŝszym erminie do wygaśnięcia. -Warości eoreyczne cen dla opcji ITM są prakycznie zgodne (co do mediany) z obserwowanymi na rynku. - W obydwu modelach ceny eoreyczne opcji OTM (kupna i sprzedaŝy), szczególnie o krókim erminie do wygaśnięcia są zdecydowanie niŝsze niŝ obserwowane na rynku. Są o opcje o bardzo niskich warościach premii. - Warości dla modelu GARCH są jednak bliŝsze cenom rynkowym. Toruń,

22 Podsumowanie: - Opcje kupna ATM i nieznacznie OTM o dłuŝszym erminie do wygaśnięcia mają ceny niŝsze niŝ warości eoreyczne, -Opcje sprzedaŝy ATM i OTM mają ceny wyŝsze niŝ warości eoreyczne Prawdopodobnym wyłumaczeniem jes subiekywne zaniŝanie przez inwesorów prawdopodobieńswa dalszych wzrosów w czasie hossy Dla opcji blisko ATM brak jes jednoznacznej przewagi kóregoś z modeli, a wyniki pozosają niejednoznaczne. Toruń,

23 Kierunki dalszych badań: - poszerzenie badań na wcześniejsze serie opcji, - podział na okresy hossy i bessy, - uwzględnienie w analizach wolumenu ransakcji - uwzględnienie innej miary oceny zgodności cen obserwowanych i warości eoreycznych - uwzględnienie innych modeli klasy GARCH - analiza w konekście zmienności implikowanej Toruń,

24 Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informayki Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Krzyszof Pionek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa oraz AR-GARCH dla opcji na WIG DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ Toruń,