Metody prognozowania: Szeregi czasowe. Dr inż. Sebastian Skoczypiec. ver Co to jest szereg czasowy?

Transkrypt

1 Meody prognozowania: Szeregi czasowe Dr inż. Sebasian Skoczypiec ver Co o jes szereg czasowy? Szereg czasowy: uporządkowany zbiór warości badanej cechy lub warości określonego zjawiska, zaobserwowanych w różnych momenach czasu: {y, =1, 2, 3,...T}, gdzie: y - wyniki obserwacji, - momeny czasu, w kórych obserwowano warości zmiennej. zł/lir Ceny Pb95 od ,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 2 m-c 1

2 Składowe szeregów czasowych (1): Składowa sysemayczna: efek oddziaływań sałego zesawu czynników na zmienną prognozowaną Składowa przypadkowa (składnik losowy, wahania przypadkowe): Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 3 Składowe szeregów czasowych (3): Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 4 2

3 Składowe szeregów czasowych (2): Dekompozycja szeregu czasowego: wyodrębnianie poszczególnych składowych danego szeregu czasowego Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 5 Składowe szeregów czasowych (3): Dekompozycja częso na podsawie oceny wzrokowej Nie zawsze wysępują wszyskie składowe Obserwacje nieypowe: Wahania losowe czy może ylko błąd rejesracji danych? A może gwałowna zmiana rozparywanego zjawiska? Częso ego ypu dane eliminujemy z analizowanego szeregu czasowego. Punky zwrone: zmiana kierunku endencji rozwojowej -> wymaga użycia specjalnych meod prognozowania lub może nawe udaremnić prognozowanie. Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 6 3

4 Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 7 Model szeregu czasowego (1) W przypadku prognozowania na podsawie szeregu czasowego przewarzanie informacji o przeszłości nasępuje przez budowę odpowiedniego modelu formalnego, przejście zaś od informacji przeworzonej do prognozy przez wybór reguły prognozowania. Modelem szeregu czasowego służącym do określenia przyszłej warości zmiennej prognozowanej Y w momencie (okresie) prognozowania j. y * jes model formalny, kórego zmiennymi objaśniającymi mogą być ylko zmienne czasowe oraz przyszłe warości lub prognozy zmiennej Y. Zmienne objaśniające przeszłość Sysem Zmienna prognozowana przyszłość Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 8 4

5 Model szeregu czasowego (2) Prognoza zmiennej Y jes warością funkcji f zależnej od czasu, przeszłych warości i (lub) prognoz ej zmiennej: gdzie: p = f(, y -1,..., y -d, p -1,..., p -d, ε ) p, p -1,..., p -d - prognoza zmiennej Y wyznaczona na okres, -1,..., -d y, y -1,..., y -d - zaobserwowane warości zmiennej Y w okresie, -1,..., -d zmienna czasowa, d opóźnienie ε - składnik losowy W zależności od przyjęych założeń odnośnie wpływy poszczególnych składowych szeregu czasowego za prognozowaną zmienną oraz wzajemnych relacji ych składowych modele szeregów czasowych mogą mieć posać: addyywną muliplikaywną Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 9 Model szeregu czasowego (3) Model addyywny: zakłada się że obserwowane warości zmiennej prognozowanej są sumą (wszyskich lub niekórych) składowych szeregu czasowego. Dla zmiennej czasowej, posać akiego modelu może być nasępująca: y y = f ( ) + g( ) + h( ) + ε = cons + g( ) + h( ) + ε f() funkcja czasu, charakeryzująca endencję rozwojową (funkcją rendu); g() funkcja czasu, charakeryzująca wahania sezonowe; h() funkcja czasu, charakeryzująca wahania cykliczne ε- zmienna losowa (składnik losowy) cons sały (średni) poziom prognozowanej zmiennej Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 10 5

6 Model szeregu czasowego (4) Model muliplikaywny: przyjmuje się że obserwowane warości zmiennej prognozowanej są iloczynem składowych szeregu czasowego. Dla zmiennej czasowej, posać akiego modelu może być nasępująca: y = f ( ) g( ) h( ) ε y = cons g( ) h( ) ε f() funkcja czasu, charakeryzująca endencję rozwojową (funkcją rendu); g() funkcja czasu, charakeryzująca wahania sezonowe; h() funkcja czasu, charakeryzująca wahania cykliczne ε- zmienna losowa (składnik losowy) cons sały (średni) poziom prognozowanej zmiennej Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 11 Medel szeregu czasowego (5) Możliwe jes akie sosowanie różnego rodzaju posaci modeli mieszanych addyywnomuliplikaywnych, jednak są bardziej skomplikowane i rudniejsze zarówno do esymacji jak eż inerpreacji Prognoza na podsawie modelu szeregu czasowego o najczęściej eksrapolacja funkcji rendu, a nasępnie jej korekcie uwzględniające oddziaływanie wahań okresowych na prognozowaną zmienną. Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 12 6

7 Idenyfikacja składowych szeregu Trend: isoność współczynnika korelacji r Pearsona r yx cov = S S x yx y Współczynnik korelacji liczba określająca w jakim sopniu zmienne są współzależne. Idenyfikacja składowych szeregu Sezonowość: jednoczynnikowa analiza wariancji (ANOVA) hipoeza o równości wielu warości przecięnych 7

8 Przy analizie wahań sezonowych aka hipoeza głosi, że odchylenia od rendu są we wszyskich miesiącach, średnio rzecz biorąc, akie same, a hipoeza alernaywna, że przynajmniej jeden miesiąc różni się isonie od innych. Przy sosowaniu ANOVA porzebna jes zmienna wskazująca numer miesiąca, pozwalająca programowi znaleźć odchylenia od rendu we wszyskich syczniach, wszyskich luych id. Wprowadziliśmy zmienną do zbioru danych, nazywając ją NR_MIES. Tes analizy wariancji wymaga spełnienia dwóch założeń: badana zmienna powinna mi w każdej grupie rozkład normalny, a wariancje w grupach powinny być akie same. Założenie normalności sprawdzimy przy pomocy esu Shapiro-Wilka. Jes on dosępny module Podsawowe saysyki. W części Saysyki opisowe zaznaczamy opcję Tes W Shapiro-Wilka i po naciśnięciu klawisza Tabele liczebności oprócz szeregu rozdzielczeg orzymujemy eż warość prawdopodobieńswa esowego w eście normalności. Wcześniej rzeba zdefiniować esowaną zmienną (ODCH_ADD). Przy pomocy klawisz Selec cases ("wybierz przypadki") wybieramy kolejno poszczególne miesiące, wpisują v8=1 dla sycznia, poem v8=2 dla luego, v8=3 dla marca id. Wyniki, kóre orzymujem w en sposób, przedsawia poniższa abela: Rodzaje modeli szeregów czasowych Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 16 8

9 Modele szeregów sacjonarnych (1): między poszczególnymi warościami zmiennej wysępują niewielkie wahania, kórych łączne odchylenia od pewnego sałego poziomu są niewielkie i niwelują się. W przypadku swierdzenia sacjonarności danego zjawiska można zasosować akie meody prognozowania jak: meody naiwne, meoda średniej ruchomej, wygładzanie wykładnicze pierwszego rzędu, modele ARMA i ARIMA. Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 17 Meody naiwne Mogą być sosowane w przypadku swierdzenia niewielkich wahań w szeregu zmiennej prognozowanej i wykorzysane w prognozowaniu krókookresowym, obejmującym jeden okres naprzód. Zakładają, iż nie nasąpią zmiany w sposobie oddziaływania czynników kszałujących warości zmiennej prognozowanej: p = y 1 Meody naiwne są szybkie i anie w zasosowaniu, jednak jakość prognoz wyznaczonych z ich użyciem jes zwykle niska. Przykłady: sprzedaż przedsiębiorswa w nasępnym kwarale będzie na doychczasowym poziomie, zysk wzrośnie w ym samym sopniu co ubiegłym miesiącu. Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 18 9

10 Meody naiwne Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 19 Meoda średniej ruchomej (1) Polega na zasępowaniu danych empirycznych dla kolejnych okresów średnimi poziomami z okresu badanego i kilku okresów sąsiednich. Średnie ruchome mogą być obliczane z parzysej bądź nieparzysej liczby kolejnych wyrazów szeregu. W pierwszym przypadku mówimy o średniej ruchomej scenrowanej, w drugim o zwykłej średniej ruchomej. Meoda średniej ruchomej (zwanej eż łańcuchową) może być sosowana zarówno do wygładzania szeregu czasowego, jak i do prognozowania. Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 20 10

11 Meoda średniej ruchomej (2) Średnia ruchoma prosa yˆ 1 * 1 = y i k i= k Prognoza * naiwna yˆ = y 1 szereg+prognoza naiwna średnia ruchoma k=5 średnia ruchoma k=

12 Meoda średniej ruchomej (3) Średnia ruchoma szeregu chronologicznego: y 1, y 2,..., y n jes wielkością, kórą obliczamy według ogólnej formuły: y i = m j = 1 w j y i j (i=m, m+1,..., n), gdzie: w j usalony zbiór wag spełniający warunek m j = 1 w j = 1 m liczba odpowiadająca podzbiorowi (m < n) jednosek czasu. Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 23 Średnia ruchoma ważona liniowo yˆ * = k i= 1 y k 1+ i w k w 1,w 2,...,w k waga w okresie i, w 1 <w 2 <...<w k oraz w 1 +w w k =1 szereg średnia ruchoma k=3 ważona średnia ruchoma 0,1 0,3 0,

13 Meoda średniej ruchomej (4) Prognozowanie: przyjmuje się, że warość zmiennej prognozowanej w nasępnym momencie lub okresie będzie równa średniej arymeycznej z k osanich warości ej zmiennej: przy zasosowaniu średniej ruchomej prosej: p = 1 k 1 i = k y i, przy zasosowaniu średniej ruchomej ważonej: p 1 = y, i wi + k + 1 i= k w i-+k+1 waga nadana przez prognosę warości zmiennej prognozowanej w okresie i, k sała wygładzania Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 25 Meoda średniej ruchomej (5) 13

14 Prosy model wygładzania wykładniczego (1) zw. Meoda Browna Jes rozszerzeniem idei średniej ruchomej i polega na: 1.wygładzeniu oryginalnego szeregu ak, jak robi o średnia ruchoma 1.użycia orzymanego szeregu do uzyskania przyszłych warości zmiennej. Isone jes zwiększenie wpływu osanich warości szeregu na prognozę, w sosunku do wpływu bardziej odległych obserwacji. Największa waga jes nadana bieżącej obserwacji, mniejsza waga poprzedniej obserwacji i ak dalej. Wagi zmniejszają się geomerycznie w miarę cofania się w czasie Przydana do prognozowania szeregów nie mających wyraźnego rendu i wahań sezonowych. Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 27 Prosy model wygładzania wykładniczego (2) Prognozowanie polega na wyznaczeniu prognozy na okres, kóra jes koreką prognozy na okres -1 po porównaniu jej z wynikiem rzeczywisym y -1. Zgodnie z rekurencyjną procedurą każda nowa wygładzona warość jes obliczana jako średnia ważona bieżącej obserwacji i poprzedniej obserwacji wygładzonej (prognozy); poprzednia wygładzona obserwacja była obliczona znów z poprzedniej warości obserwowanej i wygładzonej warości przed poprzednią obserwacją id. p 1 = y 1 p 2 = α y 1 + (1- α)p 1 p 3 = α y 2 + (1- α)p 2 Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 28 14

15 10 9 Wygładzanie wykładnicze yˆ α * = αy 1 + (1 α) yˆ 1 - paramer wygładzania szereg średnia wykładnicza 0,8 średnia wykładnicza 0, Prosy model wygładzania wykładniczego (4) α = 0,2 (obserwacje eraźniejsze) 1-α = 0,8 (obserwacje przeszłe) Większą wagę przywiązuje się do obserwacji przeszłych niż obecnych. α = 0,7 (obserwacje eraźniejsze) 1- α = 0,3 (obserwacje przeszłe) Większą wagę przywiązuje się do obserwacji obecnych niż przeszłych. Jedynie dla warości α = 0,5 akie same wagi są zarówno dla obserwacji hisorycznych jak i eraźniejszych. Im α bliższe 1, ym większa wagę przykładamy do najnowszych obserwacji, a budowana prognoza będzie uwzględniała w bardzo wysokim sopniu błędy ex pos prognoz poprzednich. 15

16 Prosy model wygładzania wykładniczego (5) W prakyce paramer wygładzania jes częso wybierany przez poszukiwanie sieciowe przesrzeni paramerów; o znaczy wypróbowuje się różne rozwiązania zaczynając, na przykład, od warości α = 0.1 do α = 0.9, przy przyroście 0.1. Nasępnie wybiera się a ak, aby orzymać najmniejszą sumę kwadraów (lub najmniejszy średni kwadra) różnicy pomiędzy warościami empirycznymi a warościami prognozowanymi na jeden okres naprzód; jes o zw. średniokwadraowy błąd ex pos, (ex pos MSE). Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 32 16

17 Prosy model wygładzania wykładniczego (6) W oparciu o wygładzony szereg p wyznaczamy prognozy dla danych hisorycznych y : Y P + j 1 = p + p j = p + ( p p 1 ) j = 2 p j p j okres z kórego pochodzi obserwacja, j wyprzedzenie prognozy zn. na ile okresów wcześniej chcemy prognozować niż jeseśmy obecnie. Prognozowanie w przyszłość: Jeżeli jeseśmy w okresie bieżącym i dokonamy prognozy z wyprzedzeniem j-okresowym, o uzyskamy prognozę warości przyszłej na podsawie danych hisorycznych. Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 33 Model auoregresji * yˆ = a0 + a1 y a 0, a1, a p a p y p - oceny paramerów wyznaczone MNK sz ereg model auoregresji rzędu

18 Modele szeregów czasowych z rendem (1) Trend (endencja rozwojowa): w saysyce funkcja maemayczną opisującą zmiany wielkości w czasie. Wyznaczenie rendu: znalezienie odpowiedniej krzywej, możliwie dokładnie pasującej do warości, kóre badany proces przyjmował w minionych okresach. Konsrukcja jedno-równaniowego modelu maemaycznego, w kórym rolę jedynej zmiennej objaśniającej pełni czas. 1. Wybór posaci analiycznej funkcji rendu. 2. Szacowanie paramerów funkcji rendu. 3. Ocena jakości orzymanego modelu. Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 35 Meoda naiwna yˆ * ( y y ) = y

19 Modele szeregów czasowych z rendem (2) Wybór posaci analiycznej funkcji może być opary na eoreycznych przesłankach doyczących mechanizmu rozwojowego zmiennej prognozowanej. Najczęssze posacie funkcji: funkcja liniowa funkcję poęgową, wykładniczą, wielomian drugiego sopnia y = α + β α β y = β, > 1 y = e α + β β > 0 y = α + α + α + + α k k funkcję logisyczną (0-1). Meody Prognozowania: Szeregi czasowe Model rendu liniowego ˆ = a + a y szereg rend liniowy 2 0 dr inż. 1 Sebasian Skoczypiec

20 Modele szeregów czasowych z rendem (3) Pomocne przy wyborze posaci funkcji może być również obliczenie przyrosów zmiennej prognozowanej (objaśnianej) Y: 1.(y i y i-1 ) cons funkcją liniowa. 1. y i y i-1 cons funkcja wielomianowa drugiego sopnia. 1.Przyrosy względne y y i i 1 cons wykładnicza funkcja rendu. Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 39 Modele szeregów czasowych z rendem (4) Oszacowanie paramerów modelu: Najczęściej wykorzysywana w ym celu jes klasyczna meoda najmniejszych kwadraów (najpopularniejsza, choć nie najlepsza, z meod wyznaczania linii rendu na podsawie zbioru danych w posaci par liczb). Żądamy minimalizacji funkcji, kóra mierzy odchylenie zadanej zależności funkcyjnej od punków doświadczalnych. n n yˆ i = a0 + a1 i i= 1 n i= 1 y = na i y = a i i + a, 0 1 i i= 1 n n 2 0 i + a1 i, i= 1 i= 1 Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 40 20

21 Modele szeregów czasowych z rendem (5) Miara dopasowania Odchylenie sandardowe reszowe sε = 2 sε = 1 n i= 1 Współczynnik zbieżności n 2 ( y i yˆ i ) n 2 ( yi yˆ i ) 2 i = 1 ϕ = n 2 ( yi y) i= 1 Inerpreacja Pierwiasek kwadraowy z wariancji reszowej. Informuje o ile średnio różnią się warości zmiennej objaśnianej od warości oszacowanych na podsawie funkcji rendu Wskazuje jaka część zmienności w warościach zmiennej zależnej nie jes związana ze zmiennością zmiennej objaśniającej; im bliższy 0, ym lepiej dopasowana funkcja Współczynnik deerminacji Informuje jaka część zmienności zmiennej zależnej związana jes ze 2 2 zmiennością zmiennej objaśniającej; R = 1 ϕ im bliższy 1 ym lepiej dopasowana funkcja Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 41 Podwójne wygładzanie wykładnicze Meoda HOLTA Przysosowane do szeregów czasowych ze składnikami sezonowymi i rendami. Ogólna idea polega na ym, że prognozy są obliczane nie ylko na podsawie kolejnych poprzednich obserwacji (jak w prosym wyrównywaniu wykładniczym), ale można akże dodać niezależny rend i składnik sezonowy. Wiele empirycznych szeregów czasowych zawiera wahania sezonowe. (np. roczna sprzedaż kompuerów osiąga prawdopodobnie szczy w lisopadzie i grudniu i być może laem) Wzorzec en będzie się prawdopodobnie powarzał co roku, chociaż względna wielkość wzrosu sprzedaży w grudniu może się powoli zmieniać z roku na rok. Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 42 21

22 Wygładzanie wykładnicze (5) Trend liniowy, wykładniczy i gasnący: Sprzedaż kompuerów: może przejawiać rosnący rend liniowy (np. co roku sprzedaż rośnie średnio o 1 milion ), wzros wykładniczy (np. co roku sprzedaż rośnie średnio o 30%) lub rend gasnący (w pierwszym roku sprzedaż rośnie o 1 milion ; w drugim roku wzros wynosi ylko 80% Zeszłorocznego id.). Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 43 Wygładzanie wykładnicze (5) Każdy yp rendu ujawnia się w szeregu w charakerysyczny sposób. Trend może się powoli zmieniać w czasie i znowu może być sensowne wygładzenie składnika rendu przy pomocy oddzielnego parameru zw. parameru wyrównania rendu. F = α y + (1 α) ( F 1 + T T = β ( F F ) + (1 β ) T 1 1 ) 1 y* τ > n = F + ( τ n T τ n ) n F - wygładzona warość zmiennej prognozowanej T (S) - wygładzona warość przyrosu rendu alfa - sała wygładzania poziomu zmiennej F bea - sała wygładzania współczunnika rendu T n - numer osaniej obserwacji Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 44 22

23 Wygładzanie wykładnicze (6) Jeśli do procesu wyrównywania wykładniczego zosanie włączony składnik rendu, o dla każdego momenu czasu zosaje obliczony niezależny składnik rendu T. Zosaje on zmodyfikowany jako funkcja błędu prognozy i odpowiedniego parameru. T = f(błąd prognozy, γ) Jeśli γ = 0, o składnik rendu jes sały dla wszyskich warości szeregu czasowego (i dla wszyskich prognoz). Jeśli γ = 1, o składnik rendu zosaje "maksymalnie" zmodyfikowany z obserwacji na obserwację przez odpowiedni błąd prognozy. Warości paramerów, kóre znajdują się pośrodku reprezenują mieszanki ych dwóch warości skrajnych. Meody Prognozowania: Szeregi czasowe Model Hola F y ˆ = S + F = αy 1 + ( 1 α)( F 1 + S 1) S = β( F F 1 ) + (1 β) S 1 F = 1 y 1 jes warością wygładzoną szeregu (bez elemenu rendu), jes o wygładzona warość przyrosu wynikającego z rendu szeregu S 1 = y 2 y szereg model Hola

24 24

25 Model auoregresji * yˆ = a0 + a1 y a a,... a p 0, 1 - oceny paramerów wyznaczone MNK a p y p szereg Model auoregresji rzędu 1 Model auoregresji rzędu

26 Meody oceny dopuszczalności prognoz Meoda oceny średni względny błąd dopasowania modelu 1 MAPE = n n = 1 y yˆ y Zakres zasosowań meoda naiwna średnia ruchoma prosa średnia ruchoma ważona wygładzanie wykładnicze, model Hola, Winersa meoda wskaźników względny błąd ex * ane S ( yˆ ) η = yˆ * model rendu, m. rendu ze zmiennymi sezonowymi model auoregresji Prognozowanie na podsawie sezonowych szeregów czasowych 26

27 Idenyfikacja składowych szeregu rend i sezonowość Dwuczynnikowa analiza wariancji (ANOVA) Hipoezy: o równości warości przecięnych między grupami dla różnych warianów czynnika A sezonu (wysępuje sezonowość), o równości warości przecięnych między grupami dla różnych warianów czynnika B cyklu roku (wysępuje rend), (zakłada się addyywny charaker zmian) Idenyfikacja składowych szeregu charaker sezonowości Oczekujemy, że: - dla sezonowości muliplikaywnej: wariancja warości wewnąrz kolejnych okresów będzie rosła wraz ze wzrosem średniego poziomu (będzie z nim dodanio skorelowana) - dla sezonowości addyywnej: wariancja warości wewnąrz kolejnych okresów nie będzie rosła wraz ze wzrosem średniego poziomu (nie będzie z nim dodanio skorelowana) 27

28 Szereg z sezonowością (bez rendu) Meody prognozowania: meoda naiwna meoda wskaźników model auoregresji model regresji ze zmiennymi sezonowymi analiza harmoniczna Szereg z rendem i sezonowością Charaker sezonowości: addyywny muliplikaywny Meody prognozowania: meoda naiwna meoda wskaźników dla wygładzonego szeregu model regresji ze zmiennymi czasową i sezonowymi model Winersa model auoregresji model rendów jednoimiennych okresów 28

29 Meoda naiwna (bez rendu) y = * y k Meoda naiwna (z rendem, dla wahań addyywnych) y * ( y y ) = y k + 1 k 1 Addyywne wskaźniki sezonowości (akże w szeregu bez rendu) Wahania okresowe wyodrębnia się za pomocą: wskaźników sezonowości (wyrażonych w %) - w przypadku wahań okresowych względnie sałych; absolunych poziomów wahań sezonowych ( wyrażonych w akich samych jednoskach jak obserwacje danego zjawiska) - w przypadku wahań bezwzględnie sałych. 29

30 Jeżeli warunek powyższy jes spełniony o surowe wskaźniki sezonowości są jednocześnie czysymi wskaźnikami sezonowości. Jeżeli jednak jes inaczej należy obliczyć czyse wskaźniki sezonowości posługując się nasępującym wzorem: S ˆ = k * gdzie: k - współczynnik korygujący i S i Wyznaczanie prognozy: Absolune poziomy wahań sezonowych obliczamy z nasępującego wzoru: ˆ 0 1 y = a + a * T + q i 30

31 31

32 Porójne wygładzanie wykładnicze Meoda Winersa lody (w onach) 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 I kwa 01 II kwa 01 III kwa 01 IV kwa 01 Sprzedaż lodów I kwa 02 II kwa 02 III kwa 02 IV kwa 02 kw arał I kwa 03 II kwa 03 III kwa 03 IV kwa 03 I kwa 04 II kwa 04 III kwa 04 IV kwa 04 I kwa 05 F = α ( y S T = β ( F F S = γ ( y F ) + (1 γ ) S y * τ > n r 1 ) + (1 α) ( F ) + (1 β ) T = F + ( τ n T + S τ n ) n τ r r T 1 ) Meodę Winersa można sosować wówczas, gdy zjawisko charakeryzuje się wahaniami o coraz większej bądź mniejszej ampliudzie (wersja F - wygładzona warość zmiennej prognozowanej muliplikaywna) T = S - wygładzona warość przyrosu rendu S = C - ocena wskaźnika sezonowości na momen alfa - sała wygładzania poziomu zmiennej F bea - sała wygładzania współczunnika rendu T gama - sała wygładzania efeku sezonowego S r - długość cykli sezonowości n - numer osaniej obserwacji Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 32

33 Przykład 1: Dochody ze sprzedaży (w ys. zł) odzieży rowerowej przedsiębiorswa MTB Hard Dress w laach w Polsce kszałowały się nasępująco: 56,5; 56,4; 56,7; 55,9; 56,0; 55,9; 56,2; 56,6; 56,5. Ocena wzrokowa: w badanym szeregu czasowym wysępują składowa sysemayczna w posaci sałego (przecięnego) poziomu oraz wahania przypadkowe. Do oceny siły wahań przypadkowych zasosowano współczynnik zmienności (miara zróżnicowania rozkładu cechy. W odróżnieniu od odchylenia sandardowego, kóre określa bezwzględne zróżnicowanie cechy, współczynnik zmienności jes miarą względną, czyli zależną od wielkości średniej arymeycznej). V = 0.55% Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 66 33

34 Przykład 1: Niska warość współczynnika zmienności badanej zmiennej dopuszcza zasosowanie meody naiwnej do prognozowania na nasępny okres. Meoda prognozowania dochodów ze sprzedaży odzieży rowerowej: Ponieważ w badanym szeregu czasowym wysępuje składowa sysemayczna sałego poziomu oraz niewielkie wahania przypadkowe, w prognozowaniu można wykorzysać meody prognozowania na podsawie szeregu czasowego j: meoda naiwna, wygładzanie wykładniczego. Wyznaczenie prognozy: meoda naiwna: y10* = y9 = 56,5 wygładzanie wykładnicze: y10* = α y9 + (1 α) y9* =??? Meody Prognozowania: Szeregi czasowe 67 Przykład 1: naiwna wygladzanie rok Dochody (y) y* y* (alfa = 0,2) y* (alfa = 0,8) ,5 56, , ,4 56, , ,7 56, , ,9 56, , , , ,9 56, , ,2 56, , ,6 56, , ,5 56, , ,5 56, ,

35 Przykład 2: Liczba pasażerów przewożonych środkami komunikacji miejskiej w laach (w mln osób) w pewnym mieście była nasępująca: 12,8; 12,6; 12,9; 13,1; 12,8; 12,7; 13,0; 13,1; 13,2; 13,0. a) Sformułować przesłanki do wyznaczenia prognozy na 2006 r. b) Wybrać meodę prognozowania. Wybór uzasadnić. c) Wyznaczyć prognozę liczby przewożonych pasażerów w 2006 r. Przykład 2: Rozwiązanie: Przesłanki: hipoezy badawcze określające wsępnie mechanizm rozwojowy (wskazanie zjawisk i kierunki wpływów). Mechanizm: rend liniowy + wahania przypadkowe Wybór meody: - prognozowanie na podsawie szeregu czasowego z rendem liniowym. 35

36 Przykład 2: Przykład 2: wygładzanie (alfa: 0.2, bea 0.4) rok y [mln] y* (a+b) S F ,8 12,74 0,04 12,74 12, ,6 12,78 0,04 12,78 12, ,9 12,82 0,04 12,82 12, ,1 12,86 0,04 12,86 12, ,8 12,9 0,04 12,9 12, ,7 12,94 0,04 12,94 12, ,7 12,98 0,04 12,98 12, ,02 0,04 13,02 12, ,1 13,06 0,04 13,06 13, ,2 13,1 0,04 13,1 13, ,14 0,04 13,14 13,18 36

37 Przykład 3: Przykład 3: 37

38 Przykład 3: Przykład 3: rok kwaral Obliczenie 1 Obliczenie ,58 84, ,47 51, ,66 13, ,15 11,81 38

39 Opracowano m.in. na podsawie: Roman Pieroń PROGNOZOWANIE I SYMULACJE (Wybrane zagadnienia i maeriały wykładu dla 4 roku ZiM) Poliechnika Wrocławska 39