Teoria kolejek w zastosowaniu do opisu procesu transportowego

Transkrypt

1 Jolana śak 1 Wydział Transporu Poliechniki Warszawskiej Teoria kolejek w zasosowaniu do opisu procesu ransporowego WPROWADZENIE Opisując rzeczywisy proces ransporowy rudno wyobrazić sobie sieć ransporową w kórej nie wysępuje problem kongesii i co za ym idzie zaorów przed punkami węzłowymi. Zaem chcąc przedsawić model dynamiki rzeczywisego procesu ransporowego naleŝy uwzględnić w nim moŝliwość wysępowania kolejek. Uwzględniając powyŝsze wydaje się, Ŝe najlepszą meodą osiągnięcia celu będzie wykorzysanie do opisu procesu ransporowego aparau eorii kolejkowej. Teoria kolejkowa zajmuje się badaniem modeli maemaycznych rzeczywisych procesów, w kórych zdarzają się przesoje, czekanie, kolejki i sray. Jes o jedna z dziedzin zasosowań rachunku prawdopodobieńswa uŝywająca jako narzędzi badawczych analizy zespolonej, eorii równań róŝniczkowych i całkowych i innych dziedzin maemayki. Teoria kolejek pozwala na ocenę nam moŝliwości zachowaniu się sysemu ransporowego w przyszłości. Niezwykle wygodna do sosowana jes siec kolejkowa ze względu na podobieńswo z siecią ransporową. Wyniki eorii obsługi masowej sosuje przy projekowaniu nowych sysemów, gdy chcemy usalić paramery projekowanego sysemu ak, aby jak najlepiej zaspokoić popy przyszłych klienów uwzględniając jednocześnie ineresy zarządzającego sysemem. Trzeba u jeszcze podkreślić, Ŝe same sray czasowe nie zawsze sa jedynym, ani eŝ rozsrzygającym kryerium przy ocenie jakości sysemu kolejkowego. 1. TEORIA KOLEJEK- ZAŁOśENIA Z punku widzenia kliena znajomość srukury i własności sysemu moŝe nam przede wszyskim dopomóc do powzięcia decyzji co do posępowania w sysemie kolejkowym. Klienci mogą mieć róŝne moŝliwości wywierania wpływu na swój indywidualny czas, jaki spędza w sysemie, na sray lub nakłady (finansowe, czasowe lub inne), kóre się z ym wiąŝą, a mówiąc ogólnie, na warunki, w jakich realizowana jes ich obsługa. MoŜna o osiągnąć np. przez odpowiedni wybór momenu zgłoszenia do sysemu lub wybór obsługującego. Czasem za określoną dopłaa moŝna sobie zapewnić pierwszeńswo przed innymi klienami, a kiedy indziej waro będzie całkiem opuścić sysem i szukać w innym sysemie zasępczej obsługi. W pewnych przypadkach w czasie obsługi wpływać na obsługującego lub na zarządzającego sysemem, aby poprawił warunki, w jakich obsługa przebiega, zwiększył jej empo lub zmienił kryeria wyboru klienów do obsługi. Z punku widzenia zarządzającego sysemem celem badania bywa najczęściej poszukiwanie moŝliwości usprawnienia pracy sysemu. W eorii kolejek wysępują pewne ypowe dla niej określenia: zgłoszenie, srumień zgłoszeń, kanał obsługi, kolejka, klien. Proces zgłoszeń klienów do sysemu obsługi jes jedną z głównych charakerysyk sysemu. RozróŜniamy róŝne rodzaje sysemów w zaleŝności od ego, czy klienci wchodzą regularnie, losowo lub 1 logika1@i.pw.pl Logisyka 4/

2 według usalonego wcześniej planu. W przypadku losowych zgłoszeń isone są charakerysyki procesu zgłoszeń: średnią liczbę klienów wchodzących w jednosce czasu, prawdopodobieńswo ego, ilu klienów zgłosi się w określonym przedziale, i wiele innych. A akŝe czy i jak charakerysyki e zmieniają się z upływem czasu. Obsługa klienów moŝe być prowadzona w jednym lub w kilku równoległych kanałach obsługi, jej długość moŝe być usalona i jednakowa dla wszyskich klienów lub losowa; czasem akŝe zaleŝna od ypu kliena lub od przydzielonego kanału obsługi, jeśli dosępne kanały maja róŝne prędkości obsługi. WaŜną własnością sysemu kolejkowego są sochasyczne charakerysyki czasu rwania obsługi, kóre mogą być róŝnie zmienne w czasie. Kanały naomias mogą wykonywać ę samą obsługę lub eŝ niekóre z nich mogą być wyspecjalizowane. Klienci mogą być obsługiwani nie pojedynczo, lecz w, przy czym wielkość grupy moŝe być znów losowa, ograniczona lub sała. Formułując model eorii kolejkowej naleŝy zaem określić: yp rozkładu prawdopodobieńswa zmiennych losowych (rozkład deerminisyczny _ równe odsępy czasu), rozkład wykładniczy, rozkład Erlanga, dowolny rozkład; zaleŝność lub niezaleŝność zmiennych losowych czasu czekania na zgłoszenie i czasu obsługi; skończona lub nieskończona warość liczby sanowisk obsługi, długości poczekalni; obowiązującą w sysemie dyscyplinę obsługi. Zmiennymi losowe wysępującymi w modelu analizowanego ypu są: czas upływający między wejściem do sysemu kolejnych zgłoszeń; czas obsługi jednego zgłoszenia przez sanowisko obsługi; liczba sanowisk obsługi; liczba miejsc w poczekalni oczekujących na obsługę. Opisując sysem kolejkowy moŝna posłuŝyć się klasyfikacją sysemów kolejkowych opracowaną przez D. Kendala [3]. Kod opisujący sysem kolejkowy ma posać: gdzie X / Y / m (1) X rodzaj rozkładu wejściowego srumienia zgłoszeń do sysemu, Y rodzaj rozkładu czasów obsługi zgłoszeń, m liczba kanałów obsługi w sysemie, Najczęściej wysępujące rozkłady wejściowego srumienia zgłoszeń oraz czasów obsługi zgłoszeń, oznaczono symbolami: M rozkład wykładniczy czasu obsługi zgłoszeń albo odsępów czasu między sąsiednimi zgłoszeniami, zn. poissonowski rozkład przybyć, E k rozkład Erlanga rzędu k czasu obsługi zgłoszeń albo odsępów czasu między sąsiednimi zgłoszeniami, D srumień zdeerminowany lub regularny, G srumień posiadający dowolny rozkład czasów obsługi, GI srumień ogólnego ypu, dowolny i niezaleŝny, H r rozkład hyperwykładniczy r rzędu, C k rozkład Cox a k rzędu, K n rozkład χ 2 odsępów miedzy zgłoszeniami (z n sopniami swobody) lub rozkład χ 2 czasów obsługi. Obowiązująca w sysemie dyscyplina określająca kolejność wybierania zgłoszeń z kolejki znajdującej się w poczekalni. Najczęściej spoykamy dyscypliny o: FIFO; LIFO; RSS; RR; PS. Rozwiązaniem zadań opisanych przy pomocy eorii kolejek są paramery opisujące zachowanie się sysemu, wśród nich czasu zajęości wszyskich sanowisk obsługi prawdopodobieńswo, Ŝe sysem nie jes pusy, średnia liczba zgłoszeń oczekujących, średnia liczba zgłoszeń oczekujących i obsługiwanych, 796 Logisyka 4/2012

3 średni czas oczekiwania, średni czas oczekiwania i obsługi, prawdopodobieńswo, Ŝe przybywające zgłoszenie oczekuje na obsługę, prawdopodobieńswo, Ŝe k zgłoszeń jes w sysemie. Przez sieć kolejkową kórą jes analizowana w arykule jes rozumiany zbiór sysemów kolejkowych, powiązanych ze sobą, pomiędzy kórymi przemieszczają się zgłoszenia realizując zaporzebowanie na obsługę. W sieci kolejkowej wysępują elemeny analogiczne do elemenów sieci ransporowej, co umoŝliwia zasosowanie pojęć i wierdzeń sosowanych w sieciach ransporowych do opisu własności sieci kolejkowych (abela1). Tabela1 Porównanie sieci ransporowej z siecią kolejkowej Elemeny sieci przepływowej Sieć kolejkowa Sieć ransporowa wejście przybycie zgłoszeń (źródło) wierzchołek mający krawędzie ylko wychodzące wyjście wyjście zgłoszeń (ujście) wierzchołek mający krawędzie ylko wchodzące naęŝenie przepływu srumień zgłoszeń wielkość pooku wierzchołek sysem kolejkowy Węzeł ransporowy krawędź moŝliwe przejście (ranzycja) łuk między węzłami kierunek krawędzi kierunek przejścia kierunek przepływu warość opisująca krawędź prawdopodobieńswo przejścia 0<p 1 przepusowość Źródło: opracowanie własne na podsawie [2]. 2. PROCES TRANSPORTOWY Konsruując model dynamiki procesu ransporowego naleŝy opisać związki wysępujące między sanami sysemu ransporowego oraz czasem jako zmienną niezaleŝną. Parameryzując proces ransporowy naleŝy zaem uwzględnić zaleŝności między sanami elemenów dróg i sanami środków ransporowych worzących pook ruchu. ZaleŜności e ograniczają liczbę dopuszczalnych sanów przesrzeni fazowej sanów sysemu ransporowego. Ograniczenia e pozwalają na przedsawienie ruchu wekora sanu w dwóch ujęciach[1]: jako ciągu zmian sanu elemenów dróg sysemu, jako ciągu zmian sanu środków ransporowych worzących pook ruchu w sysemie, np. pojazdów, pociągów, wagonów, konenerów, pakieów maeriałów. Zakres odwzorowania infrasrukury sysemu ransporowego oraz zakres odwzorowania pooku ruchu z wykorzysaniem charakerysyk środków ransporowych worzących pook ruchu wynika z celu i zakresu badań dla kórych model jes konsruowany. Przyjmujemy, Ŝe san sysemu ransporowego definiowany jes jako punk przesrzeni fazowej określonej przez iloczyn karezjański sanów elemenów dróg sysemu oraz sanów środków ransporowych worzących pook ruchu w sysemie. A zaem, do opisu sanu sysemu moŝe być wykorzysany wekor o składowych wyznaczających punk w przesrzeni sanów ego sysemu. Nawiązując do definicji procesu ransporowego jako opisu związków pomiędzy sanami, a akŝe dla porzeb odwzorowania dynamiki ransporowego jednosek ransporowych (dynamiki procesu ransporowego) w sieci ransporowej zakładamy, Ŝe: san nazywać będziemy fazą procesu, zmianę sanu (zmianę fazy) nazywać będziemy zdarzeniem. Fazę procesu ransporowego cechuje czas rwania, a zdarzenie chwila wysąpienia zmiany sanu. Powsałą w en sposób srukurę definiujemy jako srukurę sieci faz procesu ransporowego. W akim układzie srukura sieci faz procesu ransporowego jes odwzorowaniem srukury ransporowej oraz odwzorowaniem procesu ransporowego jednosek ransporowych w sieci ransporowej. W odwzorowaniu Logisyka 4/

4 dynamiki procesu ransporowego Ŝaden środek ransporowy worzący pook ruchu nie moŝe być w Ŝadnym sanie więcej niŝ jeden raz. 3. ODWZOROWANIE STRUKTURY I CHARAKTERYSTYK SIECI TRANSPORTOWEJ Srukurę sysemu ransporowego zapisujemy w posaci grafu G. gdzie: W - zbiór wierzchołków (węzłów) grafu G G = <W, L> (2) W = {w: w=1, 2,..., a,..., i,, j,..., b,..., W} (3) L - jes zbiorem uporządkowanych par (i, j) węzłów grafu będących podzbiorem iloczynu karezjańskiego W W, przy czym łuk (i, j) jes inerpreowany jako połączenie ransporowe od węzła i do węzła j. Drogą nazywamy ciąg elemenów infrasrukury sysemu ransporowego biorące udział w przemieszczaniu pooku ruchu od począku rasy (węzła a) do końca rasy (węzła b). Zaem drogą w grafie G, z węzła a do węzła b nazywać będziemy ciąg p(ab) definiowany nasępująco: p(ab)=,,,,,,,,,,, (4) Oczywiście a, k, i, j, l, b W oraz (a, k),..., (i, j),..., (l, b) L. Konsruując model dynamiki procesu ransporowego konieczne jes zdefiniowanie czasu. Zakładamy zaem, Ŝe ponumerowano odcinki czasowych o dowolnej długości, przy czym worzą one zbiór T, j.: T = {: =1,...,,..., T} (5) Zakładamy, ponado Ŝe, co oznacza, Ŝe zbiór odcinków czasowych jes zbiorem uporządkowanym ściśle monoonicznie. Model opisujący proces ransporowy powinien charakeryzować się uwzględnieniem w zapisie [11]: przyczynowości, FIFO, zaleŝności między wielkością pooku ruch a wykorzysywanymi w sysemie drogami. Przyczynowość Wpływ na obecne zachowanie podróŝnych mają poprzednie sany. Warunek en sanowi o ym Ŝe na koszy ransporu dla danego połączenia mogą mieć wpływ wielkości przepływu w poprzednich chwilach. FIFO W dynamicznym modelach dynamicznych poniewaŝ zwykle oczekuje się, Ŝe jeśli dwa pojazdy wjeŝdŝają do samego łuku w pewnej kolejności o i w ej samej kolejności go opuszczają. MoŜna zaem powiedzieć, Ŝe przybywają do miejsca przeznaczenia wcześniej niŝ ych, kórzy odeszli po nich [4]., ś (9) gdzie: - czas wyjazdu pojazdu s z węzła i - czas wyjazdu pojazdu s z węzła i, - czas przyjazdu pojazdu s do węzła j, - czas przyjazdu pojazdu s do węzła j. 0 (10) 798 Logisyka 4/2012

5 - oznacza zmianę w czasie przybycia do węzła j pojazdów s i s miedzy pojazdami na wejściu i wyjściu z połączenia (i, j). Warunek (9) oznacza, Ŝe na danym łuku nie wysępuje wyprzedzanie pojazdów. Rozprzesrzenianie się pooku ruchu Rozprzesrzenianie pooku ruchu wskazuje, jak zmienia się liczba pojazdów wzdłuŝ rasy ruchu pojazdu. W modelu odwzorowującym dynamikę procesów ransporowych wielkość pooku ruchu moŝe zmieniać się wzdłuŝ rasy zaleŝnie od warunków pracy / (11) gdzie: - jes wielkością pooku ruchu wypływającego z węzła a w czasie, - jes wielkością pooku ruchu wpływającego do węzła b w czasie, - jes okresem czasu porzebny na przejazd od węzła a do węzła b zaleŝny od chwili w kórej środki ransporowe znalazły się na rasie ZaleŜność (11) pozwala na zbadanie, jak zmieni się wielkość pooku ruchu wzdłuŝ rasy z upływem czasu. Wielkość pooku ruchu y y=f ab () y=h ab () F ab (*)=H ab ( *)) * czas Rys. 2.Wykres wielkości pooku ruchu w sieci Źródło: [4]. Analizując proces ransporowy naleŝy określić zbiór ypów środków ransporowych naleŝących do analizowanego sysemu ich liczbę. Ponado, naleŝy sprawdzić czy liczba środków ransporowych znajdujących się na danym połączeniu sieci ransporowej nie przekracza ograniczeń wynikających z wyposaŝenia ego połączenia (jego charakerysyk w eorii kolejkowej będą one miały wpływ na liczbę kanałów obsługi). Dlaego naleŝy określić liczbę środków ransporowych dla poszczególnych łuków (i, j) sieci z uwzględnieniem czasu. Zakładamy zaem, Ŝe po sieci ransporowej mogą przemieszczać się środki ransporowe róŝnych ypów worząc pook ruchu. Dla jednoznaczności dalszych rozwaŝań przyjmujemy, Ŝe S jes zbiorem numerów ypów środków ransporowych, j.: S= {s: s=1,...,s,,s} (6) gdzie S jes liczebnością zbioru S. PoniewaŜ po sieci ransporowej moŝe jednocześnie przemieszczać się wiele środków ransporowych jednego ypu, sąd niezbędnym jes ponumerowanie środków kaŝdego ypu s, s S. Zbiór numerów środków ransporowych s-ego ypu oznaczymy przez K(s), przy czym będzie on zbiorem posaci: Logisyka 4/

6 K(s) = {(k,s): k=1,,k(s)}, s S (7) gdzie parę (k,s) inerpreujemy jako k-y numer środka ransporowego s-ego ypu, naomias K(s) jes liczbą środków ransporowych s-ego ypu przemieszczających się po sieci ransporowej. Analizując problem dynamiki procesu ransporowego naleŝy uwzględnić przemieszczanie jednosek ransporowych po wszyskich połączeniach naleŝących do danej sieci ransporowej. Definiujemy zaem zbiór K((i,j),k(s),) kórego elemeny opisują numer środka ransporowego s-ego ypu, kóry w wyróŝnionej -ej chwili znajduje się na (i,j)-ym połączeniu sieci ransporowej. Inną z charakerysyk procesu ransporowego jes czas ransporu środka ransporowego danego ypu na określonym łuku. ZałoŜymy zaem, Ŝe na iloczynie karezjańskim L S T ym zadane jes odwzorowanie 1, przy czym wielkość 1((i,j),s,) mieć będzie inerpreację czasu pokonania łuku (i,j) przez s-y rodzaj jednosek ransporowych, jeśli środki ransporowe s znajdują się na łuku (i,j) w chwili. Oczywiście dla usalonej chwili oraz dla usalonego połączenia (i,j) pełna charakerysyka dynamiki prowadzona oddzielnie dla kaŝdego rodzaju jednosek ransporowych opisana będzie układem warości: <1((i, j), 1, ), 1((i,j), 2, ),..., 1((i,j), s,),..., 1((i,j), S,)> (8) Fazę procesu ransporowego charakeryzuje czas rwania, a zdarzenie charakeryzuje chwila wysąpienia zmiany sanu. Powsałą w en sposób srukurę definiujemy jako srukurę sieci faz procesu ransporowego. W akim układzie srukura sieci faz procesu ransporowego jes odwzorowaniem srukury ransporowej oraz odwzorowaniem procesu ransporowego jednosek ransporowych w sieci ransporowej. Srukurę sieci faz procesu ransporowego moŝemy zapisać w posaci sieci kolejkowej Dla kaŝdej jednoski ransporowej ciąg faz procesu ransporowego jes opisany wekorem faz procesu ransporowego - ze względu na wyróŝnione fazy jes o wekor ściśle uporządkowanym. Przyjmujemy więc, Ŝe wekor W(s) ma posać: W(s) = [w(s, n, jn)] n {1,,F s }, s S, (9) gdzie F s jes liczbą faz ransporowego się w sysemie ransporowym s-ej jednoski ransporowej. Wekor w(s) określony jes dla kaŝdego s S n-numer fazy. Sysem opisany powyŝej, j. syuację dla n-ej fazy obsługi, dla konkrenego sanu V przedsawiono na rys. 3. Rys.3. Schema sysemu kolejkowego dla n-ej fazy obsługi w sieci faz. Źródło: opracowanie własne na podsawie [1]. Na rysujku1 M n oznaczono zbiór numerów miejsc w poczekalni n-ej fazy procesu obsługi, przez N zbiór numerów kanałów obsługi w n-ej fazie procesu obsługi. Oczywiście brak miejsca w poczekalni w n-ej fazie procesu obsługi powoduje przesunięcie momenu rozpoczęcia obsługi lub zakończenia obsługi o jednoskę czasu w fazie poprzedzającej n-ą fazę. Naomias brak wolnego kanału obsługi w n-ej fazie powoduje przesunięcie momenu począku obsługi w ej fazie. Jednoska ransporowa, kóra znajduje się w n-ej fazie dalej oczekuje w poczekalni n-ej fazy na obsługę. Brak miejsca w poczekalni fazy nasępującej po fazie n-ej powoduje przesunięcie momenu zakończenia obsługi w n-ej fazie o jednoskę czasu. Przedsawiając proces ransporowy w noacji kolejkowej najczęściej wykorzysujemy rozkład zgłoszeń do sysemu. 800 Logisyka 4/2012

7 Oczywiście czas ransporowego środków ransporowych po kaŝdym połączeniu sieci ransporowej moŝe być róŝny i uwarunkowany jes zarówno liczbą ypów środków ransporowych na połączeniu, jak i liczbą środków ransporowych danego ypu chcących z połączenia sieci ransporowej w ym samym czasie skorzysać. W erminologii sieci faz procesu odpowiadać o będzie syuacji obsługi przez kanały obsługi określonego srumienia środków ransporowych. W przypadku, gdy inensywność kanału obsługi będzie mała w sosunku do rzeczywisego zaporzebowania na czas, przed kanałami obsługi worzyć się będą kolejki. Zaem naleŝy uŝyć aparau eorii kolejek. PoniewaŜ najczęściej: okresy między kolejnymi pojawieniami się pojazdów w punkach węzłowych mają rozkłady jednakowe i niezaleŝne; prawdopodobieńswo, Ŝe w okresie między a + pojawi się ylko jeden pojazd zaleŝy ylko od długości przedziału i jes ono niezaleŝne od, w dowolnym przedziale o długości >0 prawdopodobieńswo pojawienia się pojazdów jes dodanie, w analizowanym dowolnym wysarczająco krókim przedziale czasu moŝe wysąpić co najwyŝej pojawienie się pojazdów, Przypuśćmy, Ŝe sysem ransporowy rozpoczyna pracę w momencie 0 i Ŝe pierwszy pojazd pojawia się w chwili, (>0). Wówczas f() jes funkcją gęsości prawdopodobieńswa zarówno długości przedziałów między pojawiania się kolejnych pojazdów, oraz czasu, w kórym nasąpi pierwsze pojawienie się pojazdu. Niech: gdzie: ( ) 1 ( ) P P ( ) - prawdopodobieńswo, Ŝe pojazd pojawi się po czasie Zgodnie z dwoma pierwszymi załoŝeniami: Z ego wynika, Ŝe gdzie: λ >0. Po podsawieniu do (10) orzymujemy: RóŜniczkując sronami orzymujemy = f d (10) 0 P( + ) = P( ) P( ) dla > 0, > 0 (11) ( ) e λ P = (12) 0 ( ) e λ = 1 f d (13) ( ) e λ f = λ (14) zaem długość okresów między kolejnymi zgłoszeniami ma rozkład wykładniczy, a srumień zgłoszeń ma rozkład Poissona. Wobec powyŝszego prawdopodobieńswo, Ŝe w przedziale (0,) wysępuje k zgłoszeń jes dla rozkładu Poissona równe k λ ( λ) e + Pk ( ) = k C { 0} (15) k! Logisyka 4/

8 PODSUMOWANIE Reasumując analizując procesy ransporowe moŝna wybrać model wykorzysujący eorię kolejkową. Modele e, w przeciwieńswie do umoŝliwiają badanie zaleŝności między elemenami syemu z dokładnością porównywalną do rzeczywisości. PoniewaŜ celem badania procesów ransporowych bywa najczęściej znalezienie moŝliwości usprawnienia pracy sysemu ransporowego lub zmniejszenie koszów. Wybierają zaem paramery sysemu kolejek naleŝy uwzględnić znajomość srukury i własności procesu ransporowego. Modelując naleŝy wziąć pod uwagę moŝliwość wyboru momenu zgłoszenia do sysemu, dodania nowego kanału obsługi-(drogi pasa ruchu) pozwalająca na zwiększenie przepusowości dróg albo zmiana poliyki cen, pozwalająca na skrócenie czasu oczekiwania czekania pojazdów w korkach. Sreszczenie W arykule przedsawiono główne załoŝenia eorii kolejkowej i jej zasosowanie w opisie procesu ransporowego. Zdefiniowano proces ransporowego jednoski ładunkowej w sysemie ransporowym. Przedsawiono paramery charakeryzujące proces ransporowy uwzględniając formy eorii kolejkowej. Słowa kluczowe: modelowanie, proces ransporowy, zadanie opymalizacyjne, ranspor. Queue heory applied o he ranspor process descripion Absrac The aricle describes he main assumpions of queue heory and is applicaion in he descripion of he ranspor process. The uni load ranspor process in he ranspor sysem was defined. The parameers characerizing he ranspor process having he form of queue heory were presened.. Key words: modeling, ranspor processes, he opimizaion problem, ransporaion. LITERATURA [1] Ambroziak T., Jacyna M..: Wybrane aspeky modelowania dynamiki procesów ransporowych, Prace Naukowe PW, TRANSPORT, z. 53, Oficyna Wydawnicza Poliechniki Warszawskiej, Warszawa [2] Filipowicz B.: Modele sochasyczne w badaniach operacyjnych. Analiza i syneza sysemów obsługi i sieci kolejkowych. Wydawnicwo Naukowo-Techniczne Warszawa 1996 [3] Findeisen W., Szymanowski J., Wierzbicki A.: Teoria i meody obliczeniowe opymalizacji. PWN, Warszawa [4] Han, S. : Dynamic raffic modelling and dynamic sochasic user equilibrium assignmen for general road neworks, Transporaion Research 37B, [5] Huang, H.J., Lam, W. H. K.: Modeling and solving he dynamic user equilibrium roue and deparure ime choice problem in nework wih queues, Transporaion Research Par B 36 (3), [6] Jacyna M.: Wybrane zagadnienia modelowanie sysemów i procesów ransporowych Oficyna Wydawnicza Poliechniki Warszawskiej, Warszawa 1999 [7] Leszczyński J.: Modelowanie sysemów i procesów ransporowych Oficyna Wydawnicza Poliechniki Warszawskiej, Warszawa 1999 [8] Ran, B., Boyce, D.E., LeBlanc : A new class insananeous dynamic user-opimal raffic assignmen models Operaions Research vol. 41 no [9] Woch J.: Saysyka procesów ransporowych. Wydawnicwo Poliechniki Śląskiej. Gliwice 2001 [10] Ziek F.:, Sracony czas. Elemeny eorii obsługi masowej, Pańswowe Wydawnicwo Naukowe, 1973 [11] śak Jolana.: Parameryzacja elemenów procesu ransporowego. Logisyka 4/ Logisyka 4/2012