Witold Orzeszko Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Wykorzysanie koncepcji nieliniowej przyczynowości do idenyfikacji auozależności w szeregach czasowych 1. Wprowadzenie Pojęcie przyczynowości w sensie Grangera pełni kluczową rolę w ekonomerycznej analizie zależności pomiędzy procesami ekonomicznymi. Meodą esowania nieliniowej przyczynowości jes procedura Hiemsry i Jonesa (1994), odwołująca się do koncepcji Baeka i Brocka (1992). Celem niniejszej pracy jes zasosowanie esu Hiemsry i Jonesa w odmienny sposób do idenyfikacji auozależności w szeregach czasowych. Pomysł en zrealizowano w zasosowaniu do danych symulowanych, a akże do szeregów czasowych z Giełdy Papierów Warościowych w Warszawie. 2. Tesowanie przyczynowości w zakresie zależności nieliniowych Wysępowanie zależności przyczynowych między sacjonarnymi procesami X i Y zosało zdefiniowane przez Grangera (1969) w kaegorii warunkowych rozkładów prawdopodobieńswa. Według ej definicji X nie jes przyczyną Y, jeśli dla dowolnych opóźnień czasowych lx, ly 1 zachodzi równość: ( Y X,..., X ; Y,..., Y )) F( Y ( Y,..., Y )) F. (1) ( lx 1 1 = 1 W przypadku, gdy warunek (1) nie jes spełniony mówimy, że X jes przyczyną Y, co w szczególności implikuje możliwość wykorzysania przeszłości X do prognozowania Y. Tesowanie wysępowania zależności przyczynowych polega na weryfikacji hipoezy zerowej, iż X nie jes przyczyną Y. W prakyce, nie weryfikuje się

2 82 zawarego w definicji warunku (1), lecz zasępuje się go bardziej operacyjnymi formułami. Jedną z meod jes ograniczenie zakresu badania do idenyfikacji zależności przyczynowych jedynie o charakerze liniowym. W akiej syuacji badanie polega na zbudowaniu i analizie modelu VAR. Z kolei operacyjną meodą analizy przyczynowych zależności o charakerze nieliniowym jes meoda Baeka i Brocka (1992). Odwołuje się ona do pojęcia całki korelacyjnej C W (ε ), będącej prawdopodobieńswem zdarzenia, iż dwie losowo wybrane realizacje wekora losowego W oddalone są od siebie o nie więcej niż ε, zn. CW ( ε ) = P{ W1 W2 ε} = I( s1, s2, ε ) fw ( s1 ) fw ( s2 ) ds2ds1, (2) gdzie W 1,W2 są niezależnymi realizacjami wekora W, jes normą supremum, naomias funkcja ( s, s, ε ) 1; s1 s2 ε I 1 2 =. 0; s1 s2 > ε Dla usalonych opóźnień czasowych lx, ly 1 niech X oraz Y oznaczają wekory opóźnień posaci X lx = ( X lx,..., X ) i Y ly = ( Y,..., Y ). Odwołując się do pojęcia wekorów opóźnień, Baek i Brock przeformułowali definicję przyczynowości w sensie Grangera. Według ich koncepcji X nie jes przyczyną Y, jeśli: gdzie 1 1 { Y Ys < ε Y Ys < ε, X lx X slx < ε } P 1 = P{ Y Ys < ε Y Ys < ε }, jes normą supremum. Niespełnienie warunku (3) oznacza, że X X,..., X ) może być lx = 1 lx = ( lx 1 pomocne w prognozowaniu Y. Ta inerpreacja przyczynowości jes kluczowa dla rozważań zawarych w rozdziale rzecim niniejszego arykułu. Niech C1, C2, C3 oraz C4 oznaczają nasępujące całki korelacyjne: s 1 { Y Ys < ε, X lx X slx < ε } 1 1 { Y Ys < ε, X lx X slx < ε } s { Y Ys ly < ε } 1 { Y Ys < ε } C 1 = P, (4a) C 2 = P, (4b) C3, (4c) = P C 4 = P. (4d) Można udowodnić (np. Orzeszko, Osińska), że: ly (3)

3 Wykorzysanie koncepcji nieliniowej przyczynowości P 1 1 C1 { Y Ys < Y Ys < ε, X lx X slx < ε } = C2 P Y Y ε, (5) 1 1 C3 ε Y Y. (6) oraz { s < s < ε } = C4 C 1 C3 A wówczas wzór (3) równoważny jes formule =. (7) C2 C4 Równanie (7) jes podsawą procedury esowania wysępowania zależności przyczynowych w szeregach czasowych ( x ) i ( y ). Esymaorami całek korelacyjnych C1, C2, C3 oraz C4 są odpowiednio: 2 s 1 C 1( = (,, ε ) (,, ε ) ( 1) < I y s ly lx s lx s ly y I x x, n n (8a) C 2( = I( y,, ε ) (,, ε ) ( 1) < s ly lx s lx s ly y I x x, n n (8b) 2 s C3( = I( y, s ly, ε ) ( 1) s ly y n n <, (8c) 2 1 C 4( = I( y,, ε ) ( 1) < s ly s ly y, (8d) n n gdzie, s = max( lx, ly) + 1,..., T, n = T max( lx, ly), T długość szeregów. Hiemsra i Jones (1994) udowodnili, że dla dowolnych sacjonarnych, słabo zależnych i spełniających warunki Denkera i Kellera (1983), procesów X, Y oraz dla dowolnych lx, ly 1 i ε > 0, jeśli X nie jes przyczyną Y, o: TVAL df = n C1( C3( ~ N ( lx, ly, ) C2( C4( σ ε ( 0,1), (9) gdzie σ ( lx, ly, ε ) i jej esymaor są zdefiniowane w dodaku arykułu Hiemsry i Jonesa (1994). Należy podkreślić, że meoda Hiemsry i Jonesa (H J) idenyfikuje zależności przyczynowe różnej naury. Z ego powodu w celu idenyfikacji zależności nieliniowych, należy badaniu poddawać dane pozbawione zależności liniowych. Auorzy esu zalecają również, aby dokonać normalizacji danych i w eście rozważyć warości ε pomiędzy 0.5 a Zasosowanie esu Hiemsry Jonesa do idenyfikacji auozależności w szeregach czasowych W niniejszej pracy wykorzysano es H J w odmienny sposób do idenyfikacji auozależności w szeregach czasowych. W ym celu przyjęo w

4 84 eście za ( x ) (zn. proces przyczynę ) szereg złożony z przeszłych realizacji procesu ( y ) (zn. procesu skuku ). Prowadzi o do weryfikacji isnienia w ( y ) auozależności o charakerze nieliniowym, kóre dają poencjalną możliwość prognozowania szeregu ( y ) w oparciu o jego przeszłość. Badaniu poddano indeksy pochodzące z GPW w Warszawie, z okresu (1600 obserwacji). Dla każdego z indeksów esowaniu poddano rzy szeregi: logarymicznych sóp, orzymanych dla nich resz z modeli ARMA oraz ARMA-GARCH. Zbadanie resz z modeli ARMA daje możliwość swierdzenia, czy ewenualnie wykrye zależności w szeregu sóp mają charaker liniowy. W przypadku odpowiedzi negaywnej, przebadanie sandaryzowanych resz z modelu ARMA-GARCH umożliwia swierdzenie, czy a klasa modeli dobrze opisuje zidenyfikowaną nieliniowość. W eście H J przyjęo ε =1.5 oraz lx=ly równe kolejno 1,2,..., 5. Dla każdego z badanych szeregów (ozn. ( a ) ) w procedurze esowania przyjęo dwa zesawy szeregów: A) ( y ) badany szereg (zn. y = a ), ( x ) szereg jego pierwszych opóźnień (zn. x = a 1 ), B) ( y ) szereg złożony z obserwacji o numerach parzysych (zn. y = a2 ), ( x ) szereg złożony z obserwacji nieparzysych (zn. x = a2 + 1 ). W pierwszym zesawie odrzucenie H 0 dla pewnej warości lx=ly oznacza, że efekywność prognozowania obserwacji a wzrośnie, gdy wiedza badacza o obserwacjach a 1, a2,..., alx zosanie poszerzona o znajomość warości a lx1. Ponieważ lx 1, więc w en sposób możliwe jes sprawdzenie isnienia w szeregu zależności między opóźnieniami co najmniej drugiego rzędu. Weryfikację isnienia zależności pomiędzy sąsiednimi obserwacjami umożliwia drugi zesaw, w przypadku kórego odrzucenie H 0 oznacza, że wykorzysanie do prognozowania obserwacji a2, a2 2,..., a22lx prowadzi do gorszych rezulaów, niż wykorzysanie a2, a2 1, a22,..., a22lx+ 1, a22lx. Przyjmując lx = 1 można zweryfikować, czy a 21 wpływa na a 2 pod warunkiem znajomości również a 22. Wadą drugiego zesawu jes fak, iż badane szeregi sają się dwa razy krósze, co wpływa negaywnie na wiarygodność esu. W pierwszej kolejności, przedsawioną powyżej procedurę esowania zasosowano do danych symulowanych. W ym celu, z odwzorowania logisycznego posaci a+ 1 = 4a (1 a ), dla a 0 = 0. 7, wygenerowano szereg chaoyczny złożony z 1599 obserwacji. W abeli 1 zaprezenowano wyniki esowania zależności nieliniowych w ym szeregu, dla porównania zesawione z rezulaami orzymanymi dla białego szumu. W każdej z komórek widoczna jes warość wyrażenia TVAL (por. wzór 9). W główce abeli, symbolami A i B oznaczono kolumny zawierające wyniki esu dla szeregów skonsruowanych

5 Wykorzysanie koncepcji nieliniowej przyczynowości odpowiednio wg procedur A oraz B. Symbole *, **, *** oznaczają odrzucenie H o braku przyczynowości na poziomie, odpowiednio, 10%, 5% i 1%. 0 Tabela 1. Wyniki esu Hiemsry-Jonesa dla białego szumu i odwzorowania logisycznego lx=ly Biały szum Biały szum Odwzor. logis (A) Odwzor. logis (B) (A) (B) szereg szereg *** *** 4.262*** 4.141*** *** *** 3.860*** *** *** 3.088*** *** 2.189** *** 2.136** Jak widać, w przypadku białego szumu es nie wykazał obecności zależności pomiędzy obserwacjami. Odmienny, a jednocześnie zgodny z oczekiwaniami, rezula orzymano dla odwzorowania logisycznego. Zarówno dla zesawu A, jak i B, es wykazał isnienie zależności w szeregu. Ponieważ dokonana analiza auokorelacji wskazała na brak zależności liniowych, więc orzymane wyniki rafnie oznaczają nieliniowość. Model GARCH ylko w ograniczonym sopniu był w sanie opisać zidenyfikowane zależności. Z kolei w abelach 2-11 zaprezenowano wyniki esu H J dla indeksów giełdowych. Tabela 2. Wyniki esu Hiemsry-Jonesa dla indeksu WIG-BANKI WIG-BANKI (A) WIG-BANKI (B) lx=ly Sopy MA(1) Sopy MA(1)- MA(1) MA(1) *** 1.666* *** 3.027*** ** 2.076** * 2.501** 2.220** * 1.658* *** 2.276** *** 2.826*** Tabela 3. Wyniki esu Hiemsry-Jonesa dla indeksu WIG-BUDOW WIG-BUDOW (A) WIG-BUDOW (B) lx=ly Sopy - Sopy - GARCH(2,1) GARCH(2,1) *** 2.694*** *** 2.852*** *** 3.846*** 1.855* 4.188*** 4.095*** *** 5.462*** 2.150** *** 3.149*** *** 5.163*** 2.377** * 1.980** *** 4.600*** 1.563

6 86 Tabela 4. Wyniki esu Hiemsry-Jonesa dla indeksu WIG-INFO WIG-INFO (A) WIG-INFO (B) lx=ly Sopy - Sopy - GARCH(2,1) GARCH(2,1) *** 4.230*** *** 3.383*** *** 4.128*** *** 4.185*** *** 4.694*** *** 4.219*** *** 3.626*** *** 3.628*** *** 2.549** *** 4.025*** Tabela 5. Wyniki esu Hiemsry-Jonesa dla indeksu MWIG40 MWIG40 (A) MWIG40 (B) lx=ly Sopy ARMA(2,1)- Sopy ARMA(2,1)- ARMA(2,1) ARMA(2,1) *** 4.362*** *** 2.395** *** 3.649*** *** 2.728*** *** 3.696*** *** 3.738*** *** 4.514*** *** 4.344*** *** 3.465*** *** 3.712*** Tabela 6. Wyniki esu Hiemsry-Jonesa dla indeksu WIG-SPOZY WIG-SPOZY (A) WIG-SPOZY (B) lx=ly Sopy AR(2)- Sopy AR(2)- AR(2) AR(2) *** 3.949*** *** 3.091*** *** 3.698*** * 3.896*** 3.851*** *** 3.870*** *** 4.498*** *** 3.486*** *** 4.823*** *** 3.103*** *** 4.625*** Tabela 7. Wyniki esu Hiemsry-Jonesa dla indeksu SWIG80 SWIG80 (A) SWIG80 (B) lx=ly Sopy ARMA(2,1) - Sopy ARMA(2,1) - ARMA(2,1) ARMA(2,1) *** 3.906*** *** 2.965*** *** 2.667*** *** 3.308*** *** 2.148** *** 3.433*** *** 2.006** *** 2.314** *** 2.380** *** 1.779*

7 Wykorzysanie koncepcji nieliniowej przyczynowości Tabela 8. Wyniki esu Hiemsry-Jonesa dla indeksu TECHWIG TECHWIG (A) TECHWIG (B) lx=ly Sopy - Sopy *** 4.196*** *** 4.068*** *** 4.804*** *** 4.788*** *** 5.390*** 1.894* 4.236*** 5.325*** *** 4.158*** *** 5.098*** *** 3.093*** *** 5.303*** Tabela 9. Wyniki esu Hiemsry-Jonesa dla indeksu WIG-TELKO lx=ly WIG-TELKO (A) WIG-TELKO (B) Sopy Sopy *** ** *** *** *** *** *** *** *** *** Tabela 10. Wyniki esu Hiemsry-Jonesa dla indeksu WIG WIG (A) WIG (B) lx=ly Sopy - Sopy ** *** 3.368*** ** 1.817* *** 3.154*** *** 3.415*** *** 4.025*** 2.266** 4.053*** 2.892*** *** 3.453*** *** 3.204*** Tabela 11. Wyniki esu Hiemsry-Jonesa dla indeksu WIG20 WIG20 (A) WIG20 (B) lx=ly Sopy MA(1)- Sopy MA(1)- MA(1) MA(1) *** ** *** 3.494*** ** 2.147** *** 3.034*** *** 3.261*** *** 3.593*** *** 3.285*** *** 3.146*** *** 4.153*** 0.033

8 88 W przypadku wszyskich przebadanych indeksów, es wykazał isnienie auozależności w szeregach sóp 1. Taki sam rezula orzymano dla resz z modelu ARMA, co wskazuje na nieliniowy charaker zidenyfikowanych zależności. W większości wypadków przefilrowanie modelem ARMA-GARCH zmniejszało (co do modułu) warości saysyki TVAL, jednak w wielu wypadkach (WIG-BUDOW (A) i (B), WIG-SPOZY (A), TECHWIG (A), WIG (A)) model en nie był w sanie całkowicie opisać charakeru zidenyfikowanych nieliniowości. Co więcej, w niekórych wypadkach (WIG-BANKI (A), WIG (A), WIG20 (A) i (B)) filrowanie prowadziło do wzrosu warości saysyki, co również może wskazywać, że wykrye zależności są innej naury niż proces GARCH. Zidenyfikowanie nieliniowych zależności w szeregach oznacza poencjalną możliwość ich prognozowania. Oczywiście zasosowana w pracy meoda esowania nie daje żadnych wskazówek co do posaci modelu opisującego e zależności. Jednak należy sobie zdawać sprawę z faku, że ze względu na bogacwo klasy funkcji nieliniowych próba znalezienia właściwego modelu może okazać się daremna. Z ego względu zasadne może być rozważenie innych meod prognozowania (por. np. Orzeszko, 2004). Jednak kwesia wyboru właściwej meody oraz jej zasosowanie do analizowanych w pracy danych, wykracza poza zakres niniejszego arykułu. Lieraura Baek, E.G., Brock, W.A. (1992), A General Tes for Nonlinear Granger Causaliy: Bivariae Model. Technical Repor. Iowa Sae Universiy and Universiy of Wisconsin, Madison. Denker, M., Keller, G. (1983), On U-saisics and von Mises Saisics for Weakly Dependen Processes. Zeischrif für Wahrscheinlichkeisheorie und Verwande Gebiee, 64, Diks, C., Panchenko, V (2006), A New Saisics and Pracical Guidelines for nonparameric Granger Causaliy Tesing, Journal of Economic Dynamics and Conrol, 30, Granger, C.W.J. (1969), Invesigaing Causal Relaions by Economeric Models and Cross-Specral Mehods. Economerica, 37, Hiemsra, C., Jones, J.D. (1994), Tesing for Linear and Nonlinear Granger Causaliy in he Sock Price Volume Relaion. Journal of Finance, 49, Orzeszko, W. (2004) Krókoerminowe prognozowanie chaoycznych szeregów czasowych, Przegląd Saysyczny, vol. 51, Orzeszko, W., Osińska, M., Analiza przyczynowości w zakresie zależności nieliniowych. Implikacje finansowe, w druku. 1 Auozależności w szeregu isnieją, jeśli, dla choć jednej warości lx, saysyka TVAL wpada do obszaru kryycznego (por. definicję przyczynowości wzór 1).