DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Jak zwiększyć rafność prognoz zmienności konsruowanych na podsawie modeli GARCH? *. Wprowadzenie Lieraura doycząca prognozowania zmienności insrumenów finansowych jes niezwykle bogaa (parz Poon i Granger, 2003), jednakże jak doąd nie ma jednoznacznych wskazówek doyczących wyboru najlepszej meody prognozowania zmienności. Wyniki badań empirycznych są niejednoznaczne, a częso nawe sprzeczne. W osanich dwudziesu laach powsało wiele uogólnień i rozszerzeń modelu GARCH, niemniej jednak jak doąd nie ma konsensusu co do jakości konsruowanych na ich podsawie prognoz zmienności. Wyniki doychczasowych badań nie wskazują jednoznacznie określonej klasy modeli, na podsawie kórych uzyskiwałoby się najlepsze prognozy zmienności dla procesów finansowych. Analizy doyczące polskiego rynku finansowego z zasosowaniem modelu GARCH zosały przeprowadzone między innymi przez Pionka (2003), Doman i Doman (2004), Fiszedera (2004a, b, 2005) oraz Pipienia (2006). Tylko w pracach Doman i Doman oraz Fiszedera do oceny jakości prognoz wykorzysano dane o wysokiej częsoliwości. Niniejsze badanie obejmuje jednakże znacznie szerszą klasę modeli GARCH, szczególnie modeli rozszerzonych o dodakowe informacje oraz doyczy znacznie szerszego okresu badania, co może mieć znaczący wpływ na uzyskane wyniki. Głównym celem arykułu jes ocena rafności prognoz zmienności konsruowanych na podsawie różnych posaci modeli GARCH. Wykorzysanie dodakowych informacji przy konsrukcji modelu GARCH lub esymacji jego paramerów nie zawsze prowadzi do wzrosu rafności prognoz zmienności. * Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w laach , projek badawczy nr -H02B

2 52 Pior Fiszeder Układ arykułu jes nasępujący. Część druga zawiera króki opis sosowanych w badaniu meod prognozowania zmienności oraz meod oceny rafności prognoz. W części rzeciej zbadano rafność prognoz zmienności dla indeksu WIG20. Arykuł kończy podsumowanie. 2. Meody prognozowania zmienności oraz meody oceny rafności prognoz Analizowane meody prognozowania zmienności można podzielić na rzy grupy. Pierwsza grupa obejmuje modele GARCH, kórych paramery były esymowane na podsawie dziennych sóp zwrou z wykorzysaniem wyłącznie cen zamknięcia: GARCH, IGARCH, GARCH-M, model GARCH z progowym efekem GARCH-M (GARCH-MT), GJR, TGARCH i FIGARCH, model GARCH z warunkowym rozkładem -Sudena (oznaczony jako GARCH-). Zasosowano również model EGARCH, jednakże z uwagi na problemy z esymacją paramerów dla niekórych okresów (płaska funkcja wiarygodności) pominięo prezenację wyników ego modelu. Druga grupa obejmuje inne meody, kóre zasosowano również dla danych dziennych 2 : model błądzenia przypadkowego dla wariancji (RW), model zmienności hisorycznej (HA), model wariancji ruchomej (MA), model wyrównywania wykładniczego dla wariancji (ES) oraz model sochasycznej zmienności (SV). Trzecia grupa obejmuje meody, w kórych wykorzysuje się dodakowe informacje: model GARCH szacowany na podsawie przeskalowanego prawdziwego zakresu zmiany (GARCH dla TR), model GARCH rozszerzony o dodakowe zmienne objaśniające z okresu prawdziwy zakres zmiany (GARCH z TR), różnicę między logarymami z maksymalnej i minimalnej ceny w ciągu dnia (GARCH z HL), sumę kwadraów sóp zwrou o częsoliwości 5 minu (GARCH z 5MR) oraz kwadra sopy zwrou indeksu S&P 500 (GARCH z S&P). Badano również modele GARCH opisujące wahania sezonowe (GARCH z sez.), efek ygodnia (GARCH z yg.) oraz efek związany z okresami świąecznymi (GARCH ze św.) - modele rozszerzone o odpowiednie zmienne zerojedynkowe, model GARCH z indeksem S&P 500 w średniej (S&P w średniej) oraz model błądzenia przypadkowego dla zmienności zrealizowanej obliczanej jako suma kwadraów 5-minuowych sóp zwrou (RW inra). Z uwagi na ograniczony rozmiar publikacji pominięo prezenację podsawowych specyfikacji modeli. Można je znaleźć na przykład w pracach Fiszedera (2004a, b). Poniżej omówiono ylko rzadziej sosowane parameryzacje modeli. Model GARCH z progowym efekem GARCH-M (zaproponowany w pracy Fiszedera, 2005) można przedsawić w formie: Dla skróconego okresu prognozy konsruowane na podsawie ego modelu były znacząco mniej rafne niż prognozy konsruowane na podsawie modelu GARCH (były częściej przeszacowane). 2 W nawiasach podano przyjęe oznaczenia w abelach.

3 y h + Jak zwiększyć rafność prognoz zmienności 53 = c + δ I h + δ I ) h + ε, 2 = α 0 + α ε + βh ( ψ ~ D ( 0, h ) ε, (), (2) gdzie I =, gdy x 0 i I = 0, gdy x < 0. Jako x przyjęo sopy zwrou indeksu S&P 500. Wyboru sałej wygładzania w modelu wariancji ruchomej oraz parameru wygasania w modelu wyrównywania wykładniczego dokonywano dla każdego okresu na podsawie próbki wsępnej. Wybierano e warości, dla kórych pierwiasek błędu średniokwadraowego był najmniejszy w próbce wsępnej. Dodakowo przyjęo sałą wygładzania równą 25 oraz paramer wygasania równy 0,94 (warość sosowana w procedurze RiskMerics). Fiszeder (2005) zaproponował, aby esymację modelu GARCH przeprowadzić na podsawie przeskalowanego prawdziwego zakresu zmiany. Prawdziwy zakres zmiany dla okresu jes obliczany jako: TR max{( H L ), C H, C L }, (3) = gdzie H i L oznaczają odpowiednio cenę maksymalną i minimalną w okresie, C o cena zamknięcia w okresie. Prawdziwy zakres zmiany daje zawyżone szacunki zmienności. Skalowanie można przeprowadzić na dwa sposoby, korzysając z kwadraów sóp zwrou lub warości bezwzględnych sóp zwrou. Przeskalowania TR dokonuje się na podsawie formuły: gdzie a STR = TR, (4) b a = i= 2 r i, b = TR i i= 2 lub a = i= r i, b = TR i i= w zależności od przyjęej meody skalowania 3. Skalowanie dla warości bezwzględnych sóp zwrou prowadzi na ogół do zaniżonych szacunków prognoz, dlaego sugerujemy sosowanie skalowania dla kwadraów sóp zwrou. Ocenę rafności prognoz dokonano na podsawie nasępujących miar: względnego błędu średniego (RME), średniego absolunego błędu (MAE), pierwiaska błędu średniokwadraowego (RMSE), logarymicznej funkcji sray (LL), średniego absolunego błędu prognozy skorygowanego o heeroskedasyczność (HMAE), pierwiaska błędu średniokwadraowego skorygowanego o heeroskedasyczność (HRMSE), współczynnika deerminacji R 2 dla funkcji 3 We wszyskich formułach zakłada się, że średnia sopa zwrou nie różni się isonie od zera.

4 54 Pior Fiszeder regresji realizacji wariancji względem prognoz wariancji, funkcji sray LINEX. Podano również procen prognoz przeszacowanych, oceny paramerów w równaniu regresji realizacji wariancji względem prognoz wariancji, ocenę współczynnika korelacji liniowej Pearsona prognoz wariancji warunkowych skonsruowanych na podsawie modelu GARCH i prognoz skonsruowanych na podsawie innych modeli. Ponado esowano isoność różnic dla błędu średniokwadraowego (parz Wes i Cho, 995). 3. Prognozowanie zmienności indeksu WIG20 Ocena rafności wybranych meod prognozowania zmienności zosała przeprowadzona dla indeksu WIG20. Do analizy przyjęo dzienne sopy zwrou od 2 sycznia 200 r. do 29 grudnia 2006 r. (504 obserwacje). Prognozy wariancji konsruowano na jedną sesję do przodu dla okresu od 2 sycznia 2004 r. do 29 grudnia 2006r. (757 sesji). Paramery wszyskich analizowanych modeli esymowano 757 razy dodając za każdym razem kolejną obserwację. Zaem ocena rafności prognoz zmienności zosała dokona dla sosunkowo długiego okresu (757 obserwacji dziennych, około 57 ys. obserwacji 5-minuowych). Badano procenowe logarymiczne sopy zwrou. Dla całego badanego okresu wysępowała słaba auokorelacja pierwszego rzędu o niesabilnej srukurze w czasie, nieisona saysycznie przy oddzielnym badaniu dla okresu esymacji i prognozowania. Jako realizacje wariancji do oceny rafności prognoz przyjęo sumy kwadraów 5-minuowych sóp zwrou. Esymacji paramerów modeli GARCH dokonano meodą quasi największej wiarygodności. Wyjąkiem jes model GARCH z warunkowym rozkładem - Sudena, w przypadku kórego zasosowano meodę największej wiarygodności. Na podsawie bayesowskiego kryerium Schwarza (SC) jako wysarczający do opisu zmienności warunkowej wariancji przyjęo model GARCH(,). Paramery modelu sochasycznej zmienności esymowano za pomocą meody quasi największej wiarygodności, w kórej do budowy funkcji wiarygodności wykorzysuje się filr Kalmana. W abeli podano procen prognoz przeszacowanych oraz szacunki dla: RME, MAE, RMSE oraz logarymicznej funkcji sray. Wyniki dla HMAE i HRMSE pominięo, ponieważ rankingi były zbliżone do wyników odpowiednio dla MAE i RMSE. Dla większości meod prognozy zmienności są częściej przeszacowane, jednakże sumarycznie niedoszacowane. W abeli 2 przedsawiono oceny paramerów funkcji regresji realizacji wariancji względem prognoz wariancji, szacunki współczynnika deerminacji dla ej funkcji oraz szacunki funkcji sray LINEX. Miejsce w rankingu badanych modeli zależy w dużym sopniu od przyjęego kryerium. Nie ma modelu, na podsawie kórego można by konsruować najdokładniejsze prognozy według wszyskich rozważanych miar rafności. Pomijając funkcję sray LINEX dla a =, kóra przywiązuje większą wagę do błędów przeszacowania zmienności niż błędów niedoszacowania najlepiej w

5 Jak zwiększyć rafność prognoz zmienności 55 rankingach wypada model GARCH szacowany na podsawie przeskalowanego prawdziwego zakresu zmiany. Tabela. Ocena dokładności prognoz: procen prognoz przeszacowanych, RME, MAE, RMSE i logarymiczna funkcja sray Model % RME MAE RMSE LL przeszac. w % Ocena Rank. Ocena Rank. Ocena Rank. GARCH GARCH IGARCH GARCH-M GARCH-MT GJR TGARCH FIGARCH RW HA MA MA k = ES RiskMerics SV GARCH dla TR GARCH z TR GARCH z HL GARCH z 5MR GARCH z S&P GARCH z sez GARCH z yg GARCH ze św S&P w średniej RW inra Przyjęe oznaczenia wyjaśniono w części 2 arykułu. Źródło: obliczenia własne. Drugą najlepszą meodą wydaje się być wykorzysanie wariancji ruchomej, gdzie sała wygładzania jes wybierana dla każdego okresu na podsawie próbki wsępnej. Meoda a jednak nie wypada dobrze w przypadku analizy pojedynczych spółek. Najmniej dokładne prognozy według większości miar oceny rafności są konsruowane na podsawie modeli błądzenia przypadkowego i zmienności hisorycznej. Model zmienności hisorycznej znacząco przeszacowuje zmienność. Zaem prognozy konsruowane na podsawie najprosszych meod są najmniej rafne. Wykorzysanie dodakowych informacji w modelu GARCH daje mieszane rezulay. Badanie pokazało, że wyniki zależą nie ylko od rodzaju informacji, ale również od sposobu wykorzysania ych informacji (por. w abelach np. GARCH dla TR i GARCH z TR czy GARCH z S&P i S&P w średniej).

6 56 Pior Fiszeder Tabela 2. Ocena dokładności prognoz: współczynnik deerminacji R 2, funkcja sray LINEX Model γ 0 γ R 2 LINEX a = - LINEX a = ( 0 9 ) Ocena Rank. Ocena Rank. Ocena Rank. GARCH GARCH IGARCH GARCH-M GARCH-MT GJR TGARCH FIGARCH RW.462* 0.22* e HA 4.567* -.234* MA MA k = ES RiskMerics SV GARCH dla TR GARCH z TR GARCH z HL GARCH z 5MR GARCH z S&P GARCH z sez GARCH z yg GARCH ze św S&P w średniej RW inra.088* 0.399* e Paramery γ 0 i γ oraz R 2 doyczą równania regresji realizacji wariancji względem prognoz wariancji. Gwiazdką oznaczono oceny paramerów γ 0 i γ isonie różniące się od odpowiednio zera i jedności na poziomie Średnie błędy szacunku szacowane były na podsawie formuły Newey i Wes. Przyjęe oznaczenia wyjaśniono w części 2 arykułu. Źródło: obliczenia własne. Prognozy zmienności skonsruowane na podsawie większości meod są bardzo silnie skorelowane z prognozami konsruowanymi na podsawie modelu GARCH (parz abela 3). Podobnie różnice w szacunkach wielu miar oceny rafności prognoz między różnymi meodami są częso niewielkie. Na przykład ylko w przypadku rzech meod: błądzenia przypadkowego, wariancji hisorycznej i modelu GARCH opisującego efek ygodnia błędy średniokwadraowe różniły się isonie od błędu dla modelu GARCH (parz abela 3). Z drugiej srony niekóre różnice są znaczące z ekonomicznego punku widzenia. Gdyby dodakowy błąd w szacunku zmienności porakować jako dodakowe ryzyko, o na przykład różnica między szacunkami RMSE między modelem GARCH szacowanym w radycyjny sposób, a modelem szacowanym na podsawie przeskalowanego prawdziwego zakresu zmiany (0.29) dodaje około 5.8% dodakowego ryzyka (mierzonego odchyleniem sandardowym) w skali roku w przypadku radycyjnej meody esymacji.

7 Jak zwiększyć rafność prognoz zmienności 57 Tabela 3. Współczynnik korelacji prognoz, es isoności różnic dla błędu średniokwadraowego oraz bayesowskie kryerium Schwarza Model ρ χ 2 SC SC ranking GARCH GARCH IGARCH GARCH-M GARCH-MT GJR TGARCH FIGARCH RW * - - HA * - - MA MA k = ES RiskMerics SV GARCH dla TR GARCH z TR GARCH z HL GARCH z 5MR GARCH z S&P GARCH z sez GARCH z yg * GARCH ze św S&P w średniej RW inra Kolumna ρ przedsawia oceny współczynników korelacji prognoz zmienności konsruowanych na podsawie modeli GARCH i innych analizowanych meod prognozowania. Kolumna χ 2 zawiera wyniki doyczące weryfikacji hipoezy o równości błędów MSE dla modelu GARCH i osobno pozosałych meod prognozowania. Gwiazdką oznaczono oceny saysyk, w przypadku kórych hipoeza zerowa zosała odrzucona na poziomie Przyjęe oznaczenia wyjaśniono w części 2 arykułu. Źródło: obliczenia własne. W większości prac doyczących prognozowania zmienności bardzo ogólnikowo analizuje się własności badanych szeregów czasowych, przez co nie możliwe jes sformułowanie bardziej ogólnych wniosków doyczących poszczególnych meod prognozowania. W badaniu przeprowadzono szereg esów doyczących prawidłowości przyjęych specyfikacji modeli GARCH najczęściej poprzez esowanie odpowiednich resrykcji 4. Wnioski płynące z wyników esów są najczęściej zgodne z wnioskami wynikającymi z analizy bayesowskiego kryerium Schwarza (parz abela 3). Wnioski wynikające z przeprowadzonych esów oraz analizy kryerium SC częso nie pokrywają się z rafnością modeli w prognozowaniu zmienności. Przy konsrukcji kryeriów informacyjnych i częso przy esowaniu resrykcji bierze się pod uwagę cały model (np. równanie dla średniej, dla wariancji, roz- 4 Wyniki zosały pominięe z uwagi na ograniczony rozmiar publikacji.

8 58 Pior Fiszeder kład warunkowy). Uwzględnienie w modelowaniu określonych charakerysyk szeregu czasowego sóp zwrou nie zawsze prowadzi do wzrosu rafności prognoz zmienności konsruowanych na podsawie ych modeli. Okazuje się, że niekóre charakerysyki są isone przy ocenie ogólnego dopasowania modelu w próbie, naomias nie mają dużego wpływu na rafność prognoz. 5. Podsumowanie W arykule dokonano oceny rafności prognoz zmienności konsruowanych na podsawie 7 specyfikacji modelu GARCH oraz 8 innych meod. Pokazano, że wykorzysanie dodakowych informacji przy konsrukcji modelu GARCH lub esymacji jego paramerów nie zawsze prowadzi do wzrosu rafności prognoz zmienności. Można jednakże w znaczący, z ekonomicznego punku widzenia 5, sposób zwiększyć rafność prognoz zmienności konsruowanych na podsawie modelu GARCH szacowanego na podsawie przeskalowanego prawdziwego zakresu zmiany. Lieraura Doman, M., Doman, R. (2004), Ekonomeryczne modelowanie dynamiki polskiego rynku finansowego, AE w Poznaniu, Poznań. Fiszeder, P. (2004a), Forecasing Volailiy wih GARCH Models, maeriały konferencji MACROMODELS'2003, Wydawnicwo Uniwersyeu Łódzkiego, Łódź. Fiszeder, P. (2004b), Prognozowanie zmienności na podsawie modeli GARCH, Rynek Terminowy, 25, Fiszeder, P. (2005), Forecasing he Volailiy of he Polish Sock Index WIG20, w: Forecasing Financial Markes. Theory and Applicaions, Wydawnicwo Uniwersyeu Łódzkiego, Łódź. Pionek, K. (2003), Weryfikacja wybranych echnik prognozowania zmienności Analiza szeregów czasowych, Inwesycje finansowe i ubezpieczenia - endencje świaowe a polski rynek, Prace naukowe AE we Wrocławiu, nr 99. Pipień, M. (2006), Wnioskowanie bayesowskie w ekonomerii finansowej, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków. Poon, S-H., Granger, C. (2003), Forecasing Volailiy in Financial Markes: A Review, Journal of Economic Lieraure, 4, Wes, K. D., Cho, D. (995), The Predicive Abiliy of Several Models of Exchange Rae Volailiy, Journal of Economerics, 69, Choć nieisony ze saysycznego punku widzenia biorąc pod uwagę RMSE.