Przykład 2. Stopa bezrobocia

Transkrypt

1 Przykład 2 Stopa bezrobocia

2 Stopa bezrobocia. Komentarz: model ekonometryczny stopy bezrobocia w Polsce jest modelem nieliniowym autoregresyjnym. Podobnie jak model podaŝy pieniądza zbudowany został w oparciu o dane z okresu styczeń1998-marzec21. Predykcja dla kolejnego roku charakteryzuje się średnim błędem względnym na poziomie,79%, przy maksymalnym względnym błędzie na poziomie 1,52%. W pierwszym etapie modelowania skonstruowano trend liniowy. Analiza reszt trendu wskazała na wyraźny sezonowy charakter badanego zjawiska. Końcowy model zawiera funkcję harmoniczną oraz zmienne opóźnione w czasie.

3 Krok I. Określenie celu badań modelowych. W celu właściwej dystrybucji środków finansowych dla bezrobotnych postanowiono określić trend bezrobocia w kraju. Z bieŝących doświadczeń wiadomo, iŝ bezrobocie wzrasta, ponadto wydaje się, Ŝe w okresie zimowym bezrobocie jest znacznie większe niŝ w okresie letnim. Bezrobocie - zjawisko gospodarcze polegające na tym, Ŝe pewna część ludzi zdolnych do pracy nie znajduje zatrudnienia. Jego miarą jest stopa bezrobocia: relacja ilości bezrobotnych do liczby ludności w wieku produkcyjnym. Stopa bezrobocia to jeden z podstawowych wskaźników makroekonomicznych.

4 Krok II. Specyfikacja zmiennych wraz z gromadzeniem danych. Czas Stopa Bezrobocia [%] Czas Stopa Bezrobocia [%] styczeń 98 1,7 styczeń 13,7 luty 98 1,6 luty 14, marzec 98 1,4 marzec 14, Kwiecień 98 1, kwiecień 13,8 maj 98 9,7 maj 13,6 Czerwiec 98 9,6 czerwiec 13,6 lipiec 98 9,6 lipiec 13,8 Sierpień 98 9,5 sierpień 13,9 Wrzesień 98 9,6 wrzesień 14, październik98 9,7 październik 14,1 Listopad 98 9,9 listopad 14,5 Grudzień 98 1,4 grudzień 15, styczeń 99 11,4 styczeń 1 15,7 luty 99 11,9 luty 1 15,9 marzec 99 12, marzec 1 16,1 Kwiecień 99 11,8 maj 99 11,6 Czerwiec 99 11,6 lipiec 99 11,8 Sierpień 99 11,9 Wrzesień 99 12,1 październik99 12,2 Listopad 99 12,5 Grudzień 99 13, Źródło:

5 Krok III. Wybór klasy modelu. Naszym celem jest wyznaczenie trendu bezrobocia, zatem za zmienną objaśnianą przyjmiemy stopę bezrobocia, a za zmienną objaśniającą czas mierzony w skali bezwzględnej (kolumna 2 tabeli. Wykres (wskazuje, Ŝe bezrobocie rośnie w czasie liniowo z wahaniami sezonowymi. Zatem będziemy wyznaczać model ekonometryczny postaci: stopabezro bocia = α + α 1 czas + ε

6 Krok IV. Estymacja parametrów strukturalnych. Statystyki regresji Wielokrotność R, R kwadrat,95516 Dopasowany R kwadrat,92962 Błąd standardowy,6981 Obserwacje 39 ANALIZA WARIANCJI df SS MS F Istotność F Regresja 1 131, , ,5997 1,51E-2 Resztkowy 37 13,75913, Razem ,6236 Współczynniki Błąd standardowy t Stat Wartość-p Dolne 95% Górne 95% Przecięcie 9,19568, , ,15E-34 8, ,4239 Czas,163381, ,8382 1,51E-2,14581,1896 Równanie regresji przyjmuje zatem postać: stopabezro bocia = 9, , czas.

7 Krok V. Weryfikacja modelu. Dopasowanie modelu do danych empirycznych. Współczynnik dopasowania modelu wynosi R 2 =,95516, a współczynnik zbieŝności ϕ 2 =9,5%. Wniosek. Model wyjaśnia 9,5% zmienności badanej cechy. Świadczy to o dobrym dopasowaniu modelu do danych empirycznych. Istotność układu współczynników regresji. Stawiamy hipotezę o istotności współczynników regresji (test 1) i weryfikujemy ją w oparciu statystykę o rozkładzie F-Snedecora o 1 stopniach swobody licznika i 37 stopniach swobody mianownika. Wartość empiryczna statystyki wynosi F = 354, 5997, a odpowiadający jej krytyczny poziom istotności (istotność F) wynosi 1,51E-2 jest mniejszy od przyjętego poziomu istotności α=,5. Zatem odrzucamy hipotezę H na korzyść H 1. Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, Ŝe stopa bezrobocia zaleŝy od czasu.

8 Istotność poszczególnych współczynników regresji. Istotność poszczególnych współczynników regresji weryfikujemy w oparciu statystykę o rozkładzie t-studenta o 37 stopniach swobody (test 2). Empiryczne wartości statystyk t-studenta wynoszą: t ( α ) = 45,29879 t ( α 1 ) = 18,8382. Odpowiadające im wartości krytycznego poziomu istotności (wartość-p) 5,15E-34 i 1,51E-2 są mniejsze od przyjętego poziomu istotności α =, 5 Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, Ŝe oba współczynniki modelu są istotnie róŝne od zera.

9 Analiza składników losowych modelu. P rz e w id y w a n e S to p a b e z ro b o c ia S k ła d n ik i re s z to w e S td. s k ła d n ik i re s z to w e O b s e rw a c ja 2, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,3 6 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9 4 7, , , , , , , , , , , , , , , , ,1 4 8, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

10 Normalność. Stawiamy hipotezę H : składniki losowe mają rozkład N (, =,6981 ). Zweryfikujemy tę hipotezę testem Shapiro-Wilka (test 5). Empiryczna wartość statystyki W wynosi, Wartość krytyczna W α =, 939. PoniewaŜ W > W α nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności rozkładu składników losowych. S ε Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, Ŝe składniki losowe modelu mają rozkład normalny N (, =,6981 ). S ε

11 Autokorelacja. Stawiamy hipotezę zerowa (test 7): H ρ wobec hipotezy alternatywnej : 1 = 1 : ρ 1 > H, gdzie ρ 1 jest współczynnikiem autokorelacji rzędu pierwszego. Wyznaczamy empiryczną wartość statystyki Durbina-Watsona. Empiryczna wartość statystyki d =, Wartości krytyczne L = 1, 43 d oraz d = 1, 54. Zatem odrzucamy hipotezę H : ρ 1 = na korzyść hipotezy alternatywnej H 1 : ρ 1. U Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o istnieniu autokorelacji składników losowych rzędu pierwszego.

12 Symetria. Stawiamy hipotezę o symetrii reszt modelu i testujemy ją w oparciu o statystykę, która przy prawdziwości hipotezy H ma rozkład t-studenta o 38 stopniach swobody (test 12). Empiryczna wartość statystyki wynosi -, Wartość krytyczna 2,2. Nie ma zatem podstaw do odrzucenia hipotezy H. Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, Ŝe rozkład składników losowych jest symetryczny

13 Losowość. Stawiamy hipotezę zerową H : reszty modelu są losowe. Zweryfikujemy tę hipotezę testem serii (test 13) zliczając ilość serii L tych samych znaków reszt w modelu. Strukturę reszt dobrze obrazuje wykres. Rozkład reszt reszty czas Widać na nim wyraźnie, Ŝe reszty oscylują wokół zera, tworząc L = 7 serii. Wartości krytyczne testu serii dla 17 reszt dodatnich i 22 reszt ujemnych, na przyjętym poziomie istotności α =,5 aproksymujemy rozkładem normalnym N(2,17; 3,11) otrzymując unormowaną liczbę serii: L = 7 2,17 3,11 otrzymując: L 1 = 1,96 3,11 + 2,17 = 14,1 oraz L 2 = 1,96 3,11 + 2,17 = 26, 3. Zatem empiryczna liczba serii L = 7 < L = 14, 1 1, a więc wpada do obszaru krytycznego. = 4,24 Wniosek. Hipotezę o losowości reszt modelu naleŝy odrzucić. W tym przypadku nielosowy rozkład reszt wynika z sezonowości stopy bezrobocia.

14 Homoskedastyczność. Jednorodność wariancji składników losowych w czasie sprawdzimy testem istotności współczynnika korelacji modułów reszt modelu i czasu (test 16). Hipotezę o homoskedastyczności składników losowych weryfikujemy w oparciu o statystykę, która przy prawdziwości hipotezy H ma rozkład t-studenta o n-2 stopniach swobody. W naszym przykładzie r ( ε, t ) = -,42. Zatem t = 2, 83. Wartość krytyczna t α = 2, 26. Wniosek. Odrzucamy hipotezę o równości wariancji składników losowych w czasie.

15 Krok VI. Ocena modelu Widać, Ŝe stopa bezrobocia w sezonie zimowym jest wyŝsza od trendu, a w okresach letnich niŝsza. W tym przypadku nielosowy rozkład reszt modelu związany jest z sezonowością stopy bezrobocia. Na rysunku zaobserwować moŝna takŝe nierówność wariancji składników losowych w czasie potwierdzoną testem na heteroskedastyczność składników losowych modelu. W roku 1998 wahania sezonowe są większe niŝ w latach następnych. Badania nasze potwierdziły przypuszczenie, Ŝe w badanym okresie stopa bezrobocia ma tendencję wzrostową (średni przyrost miesięczny to około,16% miesięcznie) z wahaniami sezonowymi. NaleŜy zatem skonstruować model, który uwzględni sezonowość badanego zjawiska.

16 Krok III. Ponowny wybór klasy modelu. Stopa bezrobocia w rozwaŝanym okresie ma tendencję wzrostową z wahaniami sezonowymi. W sezonie letnim stopa bezrobocia wzrasta, w zimowym maleje. Długość cyklu wahań obejmuje 12 miesięcy. Jako kandydatki zmiennych objaśniających przyjmiemy: t -czas, y -stopę bezrobocia w poprzednim miesiącu, t 1 y t 12 -stopę bezrobocia w tym samym miesiącu rok wcześniej, cos 2π 12 t - funkcję cosinus z uwagi na harmoniczny charakter stopy bezrobocia.

17 y t t t 1 y y t 12 cos styczeń 99 11,4 1 1,4 1,7,86625 luty 99 11,9 2 11,4 1,6,5 marzec 99 12, 3 11,9 1,4 6,13E-17 kwiecień 99 11,8 4 12, 1, -,5 maj 99 11,6 5 11,8 9,7 -,8663 czerwiec 99 11,6 6 11,6 9,6-1 lipiec 99 11,8 7 11,6 9,6 -,8663 sierpień 99 11,9 8 11,8 9,5 -,5 wrzesień 99 12,1 9 11,9 9,6-1,8E-16 październik99 12,2 1 12,1 9,7,5 listopad 99 12, ,2 9,9,86625 grudzień 99 13, 12 12,5 1,4 1 styczeń 13, , 11,4,86625 luty 14, 14 13,7 11,9,5 marzec 14, 15 14, 12, 1,19E-15 kwiecień 13, , 11,8 -,5 maj 13, ,8 11,6 -,8663 czerwiec 13, ,6 11,6-1 lipiec 13, ,6 11,8 -,8663 sierpień 13,9 2 13,8 11,9 -,5 wrzesień 14, 21 13,9 12,1-4,3E-16 październik 14, , 12,2,5 listopad 14, ,1 12,5,86625 grudzień 15, 24 14,5 13, 1 styczeń 1 15, , 13,7,86625 luty 1 15, ,7 14,,5 marzec 1 16, ,9 14, 5,51E-16 2π 12 t

18 Etap IV. Estymacja parametrów strukturalnych. Wyniki estymacji współczynników modelu liniowego π y t = α + α 1 y t 1 + α 2 y t 12 + α 3 cos t + ε 6 są następujące: Statystyki regresji Wielokrotność R, R kwadrat, Dopasowany R kwadrat, Błąd standardowy, Obserwacje 27 ANALIZA WARIANCJI df SS MS F Istotność F Regresja 3 5, , ,5475 4,27E-23 Resztkowy 23,512385,22278 Razem 26 5,8747 Współczynniki Błąd standardowy t Stat Wartość-p Dolne 95% Górne 95% Przecięcie,886472, ,147219,4512, , bezr(t-1),726354, , ,47E-11,63677,8493 bezr(t-12),25648, ,193652,347,129926,38289 cos π t 6,238394,4785 5,6315 3,99E-5,14992, Model ekonometryczny przyjmuje zatem postać: π y ˆ t =, , y t 1 +,25648 y t 12 +, cos t 6

19 Krok V. Weryfikacja modelu. Dopasowanie modelu do danych empirycznych. Odchylenie standardowe reszt S e =, Współczynnik dopasowania modelu R 2 =, Zatem współczynnik zbieŝności 2 ϕ = 1,9%. Model wyjaśnia 98,1% zmienności badanej cechy. PoniewaŜ model jest nieliniowy wyznaczymy ponadto wskaźnik średniego względnego dopasowania modelu: Ψ = n 1 Ε t ) n = y 1% =,9% t 1 t Wniosek. Model jest dobrze dopasowany do danych empirycznych.

20 Istotność układu współczynników regresji. Stawiamy hipotezę o istotności układu współczynników regresji (test 1)i weryfikujemy ją statystyką, która przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład F-Snedecora o 3 stopniach swobody licznika i 35 stopniach swobody mianownika. Wartość empiryczna statystyki wynosi F = 753,5475, a odpowiadający jej krytyczny poziom istotności (istotność F) wynosi 4,274E-23 i jest mniejszy od przyjętego poziomu istotności α=,5. Zatem odrzucamy hipotezę H na korzyść H 1. Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, Ŝe stopa bezrobocia w bieŝącym miesiącu t zaleŝy przynajmniej od jednej ze zmiennych: cos y -stopy bezrobocia w poprzednim miesiącu, t 1 y t -stopy bezrobocia w tym samym miesiącu rok wcześniej, 12 2π 12 t.

21 Istotność poszczególnych współczynników regresji. Dla kaŝdego współczynnika modelu regresji stawiamy hipotezy dotyczące jego istotności (test 2) i weryfikujemy w oparciu o statystykę, która przy prawdziwości hipotez zerowych, ma rozkład t-studenta o 37 st.swobody. Empiryczne wartości statystyk t-studenta wynoszą: t ( α ) = 3,147219, t ( α 1 ) = 12,24824, t ( α 2 ) = 4,193652, t ( α 3 ) = 5,6315. Odpowiadające im wartości krytycznego poziomu istotności (wartość-p) wynoszą odpowiednio:,4512, 1,47E-35,,347 oraz 3,99E-5 i są mniejsze od przyjętego poziomu istotności α =, 5 Wniosek. Zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, Ŝe wszystkie współczynniki modelu są istotnie róŝne od zera.

22 Analiza składników losowych modelu. Przewidywane bezrobocie(t) Składniki resztowe Std. składniki resztowe Obserwacja 1 11,3957,9431, ,42 -,142 -, , , , ,476 -,2476-1, , , , ,5353,6474, ,56723, , ,77412,125877, ,9916,1844, ,2817 -,817 -, ,49288,7121, ,8793,12972, ,45857, , ,797 -,797 -, , , , , , , ,6783 -,783 -, ,582,99181, ,5844, , ,84221,57791, ,8532 -,8532 -, ,328 -,228-1, , ,3961 -, ,993,974, ,512, , , ,9913 -, ,2521,74795,532794

23

24 Normalność. Stawiamy hipotezę H : składnik losowy ma rozkład N (, =, ). Zweryfikujemy tę hipotezę testem Shapiro-Wilka (test 5). Empiryczna wartość statystyki W wynosi, Wartość krytyczna W α =, 923. PoniewaŜ W > W α nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności rozkładu składników losowych. S ε Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, Ŝe składniki losowe mają rozkład normalny N ( ;, ).

25 Autokorelacja. Model π =, , y t 1 +,25648 y +, cos t 6 y ˆ t t 12 jest modelem autoregresyjnym, w którym opóźniona zmienna objaśniana y jest zmienną objaśniającą. Zatem dla zweryfikowania hipotezy o autokorelacji składników modelu zastosujemy test Durbina (test 9). Stawiamy hipotezę zerową H ρ ( ε, ε ) wobec hipotezy alternatywnej : t t 1 = 1 : ρ ( ε t, t 1 ) H ε Empiryczna wartość statystyki gdzie: d = 1,1889 S =,5933. a y ( 1) h 1 n = 1 d n S α y ( 1) = 2,434 Wartość krytyczna statystyki dla α =, 1 wynosi 2,58. Zatem empiryczna statystyki h jest mniejsza od wartości krytycznej h < u α, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H o braku autokorelacji pierwszego rzędu na korzyść hipotezy H 1.,

26 Z uwagi na fakt, iŝ w modelu występuje zmienna y t 12 dla zbadania zjawiska autokorelacji zweryfikujemy ponadto hipotezę (test 11): H o : brak autokorelacji, wobec hipotezy alternatywnej H 1 : ε t = AR (12) ( lub równowaŝnie: H 1 : ε t = γ τ ε t τ ) = Empiryczna wartośc statystyki: χ 2 = e T E 1 1 T T T T T ( E E E X ( X X ) X E ) E e = 18, 1842 Statystyka ta przy prawdziwości hipotezy H o ma rozkład s 2 e 12 t 1 2 χ o 12 stopniach swobody. 2 2 Wartość krytyczna χ = 21, 26.Wyznaczona wartość empiryczna statystyki χ = 18, 1842 α 2 jest mniejsza od wartości krytycznej χ = 21, 26. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H o braku autokorelacji na korzyść hipotezy H 1. α Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o braku autokorelacji składników losowych.

27 Symetria. Stawiamy hipotezę o symetrii składników losowych i weryfikujemy ją testem istotności (test 12), w którym statystyka testowa, prawdziwości hipotezy H, ma rozkład t-studenta o 26 stopniach swobody. Empiryczna wartość statystyki wynosi, Wartość krytyczna 2,52. Nie ma zatem podstaw do odrzucenia hipotezy H. Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, Ŝe rozkład składników losowych jest symetryczny.

28 Losowość. Stawiamy hipotezę zerową H : reszty modelu są losowe. Zweryfikujemy tę hipotezę testem serii zliczając ilość serii L reszt tych samych znaków (test 13). Empiryczna liczba serii wynosi L = 11.Wartości krytyczne testu serii dla 14 reszt dodatnich i 13 reszt ujemnych, na przyjętym poziomie istotności α =,5 wynoszą L 1 = 8 oraz L 2 = 19. Zatem spełniona jest relacja, L = < L = 11 < L 19, a więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H = Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o losowości reszt modelu.

29 Homoskedastyczność. Jednorodność wariancji składników losowych w czasie sprawdzimy testem istotności współczynnika korelacji modułów reszt modelu i czasu (test 16). Hipotezę tą weryfikujemy w oparciu o statystykę, która przy prawdziwości hipotezy H, ma rozkład t-studenta o 25 stopniach swobody W naszym przykładzie r ( ε, t ) = -,13. Zatem t = -,658. Obszar krytyczny testu jest dwustronny. Wartość krytyczna statystyki wynosi t α = 2. 6.PoniewaŜ t < tα, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H o stałości wariancji składników losowych modelu na korzyść hipotezy H 1. Wniosek. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o homoskedastyczności składników losowych.

30 Wniosek końcowy. Model regresji ˆ t =, , y t 1 +,25648 y 12 y t, cos t + π 6 moŝemy uznać za poprawny.

31 Krok VI. Wnioskowanie na podstawie modelu. Wyznaczamy prognozę stopy bezrobocia dla okresu kwiecień 21-marzec 22. Data Stopa bezrobocia Predykcja Reszta Moduł reszt kwiecień 1 16, 16,,,, maj 1 15,9 15,79,11,11,7 czerwiec 1 15,9 15,68,22,22 1,36 lipiec 1 16, 15,77,23,23 1,45 sierpień 1 16,2 15,95,25,25 1,52 wrzesień 1 16,3 16,24,6,6,35 październik 1 16,4 16,46 -,6,6,37 listopad 1 16,8 16,72,8,8,46 grudzień 1 17,4 17,17,23,23 1,3 styczeń 2 18, 17,76,24,24 1,35 luty 2 18,1 18,16 -,6,6,31 marzec 2 18,1 18,16 -,6,6,34 Błąd względny [%] Średni względny błąd prognoz wynosi,79%, a maksymalny względny błąd prognozy 1,52%. Niskie błędy prognoz świadczą o przydatności skonstruowanego modelu w prognozowaniu wielkości stopy bezrobocia.