Ewa Dziawgo Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Analiza wrażliwości modelu wyceny opcji złożonych

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 7 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Analiza wrażliwości modelu wyceny opcji złożonych. Wsęp Opcje złożone są opcjami egzoycznymi, a więc zapewniającymi srukurę dochodu odmienną od ej, kórą można orzymać z opcji zwykłych. W arykule przedsawiono zagadnienia związane z opcjami złożonymi: ypy opcji złożonych, zasady ich funkcjonowania oraz modele wyceny. Na podsawie symulacji wyceny opcji złożonych zbadano wpływ wybranych czynników na cenę rozparywanych opcji.. Charakerysyka opcji złożonych Opcja złożona (ang. compound opion) jes opcją, kórej insrumenem bazowym jes inna opcja. Opcja nadrzędna, kóra jes wysawiona na inną opcję nazywana jes opcją-maką (ang. moher opion). Z kolei opcja, kóra jes insrumenem bazowym opcji nadrzędnej nazywana jes opcją-córką (ang. daugher opion). Insrumenem bazowym opcji-córki może być: akcja, walua, indeks rynkowy, sopa procenowa. W zależności od rodzaju opcji-maki i opcji-córki isnieją czery podsawowe ypy opcji złożonych: opcja kupna na opcję kupna nabywca ej opcji posiada prawo zakupu w chwili opcji kupna po cenie K. Funkcja wypłay opcji złożonej w ym przypadku jes posaci: max[ c K ;], () Por. Jajuga, Gudaszewski, Mróz (4), Weron, Weron (998).

2 44 c cena opcji-córki w chwili, K cena wykonania opcji-maki; opcja kupna na opcję sprzedaży nabywca ej opcji w przyszłej chwili ma prawo zakupu opcji sprzedaży po cenie K. Wówczas funkcja wypłay opcji złożonej jes posaci: max[ p K ;], () p cena opcji-córki w chwili, K cena wykonania opcji-maki; opcja sprzedaży na opcję kupna nabywca akiej opcji w przyszłej chwili ma prawo sprzedaży opcji kupna po cenie K. Funkcja wypłay opcji złożonej w ym przypadku jes posaci: max[ K c ;], () c cena opcji-córki w chwili, K cena wykonania opcji-maki; opcja sprzedaży na opcję sprzedaży nabywca ej opcji w przyszłej chwili ma prawo sprzedaży opcji sprzedaży po cenie K. Funkcja wypłay opcji złożonej w ym przypadku jes równa: max[ K p ;], (4) p cena opcji-córki w chwili, K cena wykonania opcji-maki.. Model wyceny opcji złożonych Model wyceny opcji złożonej opracował Geske w 979 roku. Warość opcji kupna na opcję kupna wynosi: V cc e = Se r q K N( a a, b ; ) Ke r a, b; V cc warość opcji kupna na opcję kupna, S S ln + ( r q +,5σ ) ln + ( r q +,5σ ) * a S K =, b =, σ σ (5) Por. Hull (989).

3 Analiza wrażliwości modelu wyceny opcji złożonych 45 a a σ =, b = b σ, S bieżąca cena insrumenu bazowego, K cena wykonania opcji-maki, K cena wykonania opcji-córki, ermin wykonania opcji-maki, ermin wykonania opcji-córki, S* kryyczna cena insrumenu bazowego opcji-córki w chwili, dla kórej cena opcji-córki w wynosi K, S* = S = Se, v = r q,5σ, v + yσ r sopa procenowa wolna od ryzyka, q sopa dywidendy, σ zmienność insrumenu bazowego, N (x) dysrybuana rozkładu normalnego, M ( x, y; c) warość dysrybuany rozkładu normalnego dwóch zmiennych sandaryzowanych. Warość opcji kupna na opcję sprzedaży wynosi: V cp e = Se r K N( a q a, b ; ) + K e r a, b; V warość opcji kupna na opcję sprzedaży, pozosałe oznaczenia są akie cp same jak we wzorze (5). Warość opcji sprzedaży na opcję kupna wynosi: V pc + e = Se r K N( a q a, b ; ) + K e r a, b; V warość opcji sprzedaży na opcję kupna, pozosałe oznaczenia są akie pc same jak we wzorze (5). Warość opcji sprzedaży na opcję sprzedaży wynosi: V pp + e = Se r K N( a q a, b ; ) K e r a, b; + + (6) (7) (8)

4 46 V warość opcji sprzedaży na opcję sprzedaży, pozosałe oznaczenia są akie pp same jak we wzorze (5). 4. Analiza czynników wpływających na cenę opcji złożonej Analiza empiryczna doyczy wpływu wybranych czynników: czasu wygaśnięcia opcji-maki, zmienności oraz bieżącej ceny insrumenu bazowego opcji-córki na kszałowanie się cen opcji złożonych. Analizie poddane zosały dwa ypy opcji złożonych: opcja kupna na opcję kupna oraz opcja sprzedaży na opcję kupna. Symulacja wyceny przeprowadzona zosała dla opcji złożonych, kórych ermin wygaśnięcia opcji-córki wynosi 9 miesięcy. Cena wykonania opcji-maki wynosi 5.5 zł. Cena wykonania opcji-córki wynosi zł. Przykład. Wpływ wybranych czynników na cenę opcji złożonych ypu: opcja kupna na opcję kupna. cena opcji [zł] zmienność op. maka op. córka Wykres. Wpływ zmienności na kszałowanie się ceny opcji-maki i ceny opcji-córki Z analizy kszałowania się cen przedsawionych na wykresie wynika, że dla każdej zmienności, ceny opcji złożonych są znacznie mniejsze od cen opcji zwykłych. Wzros zmienności wpływa na wzros cen opcji zwykłych i rozparywanych opcji złożonych. Na wykresie przedsawiono wpływ czasu wygaśnięcia opcji-maki na kszałowanie się cen opcji złożonych. Z analizy kszałowania się cen przedsawionych na wykresie wynika, że wzros erminu wygaśnięcia opcji-maki wpływa na wzros ceny rozparywanych opcji złożonych.

5 Analiza wrażliwości modelu wyceny opcji złożonych 47 cena opcji złożonej [zł],5,5, czas wygaśnięcia opcji-maki [miesiące] Wykres. Wpływ czasu wygaśnięcia opcji-maki na cenę opcji złożonej Wykres jes ilusracją wpływu zmienności na kszałowanie się cen opcji złożonych, kóre różnią się erminem wygaśnięcia opcji-maki. Analizie poddane zosały opcje złożone, kórych ermin wygaśnięcia opcji-córki wynosi 9 miesięcy. Termin wygaśnięcia opcji-maki jednej z rozparywanych opcji wynosi 6 miesięcy (op. (6;9)). Termin wygaśnięcia opcji-maki drugiej rozparywanej opcji złożonej wynosi 5 miesięcy (op. (5;9)). cena opcji złożonej [zł] 4,5,5,5, zmienność op.(6;9) op.(5;9) Wykres. Wpływ zmienności na kszałowanie się cen opcji złożonych (opcji kupna na opcję kupna) różniących się erminem wygaśnięcia opcji-maki Z analizy kszałowania się cen przedsawionych na wykresie wynika, że wzros zmienności wpływa na wzros cen rozparywanych opcji złożonych. Dla każdej zmienności opcje złożone, kórych opcje-maki charakeryzują się dłuższym erminem wygaśnięcia są droższe.

6 48 Na wykresie 4 przedsawiono wpływ ceny insrumenu bazowego opcjicórki na kszałowanie się ceny opcji-maki oraz ceny opcji-córki. cena opcji [zł] cena insrumenu bazowego opcji-córki [zł] op. maka op. córka Wykres 4. Wpływ ceny insrumenu bazowego opcji-córki na kszałowanie się ceny opcji-córki oraz ceny opcji-maki (opcja kupna na opcję kupna) Z analizy kszałowania się cen przedsawionych na wykresie 4 wynika, że w przypadku opcji kupna wysawionej na opcję kupna, wzros bieżącej ceny insrumenu bazowego opcji-córki wpływa na wzros zarówno ceny opcji-córki jak i ceny opcji-maki. Przykład. Wpływ wybranych czynników na cenę opcji złożonych ypu: opcja sprzedaży na opcję kupna. Na wykresie 5 przedsawiono wpływ czasu wygaśnięcia opcji-maki na kszałowanie się cen opcji złożonych.,5 cena opcji złożonej [zł],5, czas wygaśnięcia opcji-maki [miesiące] Wykres 5. Wpływ czasu wygaśnięcia opcji-maki na kszałowanie się ceny opcji złożonej (opcji sprzedaży na opcję kupna)

7 Analiza wrażliwości modelu wyceny opcji złożonych 49 Wzros czasu wygaśnięcia opcji-maki wpływa na wzros ceny rozparywanych opcji złożonych. Na wykresie 6 przedsawiono wpływ zmienności na kszałowanie się cen rozparywanych opcji złożonych. Z analizy kszałowania się cen przedsawionych na wykresie 6 wynika, że wzros zmienności wpływa na spadek ceny opcji sprzedaży wysawionej na opcję kupna. cena opcji złożonej [zł],8,6,4,,8,6,4,..5.6 zmienność Wykres 6. Wpływ zmienności na kszałowanie się ceny opcji złożonej (opcji sprzedaży na opcję kupna) Na wykresie 7 przedsawiono wpływ bieżącej ceny insrumenu bazowego opcji-córki na kszałowanie się ceny opcji-córki oraz ceny opcji-maki. cena opcji [zł] bieżąca cena insrumenu bazowego opcji-córki [zł] op. maka op. córka Wykres 7. Wpływ bieżącej ceny insrumenu bazowego opcji-córki na kszałowanie się ceny opcji-córki oraz ceny opcji-maki (przypadek opcji sprzedaży wysawionej na opcję kupna)

8 5 Z analizy kszałowania się cen przedsawionych na wykresie 7 wynika, że w przypadku opcji sprzedaży wysawionej na opcję kupna, wzros bieżącej ceny insrumenu bazowego opcji-córki wpływa na wzros ceny opcji-córki oraz na spadek ceny opcji-maki. 4. Zakończenie Opcje złożone są znacznie ańsze od opcji zwykłych. Z uwagi na koszy ponoszone przez inwesora w celu zabezpieczenia się przed ryzykiem zmian cen insrumenów bazowych, opcje złożone są bardziej arakcyjne od opcji zwykłych, w szczególności w syuacji, kiedy inwesor zabezpiecza inwesycje, na kóre ma wpływ wydarzenie, co do kórego wysąpienia nie ma pewności. Podsawowymi czynnikami wpływającymi na cenę opcji złożonych są: ermin wygaśnięcia opcji-córki, ermin wygaśnięcia opcji-maki, zmienność, cena insrumenu bazowego opcji-córki. Dłuższy ermin wygaśnięcia opcji-maki oraz opcji-córki przyczynia się do wzrosu ceny opcji złożonych. W przypadku opcji złożonej ypu: opcja kupna na opcję kupna wzros zmienności oraz wzros ceny insrumenu bazowego opcji-córki wpływa na wzros ceny opcji złożonej. Naomias w syuacji opcji złożonej ypu: opcja sprzedaży na opcję kupna wzros zmienności oraz wzros ceny insrumenu bazowego opcjicórki wpływa na spadek ceny opcji złożonej. Opcja złożona jes insrumenem finansowym, kóry jes wykorzysywany w ransakcjach spekulacyjnych i zabezpieczających poziom zmienności. Lieraura Hull, J. C. (989), Opions, Fuures and Oher Derivaives, Prenice Hall Inernaional, Inc. Jajuga, K., Gudaszewski, W., Mróz, W. (4), Opcje egzoyczne wprowadzenie, Rynek Terminowy,, 6. Weron, A., Weron, R. (998), Inżynieria finansowa, Wydawnicwa Naukowo- Techniczne, Warszawa.