DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 2005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Kaarzyna Kuziak Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Ryzyko modelu w wycenie opcji indeksowych 1. Wprowadzenie Celem arykułu zwrócenie uwagi na wykorzysanie modelu wyceny w usalaniu warości opcji indeksowych. W arykule przedsawiona zosanie isoa ryzyka modelu, rodzaje i źródła jego powsawania. Pokazane zosaną przykłady empiryczne. 2. Ryzyko modelu Ogólnie, w procesie budowy modelu nie ylko w przypadku modelu wyceny opcji indeksowych) wyróżnia się nasępujące czery podsawowe eapy: 1. Specyfikacja. 2. Określenie zbioru danych. 3. Esymacja paramerów. 4. Weryfikacja. Na każdym z ych eapów może powsać ryzyko modelu, jednak jeśli chodzi o model wyceny opcji indeksowych, eapami najbardziej narażonym na powsanie ryzyka modelu jes eap esymacji paramerów i eap specyfikacji. W ym przypadku największym problemem jes oszacowanie parameru zmienności ceny indeksu podsawowego indeksu giełdowego). Wykorzysując do wyceny opcji indeksowej klasyczny model Blacka-Scholesa-Merona można uprościć wycenę do zagadnienia oszacowania parameru zmienności. Model Blacka-Scholesa- Merona zakłada rozkład normalny sóp zwrou indeksu, zaem paramer zmienności jes szacowany jako odchylenie sandardowe. Jeśli jednak proces sopy zwrou nie podlega rozkładowi normalnemu, a ma o częso miejsce, wówczas wyznaczenie warości opcji z ego modelu jes obarczone błędem.

2 76 Kaarzyna Kuziak Ryzyko modelu może być różnie definiowane jes o poencjalna możliwość poniesienia sray w wyniku zasosowania złego modelu do wyceny insrumenu finansowego lub pomiaru ryzyka zakładamy, że model wykorzysywany jes w sposób poprawny) D. Gąarek, 2002). Bardziej ogólnie możemy swierdzić, że pojawia się wówczas, gdy opisywany w sposób formalny i poprawny fragmen rzeczywisości model oddala się od rzeczywisości generując sray. Dla porzeb ego arykułu przyjmiemy, że ryzyko modelu będzie ym ryzykiem, kóre powsaje w procesie budowy modelu. Zaem elemenarny błąd w wykorzysaniu modelu, będzie zw. ryzykiem operacyjnym, a nie ryzykiem modelu. Grupy źródeł ryzyka modelu można podzielić na: 1) finansowe, 2) echniczne, 3) saysyczne. W grupie źródeł finansowych można wyróżnić brak płynności, nieuwzględnienie koszów ransakcyjnych, nieuwzględnienie bid-ask spredów, wybór ceny do analiz cena zamknięcia, cena ransakcji, średnia cena). Naomias wśród źródeł echnicznych można wyróżnić niewysarczającą liczbę powórzeń w symulacjach, błędy przybliżeń, ograniczone przedziały ważności rozwiązań. W niniejszym arykule zwrócimy uwagę jedynie na saysyczne źródła ryzyka modelu. Do ych źródeł zaliczyć można przede wszyskim: 1) Błędy esymacji modelu pojawiające się wskuek, np.: - różnych echnik esymacji, - błędów w esymacji paramerów, - błędów wynikających z dyskreyzacji, - isnienia obserwacji nieypowych, - nieodpowiedniej liczby obserwacji, - wykorzysania danych o nieodpowiedniej częsoliwości; 2) Błędną specyfikację modelu, będącą wynikiem, np.: - błędów w rozwiązaniu analiycznym, - błędnej specyfikacji procesu kszałującego sopę zwrou warość) insrumenu finansowego, - pominięcia isonego czynnika. Na przykład błąd esymacji może doyczyć przypadku szacowania parameru zmienności dlaego, że zmienność może zosać oszacowana: - jako zmienność hisoryczna np. modele z grupy GARCH), - jako zmienność implikowana. Na przykład błąd specyfikacji procesu kszałującego sopę zwrou insrumenu finansowego w modelu Blacka-Scholesa-Merona może pojawić się w przypad-

3 Ryzyko modelu w wycenie opcji indeksowych 77 ku przyjęcia założenia dla procesu sopy zwrou insrumenu podsawowego innego, niż geomeryczny ruch Browna, np.: - geomerycznego ruchu Browna ze składnikiem losowym o rozkładzie innym niż normalny, - procesu Ornseina-Uhlenbecka, - procesu skoku-dyfuzji jump-diffusion). 3. Przykłady ryzyka modelu Ilusracja zagadnienia ryzyka modelu na przykładzie wyceny opcji indeksowej, kórej źródłem będzie zła specyfikacja procesu sochasycznego kszałującego sopę zwrou oraz źródło ryzyka modelu, jakim jes błąd esymacji modelu pojawiający się wskuek nieodpowiedniej liczby obserwacji zosanie przedsawione na przykładzie modelu wyceny opcji na indeks giełdowy WIG20. W pierwszym przykładzie w modelu wyceny opcji na indeks WIG20 rozważone zosaną nasępujące procesy dla sóp zwrou r indeksu w rzech modelach wyceny opcji indeksowej: 1) Model Blacka-Scholesa-Merona BSM): r = µ + σ ε ε ~ N0,1) gdzie: µ - oznacza oczekiwaną sopę zwrou, σ - zmienność odchylenie sandardowe sopy zwrou). Proces en zakłada sałą zmienność w czasie. 2) Model Consan Elasiciy Variance CEV): r = µ + σs ε ~ N0,1) α 1 ε gdzie: µ - oznacza oczekiwaną sopę zwrou, σs α-1 zmienność. Proces en zakłada sałą elasyczność wariancji, jes wykorzysywany do modelowania heeroskedasyczności. 3) Podejście zaprezenowane przez Duana z procesem AR1)-GJR- GARCH1,1) 1 : r µ + ϕ + ε = r 1 2 ω + α + α Ι ε ) ) ε < β 1 h = h 1 W dalszej części podejście zaproponowane przez Duana z procesem AR1)-GJR- GARCH1,1) oznaczone będzie skróem GJR-GARCH.

4 78 Kaarzyna Kuziak ω 1 V = 2 1 α β 1 ϕ gdzie: µ, ϕ, α, α -, β, ω - paramery procesu sóp zwrou, h warunkowa wariancja, V bezwarunkowa wariancja procesu długoerminowa wariancja procesu). Proces en umożliwia uwzględnienie grubych ogonów rozkładów, skupiania zmienności, auokorelacji sóp zwrou oraz efeku dźwigni asymerycznej reakcji inwesorów na dobre i złe wiadomości). Paramery rzech wyróżnionych, ze względu na możliwości modelowania różnych efeków, procesów sóp zwrou indeksu WIG20 geomeryczny ruch Browna GBM, proces ze sałą elasycznością wariancji CEV oraz warunkowej wariancji AR1)-GJR-GARCH1,1)) zosały oszacowane, a wyniki esymacji zawiera abela 1. Długoerminowa wariancja V procesu AR1)-GJR- GARCH1,1) indeksu WIG20 wynosi 0,3165. Tabela 1. Oszacowania paramerów procesu dziennych logarymicznych sóp zwrou indeksu WIG20 z okresu Model Paramery GBM µ= σ= CEV µ= σ= α= GJR-GARCH µ= φ= ω= β= α= α = Źródło: obliczenia własne. Oszacowania paramerów wyróżnionych procesów zosały wykorzysane do wyceny opcji. W modelu BSM i CEV wyceny opcji znana jes posać analiyczna modelu, naomias w przypadku rzeciego modelu nie ma posaci analiycznej modelu warość opcji jes usalana za pomocą symulacji Mone Carlo meodą zaproponowaną w pracy Duan 1995)). Orzymano czery grupy warości opcji wynikającą z przyjęcia procesu AR1)-GJR-GARCH1,1), modelu BSM i modelu BSM* w kórym uwzględniono długoerminową zmienność V z modelu AR1)-GJR-GARCH1,1)) oraz CEV. Wyniki wyceny dwóch rodzajów opcji kupna, wygasających OW20C5) i OW20F5) dla rożnych kursów wykonania na dzień przedsawione zosały w abeli 2.

5 Ryzyko modelu w wycenie opcji indeksowych 79 Tabela 2. Warości opcji o różnych cenach wykonania i dla różnych procesów sóp zwrou Opcja GJR-GARCH BSM BSM* CEV OW20C OW20C OW20C OW20C OW20C OW20F OW20F OW20F OW20F Źródło: obliczenia własne. Największa różnica w warościach opcji we wszyskich przypadkach jes widoczna między modelem BSM i modelem CEV. Wynika o z przyjęcia założenia sałej wariancji i warości oczekiwanej sóp zwrou w modelu BSM zn. sopy zwrou w kolejnych dniach pochodzą z idenycznych rozkładów), a w modelu CEV sałej elasyczności wariancji i warości oczekiwanej sóp zwrou czyli w ym przypadku wariancja zależy od poziomu ceny). Z oczywisych względów warości opcji uzyskane z modelu BSM i BSM* w kórym przyjęo długoerminową zmienność V z procesu AR1)-GJR- GARCH1,1)) są zbliżone. Zbliżone warości są również między modelami GJR-GARCH i CEV. Wynika o z faku, że oba modele opisują zmienną w czasie wariancję, uwzględniając w odmienny sposób efek dźwigni. Dodakowo w model GJR-GARCH modeluje efek powrou do średniego poziomu wariancji V, a warość opcji zależy od chwilowej wariancji w dniu wyceny kóra jes warunkiem począkowym podczas symulowania rajekorii procesu cen w meodzie Mone Carlo). W drugim przykładzie zilusrowane zosanie ryzyko modelu pojawiające się wskuek złej specyfikacji procesu sochasycznego kszałującego sopę zwrou WIG20: 1) geomerycznego ruchu Browna, 2) CEV, 3) AR1)-GJR-GARCH1,1). Na podsawie analizy dopasowania procesów do opisu kszałowania sopy zwrou indeksu WIG20 wybrany zosał model AR1)-GJR-GARCH1,1). Nasępnie wysymulowany zosał proces sopy zwrou indeksu WIG20 dla oszacowań paramerów z procesu GJR-GARCH i wycenione zosały opcje indeksowe za pomocą dwóch pozosałych modeli.

6 80 Kaarzyna Kuziak W wycenie hipoeycznej opcji kupna wysawionej na indeks WIG20 przyjęo nasępujące założenia: poziom indeksu WIG pk, sopa wolna od ryzyka 5%, długość do erminu wygaśnięcia 60 dni, średnia sopa dywidendy 0. Wykonano powórzeń w meodzie Mone Carlo dla różnych cen wykonania: 1700, 1750, 1800, 1850 i W abeli 3 zosały podane wyniki wyceny prawidłowej, j. z modelu GJR-GARCH oraz nieprawidłowej, j. na podsawie błędnie wyspecyfikowanego procesu sochasycznego sopy zwrou w modelu BSM i zmodyfikowanego BSM*, w kórym przyjęo długoerminową zmienność V z procesu GJR-GARCH oraz modelu CEV. Tabela 3. Warości opcji dla różnych cen wykonania i różnych procesów sóp zwrou Ceny wykonania GJR-GARCH CEV BSM BSM* Źródło: obliczenia własne. Pogrubioną czcionką zaznaczone są wyniki najbliższe warościom opcji z procesem GJR-GARCH. Widać, że wyniki z modelu CEV są najbliższe wynikom GJR-GARCH dla każdej wyróżnionej ceny wykonania oba modele opisują efek dźwigni). Jednak, jeżeli przyjmiemy nieprawidłowy proces sopy zwrou uaj np. GBM) różnice w wynikach warości opcji mogą być znaczące są o różnice dla jednej opcji, a podmioy częso posiadają porfele). W rzecim przykładzie przeanalizowano różnice w warościach opcji, gdy wysymulowany zosał proces sopy zwrou indeksu WIG20 dla oszacowań paramerów z procesu GBM. W wycenie przyjęo e same założenia jak w przykładzie drugim. W ym przypadku jednak prawidłowym procesem jes GBM i wycena BSM sanowi punk odniesienia. Wyniki zawiera abela 4. Tabela 4. Warości opcji dla różnych cen wykonania i różnych procesów sóp zwrou Ceny wykonania BSM BSM* GJR-GARCH CEV Źródło: obliczenia własne.

7 Ryzyko modelu w wycenie opcji indeksowych 81 Teoreycznie wszyskie modele powinny dawać zbliżone wyniki, gdyż GMB zawiera się zarówno w modelu CEV, jak i GJR-GARCH. Różnice powinny wynikać jedynie z oszacowań paramerów. Zgodnie z oczekiwaniami, najbliższe wyniki uzyskano z modelu BSM*, a w nasępnej kolejności GJR-GARCH. Model CEV jako najbardziej wrażliwy na błędy w oszacowaniach paramerów dał najbardziej różne wyniki zarówno w przykładzie drugim, jak i rzecim przy czym w przykładzie drugim dodakowo błędna była posać modelu). 4. Podsumowanie Analizując modele maemayczne w wycenie opcji lub ogólnie insrumenów pochodnych) należy wyróżnić dwie grupy opcji insrumenów pochodnych) e kóre są przedmioem obrou giełdowego i dla kórych ceny rynkowe są dosępne oraz e, kóre nie są noowane na giełdzie np. są obecne na rynku międzybankowym) i dla kórych ceny rynkowe nie są dosępne. Pierwsza grupa opcji podlega wycenie rynkowej popy i podaż określa cenę insrumenu, wycena eoreyczna nie jes konieczna. Naomias w przypadku drugiej grupy opcji, np. opcji egzoycznych, opcji zwykłych ale kórych płynność jes niska) określenie warości za pomocą modeli maemaycznych jes niezbędne. Żeby zapewnić koherencję w znaczeniu braku arbirażu) między ymi dwoma grupami zasady wyceny powinny być zgodne z obserwowanymi rynkowymi) cenami opcji na giełdzie. Przykłady e wskazują ponado, że pomocne w zarządzaniu ryzykiem modelu mogą być echniki analizy danych akie, jak: - esymacja odporna, - analiza szeregów czasowych, - analiza rozkładów, - prognozowanie. Lieraura Allen, S. L. 2003), Financial Risk Managemen: A Praciioners Guide o Managing Marke and Credi Risk, John Wiley & Sons, New York. Con, R. 2005), Model uncerainy and is impac on he pricing of derivaive insrumens. Mahemaical Finance. Crouhy, M., Galai, D. and Mark, R. 2001), Risk Managemen. McGraw-Hill, New York. Derman, E. 1996), Model risk, Risk 9, 34 37, Duan, J. 1995), The GARCH Opion Pricing Model, Mahemaical Finance, nr 5,

8 82 Kaarzyna Kuziak Gonarek, D. 2002), Ryzyko modelu, Rynek Terminowy nr 4/02, s Glosen, R. Jagannahan, D. Runkle, 1993), On he relaion beween he expeced value and he volailiy of he nominal excess reurn on socks, Journal of Finance 48, Kao, T., Yoshiba T. 2000), Model risk and is conrol. Moneary and Economic Sudies, Dec., Kuziak, K. 2005), Zagadnienie ryzyka modelu w zarządzaniu ryzykiem, Prace Naukowe AE, w druku. Pionek, K. 2003), Wycena opcji w modelu uwzględniającym efek AR-GARCH, Prace Naukowe AE we Wrocławiu nr 990, Rebonao, R. Theory and pracice of model risk managemen.