Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3. a b a b a + b. 2 Uprość wyrażenia a+b+ a b 2, a+b a b 2. 3 Napisz następujące wyrażenia w równoważnej formie nie zawierającej wartości bezwzględnej:. a + b + 2c + a b + a + b 2c + a b, 2. a + b + 2c a b a + b 2c a b. 4 Korzystając z tego, że sin 2 (x) + cos 2 (x) = pokaż, że sin(x) + 2cos(x) 5 dla każdego x R. 5 Zapoznaj się z wybranym pakietem matematycznym: Mathematica www.wolf ram.com, Maxima maxima.sourcef orge.net. Naucz się w pakiecie wykonywać proste obliczenia, rysować wykresy funkcji. Wskazówka: P lot[f [x], {x, a, b}] plot2d(f(x), [x, a, b]);
2 Liczby naturalne, wymierne i rzeczywiste (2 godziny ćwiczeń) 6 Pokaż metodą indukcji matematycznej, że + 3 + 5 +... + (2n + ) = (n + ) 2. 7 Rozważmy następujacą pętlę : for i= to n do 2: for j=i to n do 3: Op(i,j) 4: end for 5: end for Ile razy jest wykonywana operacje Op? 8 Pokaż, że 2 + 2 2 +... + n 2 = n(n + )(2n + ). W programie 6 Mathematica wpisz polecenie Sum[k 2, {k, 0, n}]. 9 Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona pokaż, że n k=0 ( n k) = 2 n oraz n k=0 ( n k) ( ) k = 0. 0 Pokaż, że zbiór liczb wymiernych jest zamknięty na dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie przez liczbę różną od 0. Narysuj wykres wartości ( ) 20 k dla k = 0,..., 20. Która z tych liczb jest największa? Uogólnij to spostrzeżenie dla ciągu liczb ( ( ) n )k=,...,n dla k dowolnego n. Wskazówka: Skorzystaj z polecenia programu Mathematica DiscreteP lot[binomial[20, k], {k, 0, 20}]. * 2 Sformułuj samodzielnie pojęcie kresu dolnego podzbioru A zbioru liczb rzeczywistych - oznaczmy go przez inf(a). Pokaż, że inf(a) = sup( A), gdzie A = { a : a A}. Wywnioskuj z tego, że każdy ograniczony z dołu podzbiór R ma kres dolny. 3 Niech x,..., x n będą liczbami o tym samym znaku. Pokaż, że n n ( + x i ) + x i. i= 2 i=
Wskazówka: Wzoruj się na dowodzie nierówności Bernoulliego. 4 Pokaż, że dla dowolnego ciągu liczb a,... a n zachodzi nierówność a +... + a n n(a 2 +... + a 2 n) 2. Wskazówka: Skorzystaj z nierówności Cauchy ego-schwarza. 5 Korzystając z powyższego zadania pokaż, że dla dowolnych dodatnich x, y, z zachodzi nierówność x + y x + z y + z x + y + z + x + y + z + x + y + z 6. 3
3 Ciągi liczbowe (4 godziny ćwiczeń) 6 Oblicz granice następujących ciągów: 2n2 +n+3 n 2 +3n+, n 3 +n+3 n 2 +3n+3, 2n2 +n+3 n 5 +3n+2. 7 Oblicz granice następujących ciągów: (n 2) 8 Oblicz granicę lim n ( n 2 + n n)., (n+3 3 ) n 2 n 3, (n 4) +2+...+n 9 Oblicz granice lim n oraz lim 2 +2 2 +...+n 2 n 2 n n 3 * 20 Dla dowolnego k N oblicz granicę lim n k +2 k +...+n k n (k+). 2 Niech ciągi (a n ) i (b n ) będę zbieżne. Udowodnij, że lim (a n b n ) = lim (a n ) lim (b n ). n n n n 4. 22 Niech ciągi (a n ) i (b n ) będę zbieżne. Niech b n 0 dla wszystkich n N oraz lim n (b n ) 0. Udowodnij, że lim (a n ) = lim n (a n ) n b n lim n (b n ). 23 Wiadomo, że ze zbieżności ciągu (a n ) wynika zbieżność ciągu ( a n ). Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne? Wskazówka: Rozważ ciąg a n = ( ) n 24 Udowodnij, że jeśli lim n a n = 0 oraz ciąg (b n ) jest ograniczony to lim n a n b n = 0. 25 Pokaż, że jeśli a < to lim n ( + a +... + a n ) = a. 26 Oblicz granice ciągów n+( )n 2n+, n n n +, n n2 n + n. 27 Ustalmy liczbę a. Wyznacz granicę ciągu [na] n. Wskazówka: Skorzystaj z nierówności x < [x] x i z Twierdzenia o 3 ciągach. 28 Niech a 0 = oraz a n+ = 2 (a n + 4). Pokaż, że ciąg (a n ) jest ograniczony z góry przez liczbę 4 oraz rosnący. Z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym wywnioskuj, że jest zbieżny. Znajdź jego granicę. 4
29 Załóżmy, że 0 a b. Pokaż zbieżność i wyznacz granicę ciągu n an + b n. * 30 Ustalmy liczbę a > 0. Niech x 0 = a oraz x n+ = 2 (x n + a x n ). Pokaż, że lim n x n = a. Zastosuj ten wyniki dla a = 2. Który wyraz tak zbudowanego ciągu rózni się od 2 o mniej niż 0 3? 3 Wyznacza punkty skupienia ciągów a n = cos ( nπ 2 ), bn = ( ) n + ( )n n. 32 Ustalmy dodatnią liczbę naturalną C. Niech a n = (n mod C) + n. Wyznacz punkty skupienia ciągu (a n ). 33 Oblicz granicę następujących ciągów ( + n )3n+, ( n )2n+, ( + n )n2, ( n+ n+ )n+, ( + ) n. n 2 5
4 Szeregi (2 godziny ćwiczeń) 34 Oblicz sumy n=0 ( 3 + ), ( ) 4k=2 n 2 n 3 n n= k 35 Oblicz sumy, n= n(n+2) n=. Wskazówka: Znajdź liczby A n(n+3) i B takie, że = A + B. Możesz skorzystać z polecenia Apart programu n(n+2) n n+2 Mathematica. 36 Zbadaj zbieżność następujących szeregów: n n 2, n n 3, n n. 37 Zastosuj kryterium zbieżności d Alamberta do zbadania zbieżności szeregów n 2n +, (n!) 2 3 n + n. (2n)! 38 Zastosuj kryterium zbieżności Cauchy ego do zbadania zbieżności szeregów ( ) n 2 n+ n n, n n0. π n 39 Dla dowolnej liczby rzeczywistej x oblicz granicę ciągu lim n x n n!. 40 Zbadaj zbieżność szeregu n bezwzględnie? ( ) n n. Czy szereg ten jest zbieżny 6
5 Granice Funkcji (2 godziny ćwiczeń) 4 Niech f, q : R R będą funkcjami rosnącymi. Pokaż, że złożenie f g jest funkcją rosnącą. 42 Niech f, q : R R będą funkcjami malejącymi. Czy złożenie f g jest funkcją malejącą? Odpowiedz uzasadnij. 43 Pokaż, że każda funkcja f : R R jest sumą funkcji parzystej i nieparzystej. Wskazówka: f(x) = f(x) f( x) + f(x)+f( x) 2 2 44 Oblicz lim x x 2 x 3, lim x x3 x 2. 45 Oblicz granice wielomianu postaci w(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 w nieskończoności. Wskazówka: Rozważ oddzielnie przypadek n parzystego oraz n nieparzystego 46 Oblicz lim x ( x 2 ), limx 2 x +x. 47 Pokaż, że granica lim x sin(x) nie istnieje. * 48 Pokaż, że lim h 0 sin h h =. 49 W zależności od naturalnego parametru p zbadaj istnienie granic lim x x + 0 (x x 0, ) p lim x x 0 (x x 0. ) p 50 W zależności od rzeczywistego parametru α zbadaj istnienie granicy lim x sin(x) x α. 5 oblicz lim x+ x x 0 +, lim x x 0 x+ x. x ** 52 Niech f będzie funkcją ograniczoną w każdym skończonym przedziale. Pokaż, że z warunku lim x (f(x+) f(x)) = g wynika, że lim x = f(x) x g. 7
6 Ciągłość funkcji (2 godziny ćwiczeń) 53 Korzystając z definicji Cauchy ego pokaż, że suma dwóch funkcji ciągłych w punkcie x 0 jest ciągła punkcie x 0. 54 Korzystając z definicji Heinego pokaż, że funkcja f(x) = x 3 jest ciągła. 55 Pokaż, że funkcja sgn(x) = : x < 0 0 : x = 0 : x > 0 nie jest ciągła w punkcie 0. Wyznacz punkty ciąglości funkcji sgn. 56 Wyznacz punkty ciągłości funkcji f(x) = sgn(sin(x)), g(x) = sgn(cos(x)), h(x) = x oraz a(x) = x. 57 Niech f(x) = { : x Q 0 : x R \ Q Pokaż, że funkcja f nie jest ciągła w żadnym punkcie. 58 Załóżmy, że funkcja f jest ciągła. Pokaż, że fukcja g(x) = f(x) jest również ciągła. Wskazówka: Skorzystaj z tego, że złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. 59 Załóżmy, że fukcje f i g są ciągłe. Niech h(x) = max{f(x), g(x)}. Pokaż, że h jest funkcją ciągłą. * 60 Pokaż, że każda funkcja ciągła f : R R spełniająca warunek f(x + y) = f(x) + f(y) jest postaci f(x) = a x dla pewnej stałej a. Wskazówka: Przyjmij a = f() i pokaż najpierw, że f(x) = a x dla wszystkich x Q. 6 Pokaż, że każdy wielomian (traktowany jako funkcja z R w R) stopnia nieparzystego ma pierwiastek. Wskazówka: Skorzystaj z zadania 45. 62 Narysuj wykresy funkcji zadanych wzorami y = x, y = x x, x y = x sin( ), y = x x2 sin( ), y = sin( ) oraz wyznacz ich granice w punkcie x x x 0. 8
63 Naszkicuj wykresy funkcji zadanych wzorami y =, y = x 2 y = x2, y = x3. x 2 x 2 * 64 Niech n > 0. Naszkicuj wykres funkcji zadanej wzorem f(x) = x(x ) (x n). x, x 2 Wskazówka: Rozważ oddzielnie przypadek n parzystego i n nieparzystego. 9
7 Różniczkowanie część I (3 godziny ćwiczeń) 65 W jakich punktach funkcja f(x) = x + x + jest różniczkowalna? 66 Udowodnić, że jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x, to f f(x + h) f(x h) (x) = lim. h 0 2h Podaj przykład funkcji, dla której powyższa granica istnieje, pomimo że funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie x. 67 Pokaż, że (cos x) = sin x Wskazówka: Skorzystaj z tożsamości cos α cos β = 2 sin α+β sin α β. 2 2 68 Udowodnij wzór ( ) = f (x) f(x) (f(x)). 2 69 Oblicz pochodne funkcji rzeczywistych zadanych następującymi wzorami: y = 2+3x+x 3, y = +x+x 2 +...+x n, y = (x+)/(x ), y = x2 +x+ x 3 y = x 2 e x, y = x sin(x). 70 Oblicz [f (y)] dla podanych funkcji we wskazanych punktach f(x) = x + ln x, y 0 = e + ; f(x) = x 3 + x 5 + x 7, y 0 = 3. 7 Oblicz pochodne funkcji rzeczywistych zadanych następującymi wzorami: y = e x2, y = 2 x 2 y = +x 2, y = sin(cos(x)), y = ln tg(x)), y = sin(cos(sin(x))), y = arc sin(x 2 ), y = arc tg(e x ). * 72 Mówimy, że funkcja f : R R spełnia warunek Lipschitza jeśli istnieje stała C taka, że ( x, x )( f(x) f(x ) C x x ). Pokaż, że jeśli f spełnia warunek Lipschitza, to jest ciągła. Pokaż, że jeśli funkcja posiada ograniczoną pochodną, to spełnia warunek Lipschitza. 73 Podaj przykład funkcji parzystej dla której f (0) = 0, pomimo, że w punkcie 0 funkcja nie posiada ekstremum właściwe. 74 W jakich przedziałach funkcje y = x( x) 2, y = x 2 x 2, y = xe x, y = x 2 e x są rosnące? 0
75 Pokaż, że x +x ln( + x) x dla wszystkich x >. 76 Znajdź ekstrema funkcji y = xe x2, y = x(a x), y = x(a x) 2, ** 77 Udowodnij, że funkcja f (x) posiada własność Darboux.
8 Różniczkowanie część II (3 godziny ćwiczeń) 78 Korzystając z reguł de l Hospitala oblicz następujące granice: xe lim 2x x x 0, lim cos(3x) x ln x x, (ln x) lim 3 x, lim x x 2 x x 0, x lim x (e x + ) x, lim x 0+ x 3 ln x, lim x (ln x) ln(cos(x)) x, lim x 0. x 2 79 Oblicz granicę: e lim x n x k k=0 k! x 0 x n+. 80 Korzystając z reguł de l Hospitala oblicz następujące granice: (ln(x)) lim α ln(x) x, lim x x. x α 8 Niech f g jeśli f = O(g) dla f, g : N R +. Pokaż, że relacja jest zwrotna i przechodnia. 82 Porównaj tempa zbieżności następujących ciągów: a n = n,b n = n, c n = n n, d n = n ln n, e n = n 2, f n = 2 n, g n = ln n, h n = (ln n) n, i n = (ln n) ln n. 83 Oszacuj dokładność wzorów przybliżonych: sin(x) x, x < π, 0 + x + x, x <, 2 8 log( + x) x x2 + x3 x <. 2 3 64 84 Dla następujących funkcji zbadaj istnienie ekstremów lokalnych w punkcie x 0 = 0: f(x) = x 2 e x3, f(x) = x 3 e ( x 2 ), f(x) = x 2 sin 3 (x) + x 2 cos(x), f(x) = +x3 +x 2. 85 Znajdź pole największego prostokąta wpisanego w elipsę o równaniu x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =. 86 Pokaż, że ze wszystkich prostokątów o ustalonym obwodzie kwadrat ma największą powierzchnię. 87 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustalonym obwodzie i o ustalonej podstawie trójkąt równoramienny ma największą powierzchnię. 88 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustalonym obwodzie trójkąt równoboczny ma największą powierzchnię. 2
89 Zbadaj wykresy funkcji y = x +x 2, y = x (x )(x 2). * 90 Udowodnij wzór d n ( ) x n e dx n x = ( ) n x n e x. 3
9 Całkowanie (3 godziny ćwiczeń) 9 Wyznacz stosując wzór f(ax + b)dx = F (ax + b) + C, gdzie F a jest funkcją pierwotną do f następujące całki nieoznaczone: (a) dx, sin(nx)dx, e kx dx, x a (b) a dx, ax+b 2 x 2 cx+d dx. 92 Wyznacz stosując metodę całkowania przez części oblicz następujące całki nieoznaczone: (a) x cos(x)dx, x 2 cos(x)dx, x 3 cos(x)dx, (b) x sin(x)dx, x 2 sin(x)dx, x 3 sin(x)dx, (c) xe x dx, x 2 e x dx, x 3 e x dx, (d) x ln xdx, x 2 ln xdx, x 3 ln xdx. Spróbuj samodzielnie uogólnić powyższe obliczenia. 93 Pokaż, że ( lim n n + + ) n + 2 +... = ln(2) 2n 94 Niech a >. Pokaż, że a + 2 a +... + n a lim = n n a+ a +. Porównaj ten wzór z dokładnymi wzorami na a +2 a +...+n a dla a =, 2, 3. 95 Założmy, że f jest funkcją różniczkowalną oraz, że g jest funkcją ciągłą. Niech F (x) = f(x) a g(t)dt. Wyznacz F (x). Wskazówka: D[Integrate[G[t], {t, a, F [x]}], x] 96 Wyznacz stosując metodę całkowania przez podstawienie oblicz następujące całki nieoznaczone:. sin(3x + )dx, x dx, x+ x + x2 dx (podstaw t = + x 2 ), 2. dx, +2x 2 3x 2 dx, x2 dx (podstaw x = sin(t)), 3. xe x 2 dx, 4. sin(ln x)dx (podstaw u = ln x, zastosuj dwukrotnie całkowanie przez części) 5. tg xdx 4
97 Oblicz następujące całki nieoznaczone z funkcji wymiernych:. 2. 3. 2x+3 dx, (x 2)(x+5) dx x 3 +x +x 2 dx, (+x 2 ) 2 dx, (+x 2 ) 3 dx 98 Wyznacz pole następujących obszarów:. A = {(x, y) R 2 : 0 x x 2 y x} 2. B = {(x, y) R 2 : 0 x π y sin x}, 3. C = {(x, y) R 2 : x y < e x }. 4. Obszar ograniczony parabolą o równaniu y = 2x 2 6x i osią OX * 99 Udowodnij nierówność Schwarza dla całek ( b 2 ( ) ( b ) b f(x)g(x)dx) f 2 (x)dx g 2 (x)dx. a a a Wskazówka: Skorzystaj z nierówności b a (f(x) + cg(x))2 dx 0, która zachodzi dla każdego c. 5
0 Całki niewłaściwe ( godzina ćwiczeń) 00 Oblicz następujące całki niewłaściwe: 0 e x sin(x)dx, 0 x dx, x 2 x + 0 x 2 dx. 0 Zbadaj zbieżność następujących całek niewłaściwych: ln(x)+sin(x) x dx, +cos 2 (x) dx, π x 2 2 sin(x) + 0 x dx. e 02 Zbadaj zbieżność szeregów: n>0, n p n>, n(ln(n)) p n>2. n ln n(ln ln(n)) p ( ) ) ** 03 Oblicz sumę n 0 n 3( + Wskazówka: Oblicz całkę 0 ( x2 ) n dx. 5( n 2 ) ± 2n+( n n ) 6