ZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3

Transkrypt

1 ZADANIE Ciag (a n ), gdzie n, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa funkcji f (x) = 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 Długości boków trójkata tworza ciag geometryczny. Jaki warunek spełniać musi iloraz tego ciagu? ZADANIE 3 Długości boków trójkata sa kolejnymi wyrazami rosnacego ciagu geometrycznego o ilorazie q, a cosinus jednego z jego katów jest równy q 4. a) Wyznacz q. b) Wiedzac, że promień okręgu opisanego na tym trójkacie ma długość 2 2, oblicz pole tego trójkata. ZADANIE 4 Ciag (b n ) jest nieskończonym ciagiem liczb dodatnich, a ciag (a n ) spełnia warunek Oblicz a 0 a. a n+ a n = log 2b n log b 0 n, dla n =, 2,..., 00. ZADANIE 5 W ciagu arytmetycznym o nieparzystej liczbie wyrazów suma wyrazów stojacych na miejscach nieparzystych równa się 44, a suma pozostałych wynosi 33. Znajdź wyraz środkowy i liczbę wyrazów tego ciagu. ZADANIE 6 Dany jest ciag geometryczny (a n ) o pierwszym wyrazie równym 2, i ilorazie równym 0. Wykaż, że wszystkie punkty o współrzędnych (2n, log a n ) leża na jednej prostej. ZADANIE 7 Ciag (a n ) dany jest wzorem a n = 5 3n 7, dla n. a) Oblicz sumę a 2 + a 4 + a a 04. b) Ustalmy n > 6. Dla jakich x liczby a n, x 2 + 2, a n sa kolejnymi wyrazami ciagu geometrycznego? ZADANIE 8 Suma n poczatkowych wyrazów ciagu (a n ) dla każdego n = określona jest wzorem S n = 2n 2 4n. a) Wykaż, że ciag (a n ) jest ciagiem arytmetycznym. b) Wykaż, że jeżeli suma n poczatkowych wyrazów ciagu dla każdego n określona jest wzorem S n = 2n 2 4n +, to ciag ten nie jest arytmetyczny. c) Znajdź takie trzy kolejne wyrazy ciagu (a n ), aby kwadrat środkowego wyrazu był o 48 mniejszy od różnicy kwadratów wyrazów z nim sasiaduj acych.

2 ZADANIE 9 W trójkacie dwa boki maja długość 3 cm i 4 cm. Długość trzeciego boku jest większa od długości dwóch pozostałych boków. Długości wysokości w tym trójkacie sa trzema kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego. Oblicz pole tego trójkata oraz długości promieni okręgów: wpisanego w ten trójkat i opisanego na tym trójka- cie. ZADANIE 0 Wyrazy a, a 2, a 3,..., a 0 pewnego nieskończonego ciagu a n spełniaja warunki a + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 = 20, a 2 + a 4 + a 6 + a 8 + a 0 = 5. Wiedzac, że nieskończony ciag b n określony wzorem b n = 4 3an+5 jest ciagiem geometrycznym, oblicz sumę wszystkich wyrazów ciagu b n. ZADANIE W trójkacie prostokatnym jedna z przyprostokatnych jest średnia arytmetyczna drugiej przyprostokatnej i przeciwprostokatnej. Oblicz sinusy katów ostrych tego trójkata. ZADANIE 2 Dla jakich wartości parametru k równanie x 4 (3k + 2)x 2 + k 2 = 0 ma co najmniej trzy różne pierwiastki, które sa kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego? ZADANIE 3 Obwód trapezu równoramiennego wynosi 6. Oblicz pole tego trapezu, jeśli długości ramienia i podstaw trapezu sa (w podanej kolejności) trzema kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego oraz długość odcinka łacz acego środki ramion trapezu wynosi 4. ZADANIE 4 W trójkacie prostokatnym długości wysokości i środkowej poprowadzonej z wierzchołka kata prostego oraz długość przeciwprostokatnej tworza ciag geometryczny, w którym iloczyn wyrazów jest równy 8. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkat. ZADANIE 5 S n jest suma n poczatkowych wyrazów ciagu a n. Wyznacz wzór ogólny ciagu. Czy jest to ciag arytmetyczny? a) S n = n 2 b) S n = n 2 c) S n = n 3 ZADANIE 6 W kat o mierze x wpisano ciag kół w taki sposób, że pierwsze koło ma promień r i jest styczne do ramion kata a każde następne koło ma mniejszy promień i jest styczne do poprzedniego koła oraz do ramion kata. Oblicz sumę pól kół tego ciagu. 2

3 ZADANIE 7 Udowodnij, że jeżeli cztery liczby dodatnie a, b, c i d sa kolejnymi wyrazami ciagu geometrycznego, to a + d b + c. ZADANIE 8 Ciag (a n ) dany jest wzorem a n = tg( π 4 + n π2 ). Oblicz sumę a + 2a 2 + 3a a 50. ZADANIE 9 Miary katów wielokata tworza ciag arytmetyczny, którego różnica jest równa 4. Największy kat ma miarę 72. a) Ile boków ma ten wielokat? b) Ile ma przekatnych? ZADANIE 20 Na wykresie funkcji f (x) = x 2 wybrano trzy różne punkty, których odcięte sa kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego, a rzędne kolejnymi wyrazami ciagu geometrycznego. Wykaż, że odcięta co najmniej jednego z tych punktów jest liczba niewymierna. ZADANIE 2 Wykaż, że trójkat, którego długości boków sa trzema kolejnymi wyrazami ciagu geometrycznego, miary katów zaś trzema kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego jest trójkatem równobocznym. ZADANIE 22 a) Niech a n = 99 }{{ 9 }. Oblicz sumę 2 poczatkowych wyrazów ciagu (a n ). n b) Niech b n = 77 }{{ 7 }. Oblicz sumę 2 poczatkowych wyrazów ciagu (b n ). n ZADANIE 23 Funkcje f (x) = 2x 2 2, g(x) = x 2 + 2ax + a 2 + i h(x) = 4x 2 + b 2 maja tę własność, że dla każdej liczby rzeczywistej x, liczby f (x), g(x) i h(x) tworza (w pewnej kolejności) ciag geometryczny. Wyznacz możliwe ilorazy tego ciagu. ZADANIE 24 ( ) Dany jest ciag a n o wyrazie ogólnym a n = 3 p 2n 3. 3+p a) Udowodnij, że ciag a n jest ciagiem geometrycznym. b) Wyznacz te wartości parametru p, dla których istnieje suma wszystkich wyrazów ciagu a n. Oblicz tę sumę. c) Wyznacz te wartości parametru p, dla których ciag a n jest malejacy. 3

4 ZADANIE 25 Dane sa dwa różne ciagi: arytmetyczny i geometryczny. Każdy z nich składa się z trzech wyrazów dodatnich. Pierwsze i ostatnie wyrazy tych ciagów sa równe. Suma wyrazów którego ciagu jest większa? ZADANIE 26 Wykaż, że dla dowolnego ciagu arytmetycznego zachodzi równość S 3n = 3(S 2n S n ), gdzie S k oznacza sumę k poczatkowych wyrazów ciagu. ZADANIE 27 Ciag arytmetyczny (a n ) jest określony wzorem a n = 4 (3n + ) dla n. a) Sprawdź, którym wyrazem ciagu (a n ) jest liczba b) Wśród pięćdziesięciu poczatkowych wyrazów ciagu a n sa wyrazy będace liczbami całkowitymi. Oblicz sumę wszystkich tych wyrazów. ZADANIE 28 Udowodnij, że jeżeli liczby a, a 2,..., a n, gdzie n 2, tworza ciag arytmetyczny i żadna z nich nie jest zerem, to = n. a a 2 a 2 a 3 a n a n a a n ZADANIE 29 Udowodnić, że w dowolnym trójkacie prostokatnym, w którym długości boków tworza ciag arytmetyczny, promień okręgu wpisanego w ten trójkat jest równy różnicy ciagu długości jego boków. ZADANIE 30 Sinus pewnego kata ostrego α, liczba 3 2 oraz cosinus tego samego kata α tworza w podanej kolejności ci ag geometryczny. Oblicz sumę sin α + cos α. ZADANIE 3 Ciag (a n ) określony jest w taki sposób: a =, zaś n-ty wyraz ciagu (a n ), gdy 2, jest największym dzielnikiem liczby n mniejszym od n. Ile wyrazów ciagu (a n ) jest równych 2? Odpowiedź uzasadnij. ZADANIE 32 Liczby a, a 2, a 3,..., a n sa kolejnymi wyrazami ciagu geometrycznego o dodatnich wyrazach. Znajac sumy oblicz iloczyn I = a a 2 a 3 a n. S = a + a 2 + a a n T = a + a 2 + a a n, 4

5 ZADANIE 33 Liczby x + y, 3x + 2y + i x 2 + 5x + 4y tworza ciag arytmetyczny. Wyznacz te wartości x, dla których ciag ten jest rosnacy. ZADANIE 34 Dany jest nieskończony ciag geometryczny gdzie 0 < x < π 2. a) Wykaż, że dany ciag jest malejacy. sin x + cos x, (sin x + cos x) 2, (sin x + cos x) 3,..., b) Wyznacz sumę S wszystkich wyrazów tego ciagu. c) Wiedzac, że suma S wszystkich wyrazów tego ciagu wynosi, oblicz x. 2 ZADANIE 35 Ciag arytmetyczny składa się z szesnastu wyrazów. Suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 256, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 240. Oblicz pierwszy i ostatni wyraz tego ciagu. ZADANIE 36 Liczby log k x, log m x, log n x sa kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego, gdzie k, m, n, x sa różnymi od jedności liczbami dodatnimi. Uzasadnij, że n 2 = (kn) log k m. ZADANIE 37 Iloczyn pierwszego i szóstego wyrazu malejacego ciagu arytmetycznego o wyrazach całkowitych jest równy 00. Przy dzieleniu wyrazu drugiego przez wyraz szósty otrzymujemy 3 i reszte 2. Oblicz, o ile jest mniejsza suma dwustu poczatkowych wyrazów o numerach parzystych od sumy dwustu poczatkowych wyrazów tego ciagu o numerach nieparzystych. 5

6 ODPOWIEDZI DO ARKUSZA NR 8652_9980. f max = 0 2. q ( 5 2, ) 3. a) q = 2, b) log 2 5. Środkowy wyraz:, liczba wyrazów: Uzasadnienie. 7. a) -44, b) x = 2 a n lub x = 2 a n. 8. c) (0, 4, 8) lub (8, 2, 6) lub ( 8, 4, 0) 9. P = 455 4, r = , R = i k {0, 6, 6 9 } a) a n = 2n, jest arytmetyczny., b) a n = 2n, dla n 2, a = 0, nie jest arytmetyczny., c) a n = 3n 2 3n +, dla n 2, a = 0, nie jest arytmetyczny. 6. πr 2 (+sin x 2 )2 4 sin x 2 7. Uzasadnienie a) 2 boków, b) 54 przekatne 20. Uzasadnienie. 2. Uzasadnienie. 22. a) 0 9 (02 ) 2, b) 70 8 (02 ) lub b) (3+p) 3, c) p (, 3) (0, 3) 2p(3 p) 25. Suma ciagu arytmetycznego jest większa. 26. Uzasadnienie. 27. a) n = 50, b) S = Uzasadnienie. 29. Uzasadnienie = Jeden wyraz, a 4 = I = ( ) n S 2 T 33. x (, 3) 34. b) S = sin x+cos x, c) x = π a = 6, a 6 = Uzasadnienie. 37. Jest mniejsza o 600