SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością najmniejszą funkcji f na D Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D maksimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością największą funkcji f na D Uwaga: Jeżeli istnieje maksimum globalne, to odpowiadająca mu wartość największa jest tylko jedna, natomiast moża być kilka punktów x D, w których funkcja osiąga tę wartość. Twierdzenie: Jeżeli x 0 D jest ekstremum globalnym funkcji f : D R to jest też ekstremum lokalnym tej funkcji. Przykład 1: Znaleźć ekstrema globalne f(x) = x 2, x < 1, 2 > Funkcja f jest ciągła, dziedzina D =< 1, 2 > jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, więc istnieją oba ekstrema globalne. Funkcja jest różniczkowalna we wnętrzu D. Jeżeli ekstremum jest we wnętrzu D, to ponieważ jest jednocześnie ekstremum lokalnym musi spełniać warunek konieczny f (x) = 0. f (x) = 2x = 0 x 1 = 0 Brzeg składa się z dwóch punktów: x 2 = 1, x 3 = 2. Obliczamy: f(x 1 ) = 0 f(x 2 ) = 1 f(x 3 ) = 4 Najmniejsza z tych wartości 0 jest w punkcie x 1 = 0 - jest to minimum globalne. Największa z tych wartości 4 jest w punkcie x 3 = 4 - jest to maksimum globalne. Przykład 2: Znaleźć ekstrema globalne f(x) = x + 1 x na D =< 1 2, 3) Funkcja f jest ciągła, ale dziedzina D nie jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, więc nie muszą istnieć ekstrema globalne. Funkcja jest różniczkowalna na D. Obliczamy f (x) = 1 1 x 2 Badamy znak f f (x) > 0 1 1 x > 0 2 x > 1 f jest malejąca na < 1, 1 > i rosnąca na < 1, 3) 2 Obliczamy wartości (granice): f( 1 2 ) = 5 2 f(1) = 2 x 3 f(x) = 10 3 Szkicujemy wykres funkcji. Wnioski: 1
Istnieje minimum globalne w punkcie x = 1, o wartości f(1) = 2. Nie istnieje maksimum globalne. Uwaga 1: Jeżeli f jest ciągła to obrazem przedziału jest przedział. W tym przykładzie f(< 1, 3)) =< 2, 10) 2 3 Uwaga 2: Jeżeli f nie ma wartości największej to nie znaczy, że może osiągać dowolnie duże wartości. W naszym przykładzie wartości funkcji mogą być dowolnie blisko wartości 10), ale 3 zawsze są mniejsze. Kresem górnym funkcji nazywamy kres górny zbioru wartości funkcji: sup f(x) = sup f(d) Analogicznie definiuje się kres dolny: inf f(x) W tym przykładzie: sup f(x) = 10 3 inf f(x) = 2 Uwaga: Jeżeli f : D R to ekstrema lokalne (a więc i globalne) mogą (ale nie muszą) być tylko w punktach: 1. x intd, f (x) = 0 2. x intd, pochodna f (x) nie istnieje 3. x D - punkty brzegowe Aby znaleźć ekstrema globalne funkcji określonej na skończonej sumie przedziałów, ciągłej na każdym z tych przedziałów i różniczkowalnej z wyjątkiem być może skończonej liczby punktów, wystarczy obliczyć: wartości (lub granice) na końcach przedziałów, wartości w punktach stacjonarnych: f (x) = 0, wartości w punktach nieróżniczkowalności f. Wartość największa z tej listy jest maksimum globalnym jeśli jest osiągana w punkcie x D. Jeżeli wartość największa z tej listy jest granicą funkcji na końcu przedziału, to maksimum globalne nie istnieje, ale wartość ta jest kresem górnym funkcji. Podobnie jest z minimum globalnym. Zastosowanie w mechanice: Niech dany będzie układ mechaniczny o jednym stopniu swobody w którym działają tylko siły potencjalne. Niech E(x) będzie funkcją energii potencjalnej układu, a x zmienną związaną ze stopniem swobody, opisującą stan układu. Wtedy punkty stacjonarne funkcji E(x) są punktami równowagi układu, minima lokalne są punktami równowagi trwałej, a maksima lokalne są punktami równowagi chwiejnej. Wypukłość funkcji Wypukłość dla figur geometrycznych na płaszczyźnie i brył w przestrzeni jest zdefiniowana następująco: Figura (bryła) F jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów A, B F odcinek AB F. Tej definicji wypukłości nie można bezpośrednio wykorzystać do zdefiniowania wypukłości funkcji. 2
Definicja: f : D R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {(x, y) : x D, y f(x)} jest wypukły. Definicja: f : D R jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {(x, y) : x D, y f(x)} jest wypukły. Uwaga: Jeżeli f : D R jest wypukła lub wklęsła to dziedziną tej funkcji musi być przedział. Twierdzenie: Funkcja f : (a, b) R jest wypukła ( x 1, x 2 (a, b), t < 0, 1 >) f(x 1 + t(x 2 x 1 )) f(x 1 ) + t(f(x 2 ) f(x 1 )) Twierdzenie to oznacza, że część wykresu funkcji wypukłej wycięta dowolną prostą sieczną leży pod tą prostą. Twierdzenie: Funkcja f : (a, b) R jest wklęsła x 1, x 2 (a, b), t (0, 1)f(x 1 + t(x 2 x 1 )) f(x 1 ) + t(f(x 2 ) f(x 1 )) Twierdzenie: Funkcja różniczkowalna f : (a, b) R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej wykres leży nad każdą prostą styczną do wykresu. Funkcja jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy jej wykres leży pod każdą prostą styczną do wykresu. Definicja: Niech f : D R będzie funkcją ciągłą. Punkt x D nazywamy punktem przegięcia funkcji f wtedy i tylko 1. ( ɛ > 0)(x ɛ, x + ɛ) D 2. f jest wypukła na przedziale (x ɛ, 0) oraz wklęsła na przedziale (0, x + ɛ) lub f jest wklęsła na przedziale (x ɛ, 0) oraz wypukła na przedziale (0, x + ɛ) Twierdzenie Niech f : (a, b) R będzie dwukrotnie różniczkowalna. Funkcja f jest wypukła na (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy x (a, b) f (x) 0. Funkcja jest wklęsła na (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy x (a, b) f (x) 0. Przykład: Zbadać przedziały wypukłości, wklęsłości oraz znaleźć punkty przegięcia funkcji: f(x) = x 3 3x Dziedzina D = (, ) f (x) = 3x 2 3, D = (, ) f (x) = 6x, D = (, ) Rozwiązujemy nierówność: f (x) > 0 6x > 0 x > 0 Analogicznie: f (x) < 0 x < 0 Stąd: f jest wypukła na przedziale < 0, ) f jest wklęsła na przedziale (, 0 > f ma punkt przegięcia w x = 0 Twierdzenie: Jeżeli f : D R jest wypukła to dla dowolnych punktów x 1, x 2,... x n D oraz dowolnych dodatnich liczb p 1, p 2,... p n takich, że p 1 + p 2 +... p n = 1 zachodzi: f(p 1 x 1 + p 2 x 2 +... p n x n ) p 1 f(x 1 ) + p 2 f(x 2 ) +... p n f(x n ) Dowód: Ustawione w kolejności rosnącej x i punkty W i = ( x i, f(x i ) ) są wierzchołkami wielokąta wypukłego. Jeżeli w wierzchołkach tych umieścimy masy p i to środek ciężkości układu tych punktów będzie leżał wewnątrz wielokąta, a więc nad wykresem funkcji. Współrzędne środka ciężkości: S x = p 1 x 1 + p 2 x 2 +... p n x n 3
S y = p 1 f(x 1 ) + p 2 f(x 2 ) +... p n f(x n ) Środek ciężkości będzie leżał nad wykresem funkcji: f(s x ) S y Uwaga: Podobne twierdzenie zachodzi dla funkcji wklęsłych. Przykład: Pokazać, że dla x 1, x 2,... x n > 0 zachodzi: n x1 x 2... x n x 1 + x 2 +... x n n Uwaga: Lewa strona nierówności nazywa się średnią geometryczną, a prawa średnią arytmetyczną. Funkcja f(x) = ln x jest wklęsła na całej dziedzinie D = (0, ) ponieważ: f (x) = ( 1 ) 1 = x x < 0 2 Wobec tego dla p i = 1 mamy: n ln( 1 x n 1 + 1 x n 2 +... 1 x n n) 1 ln(x n 1) + 1 ln(x n 2) +... 1 ln(x n n) Czyli: x 1 + x 2 +... x n n n x 1 x 2... x n Asymptoty funkcji Asymptotą wykresu funkcji nazywamy prostą l taką, że punkty pewnej gałęzi wykresu funkcji P x (x, f(x)) zliżają się do tej prostej i jednocześnie oddalają się nieskończenie daleko od początku układu współrzędnych: x a + d(p x, l) = 0 x a + d(p x, O) = gdzie a może być skończone, +,, a granica może być też lewostronna. d oznacza odległość, a O(0, 0) początek układu współrzędnych. Jeżeli a R to asymptotę nazywamy pionową. Jeżeli a = + lub to asymptotę nazywamy ukośną. Szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej jest asymptota pozioma: współczynnik kierunkowy asymptoty jest równy zero. Twierdzenie: Funkcja f : D R ma asymptotę pionową lewostronną x = a, a R wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = ± x a Twierdzenie: Funkcja f : D R ma asymptotę pionową prawostronną x = a, a R wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = ± x a + Twierdzenie: Funkcja f : D R ma asymptotę ukośną y = ax + b w + wtedy i tylko f(x) a = x x b = x (f(x) ax) Twierdzenie: Funkcja f : D R ma asymptotę ukośną y = ax + b w wtedy i tylko a = b = x x f(x) x (f(x) ax) Przebieg zmienności funkcji Aby zbadać przebieg zmienności funkcji f(x) badamy następujące elementy: 4
1. Dziedzina 2. Ciągłość, parzystość, nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe 3. Granice lub wartości funkcji (a) Na każdym końcu przedziału (b) W każdym punkcie nieciągłości 4. Asymptoty (a) Pionowe (b) Ukośne w ± 5. Pochodna f (x) (a) Dziedzina (b) Znak (c) Przedziały monotoniczności (d) Ekstrema lokalne 6. Druga pochodna f (x) (a) Dziedzina (b) Znak (c) Przedziały wypukłości i wklęsłości (d) Punkty przegięcia 7. Tabela i wykres Przykład: Zbadać przebieg zmienności funkcji f(x) = Rozwiązanie: Dziedzina funkcji: D = (, 0) (0, ) Funkcja jest ciągła na całej dziedzinie. Dziedzina jest symetryczna, badamy parzystość f: f( x) = ln( x)2 ln x2 = = f(x) x x Funkcja jest nieparzysta. Wystarczy więc ją zbadać na zbiorze D 1 = (0, ). Na przedziale (, 0) wykres będzie symetryczny. Miejsca zerowe: f(x) = 0 dla x = 1 Obliczamy granice: ln x 2 f(x) = x 0 + x 0 + x = 0 = + ln x 2 f(x) = x x x =[ ] [H] x 2x x 2 1 = x 2 x = 0 Asymptoty: Z obliczonych wcześniej granic wynika, że funkcja ma asymptotę pionową x = 0 i poziomą y = 0 w +. Badamy pierwszą pochodną: 5 ln x2 x
f (x) = 2x x 2 x ln x 2 x 2 = 2 ln x2 x 2 D = (0, ) Rozwiązujemy nierówność f (x) > 0. Ponieważ mianownik jest dodatni: 2 ln x 2 > 0 2 2 ln x > 0 ln x < 1 x < e Wniosek: Funkcja f(x) jest rosnąca na przedziale (0, e >, malejąca na przedziale < e, ), ma więc w x = e maksimum lokalne. Jest to jedyne ekstremum na D 1. Badamy drugą pochodną: f (x) = 2x x 2 x 2 (2 ln x 2 )2x x 4 = 6 + 2 ln x2 x 3 D = (0, ) Rozwiązujemy nierówność f (x) > 0. Ponieważ mianownik jest dodatni: 6 + 2 ln x 2 > 0 6 + 4 ln x > 0 ln x > 3 2 x > e 3 2 Wniosek: Funkcja f(x) jest wklęsła na przedziale (0, e 3 2 ), wypukła na przedziale (e 3 2, ), ma więc w x = e 3 2 punkt przegięcia. Tabela: x 0 +... e... e 3 2... f (x) + 0 1 e 3 f (x) 0 + f(x) 2 e 3e 3 e 0 Wykres: zaznaczamy punkty charakterystyczne z tabeli, rysujemy asymptoty, rysujemy wykres na D 1, a następnie symetryczny na zbiorze (, 0) 6