KINEMATYCZNE WŁASNOW ASNOŚCI PRZEKŁADNI
Waunki współpacy pacy zazębienia Zasada n 1 - koła zębate mogą ze sobą współpacować, kiedy mają ten sam moduł m. Czy to wymaganie jest wystaczające dla pawidłowej współpacy zębów?
Wielkości chaakteyzujące koło zębate: liczba zębów z, cechy geometyczne: moduł m, śednica podziałowa d, wysokość zęba h, itp. kształt zaysu boku zęba.
kształt zaysu boku zęba linia zaysu boku zęba
Kształt zaysu boku zęba w zasadzie może być dowolny, ponieważ znana jest metoda REALAUX, pozwalająca wyznaczyć pzeciwzays danego zaysu.
Jednakże dla pawidłowej pacy pzekładni linia zaysu boku zęba musi zapewniać: 1. stałość pzełożenia enia 2. ciągłość zazębienia Niespełnienie piewszego waunku powoduje, że w pzekładni pzy ω = const. części napędzającej, wystąpi ozpędzanie lub hamowanie części napędzanej, zależnie od chwilowej watości pzełożenia i. Z piewszym waunkiem związana jest tzw. główna zasada zazębienia (zasada Willisa). Z dugim waunkiem związana jest tzw. liczba pzypou. Spełnienie obu waunków zależy w głównej mieze od kształtu linii zaysu boku zębaz ba.
Zasadniczo kształt zaysu zęba może być dowolny, jednakże nie wszystkie zaysy spełniają pzedstawione waunki: stałości pzełożenia, enia, ciągłości zazębienia bienia. Najkozystniejsze okazały się zaysy utwozone pzez kzywe cykliczne, a więc wszelkiego odzaju cykloidy oaz ewolwenta koła, jako szczególny pzypadek cykloidy.
Kzywe cykliczne używane w kołach zębatych to: cykloida zwyczajna (otocykloida), epicykloida, hipocykloida, ewolwenta zwyczajna.
Cykloida zwyczajna (otocykloida) kzywa, któą keśli punkt koła toczącego się po innym kole. ρ 2π ρ z = Koło toczące się o pomieniu ρ nazywamy kołem odtaczającym, a koło nieuchome o pomieniu z = nazywamy kołem zasadniczym.
Epicykloida - uzyskuje się ją wówczas, gdy koło odtaczające ρ toczy się po zewnętznej części koła zasadniczego z. ρ z
Hipocykloida - uzyskuje się ją wówczas, gdy koło odtaczające ρ toczy się po wewnętznym toze koła zasadniczego z. ρ O z
Ewolwenta zwyczajna - (odwinięcie koła) jako szczególny pzypadek cykloidy uzyskuje się, gdy posta toczy się po toze kołowym (kole zasadniczym) z. 1 2 3 4 5 8 z ρ = 6 7 W danym pzypadku pomień koła odtaczającego ρ =.
0 ewolwenta koło dna wębów koło zasadnicze z d f
Dla pawidłowej pacy pzekładni linia zaysu boku zęba musi zapewniać: 1. stałość pzełożenia enia 2. ciągłość zazębienia Z piewszym waunkiem związana jest tzw. główna zasada zazębienia (zasada Willisa).
ZASADA ZAZĘBIENIA (zasada Willisa) Z kinematycznego punktu widzenia od zazębienia wymaga się ównomieności pzenoszenia uchu obotowego. Z tego zadania wynika główna zasada zazębienia bienia. Posta nomalna do boku zęba z w punkcie styku zębów z w kółk współpacuj pacujących cych musi pzechodzić pzez punkt styku kółk tocznych.
posta nomalna do boku zęba nomalna do boku zęba w punkcie B B styczna do boku zęba w punkcie B
1 KT 1 punkt styczności kół tocznych ω 1 0 1 wspólna nomalna do zaysów zębów w punkcie ich styku B ω 2 C 0 2 2 KT 2
Aby dwa zaysy współpacujących ze sobą zębów miały wspólną nomalną w punkcie ich styku to muszą być one utwozone pzez to samo koło odtaczające. W pzypadku zaysu cykloidalnego koło odtaczające dla współpacujących zaysów musi mieć tę samą śednicę. epicykloida ρ ρ hipocykloida wspólna nomalna do zaysów
W pzypadku zaysu ewolwentowego kołem odtaczającym jest linia posta, a więc ten waunek zawsze jest spełniony. koło odtaczające o pomieniu ównym
Można udowodnić, że linia łącząca śednice kół zębatych O 1 i jest podzielona pzez punkt C popocjonalnie do pędkości kątowych ω 1 i ω 2. 1 KT 1 punkt styczności kół tocznych ω 1 0 1 wspólna nomalna do zaysów zębów w punkcie ich styku B ω 2 C 0 2 2 KT 2
dowód: Koła 1 i 2 obacają się dokoła swoich śodków O 1 i w ten sposób, że ich zęby pozostają w stałym styku. Koło 1 obacając się z chwilową pędkością ω 1, wskutek styku zębów w punkcie B, nadaje kołu 2 chwilową pędkość ω 2. 1 ω 1 B ω 2 O 1 2
KT 1 1 O 1 z1 b1 N 1 V 1 B C V 2 KT 2 N 2 Równocześnie zgodnie z zasadami kinematyki b2 otzymujemy w punkcie B chwilowe pędkości 2 obwodowe V 1 i V 2. z2
KT 1 1 Pędkości obwodowe V 1 i V 2 można ozłożyć na składowe styczne do boków zębów W 1 i W 2 oaz postopadłe do nich C 1 i C 2. O 1 z1 b1 H V 1 W 1 W 2 B C N 1 KT 2 E F D V 2 C C 1 2 N 2 z2 b2 2
KT 1 1 O 1 z1 b1 H V 1 W 1 W 2 B C N 1 KT 2 E F D V 2 C C 1 2 N 2 z2 b2 2 Rozpatzmy podobne do siebie tójkąty: ΔO 1 N 1 B będzie podobny do ΔBDH Δ N 2 B będzie podobny do ΔBEF
KT 1 1 O 1 z1 b1 H V 1 W 1 W 2 B C N 1 KT 2 E F D V 2 C C 1 2 N 2 z2 b2 2
Z podobieństwa tójkątów wynika, że stosunki podobnych boków muszą być takie same. C V 1 1 1 z1 1 = O N O B 1 = b1 KT 1 1 O 1 C V 2 2 2 z2 2 = O N O B 2 = b2 b1 z1 H V 1 W 1 W 2 B C N 1 KT 2 E F V 2 D C C 1 2 N 2 z2 b2 2
1 1 1 1 1 1 1 b z O B O N V C = = 1 1 1 1 b z V C = 2 2 2 2 2 2 2 b z O B N O V C = = 2 2 2 2 b z V C = Ponieważ zgodnie z założeniem zęby powinny być w ciągłym styku pzeto musi być spełniony waunek: 1 C 2 C = Wyznaczmy watości składowych C:
W pzypadku gdy C 1 < C 2 wówczas ząb koła dugiego wypzedzałby ząb koła piewszego, a to jest absudem. KT 1 1 b1 O 1 w1 z1 W pzeciwnym wypadku, gdy C 1 > C 2, ząb koła piewszego wciskałby się w ząb koła dugiego, co ównież jest nonsensem. KT 2 H E F V 1 V 2 D C C 1 2 W 1 W 2 B N 2 b2 w2 z2 C N 1 2
Po zestawieniu wzoów: 2 1 2 2 1 1 b b V V z z = otzymamy: 1 C 2 C = 1 1 1 1 b z V C = 2 2 2 2 b z V C =
Chwilowe pędkości obwodowe V 1 i V 2 w punkcie B: V V = ω = ω 1 1 b1 2 2 b2 KT 1 1 O 1 b1 w1 z1 V Po podstawieniu uzyskuje się: 1 z1 = V 2 b1 b 2 z 2 KT 2 V 2 V 1 B N 2 b2 w2 z2 C N 1 2 ω 1 z1 b1 b1 = ω 2 z2 b2 b2
Wyażenie: ω = ω 1 z1 2 z2 pzekształcamy do postaci ω ω 1 2 = z z 2 1 = i gdzie i pzełożenie kinematyczne
1 Rozpatzmy podobne do siebie tójkąty KT 1 1 b1 O 1 w1 z1 i ΔO 1 N 1 C V 2 V 1 B C N 1 Δ N 2 C. KT 2 N 2 b2 w2 z2 2 2
1 KT 1 1 O 1 w1 z1 b1 Ponieważ z1 i z2 są bokami podobnymi do siebie tójkątów pzeto możemy napisać: KT 2 V 2 V 1 B N 2 b2 w2 z2 C N 1 2 i = ω ω 1 2 = z z 2 1 = OC OC 2 1 = 2 1 2
Wynika stąd, że linia łącząca śednice kół zębatych O 1 i została podzielona pzez punkt C popocjonalnie do pędkości kątowych ω 1 i ω 2. Stosunek ω 1 /ω 2 wyaża zaś pzełożenie kinematyczne pzekładni, a zatem można sfomułować już podstawową zasadę zazębienia, tzw. zasadę Willisa.
Jeżeli pzełożenie pzekładni ma pozostać niezmienne, to stosunek pomieni kół tocznych 1 do 2 ównież musi pozostawać niezmienny, a więc pzy stałych obotach osi kół O 1 i, punkt C musi pozostać stale w tym samym miejscu. KT 2 KT 1 1 b1 B N 2 b2 w2 z2 O 1 1 C 2 w1 z1 N 1 2
Punkt styczności kół tocznych C nosi nazwę centalnego punktu zazębienia bienia lub bieguna zazębienia bienia. KT 1 1 b1 O 1 1 w1 z1 Punkt C wynika z pzecięcia odcinka z linią łączącą śodek kół O 1 wobec czego udowodniliśmy twiedzenie postawione na początku. KT 2 B N 2 b2 w2 z2 C 2 N 1 2 linia łącząca śednice kół zębatych O 1 i została podzielona pzez punkt C popocjonalnie do pędkości kątowych ω 1 i ω 2.
LINIA PRZYPORU Linią pzypou (linia zazębienia) nazywamy miejsce geometyczne wszystkich punktów styku (pzypou) zębów podczas zazębiania.
ω 1 O 1 E 1 ω 2 Zęby te stykają się ze sobą po az piewszy w punkcie E 1, gdzie stopa zęba koła 1 (napędzającego) spotyka się po az piewszy z wiezchołkiem zęba koła 2 (napędzanego).
Następnie punkt ten pzesuwa się zajmując położenia pośednie. ω 1 O 1 ω 2
Następnie punkt ten pzesuwa się zajmując położenia pośednie. ω 1 O 1 ω 2
Następnie punkt ten pzesuwa się zajmując położenia pośednie. ω 1 O 1 ω 2
Następnie punkt ten pzesuwa się zajmując położenia pośednie. ω 1 O 1 ω 2
Następnie punkt ten pzesuwa się zajmując położenia pośednie. ω 1 O 1 C ω 2
Następnie punkt ten pzesuwa się zajmując położenia pośednie. ω 1 O 1 ω 2
Następnie punkt ten pzesuwa się zajmując położenia pośednie. ω 1 O 1 ω 2
Następnie punkt ten pzesuwa się zajmując położenia pośednie. ω 1 O 1 ω 2
Następnie punkt ten pzesuwa się zajmując położenia pośednie. ω 1 O 1 ω 2
Ostatnim punktem pzypou jest punkt E 2, gdzie wiezchołek zęba koła 1 ozstaje się ze stopą zęba koła 2. ω 1 O 1 E 2 ω 2
ω 1 O 1 C E 1 E 2 linia pzypou ω 2 Tajektoia tego punktu nazywa się linią pzypou. Odcinek linii pzypou E 1 E 2 nazywa się odcinkiem pzypou.
Kąt t pzypou Kąt zawaty między wspólną nomalną do zaysów zębów w punkcie styku zębów B a styczną do kół tocznych nazywa się kątem pzypou α. KT1 styczna do kół tocznych O 1 wspólna nomalna do zaysów C α B KT2 linia pzypou
Jeżeli linia pzypou jest kzywoliniowa to kąt pzypou jest zmienny. O 1 linia pzypou α B α A B A C wspólna nomalna do zaysów
Jeżeli linia pzypou jest postą to wyznacza ona ównież kieunek wspólnej nomalnej do zaysów, a zatem kąt pzypou jest stały α = const. linia pzypou O 1 C E 1 α = const. E 2 wspólna nomalna do zaysów
Dla pawidłowej pacy pzekładni linia zaysu boku zęba musi zapewniać: 1. stałość pzełożenia enia 2. ciągłość zazębienia Z piewszym waunkiem związana jest tzw. główna zasada zazębienia (zasada Willisa). Z dugim waunkiem związana jest tzw. liczba pzypou.
LICZBA PRZYPORU (wskaźnik pzypou, stopień pokycia) Z waunku ciągłości zazębienia niezbędne jest aby jedna paa zębów wychodząc z zazębienia została zastąpiona pzez następną paę zębów. O tym decyduje tzw. liczba pzypou (wskaźnik pzypou, stopień pokycia).
ω 1 O 1 KT1 p ) p ) A 2 E 1 A 1 B2 B 1 E 2 KT2 ω 2 W czasie, gdy punkt pzypou pzejdzie z punktu E 1 do punktu E 2, to punkt A 1, znajdujący się na kole tocznym koła 1, pzewęduje w tym czasie w położenie A 2. Natomiast punkt B 1, znajdujący się na kole tocznym koła 2, pzewęduje w tym czasie w położenie B 2.
Każdej długości odcinka pzypou E 1, E 2 odpowiada łuk zazębień A 1 A 2 i B 1 B 2 miezony na okęgach kół tocznych. ω 1 O 1 KT1 p ) p ) A 2 E 1 A 1 B2 B 1 E 2 KT2 ω 2
A 1 A 2 = B 1 B 2 = l KT1 p ) A 2 ω 1 O 1 l ) E 1 A 1 B2 B 1 E 2 KT2 ω 2
Aby każda paa zębów została w czasie pacy zastąpiona pzez następną paę zębów w sposób ciągły to łuk zazębienia l musi być większy od podziałki tocznej p miezonej na kole tocznym. ω 1 O 1 KT1 p ) p ) A 2 l ) l ) E 1 A 1 B2 B 1 E 2 KT2 ω 2
Liczba pzypou ε (stopień pokycia, wskaźnik pzypou) jest to stosunek łuku zazębienia l do podziałki tocznej p: ) l ε = ) p Liczba pzypou okeśla śednią liczbę pa zębów ównocześnie współpacujących.
Jeżeli liczba pzypou ε =1.5, wówczas każda paa zębów pacuje pzez 1/3 łuku zazębienia samotnie, a na początku i końcu łuku zazębienia współpacują dwie pay zębów, ównież pzez 1/3 łuku zazębienia. liczba pa zębów 2 1 1 3 1 3 1 3 łuk zazębienia
Uogólniając: jeżeli 1 < ε < 2, wówczas odcinek czasu, pzez któy pacuje tylko jedna paa zębów wynosi (2-ε), a odcinek czasu, w któym pacują dwie pay zębów (ε-1). liczba pa zębów 2 1 ε -1 2-ε ε -1 łuk zazębienia
Natomiast: jeżeli 2 < ε < 3, wówczas odcinek czasu, pzez któy pacuje tylko jedna paa zębów wynosi (3-ε), a odcinek czasu, w któym pacują dwie pay zębów (ε-2). liczba pa zębów 3 2 1 ε -2 3-ε ε -2 łuk zazębienia
Im większa jest liczba pzypou ε tym kozystniejsza (ówniejsza) jest paca pzekładni.
POŚLIZG ZĘBÓWZ Zjawisko opisane óżnymi pędkościami stycznymi nazywa się poślizgiem. KT 1 1 b1 O 1 z1 Jeżeli C 1 =C 2 to W 1 W 2 Tylko w punkcie C W 1 =W 2 =0 H V 2 V 1 W 1 W 2 B C N 1 KT 2 E F D C C 1 2 N 2 z2 b2 2
Współpacujące odcinki zaysów są óżne E 1 A 1 wielkość dogi poślizgu wyniesie E 1 A 1 E 1 B 1. E 1 B 1, to O 1 KT1 A 2 E 1 A 1 B 2 B 1 KT2 E 2
Głowa zęba koła 1 ślizga się po stopie zęba koła współpacującego 2 pzy czym odcinek czynnej wysokości stopy E 1 A 1 jest mniejszy od czynnej wysokości głowy E 1 B 1 zęba współpacującego, a zatem stopa zęba z zużywa się silniej niż jego głowag owa. O 1 KT1 A 2 E 1 A 1 B 2 B 1 KT2 E 2
Siły y występuj pujące w zazębieniu siła międzyzębna linia pzypou KP 1 C B KP 2 Siła wynikająca z oddziaływania jednego zęba na dugi zawsze działa wzdłuż wspólnej nomalnej do zaysów w punkcie ich styku.
O 1 linia pzypou P OB P OA P RA P NA A C P RB B PNB W pzypadku kzywoliniowej linii pzypou, siła międzyzębna P N zmienia kieunek oddziaływania, zaś jej składowe: obwodowa P O oaz pomieniowa P R zmieniają swoje watości.
O 1 linia pzypou P OB P RB PNB B C W pzypadku postej linii pzypou, zaówno siła międzyzębna P N jak i jej składowe: obwodowa P O oaz pomieniowa P R maja te same watości i kieunki.