Wspomagane komputerowo projektowanie przekładni zębatej o krzywej tocznej zawierającej krzywe przejściowe
|
|
- Aniela Owczarek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 DOMAŃSKI Janusz 1 BAJKOWSKI Marcin 2 Wspomagane komputerowo projektowanie przekładni zębatej o krzywej tocznej zawierającej krzywe przejściowe WSTĘP Przekładnie zębate podczas pracy podlegają różnego rodzaju obciążeniom. Charakter i zakres tych obciążeń zależy przede wszystkim od przeznaczenia przekładni zębatych stosowanych w różnych rodzajach urządzeń. Źródłem obciążeń elementów przekładni zębatej są nie tylko wymuszenia zewnętrzne, tj. wartości sił i momentów działających na przekładnię, częstokroć zmienne w czasie, ale także inne, różnorodne czynniki. Mogą to być czynniki związane z: 1) technologią wytwarzania oraz dokładnością wykonania (np. błędy podziałki uzębienia), 2) bezpośrednio wynikające z samej konstrukcji przekładni lub mechanizmu, którego podzespołem jest przekładnia zębata, 3) warunkami eksploatacyjnymi (np. stosowanie odpowiedniego smarowania) i 4) innymi. Wpływ konstrukcji przekładni i jej kół na siły działające na zęby kół zębatych uwidacznia się szczególne w przekładniach zębatych specjalnych, nietypowych w stosunku do przekładni powszechnie stosowanych. 1. MODEL PRZEKŁADNI W artykule przedstawiono przekładnię zębatą służącą do napędzania członów pewnego mechanizmu poruszających się prostoliniowym ruchem postępowo-zwrotnym w dwóch prostopadłych do siebie kierunkach, przy czym w jednym kierunku jest to ruch okresowy. W przekładni (rysunek 1) zastosowano walcowe koło zębate o zębach prostych zębnik oraz listwę zębatą o uzębieniu wewnętrznym specjalnego kształtu. Moment obrotowy działający na zębnik powoduje obieganie zębnika po uzębieniu listwy zębatej. Zębnik jest prowadzony w prowadnicach (nie pokazanych na rysunku 1), w ten sposób, że oś zębnika wyznacza trajektorię odsuniętą od krzywej tocznej listwy zębatej o wartość d w /2, gdzie d w średnica toczna zębnika. ( Krzywą toczną listwy zębatej nazywana jest tu krzywa, po której odtacza się zębnik.) Kształt uzębienia listwy zębatej zapewnić ma żądaną zmianę kierunku ruchu osi zębnika. W tak zaprojektowanym mechanizmie zębatkowym muszą powstawać obciążenia związane ze zmianą kierunku ruchu postępowego osi zębnika, nawet jeśli w ustalonych warunkach pracy urządzenia zębnik porusza się ze stałą prędkością kątową (i liniową). 1 Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Mechaniki i Poligrafii. Tel , jdomanski@wip.pw.edu.pl 2 Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Mechaniki i Poligrafii. Tel granada@pompy.pl 3004
2 Rys. 1. Schemat przekładni składającej się z zębnika i tzw. listwy zębatej. W najprostszym rozwiązaniu konstrukcyjnym uzębienie listwy zębatej z rysunku 1 mogłoby składać się jedynie z dwóch zębatek prostych oraz dwóch połówek walcowego koła zębatego o uzębieniu wewnętrznym. Jednakże takie rozwiązanie powoduje powstawanie znacznych sił dynamicznych na skutek występowania nagłego przyrostu przyśpieszenia dośrodkowego (a co za tym idzie i sił bezwładności) w chwili przejścia osi zębnika z prostoliniowego odcinka trajektorii ruchu na fragment trajektorii w postaci półokręgu. Celem zmniejszenia wartości obciążeń wynikających ze zmiany kierunku ruchu postępowego zębnika pomiędzy prostoliniowe odcinki krzywej tocznej a łuki okręgu wprowadzono tzw. krzywą przejściową, tu klotoidę (rysunek 2). Linia toczna uzębienia listwy zębatej składa się zatem (rysunek 1) z: odcinków prostych JA i EF, początkowych fragmentów klotoidy AB, ED, FG i JI oraz łuków okręgu BD i GI. Wszystkie wymienione fragmenty linii tocznej (krzywe podstawowe: odcinki proste, fragmenty klotoidy oraz łuki okręgów) są do siebie styczne w punktach styku. W rozwiązaniu alternatywnym linia toczna uzębienia listwy zębatej może być wykonana bez łuków okręgów, a zatem zawierać jedynie odcinki proste i fragmenty klotoidy (w liczbie 4). Wówczas, zgodnie z rysunkiem 1, fragmenty klotoid zawierają się pomiędzy punktami A C, E C, F H i J H. 2. UZASADNIENIE STOSOWANIA KLOTOIDY W DEFINICJI KRZYWEJ TOCZNEJ LISTWY ZĘBATEJ Zastosowanie klotoidy do definiowania fragmentów krzywej tocznej listwy zębatej wynika z kształtu klotoidy [2]. Jej krzywizna wzrasta wprost proporcjonalnie do długości łuku mierzonej od jej punktu początkowego. Jeśli punkt materialny porusza się ze stałą prędkością liniową po klotoidzie, to siła odśrodkowa na niego działająca wzrasta liniowo od zera do wartości wynikającej z położenia punktu na klotoidzie mierzonej długością fragmentu klotoidy od jej początku do miejsca położenia punktu na tej krzywej. 3005
3 Rys. 2. Klotoida w prostokątnym układzie współrzędnych [2]. Zgodnie z [2] naturalne równanie klotoidy (spirala Cornu) ma postać gdzie: l bieżąca długość łuku klotoidy, mierzona od punktu stałego do rozpatrywanego punktu P na klotoidzie (rysunek 2), k krzywizna, r promień krzywizny, a stały ustalony parametr klotoidy (współczynnik jednokładności). Zależności pomiędzy wielkościami, takimi jak : r promień krzywizny, l długość łuku oraz u kąt zwrotu stycznej do klotoidy w tym punkcie są następujące [2]: W rozwinięciu do czterech wyrazów szeregów rozwinięcia funkcji sin u i cos u współrzędne punktów klotoidy określają wzory: w zależności od kąta zwrotu stycznej do klotoidy: w zależności od położenia punktu na klotoidzie (mierzonej długością fragmentu klotoidy od jej początku do miejsca położenia punktu na tej krzywej): 3. PROJEKTOWANIE UZĘBIENIA LISTWY ZĘBATEJ Geometria listwy zębatej z rysunku 1 określona została poprzez dobór takich parametrów jak: wartość przesunięcia względnego zębnika w stosunku do listwy w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach L i W (rysunek 1), liczba zębów zębnika z, moduł m, parametr a klotoidy, przyjęty stosunek długości łuku klotoidy do długości łuku okręgu, liczba zębów listwy zębatej oraz sposób rozmieszczenia zębów na poszczególnych fragmentach linii tocznej listwy zębatej. Parametry te są 3006
4 wzajemnie ze sobą powiązane, a ich dobór wynikać może z różnych przesłanek. Sposób doboru niektórych z tych parametrów podano w pacy [1] dla przypadku, gdy okrąg toczny zębnika pokrywa się z okręgiem podziałowym. Przedstawiono tam również metodę wyznaczania zarysów zębów przekładni zębatej o krzywej tocznej zawierającej łuki klotoidy. Podstawą tej metody jest symulacja odtaczania zębatki odniesienia po łuku tocznym klotoidy. Geometria uzębienia listwy zębatej na odcinkach prostych i łukach okręgów krzywej tocznej może być zdefiniowana wg ogólnych metod kształtowania ewolwentowych zarysów zębów kół zębatych podanych w literaturze [3, 4, 5], ich wyznaczanie nie jest w niniejszej oraz w pracy [1] omawiane. W niniejszym artykule przedstawiono nową metodę wyznaczania zarysów zębów uzębienia o krzywej tocznej zawierającej klotoidę, metodę uwzględniającą również przesunięcie zarysów zębów. 4. PRZYJĘTA ZASADA WYZNACZANIA KSZTAŁTU ZĘBÓW LISTWY ZĘBATEJ ROZMIESZCZONYCH NA KLOTOIDZIE W literaturze dotyczącej projektowania kół zębatych udowodniono, że można wyznaczyć zarys koła zębatego na podstawie znanego zarysu zębów koła z nim współpracującego, jedną z takich metod jest m.in. metoda Reuleaux [5]. Podobnie, niniejszy sposób wyznaczenia zarysów zębów na fragmencie listwy zębatej o krzywej tocznej będącej początkowym fragmentem klotoidy (odcinek z rysunku 1) bazuje na wyznaczaniu kształtu zębów listwy zębatej na podstawie zarysów zębów zębnika będących w przyporze z zębami listwy. Zapis współrzędnych zarysu boków zęba uzębienia klotoidy dostosowany jest przy tym do tworzenia krzywych opisanych równaniami parametrycznymi za pomocą systemów CAD. W przedstawianej metodzie korzystamy z podstawowego prawa zazębienia, które sformułowano następująco [5]: prosta prostopadła do boku zęba w punkcie styku zębów kół współpracujących musi przechodzić przez punkt styku kół toczących się po sobie bez poślizgu (tzw. kół tocznych). Metoda składa się z dwóch głównych etapów: 1) zdefiniowania współrzędnych punktów zarysu zęba zębnika w funkcji kąta odtaczania się zębnika po jego okręgu tocznym, w układzie współrzędnych związanym z zębnikiem oraz 2) wyznaczenia zarysów zębów uzębienia listwy na podstawie trajektorii ruchu punktu przyporu współpracujących par zębów listwy i zębnika podczas odtaczania zębnika po krzywej tocznej listwy, współrzędne zarysu boków zębów zapisywane są w układzie współrzędnych związanym z listwą. Podstawy metody można odnieść do przekładni walcowej o uzębieniu wewnętrznym (rysunek 3). Na rysunku 3 punkt przyporu (zetknięcia się) kół przekładni walcowej o uzębieniu wewnętrznym oznaczono literą A, zaś biegun zazębienia, tzn. punkt styku okręgów tocznych, literą C. Podczas wzajemnego odtaczania się kół punkt A zawsze leży na linii przyporu, która nachylona jest do linii O 1 C oraz pokrywającej się z nią linii O 2 C pod stałym kątem (π/2 α w ), gdzie α w toczny kąt przyporu. 3007
5 Rys. 3. Przekładnia zębata o zazębieniu wewnętrznym podstawowe wymiary geometrii. 5. ZAPIS KSZTAŁTU ZARYSU BOKU ZĘBNIKA W FUNKCJI KĄTA JEGO ODTACZANIA PO OKRĘGU TOCZNYM Wyznaczymy współrzędne punktu A na ewolwencie tworzącej zarys boku zęba zębnika w układzie współrzędnych zorientowanym jak na rysunku 4. Uwzględnimy zakres ewolwenty od średnicy zasadniczej d b1 do średnicy wierzchołków d a1. Czynny zakres boku zęba najczęściej jest mniejszy, przyjęte założenie nie ma jednak wpływu na ostateczny wynik, a pozwala na uproszczenie obliczeń. W trakcie toczenia się zębnika po okręgu tocznym współpracującego koła zębatego, dla każdej pary zębów współpracujących kół, zębnik odtacza się po łukach o długości leżących na okręgu tocznym zębnika (rysunek 4a,b,c,d). Rysunek 4a przedstawia przypadek, w którym punkt A ewolwenty boku zęba pokrywa się z biegunem zazębienia C. Przypadek ten będzie odniesieniem do określenia położenia zarysu boków zębów uzębienia klotoidy, z którym zębnik się zazębia. Punkt D na rysunkach 4a,b,c,d oznacza punkt styczności linii przyporu z kołem zasadniczym zębnika. Kąt (rysunek 4b) oznaczający kąt rozwinięcia ewolwenty od średnicy zasadniczej d b1 do średnicy tocznej d w1 określony jest tzw. funkcją ewolwentową: gdzie: toczny kąt przyporu w radianach, średnica okręgu zasadniczego zębnika, średnica toczna zębnika. 3008
6 Rys. 4. Zależności geometryczne uwzględnione w zastosowanej metodzie wyznaczania zarysów boków zębów zębnika. Rysunek 4b odpowiada początkowi rozwijania ewolwenty odwijanej z koła zasadniczego o średnicy d b1. Punkt A pokrywa się w tym przypadku z punktem D (A 1 =D 1 ). W tym położeniu określany jest skrajny punkt G łuku tocznego oraz odpowiadający mu kąt : Rysunek 4c przedstawia przypadek, gdy punt ewolwenty A znajduje się pomiędzy średnicą zasadniczą zębnika d b a średnicą toczną d w. Punkt A 2 ewolwenty znajduje się wówczas pomiędzy punktami C 2 i D 2. Rysunek 4d przedstawia położenie punktu A ewolwenty na średnicy wierzchołków d a. W tym przypadku punkt C 3 (biegun zazębienia) znajduje się pomiędzy punktami A i D (dokładnie na rysunku 4d są to punkty A 3 i D 3 ). Położenie skrajnego punktu H łuku tocznego położonego na okręgu tocznym zębnika można określić kątem : gdzie: kąt odwijania ewolwenty z koła zasadniczego konieczny do wykreślenia ewolwenty w zakresie od koła zasadniczego d b do średnicy wierzchołków d a zębnika, przy czym: 3009
7 Zauważmy, że w każdym z przedstawionych na rysunkach 4a,b,c,d przypadkach odcinek (także w wariantach,, ) ma zawsze taką samą długość wynoszącą: gdzie:. Długość odcinka określona jest funkcją: Kąt w [rad] zawiera się w przedziale [0, ]. Na podstawie powyższych uwag możemy wyciągnąć wniosek, że zarys danego boku zęba można wyznaczyć na podstawie położenia bieguna zazębienia na łuku w funkcji kąta odwijania ewolwenty z koła zasadniczego lub odpowiadającej jej funkcji drogi przemieszczania się punktu po łuku. Łuk musi być wcześniej wyznaczony wraz z położeniem punktów C, G i H. Na podstawie rysunku 4 mamy ( ): Wprowadźmy zgodnie z rysunkiem 5 oznaczenie kąta nachylenia linii przyporu z rysunków 4a,b,c,d (tj. odcinka ) do osi x układu współrzędnych. Na rysunku 5 odcinek oznaczony jest jako, gdzie indeks k oznacza chwilowy biegun zazębienia oraz chwilowy punkt zarysu zęba. Zatem kąt : Dla przypadku z rysunku 4b: oraz zakres kąta (wartość jest ): : Rys. 5. Kąt nachylenia odcinka do osi x układu współrzędnych. Na podstawie powyższych rozważań zapisano ewolwentowy kształt zarys boku zęba zębnika w postaci zestawu równań parametrycznych, podanych w tabeli
8 Tab. 1. Przykładowy zapis zarysu ewolwenty boku zęba zębnika w postaci zestawu równań parametrycznych. Lp. Wzór Komentarz 1. zmienna pomocnicza, przybiera wartość., wg rysunku Zmienna określająca kąt nachylenia odcinka z rysunku 4 (oraz,, i każdego innego) do osi x układu współrzędnych. 3. kąt nachylenia odcinka do osi x układu współrzędnych. 4.. zmienia się od wartości < 0, poprzez 0, do wartości >0. 5. Współrzędne punktów ewolwenty boku zęba. 6. WYZNACZENIE KSZTAŁTU ZARYSU BOKU ZĘBÓW UMIESZCZONYCH NA KLOTOIDZIE Uzyskany uprzednio opis zarysu boku zęba zębnika został użyty do wyznaczenia zarysu zębów klotoidy. Poniżej przedstawiono jedynie sposób wyznaczania zarysów zębów klotoidy odnoszących się do lewych boków zębów klotoidy (rysunek 6 i 7). Prawe boki zębów klotoidy mogą być wyznaczone w bardzo podobny sposób, po niewielkiej zmianie wybranych parametrów algorytmu stosowanego dla boków lewych. Rys. 6. Fragment listwy zębatej o uzębieniu wewnętrznym składającej się z krzywej tocznej zawierającej odcinek prosty, fragment (łuk) klotoidy oraz łuk okręgu. Załóżmy, że zdefiniowany jest początkowy fragment klotoidy będącej częścią krzywej tocznej listwy zębatej (rysunek 6), tzn. określono parametr a klotoidy oraz u k kąt zwrotu stycznej do klotoidy w końcowym punkcie rozważanego fragmentu klotoidy. Dobrano lub wyznaczono także parametry uzębienia takie jak: m moduł, z liczba zębów zębnika, w toczny kąt przyporu, x współczynnik przesunięcia zarysu zębów zębnika oraz d w średnicę toczną zębnika. Powyższe parametry uzębienia zostały określone z uwzględnieniem poprawności geometrii zazębienia walcowej przekładni zębatej o zazębieniu wewnętrznym odpowiadającej zazębieniu zębnika z zębami listwy zębatej rozmieszczonymi na łuku okręgu tocznego koła zębatego o uzębieniu wewnętrznym o średnicy. 3011
9 Rys. 7. Oznaczenie boków zębów za pomocą punktów A i B z odpowiednimi indeksami. Położenie zarysów boków zębów klotoidy zdefiniowano punktami przecięcia zarysów lewych i prawych boków zębów z klotoidą na rysunku 7 są to punkty A 1, A 2, oraz B 1, B 2,. W punktach tych następuje zazębienie boków zębów zębnika (po odpowiednich stronach zębów zębnika) odpowiadające przypadkowi z rysunku 4a, tzn. punkt C z rysunku 4a pokrywa się z danym punktem A 1, A 2,, itd. Przypadek ten dla wybranej pary zębów przedstawiono na rysunku 8a,b. Położenie punktów A 1, A 2, B 1, B 2, na klotoidzie jest funkcją podziałki tocznej, grubości zęba oraz przyjętego sposobu rozmieszczenia zębów na listwie zębatej. Grubość zęba uzębienia klotoidy wyznaczono na podstawie grubości zęba zębnika dla teoretycznej przekładni bezluzowej. Grubość zęba zębnika po łuku okręgu tocznego zębnika dana jest wzorem [3, 4, 5]: gdzie: średnica okręgu tocznego zębnika, średnica okręgu podziałowego zębnika, funkcja ewolwentowa kąta,,, funkcja ewolwentowa kąta,, oraz: gdzie: moduł, współczynnik przesunięcia zarysu zębnika, kąt zarysu odniesienia. Jeśli określimy grubość zęba uzębienia klotoidy jako: gdzie: moduł toczny: to położenia punktów A 1, A 2, oraz B 1, B 2, z rysunku 7 mogą być zdefiniowane wzorami: dla boków lewych: dla boków prawych: Zębnik odtacza się po klotoidzie bez poślizgu swym okręgiem tocznym, przy czym w stosowanej tu metodzie wyznaczania zarysów lewych boków uzębienia klotoidy kierunek odtaczania zębnika skierowany jest do początku klotoidy. Zębnik odtacza się po klotoidzie bez poślizgu, a odpowiednie łuki toczne fragment okręgu tocznego zębnika oraz fragmentu klotoidy są sobie równe, na rysunku 8: i. Dla lewego boku każdego zęba n listwy zębatej leżącego na klotoidzie początek łuku odtaczania (punkt G na rysunku 8) leży w odległości równej: 3012
10 Podczas wykreślania zarysu zębów klotoidy może być wymagane zwiększenie długości łuku odtaczania zębnika (na rysunku 4 oznaczonego jako ) w stosunku do uprzednio obliczonej wartości, po to, by możliwe było wykreślenie ewolwenty do zakresu średnicy d f uzębienia klotoidy. Nie zmienia to w żaden sposób uzasadnienia stosowania przedstawianej metody wyznaczania kształtu zębów. Rys. 8. Schemat odtaczania zębnika po klotoidzie. Zębnik odtacza się po łuku klotoidy o długości od określonego punktu G n klotoidy w kierunku jej początku (rysunek 8). Na łuku tym znajdują się kolejne bieguny zazębienia zębnika i uzębienia listwy, na rysunku 8c,d oznaczone jako C k. Dla każdego bieguna zazębienia C k można wyznaczyć kąt u zwrotu stycznej do klotoidy w tym biegunie oraz kąt nachylenia odcinka (skierowanego od punktu C k do punktu A), równy różnicy kątów (rysunek 8d). Współrzędne punktu A określają położenie kolejnego punktu zarysu zęba listwy zębatej. Odległość punktu A od bieżącego bieguna zazębienia C k wyznaczana jest na podstawie kąta odtaczania zębnika, mierzonego długością łuku (patrz rysunek 8d): Kąt odcinka jest jednocześnie kątem odwijania ewolwenty z okręgu zasadniczego, stąd długość możemy zatem wyrazić jako: i ostatecznie: 3013
11 Przykładowy matematyczny zapis wyznaczanego kształtu zarysu boków zębów uzębienia listwy opartego na klotoidzie przedstawiono w tabeli 2. Współrzędne zarysów boków zębów zapisywane są w układzie współrzędnych o początku pokrywającym się z początkiem klotoidy i zorientowanego jak na rysunkach 6 i 7. Poza kształtem klotoidy muszą być wcześniej określone: długość łuku, położenia początkowych punktów łuków odtaczania na klotoidzie (dla każdego boku zębów), promienie okręgu zasadniczego zębnika i okręgu tocznego zębnika, długość odcinka z rysunku 4 i rysunku 8, toczny kąt przyporu. Wartość średnicy (i promienia ) określana jest na podstawie modelu walcowej przekładni zębatej o uzębieniu wewnętrznym, odpowiadającej zazębieniu zębnika z fragmentem uzębienia na łuku z rysunku 1, o średnicy okręgu tocznego. Tab. 2. Przykładowy parametryczny zapis kształtu zarysu boku zęba uzębienia, którego krzywą toczną jest klotoidą (patrz również rysunek 8). Zapis ten jest przeznaczony do systemów CAD. Lp. Wzór Komentarz 1. zmienna pomocnicza, przybiera wartość, określa położenie bieżącego bieguna zazębienia C k na łuku klotoidy.. 2. zmienna pomocnicza, określa położenie bieżącego bieguna zazębienia C k na klotoidzie dana długością klotoidy do punktu G n. 3. u kąt zwrotu stycznej do klotoidy w punkcie C k obliczony wg wzoru (2a) 4. x k, y k współrzędne punktu C k 5. Długość odcinka. Wyraża długość odcinka odwijanego z koła zasadniczego zębnika w funkcji kąta odtaczania. 6.. zmienia się od wartości < 0, poprzez 0, do wartości >0. 7. kąt nachylenia odcinka (rysunek 8d) do osi x układu współrzędnych 8. Współrzędne punktu A ewolwenty boku zęba Przedstawiona metoda wyznaczania zarysów zębów uzębienia opartego na klotoidzie nie pozwala na pełne zdefiniowanie ich kształtu w przypadku zębów położonych na początku i końcu rozważanego fragmentu klotoidy, ponieważ w przypadku skrajnie położonych zębów klotoidy, zębnik odtaczając się po klotoidzie wykracza poza jej zakres. Gdy zębnik wtoczy się na prostoliniowy fragment krzywej tocznej listwy zębatej (odcinek rysunek 1), wówczas odpowiadająca mu część wyznaczanego zarysu zęba jest odcinkiem prostym równoległym do boków zębatki. Po przeciwnej stronie klotoidy, gdy zębnik wtoczy się na łuk okręgu o średnicy (rysunek 6), wówczas odpowiadająca mu część wyznaczanego zarysu zęba ma kształt zarysu boków koła walcowego o uzębieniu wewnętrznym i średnicy tocznej (na rysunku 1 jest to fragment uzębienia listwy zębatej na łuku ). WNIOSKI Opracowana metoda tworzenia zarysów zębów na krzywej tocznej klotoidzie została zastosowana do wykonania kilku wariantów geometrycznego komputerowego modelu przekładni pokazanej na rysunku 1. Wykonane zostały modele przekładni: bez przesunięcia zarysu, z 3014
12 przesunięciem zarysu P 0, z przesunięciem zarysu P X. We wszystkich przypadkach uwzględniono obwodowy luz międzyzębny. Po zdefiniowaniu ogólnych parametrów przekładni zębnik listwa zębata wyznaczono kształt uzębienia na fragmentach listwy, której krzywą toczną są klotoidy (np. fragment krzywej tocznej klotoidy z rysunku 1) oraz odcinki proste (np. odcinek na rysunku 1). W pierwszym etapie obliczono parametry przekładni walcowej wewnętrznej o zębach prostych, tj. przekładni odpowiadającej zazębieniu zębnika z łukiem (rysunek 1) uzębienia listwy zębatej. Do prawidłowego działania przekładni o uzębieniu wewnętrznym musi być spełnionych szereg wymogów [4], m.in. koniecznym jest sprawdzenie tzw. zakłóceń ruchu. Wymienić tu można [3]: zakłócenia ruchu przy współpracy kół w eksploatacji (zakłócenia przyporu), zakłócenia ruchu przy zabudowie kół, a także zakłócenia ruchu przy wytwarzaniu. Zakłócenia przyporu występować mogą wewnątrz strefy przyporu (między podstawą zęba zębnika a wierzchołkiem zęba koła, a także między wierzchołkiem zęba zębnika a podstawą zęba koła) oraz na zewnątrz strefy przyporu (uderzanie wierzchołków zęba przy odtaczaniu). Wszystkie niezbędne warunki poprawności współpracy kół przekładni walcowej o uzębieniu wewnętrznym, podane w [3], zostały spełnione. Na podstawie średnic d w2, d f2 i d a2 przekładni wewnętrznej (rysunek 6) wyznaczono krzywe określające stopy i wierzchołki uzębienia listwy zębatej na pozostałych fragmentach listwy zębatej. Tworząc krzywe stóp i wierzchołków zębów wykonano operację odsunięcia krzywej tocznej listwy zębatej o wartość odpowiednio i (patrz rysunek 6). Następnie dokonano wyznaczenia zarysów boków zębów uzębienia opartego na klotoidzie zgodnie z przedsatwioną tu metodą. Geometrię fragmentu uzębienia listy zębatej w postaci zębatki, tj. odcinka uzębienia z rysunku 1 zdefiniowano z uwzględnieniem takich parametrów jak (rysunek 6): toczny kąt przyporu, podziałka toczna równa oraz grubość zęba zębnika na okręgu tocznym zębnika obliczoną ze wzoru (19), po uwzględnieniu obwodowego luzu międzyzębnego. Sprawdzono również jeden z podstawowych warunków zazębienia jakim jest wskaźnik przyporu, obliczając go dla dwóch wartości, tj. przekładni zębatej wewnętrznej (zazębienie zębnik uzębienie fragmentu listwy zębatej na łuku (rysunek 1)) oraz przekładni zębnik zębatka (zazębienie zębnik uzębienie fragmentu listwy zębatej na odcinku prostym (rysunek 1)). Ostatecznie, celem sprawdzenia geometrii zębów listwy zębatej oraz poprawności bezkolizyjnej współpracy zębów zębnika i zębów listwy zębatej dokonano komputerowych symulacji toczenia się zębnika po listwie. Nie wykryto żadnych wzajemnych interferencji zębów zębnika i listwy zębatej. Otrzymane modele przekładni zostaną użyte do obliczeń wytrzymałościowych MES oraz do opracowania procesów technologicznych wytworzenia (nietypowego) uzębienia listwy zębatej. Streszczenie W artykule przedstawiono metodę wyznaczania zarysów zębów przekładni zębatej specjalnego przeznaczenia. W przekładni tej zębnik (walcowe koło zębate o zębach prostych) odtacza się bez poślizgu po wewnętrznie uzębionej listwie zębatej. Kształt uzębienia listwy oraz prowadnic osi zębnika zapewnia żądane przemieszczenia osi zębnika względem listwy. Krzywa toczna listwy zębatej stanowi zamkniętą pętlę zawierającą odcinki proste, łuki okręgów oraz początkowe fragmenty klotoidy. Celem zastosowania fragmentów klotoidy w definicji krzywej tocznej listwy zębatej jest zmniejszenie obciążeń dynamicznych związanych ze zmianą kierunku ruchu osi zębnika. W artykule przedstawiono metodę wyznaczania zarysów zębów na fragmencie uzębienia, którego krzywą toczną jest klotoida. Podano opisy matematyczne krzywych definiujących zarysy boków tych zębów. Poprawność metody zweryfikowano poprzez wykonanie modelu komputerowego przekładni oraz komputerową, kinematyczną symulację jej działania. Słowa kluczowe: mechanika, układy napędowe, przekładnie zębate Computer aided design of a gearbox with pitch curve containing transition curves Abstract In the paper, a method of defining a teeth profile of gearbox designed for a special purpose is presented. In the gearbox, a pinion (cylindrical gear with straight teeth, a spur) rolls without slipping on a internally toothed curved rack. The shape of the teeth of the rack and the shape of the pinion s slide provide the desired displacement of the pinion axle in relation to the rack. The pitch curve of the rack is a closed loop including 3015
13 straight segments, arcs of circles and initial fragments of the clothoid. The aim of using the clothoid as the fragments of the pitch curve of the rack is to reduce the dynamic loads associated with the change of direction of motion of the pinion axis. The article describes the method of determining the teeth profiles based on the clothoid pitch curve. A mathematical description of curves defining the profiles of these teeth is given. The validity of the method was verified with a computer model of the transmission and then virtual kinematic simulation of its operation. Keywords: mechanics, drive systems, gearbox BIBLIOGRAFIA 1. Domański J., Bajkowski M.: Metoda wyznaczania zarysów zębów przekładni zębatej o krzywej tocznej zawierającej łuki klotoidy. Logistyka, 6/ Grabowski R.J.: Kształtowanie geometryczne krzywych przejściowych w drogach kołowych, kolejowych i trasach wodnych, Wydawnictwa Politechniki Białostockiej, Białystok Jaśkiewicz Z., Wąsiewski A.: Przekładnie walcowe. Projektowanie, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, Müller L.: Przekładnie zębate: projektowanie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, Ochęduszko K.: Koła zębate tom 1. Konstrukcja, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa,
Metoda wyznaczania zarysów zębów przekładni zębatej o krzywej tocznej zawierającej łuki klotoidy
DOMAŃSKI Janusz 1 BAJKOWSKI Marcin 2 Metoda wyznaczania zarysów zębów przekładni zębatej o krzywej tocznej zawierającej łuki klotoidy WSTĘP Współczesne środki transportu wykorzystują wiele różnorodnych
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA GDAŃSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY KATEDRA KONSTRUKCJI I EKSPLOATACJI MASZYN
POLITECHNIKA GDAŃSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY KATEDRA KONSTRUKCJI I EKSPLOATACJI MASZYN KOREKCJA ZAZĘBIENIA ĆWICZENIE LABORATORYJNE NR 5 Z PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN OPRACOWAŁ: dr inż. Jan KŁOPOCKI Gdańsk 2000
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE MES DO WYZNACZANIA WPŁYWU PĘKNIĘCIA W STOPIE ZĘBA KOŁA NA ZMIANĘ SZTYWNOŚCI ZAZĘBIENIA
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2009 Seria: TRANSPORT z. 65 Nr kol. 1807 Tomasz FIGLUS, Piotr FOLĘGA, Piotr CZECH, Grzegorz WOJNAR WYKORZYSTANIE MES DO WYZNACZANIA WPŁYWU PĘKNIĘCIA W STOPIE ZĘBA
Bardziej szczegółowoKoła stożkowe o zębach skośnych i krzywoliniowych oraz odpowiadające im zastępcze koła walcowe wytrzymałościowo równoważne
Spis treści PRZEDMOWA... 9 1. OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA I KLASYFIKACJA PRZEKŁADNI ZĘBATYCH... 11 2. ZASTOSOWANIE I WYMAGANIA STAWIANE PRZEKŁADNIOM ZĘBATYM... 22 3. GEOMETRIA I KINEMATYKA PRZEKŁADNI WALCOWYCH
Bardziej szczegółowoPrzekładnie zębate. Klasyfikacja przekładni zębatych. 1. Ze względu na miejsce zazębienia. 2. Ze względu na ruchomość osi
Przekładnie zębate Klasyfikacja przekładni zębatych 1. Ze względu na miejsce zazębienia O zazębieniu zewnętrznym O zazębieniu wewnętrznym 2. Ze względu na ruchomość osi O osiach stałych Planetarne przynajmniej
Bardziej szczegółowoZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie UNIWERSYT E ZACHODNIOPOMOR T T E CH LOGICZNY W SZCZECINIE NO SKI KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN ZAKŁAD PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE KÓŁK ZĘBATYCH
OBLICZANIE KÓŁK ZĘBATYCH koło podziałowe linia przyporu P R P N P O koło podziałowe Najsilniejsze zginanie zęba następuje wówczas, gdy siła P N jest przyłożona u wierzchołka zęba. Siłę P N można rozłożyć
Bardziej szczegółowoMateriały pomocnicze do ćwiczenia laboratoryjnego z korekcji kół zębatych (uzębienia i zazębienia)
Materiały pomocnicze do ćwiczenia laboratoryjnego z korekcji kół zębatych (uzębienia i zazębienia) 1. WPROWADZENIE Koła zębate znajdują zastosowanie w rozlicznych mechanizmach, począwszy od przemysłu zegarmistrzowskiego
Bardziej szczegółowoPodstawy Konstrukcji Maszyn
0-05-7 Podstawy Konstrukcji Maszyn Część Wykład nr.3. Przesunięcie zarysu przypomnienie znanych zagadnień (wykład nr. ) Zabieg przesunięcia zarysu polega na przybliżeniu lub oddaleniu narzędzia od osi
Bardziej szczegółowoPOMIAR KÓŁ ZĘBATYCH WALCOWYCH cz. 1.
I. Cel ćwiczenia: POMIAR KÓŁ ZĘBATYCH WALCOWYCH cz. 1. 1. Zidentyfikować koło zębate przeznaczone do pomiaru i określić jego podstawowe parametry 2. Dokonać pomiaru grubości zęba suwmiarką modułową lub
Bardziej szczegółowoZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie UNIWERSYT E ZACHODNIOPOMOR T T E CH LOGICZNY W SZCZECINIE NO SKI KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN ZAKŁAD PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN
Bardziej szczegółowoPrzekładnie zębate : zasady działania : obliczenia geometryczne i wytrzymałościowe / Antoni Skoć, Eugeniusz Świtoński. Warszawa, 2017.
Przekładnie zębate : zasady działania : obliczenia geometryczne i wytrzymałościowe / Antoni Skoć, Eugeniusz Świtoński. Warszawa, 2017 Spis treści Przedmowa XV 1. Znaczenie przekładni zębatych w napędach
Bardziej szczegółowo3. Wstępny dobór parametrów przekładni stałej
4,55 n1= 3500 obr/min n= 1750 obr/min N= 4,55 kw 0,70 1,00 16 37 1,41 1,4 8 30,7 1,41 1. Obliczenie momentu Moment na kole n1 obliczam z zależności: 9550 9550 Moment na kole n obliczam z zależności: 9550
Bardziej szczegółowoPRĘDKOŚĆ POŚLIZGU W ZAZĘBIENIU PRZEKŁADNI ŚLIMAKOWEJ
KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU ol. 7 nr Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji 007 LESZEK SKOCZYLAS PRĘDKOŚĆ POŚLIZGU W ZAZĘBIENIU PRZEKŁADNI ŚLIMAKOWEJ W artykule przedstawiono sposób
Bardziej szczegółowoPodstawy Konstrukcji Maszyn
Podstawy Konstrukcji Maszyn Część Wykład nr. 1 1. Podstawowe prawo zazębienia I1 przełożenie kinematyczne 1 i 1 = = ω ω r r w w1 1 . Rozkład prędkości w zazębieniu 3 4 3. Zarys cykloidalny i ewolwentowy
Bardziej szczegółowoZakład Inżynierii Komunikacyjnej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Warszawska PODSTAWY PROJEKTOWANIA LINII I WĘZŁÓW TRAMWAJOWYCH CZĘŚĆ III
Zakład Inżynierii Komunikacyjnej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Warszawska DROGI SZYNOWE PODSTAWY PROJEKTOWANIA LINII I WĘZŁÓW TRAMWAJOWYCH CZĘŚĆ III PROJEKTOWANIE UKŁADU TORÓW TRAMWAJOWYCH W
Bardziej szczegółowoPL B1. ŻBIKOWSKI JERZY, Zielona Góra, PL BUP 03/06. JERZY ŻBIKOWSKI, Zielona Góra, PL WUP 09/11 RZECZPOSPOLITA POLSKA
RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 209441 (13) B1 (21) Numer zgłoszenia: 369279 (51) Int.Cl. F16H 7/06 (2006.01) F16G 13/06 (2006.01) Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (22)
Bardziej szczegółowoKOMPUTEROWO WSPOMAGANE WYZNACZANIE DYNAMICZNYCH SIŁ MIĘDZYZĘBNYCH W PRZEKŁADNIACH WALCOWYCH O ZĘBACH PROSTYCH I SKOŚNYCH
MECHANIK 7/015 Mgr inż. Jerzy MARSZAŁEK Dr hab. inż. Józef DREWNIAK, prof. ATH Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej DOI: 10.17814/mechanik.015.7.66 KOMPUTEROWO WSPOMAGANE WYZNACZANIE DYNAMICZNYCH
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)
Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek
Bardziej szczegółowoKATEDRA TECHNOLOGII MASZYN I AUTOMATYZACJI PRODUKCJI
KATEDRA TECHNOLOGII MASZYN I AUTOMATYZACJI PRODUKCJI TEMAT ĆWICZENIA: ĆWICZENIE NR 3 POMIAR KÓŁ ZĘBATYCH WALCOWYCH ZADANIA DO WYKONANIA: 1. Zidentyfikować koło zębate przeznaczone do pomiaru i określić
Bardziej szczegółowoKoła zębate. T. 3, Sprawdzanie / Kazimierz Ochęduszko. wyd. 5, dodr. Warszawa, Spis treści
Koła zębate. T. 3, Sprawdzanie / Kazimierz Ochęduszko. wyd. 5, dodr. Warszawa, 2012 Spis treści Część pierwsza Geometryczne zaleŝności w przekładniach zębatych I. Wiadomości podstawowe 21 1. Klasyfikacja
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie
Bardziej szczegółowoPodstawy Konstrukcji Maszyn. Wykład nr. 13 Przekładnie zębate
Podstawy Konstrukcji Maszyn Wykład nr. 13 Przekładnie zębate 1. Podział PZ ze względu na kształt bryły na której wykonano zęby A. walcowe B. stożkowe i inne 2. Podział PZ ze względu na kształt linii zębów
Bardziej szczegółowoPL B1 (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) (13) B1. fig.1 F16H 55/17 E21C 31/00 F04C 2/24 RZECZPOSPOLITA POLSKA
RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 181581 (21 ) Numer zgłoszenia: 317495 Urząd Patentowy (22) Data zgłoszenia: 12.12.1996 Rzeczypospolitej Polskiej (13) B1 (51) Int.Cl.7 F16H 55/17
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko PLAN WYKŁADÓW 1. Podstawy kinematyki 2. Ruch postępowy i obrotowy bryły 3. Ruch płaski bryły 4. Ruch złożony i ruch względny 5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły
Bardziej szczegółowoAnaliza dynamiczna uproszczonego modelu walcowej przekładni zębatej z uwzględnieniem prostokątnego przebiegu sztywności zazębienia
MARSZAŁEK Jerzy DREWNIAK Józef Analiza dynamiczna uproszczonego modelu walcowej przekładni zębatej z uwzględnieniem prostokątnego przebiegu sztywności zazębienia WSTĘP Przekładnie zębate należą do mechanizmów
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE ZA POMOCĄ MEB WPŁYWU PĘKNIĘCIA U PODSTAWY ZĘBA NA ZMIANĘ SZTYWNOŚCI ZAZĘBIENIA
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2009 Seria: TRANSPORT z. 65 Nr kol. 1807 Piotr FOLĘGA, Piotr CZECH, Tomasz FIGLUS, Grzegorz WOJNAR WYZNACZANIE ZA POMOCĄ MEB WPŁYWU PĘKNIĘCIA U PODSTAWY ZĘBA NA ZMIANĘ
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoKATEDRA TECHNOLOGII MASZYN I AUTOMATYZACJI PRODUKCJI
KATEDRA TECHNOLOGII MASZYN I AUTOMATYZACJI PRODUKCJI TEMAT ĆWICZENIA: ĆWICZENIE NR 3 POMIAR KÓŁ ZĘBATYCH WALCOWYCH ZADANIA DO WYKONANIA: 1. Zidentyfikować koło zębate przeznaczone do pomiaru i określić
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących
Bardziej szczegółowoPolitechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Skręcanie pręta występuje w przypadku
Bardziej szczegółowoPolitechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej. Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH. Nr 2
Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH Nr 2 POMIAR I KASOWANIE LUZU W STOLE OBROTOWYM NC Poznań 2008 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest
Bardziej szczegółowoTYCZENIE OSI TRASY W 2 R 2 SŁ KŁ W 1 W 3
TYCZENIE TRAS W procesie projektowania i realizacji inwestycji liniowych (autostrad, linii kolejowych, kanałów itp.) materiałem źródłowym jest mapa sytuacyjno-wysokościowa w skalach 1:5 000; 1:10 000 lub
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola
Bardziej szczegółowoOWE PRZEKŁADNIE WALCOWE O ZĘBACH Z BACH ŚRUBOWYCH
CZOŁOWE OWE PRZEKŁADNIE WALCOWE O ZĘBACH Z BACH ŚRUBOWYCH Klasyfikacja przekładni zębatych w zależności od kinematyki zazębień PRZEKŁADNIE ZĘBATE CZOŁOWE ŚRUBOWE WALCOWE (równoległe) STOŻKOWE (kątowe)
Bardziej szczegółowoPrzykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami, łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami i krzywej esowej ł
1. Dane Droga klasy technicznej G 1/2, Vp = 60 km/h poza terenem zabudowanym Prędkość miarodajna: Vm = 90 km/h (Vm = 100 km/h dla krętości trasy = 53,40 /km i dla drogi o szerokości jezdni 7,0 m bez utwardzonych
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE LUZU OBWODOWEGO W ZAZĘBIENIU KÓŁ PRZEKŁADNI FALOWEJ
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI RZESZOWSKIEJ 298, Mechanika 90 RUTMech, t. XXXV, z. 90 (4/18), październik-grudzień 2018, s. 481-489 Adam KALINA 1 Aleksander MAZURKOW 2 Stanisław WARCHOŁ 3 WYZNACZANIE LUZU
Bardziej szczegółowoMETODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45
METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA WYKŁAD 1 Czas: 45 TWIERDZENIE PONCELETA-STEINERA W roku 1833, Szwajcarski matematyk Jakob Steiner udowodnił, że wszystkie klasyczne konstrukcje (za pomocą cyrkla i linijki)
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych
Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Okrąg Okrąg jest szczególną krzywą stożkową. Wyznacza nam koło, które jest podstawą
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie UNIWERSYT E ZACHODNIOPOMOR T T E CH LOGICZNY W SZCZECINIE NO SKI KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN ZAKŁAD PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa 11
Przykłady obliczeń z podstaw konstrukcji maszyn. [Tom] 2, Łożyska, sprzęgła i hamulce, przekładnie mechaniczne / pod redakcją Eugeniusza Mazanka ; autorzy: Andrzej Dziurski, Ludwik Kania, Andrzej Kasprzycki,
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 8 - Modyfikacje części, tworzenie brył złożonych
Ćwiczenie nr 8 - Modyfikacje części, tworzenie brył złożonych Wprowadzenie Utworzone elementy bryłowe należy traktować jako wstępnie wykonane elementy, które dopiero po dalszej obróbce będą gotowymi częściami
Bardziej szczegółowo2. Pręt skręcany o przekroju kołowym
2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo
Bardziej szczegółowoTrajektoria rzuconego ukośnie granatu w układzie odniesienia skręcającego samolotu
Politechnika Łódzka FTIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 2009/2010 sem. 3. grupa II Termin: 10 XI 2009 Zadanie: Trajektoria rzuconego ukośnie granatu w układzie odniesienia skręcającego samolotu
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowoANALIZA NAPRĘŻEŃ W KOŁACH ZĘBATYCH WYZNACZONYCH METODĄ ELEMENTÓW BRZEGOWYCH
3-2006 PROBLEMY EKSPLOATACJI 157 Piotr FOLĘGA Politechnika Śląska, Gliwice ANALIZA NAPRĘŻEŃ W KOŁACH ZĘBATYCH WYZNACZONYCH METODĄ ELEMENTÓW BRZEGOWYCH Słowa kluczowe Koła zębate, zużycie ścierne zębów,
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14 Wybrane przykłady krzywych płaskich Wybrane przykłady krzywych Cykloida Okrąg o promieniu a toczy sie bez poslizgu po prostej. Ustalony punkt tego okręgu porusza się po krzywej
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoGeometria powłoki, wg publikacji dr inż. Wiesław Baran
Geometria powłoki, wg publikacji dr inż. Wiesław Baran Gładką i regularną powierzchnię środkową S powłoki można opisać za pomocą funkcji wektorowej (rys. 2.1) dwóch współrzędnych krzywoliniowych u 1 i
Bardziej szczegółowoProjektowanie walcowych przekładni zębatych o zmieniającym się przełożeniu. Igor Zarębski Promotor: dr hab. inż. Tadeusz Sałaciński
Projektowanie walcowych przekładni zębatych o zmieniającym się przełożeniu Igor Zarębski Promotor: dr hab. inż. Tadeusz Sałaciński Zarys historyczny Idea przekładni zębatych o zmiennym przełożeniu, opartych
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Bardziej szczegółowoDefinicja obrotu: Definicja elementów obrotu:
5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek
Bardziej szczegółowoAutoCAD Mechanical - Konstruowanie przekładni zębatych i pasowych. Radosław JABŁOŃSKI Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska, Gliwice
AutoCAD Mechanical - Konstruowanie przekładni zębatych i pasowych Radosław JABŁOŃSKI Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska, Gliwice Streszczenie: W artykule opisano funkcje wspomagające
Bardziej szczegółowoZ poprzedniego wykładu:
Z poprzedniego wykładu: Człon: Ciało stałe posiadające możliwość poruszania się względem innych członów Para kinematyczna: klasy I, II, III, IV i V (względem liczby stopni swobody) Niższe i wyższe pary
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoDobór sprzęgieł hydrokinetycznych 179 Bibliografia 183
Podstawy konstrukcji maszyn. T. 3 / autorzy: Tadeusz Kacperski, Andrzej Krukowski, Sylwester Markusik, Włodzimierz Ozimowski ; pod redakcją Marka Dietricha. wyd. 3, 3 dodr. Warszawa, 2015 Spis treści 1.
Bardziej szczegółowoModyfikacja zarysu zębaz
Modyfikacja zarysu zębaz METODY OBRÓBKI BKI KÓŁK ZĘBATYCH W obróbce zębów kół zębatych wyróżnia się dwie metody: metoda kształtowa. metoda obwiedniowa. metoda kształtowa metoda obwiedniowa W metodzie kształtowej
Bardziej szczegółowo(12) OPIS PATENTOWY (19)PL (11) (13) B1
RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19)PL (11)160312 (13) B1 (21) Numer zgłoszenia: 280556 (51) IntCl5: Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (22) Data zgłoszenia: 04.07.1989 F16H 57/12 (54)
Bardziej szczegółowoEVALUATION OF THE QUALITY OF MESHING FOR DESIGNED PAIR OF BEVEL GEARS WITH INDEPENDENT DESIGN SYSTEM
Pisula Jadwiga, dr inż. Płocica Mieczysław, dr inż. Politechnika Rzeszowska, Wydział Budowy Maszyn i Lotnictwa (17) 865 1662 jpisula@prz.edu.pl mplocica@prz.edu.pl OCENA JAKOŚCI WSPÓŁPRACY PROJEKTOWANEJ
Bardziej szczegółowoPodstawy Konstrukcji Urządzeń Precyzyjnych
Studia Inżynierskie Dzienne (I stopnia) Wydział Mechatroniki Politechniki Warszawskiej Podstawy Konstrukcji Urządzeń Precyzyjnych Wykład sem. 4 Przekładnie mechaniczne 2 Sprzęgła Opracował: dr inż. Wiesław
Bardziej szczegółowoPL B1. SZYMICZEK KRZYSZTOF, Czerwionka-Leszczyny, PL ŻYREK LESZEK, Węgierska Górka, PL BUP 13/10
PL 216100 B1 RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 216100 (13) B1 (21) Numer zgłoszenia: 386790 (51) Int.Cl. B61B 13/02 (2006.01) E21F 13/02 (2006.01) Urząd Patentowy Rzeczypospolitej
Bardziej szczegółowoWektory, układ współrzędnych
Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2014 Seria: TRANSPORT z. 82 Nr kol. 1903
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2014 Seria: TRANSPORT z. 82 Nr kol. 1903 Piotr FOLĘGA 1 DOBÓR ZĘBATYCH PRZEKŁADNI FALOWYCH Streszczenie. Różnorodność typów oraz rozmiarów obecnie produkowanych zębatych
Bardziej szczegółowoPrzykład projektowania łuku poziomego nr 1 z symetrycznymi klotoidami, łuku poziomego nr 2 z niesymetrycznymi klotoidami
1. Dane Droga klasy technicznej G 1/2, Vp = 60 km/h poza terenem zabudowanym Prędkość miarodajna: Vm = 90 km/h (Vm = 100 km/h dla krętości trasy = 53,40 /km i dla drogi o szerokości jezdni 7,0 m bez utwardzonych
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE NR OBRÓBKA UZĘBIENIA W WALCOWYM KOLE ZĘBATYM O UZĘBIENIU ZEWNĘTRZNYM, EWOLWENTOWYM, O ZĘBACH PROSTYCH, NA FREZARCE OBWIEDNIOWEJ
ĆWICZENIE NR 6. 6. OBRÓBKA UZĘBIENIA W WALCOWYM KOLE ZĘBATYM O UZĘBIENIU ZEWNĘTRZNYM, EWOLWENTOWYM, O ZĘBACH PROSTYCH, NA FREZARCE OBWIEDNIOWEJ 6.1. Zadanie technologiczne Dla zadanego rysunkiem wykonawczym
Bardziej szczegółowoA. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy
GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoPL B1. POLITECHNIKA RZESZOWSKA IM. IGNACEGO ŁUKASIEWICZA, Rzeszów, PL BUP 11/15
RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 227325 (13) B1 (21) Numer zgłoszenia: 408196 (51) Int.Cl. F16H 55/18 (2006.01) F16H 1/48 (2006.01) Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (22)
Bardziej szczegółowoPAiTM - zima 2014/2015
PAiTM - zima 204/205 Wyznaczanie przyspieszeń mechanizmu płaskiego metodą planu przyspieszeń (metoda wykreślna) Dane: geometria mechanizmu (wymiary elementów, ich położenie i orientacja) oraz stała prędkość
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
Bardziej szczegółowoANALIZA KINEMATYCZNA ZŁOŻONYCH KONSTRUKCYJNIE PRZEKŁADNI OBIEGOWYCH DO ELEKTROMECHANICZNYCH ZESPOŁÓW NAPĘDOWYCH Z ZASTOSOWANIEM WZORÓW WILLISA
Maszyny Elektryczne - Zeszyty Problemowe Nr 1/2019 (121) 37 Szczepan Opach Instytut Napędów i Maszyn Elektrycznych KOMEL, Katowice ANALIZA KINEMATYCZNA ZŁOŻONYCH KONSTRUKCYJNIE PRZEKŁADNI OBIEGOWYCH DO
Bardziej szczegółowoRok akademicki 2005/2006
GEOMETRIA WYKREŚLNA ĆWICZENIA ZESTAW I Rok akademicki 2005/2006 Zadanie I. 1. Według podanych współrzędnych punktów wykreślić je w przestrzeni (na jednym rysunku aksonometrycznym) i określić, gdzie w przestrzeni
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowoPRO/ENGINEER. ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN
PRO/ENGINEER ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN 1. Śruba walcowa o stałym skoku W programie Pro/Engineer modelowanie elementów typu sprężyny można realizować poleceniem Insert/Helical Sweep/Protrusin. Dla prawozwojnej
Bardziej szczegółowoSTATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA
Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA oprac. dr inż. Jarosław Filipiak Cel ćwiczenia 1. Zapoznanie się ze sposobem przeprowadzania statycznej
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia geometryczne
PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
Bardziej szczegółowoZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU
Matematyka na czasie Program nauczania matematyki w gimnazjum ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ I z dn. 23 grudnia 2008 r. Autorzy: Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU Wymagania edukacyjne
Bardziej szczegółowoZad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013
Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)
Bardziej szczegółowoODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN
ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć
Bardziej szczegółowoPlanimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych
Bardziej szczegółowoPrzekładnie ślimakowe / Henryk Grzegorz Sabiniak. Warszawa, cop Spis treści
Przekładnie ślimakowe / Henryk Grzegorz Sabiniak. Warszawa, cop. 2016 Spis treści Przedmowa XI 1. Podział przekładni ślimakowych 1 I. MODELOWANIE I OBLICZANIE ROZKŁADU OBCIĄŻENIA W ZAZĘBIENIACH ŚLIMAKOWYCH
Bardziej szczegółowoPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:
Bardziej szczegółowoRysowanie precyzyjne. Polecenie:
7 Rysowanie precyzyjne W ćwiczeniu tym pokazane zostaną różne techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2010, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Z uwagi na
Bardziej szczegółowoW NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ
POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: POWIERZCHNIA SWOBODNA CIECZY W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ Ćwiczenie
Bardziej szczegółowoPlanimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 1 KWIETNIA 017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Suma sześciu kolejnych
Bardziej szczegółowoProjekt Zobaczę-dotknę-wiem i umiem, dofinansowany przez Fundację mbanku w partnerstwie z Fundacją Dobra Sieć
Kartka papieru i własności trójkątów. Ćwiczenie 1 Uczniowie ustalają ile znają rodzajów trójkątów. Podział ze względu na miary kątów Podział ostrokątny prostokątny rozwartokątny ze względu na długości
Bardziej szczegółowoRuch. Kinematyka zajmuje się opisem ruchu różnych ciał bez wnikania w przyczyny, które ruch ciał spowodował.
Kinematyka Ruch Kinematyka zajmuje się opisem ruchu różnych ciał bez wnikania w przyczyny, które ruch ciał spowodował. Ruch rozumiany jest jako zmiana położenia jednych ciał względem innych, które nazywamy
Bardziej szczegółowoZadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt): F x E' E''
GEOMETRIA WYKREŚLNA ĆWICZENIA ZESTAW I Rok akademicki 2012/2013 Zadanie I. 1. Według podanych współrzędnych punktów wykreślić je w przestrzeni (na jednym rysunku aksonometrycznym) i określić, gdzie w przestrzeni
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoWstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych
Wstęp Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. W ogólnym przypadku ruch po okręgu opisujemy równaniami: gdzie: dowolna funkcja czasu. Ruch odbywa się po okręgu o środku
Bardziej szczegółowo