Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 1 5. 5. TEMPERTUR, SIDNI PDPÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU PRCY WIRTULNEJ 5.1. Wpływ temperatury Działanie temperatury ma istotny wpływ na odkształcanie konstrukcji ub jej eementów. Częstym zjawiskiem jest działanie dwóch różnych temperatur na układ. Ma to miejsce wówczas, gdy na przykład wewnątrz hai występuje temperatura dodatnia a na zewnątrz panuje mróz. W takim przypadku mamy do czynienia z tzw. ogrzaniem nierównomiernym. Jeśi eement konstrukcji wykonany był na przykład ze stai, to włókna znajdujące się po stronie ciepejszej wydłużą się, natomiast włókna znajdujące się po stronie zimniejszej skurczą się. W takiej sytuacji dochodzi do odkształcenia tego eementu. Widoczna jest anaogia pomiędzy działaniem nierównomiernego ogrzania i działaniem momentu zginającego. W przypadku występowania takiej samej temperatury na wysokości i długości pręta, mamy do czynienia z tzw. ogrzaniem równomiernym. Może dojść wtedy do wydłużenia ub skrócenia eementu w sposób równomierny we wszystkich kierunkach. Zauważmy podobieństwo między działaniem równomiernego ogrzania a działaniem siły normanej. Przed przystąpieniem do rozważań, poczyńmy pewne założenia. Przyjmiemy, że temperatura będzie zmieniała się na wysokości pręta w sposób iniowy. Nie jest to twierdzenie prawdziwe, ecz znacznie upraszcza zadanie. t g t t - t g h h g t h d = + t d t d - t Rys. 5.1. Schemat działania temperatury rozłożonej równomierne i nierównomiernie t temperatura panująca w środku ciężkości przekroju, t d temperatura panująca po stronie włókien donych, t g temperatura panująca po stronie włókien górnych. Na powyższym schemacie (rys. 5.1) dobrze widać anaogię pomiędzy działaniem temperatury, (równomierne ogrzanie i nierównomierne ogrzanie) a odpowiednim działaniem siły normanej i momentu zginającego. Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... Wyznaczmy temperaturę t przekroju niesymetrycznego: Po przyjęciu oznaczeń: a=t t g, b=h g, c=h d, d =t d t g, korzystając z twierdzenia Taesa można zapisać reację: b a = bc d z której wynika wzór: a= bd bc Po podstawieniu wcześniejszych zaeżności, otrzymamy: t =t g h g t d t g h (5.1) Da przekroju symetrycznego prawdziwa jest następująca reacja: t t g t d t g = 1 (5.) Z warunku (5.) wartość temperatury średniej wynosi: t = t g t d (5.3) Rozpatrzmy teraz działanie ogrzania równomiernego na pręt: Δ Rys. 5.. Wydłużenie pręta pod wpływem temperatury Wartość wydłużenia zaeży od temperatury montażu tm i współczynnika rozszerzaności termicznej t : = t t m t (5.4) Przykładowo, pręty kratownicy montowanej w temperaturze +1 C uegają pewnemu wydłużeniu już na etapie konstruowania. Z rozważań wynika, że pręty te poddane późniejszemu działaniu temperatury t =1 C nie uegnie ani wydłużeniu ani skróceniu. Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 3 Zastępując wyrażenie (t tm) iterą t, otrzymujemy: = t t (5.5) Równomierne rozłożona temperatura będzie powodowała równomierną zmianę długości zarówno włókien donych jak i górnych. Wiemy już, że w równaniu pracy wirtuanej, działanie siły normanej opisuje wzór: N ds (5.6) Wyrażenie εt okreśało wpływ siły normanej działającej na przekrój z uwzgędnieniem modułu Younga. W przypadku działania równomiernie rozłożonej temperatury, czynnik εt okreśimy następująco: = t = = t t =t t (5.7) Zatem da przekroju symetrycznego, wpływ równomiernego ogrzania będzie opisany zaeżnością: N t t d g t m t ds (5.8) Rozpatrzmy teraz działanie nierównomiernie rozłożonej temperatury. Skrócenie włókien zimniejszych, wydłużenie włókien ciepejszych doprowadzi do powstania krzywizny na długości pręta. Zjawisko to opisuje w równaniu pracy wirtuanej człon momentu zginającego, uzaeżnionego od różnicy temperatur. s Δs Δ g t g dφ t d t g <t d Δ d Rys. 5.3. Interpretacja graficzna działania temperatury na pręt Zakładamy małe przemieszczenia i małe kąty, więc: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 4 tg d d (5.9) biczmy wydłużenie d i g: d = t t d t m ds g = t t g t m ds (5.1) (5.11) Skorzystamy teraz z zaeżności trygonometrycznej: d tg d = d g h = t t d t g ds (5.1) h Zauważmy, że w powyższym wzorze opisującym kąt na jakim pracuje moment zginający spowodowany różnicą temperatur, nie występuje temperatura montażu t m. Przyjmijmy, że: t=t d t g (5.13) Zatem praca wirtuana momentu wywołanego różnicą temperatur wykonana na kącie dφ, będzie miała następującą postać: M d = M t t h ds (5.14) 5.. Podpory sprężyste Podpory sprężyste zwane też podporami podatnymi, mogą uegać skróceniu ub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonane do reakcji w nich występujących. P Rys. 5.5. Działanie podpory o podatności iniowej Podpora może mieć podatność iniową ub obrotową (kątową). Podpora o podatności iniowej to na Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 5 przykład sprężyna pionowo podpierająca bekę (rys. 5.5). Podpora o podatności obrotowej to taka, w której pod wpływem siły nastąpi obrót przekroju (rys. 5.6). Przykładem mogą być dwie sprężyny poziome i przytwierdzona do nich beka. χ [Nm/rad] - sztywność χ [Nm/rad] - sztywność P P Rys. 5.6. Działanie podpory o podatności obrotowej Podatność podpory f to wartość przemieszczenia wynikająca z działania jednostkowej siły. Podatność iniową wyrażamy w [m/n], natomiast podatność obrotową w [rad/nm]. Popatrzmy skąd to wynika. Jeśi na naszą podporę zadziała siła N (wzdłuż jej osi, normana), to zgodnie z prawem Hooke`a, pręt o długości pierwotnej uegnie skróceniu o Δ. = N E (5.15) Jeśi przyłożymy siłę N=1 [N], to wyrażenie przekształci się do postaci: = E (5.16) Wynika z tego, że wyrażenie: f = E [ m N m m = m ] N (5.17) jest szukaną podatnością. Posługujemy się też parametrem okreśanym jako sztywność podpory. kreśamy w taki sposób reację między siłą a ugięciem podpory. Jest to po prostu odwrotność podatności. k= 1 f [ N m ] (5.18) Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 6 Sztywność jest okreśana jako wartość przyłożonej siły, która spowodowała jednostkowe przemieszczenie podpory. Pracę jednostkowej siły P na przemieszczeniu podpory okreśimy zaeżnością: L=P (5.19) Zwróćmy uwagę, że w wyrażeniu tym nie pojawia się połowa tej pracy, ae cała jej wartość! Wynika to stąd, iż nie jest to praca własna! 5.3. góne równanie pracy wirtuanej Równanie pracy wirtuanej uwzgęniające wszystkie wpływy działające na układ przyjmie postać: i n P i i i R n R n P R k k = j f m m b m { s M M P EJ t t h ds s N N P E t t ds s T T P G ds } (5.) Δ i P i R k Δk -niewiadome przemieszczenie, - jednostkowa siła wirtuana, - reakcja wywołana siłą jednostkową wirtuaną w podporze k (doznającej przemieszczenia), - znane przemieszczenie podpory (narzucone osiadanie podpór), M P, N P, T P - wewnętrzne siły rzeczywiste, R n - reakcja wirtuana w n-tej podporze podatnej, R n P - reakcja rzeczywista w n-tej podporze podatnej, b m - wartość błędu montażu (iniowa ub kątowa) w punkcie m, m - siła w pręcie po kierunku wiekości obarczonej błędem. Ioczyn m i b m mówi nam jaką pracę wykonała siła w pręcie na odcinku błędu (różnicy kąta rzeczywistego i zadanego ub różnicy długości rzeczywistej i zadanej), np. praca spowodowana zamontowaniem zbyt długiego pręta. 5.4. Twierdzenie Mohra Wereszczegina (całka z ioczynu funkcji) Licząc przemieszczenia w układach, musieiśmy całkować wyrażenie, będące ioczynem członu wirtuanego i rzeczywistego. Musieiśmy znać równania tych wrażeń. W niektórych przypadkach było to uciążiwe, a na pewno we wszystkich-czasochłonne. kazuje się, że całki tych funkcji możemy wymnożyć przez siebie w dużo prostszy sposób. Mianowicie, nie trzeba znać równań tych wyrażeń i co ważniejsze, nie trzeba całkować tych wyrażeń. Przejdźmy do twierdzenia: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 7 Całka oznaczona z ioczynu dwóch funkcji ciągłych w obrębie przedziału, z których jedna jest funkcją iniową, równa jest ioczynowi poa powierzchni wykresu funkcji krzywoiniowej przez rzędną wykresu funkcji iniowej odpowiadającej środkowi ciężkości wykresu krzywoiniowego. Jest to w gruncie rzeczy bardzo proste twierdzenie, gdyż wykresy wirtuane są zawsze prostoiniowe, natomiast wykresy momentu od obciążenia ciągłego, stałego- są stopnia drugiego. czywiście obciążenie trójkątne da nam wykres momentu stopnia trzeciego ae mimo wszystko nie jest to probem. F X Ω a η () η b η b η a =b - a Rys. 5.7. Interpretacja całkowania graficznego wykresów funkcji b F [ b a a a = [ a b a b ] d= a ] = a b a (5.1) =b a (5.) b a a F d b a F d= a b a = (5.3) = Wyrażenie: b F d= (5.4) a jest momentem statycznym obszaru Ω wzgędem początku układu. Jest to dowód na słuszność tego twierdzenia. Pamiętajmy jednak o kiku zasadach, których nie wono pominąć: 1. Mnożymy wykresy tyko w obszarze ciągłości obu funkcji.. Pracę wirtuaną obiczamy tyko w prętach o stałym przekroju i parametrach. Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 8 Trzeba też podkreśić, że powyższe twierdzenie to instrument do obiczania ugięć a nie bezpośrednie iczenie ugięć. łędne jest mówienie, że ugięcie otrzymamy poprzez mnożenie wykresów! Parametry geometryczne figur prostych podano w tabei 5.1: Tabea 5.1. Parametry figur geometrycznych FIGUR PLE PWIERZCHNI ŚRDEK CIĘŻKŚCI h =h = h = h = 3 h = h 3 = 4 krzywa y=a h = h 4 = 5 krzywa y=a 3 Rozwiążmy teraz kika przykładów. Przykład 1 Poszukujemy wartości całki z ioczynu dwóch funkcji, których wykresy przedstawiono na rys. 5.8: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 9 a a M b M p Rys. 5.8. Przykład wykresów sił wewnętrznych pochodzących od sił rzeczywistych i wirtuanych Jest to równoważne z pomnożeniem poa któregoś z powyższych wykresów (oba są prostoiniowe) przez rzędną środka ciężkości drugiego. Pomnóżmy poe trójkąta przez rzędną odczytaną z prostokąta pod środkiem ciężkości trójkąta (będzie to zawsze b). M M P d= a b Zobaczmy teraz da pewności czy taki sam wynik otrzymamy mnożąc poe powierzchni prostokąta przez rzędną w trójkącie pod środkiem ciężkości prostokąta. M M P d= b a Przykład Wyznaczymy całkę z ioczynu funkcji o bardziej skompikowanym przebiegu. Wykresy funkcji w obszarze całkowania muszą być ciągłe (C 1 ). Siły skupione powodują powstanie nieciągłości na wykresie momentów. Wtedy obszar całkowania naeży podzieić na przedziały i D (obydwa wykresy). a E D M k b m d M p D c Rys. 5.9. Wykres sił wewnętrznych wirtuanych i rzeczywistych Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 1 Górny wykres (rys. 5.9) pochodzi od siły wirtuanej, natomiast dony od sił rzeczywistych. Rozłóżmy więc najpierw na figury proste wykres pochodzący od siły wirtuanej (rys. 5.1). a E D M k b m a E D b Rys. 5.1. Uproszczenie wykresu pochodzącego od siły wirtuanej Można udowodnić, że dwa powyższe wykresy (rys. 5.1) są sobie równoważne. rak konieczności szukania położenia punktu E bardzo upraszcza i skraca rachunki. Tak samo rozkładamy na figury proste wykres pochodzący od sił rzeczywistych (rys. 5.11). d M p D k c m d D c D qk 8 qm 8 Rys. 5.11. Wykresy sił rzeczywistych rozłożone na poszczegóne składowe Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 11 Wykorzystaiśmy twierdzenie mówiące, że maksymana rzędna momentu zginającego pochodzącego od obciążenia ciągłego q na dowonym odcinku wynosi q. Scałkujmy więc wykresy pochodzące od siły 8 wirtuanej i sił rzeczywistych. Nie zapominajmy jednak, że icząc ugięcia, musimy uwzgędnić jeszcze stałe materiałowe i poszczegóne moduły występujące w równaniu pracy wirtuanej. Teraz jednak ćwiczymy umiejętność całkowania wykresów metodą Mohra, więc skupimy się tyko na tej części obiczeń. Przypomnijmy, że mnożymy poe wykresu krzywoiniowego (pochodzącego od sił rzeczywistych) przez rzędną wykresu prostoiniowego (pochodzącego od siły wirtuanej) znajdującą się pod środkiem ciężkości wykresu powstałego w wyniku działania sił rzeczywistych. Naeży także pamiętać o znaku ioczynu. Jeżei wykresy sił wewnętrznych eżą po tej samej stronie osi pręta to ich ioczyn jest dodatni. Całka z ioczynu funkcji eżących po przeciwnych stronach jest wartością ujemną. d M P a M c D E D qk 8 k m qm 8 D k m Rys. 5.1. Wykres rzeczywisty i wirtuany rozłożony na figury ułatwiające całkowanie M P M d= 1 k c 3 b 1 3 a 3 k qk 8 [ 1 b a ] 1 m d 1 3 b1 m c 3 b 3 m qm 8 1 b Wynik jest tu mało istotny, ponieważ chodzi o pokazanie całkowania krok po kroku. W powyższym wyrażeniu występuje człon 3 k qk i 8 3 m qm. Jest to wzór na poe paraboi. Zauważmy, że są to 8 3 poa prostokąta opisanego na tej paraboi. W większości przypadków, wykresy sił wewnętrznych pochodzących od obciążenia rzeczywistego rozkładamy na trójkąt i paraboę. Pamiętajmy o tym, że w wykresach paraboicznych wkęsłych od trójkąta powinniśmy odjąć paraboę, natomiast w wypukłych zsumować obie figury (rys. 5.13). = - = + Rys. 5.13. Składowe wykresów złożonych Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 1 Przykład 3 biczymy przemieszczenie kątowe (obrót przekroju) przekroju i przekroju C w bece (rys. 5.1). q C Rys. 5.14. eka jednostronnie utwierdzona Uznając, że wpływ sił normanych i poprzecznych na ugięcie i kąt obrotu jest znikomy, pomijamy w równaniu pracy wirtuanej wyrażenia z nimi związane. Jako pierwsze obiczymy zadanie dotyczące obrotu przekroju w punkcie C. Chcemy obiczyć obrót tego przekroju. Wiemy, że siłą działającą na obrocie jest moment. Zatem w przekroju tym przykładamy jednostkowy, bezwymiarowy moment zginający (rys. 5.13). 1 [-] C 1 M C Rys. 5.15. Wykres momentu wirtuanego pochodzący od jednostkowego momentu skupionego w punkcie C Do obiczenia zadania potrzebujemy równania momentu wirtuanego i momentu rzeczywistego. biczmy moment zginający wynikający z działania obciążenia ciągłego q (rys. 5.14). Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 13 q C q M P C Rys. 5.16. Wykres momentu zginającego pochodzącego od obciążenia ciągłego q Rozcinamy myśowo bekę od strony wonego końca, co pozwoi nam uniknąć iczenia reakcji w utwierdzeniu. Zakładamy, że moment powodujący rozciąganie włókien donych ma dodatni znak. M P q = M P = q [knm ] trzymaiśmy wynik ze znakiem minus co oznacza, że obciążenie rozciąga włókna górne. Przejdźmy do obiczenia momentu będącego wynikiem działania jednostkowego, bezwymiarowego momentu zginającego. Widać od razu, że na całej długości jest on równy jedności i rozciągane są włókna górne. M = 1 [ ] Sformułujmy zasadę pracy wirtuanej da tego układu. Wiemy, że praca sił zewnętrznych musi być równa pracy sił wewnętrznych. Mamy zatem: c 1= M M P EJ q d= 1 1 EJ d Podziemy równanie przez jedynkę wirtuaną, i scałkujmy równanie. c = q EJ d= q 6 EJ 3 = q 3 6 EJ Licząc samodzienie nie musimy pisać jedynki wirtuanej bo widzimy, że jest to umowna wiekość, która nie ma wpływu na wynik. Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 14 Wyiczmy teraz obrót przekroju w punkcie. Ponownie obciążamy bekę skupionym momentem wirtuanym, jednak tym razem w przekroju. 1 C 1 C M Rys. 5.17. Wykres momentu pochodzącego od jednostkowej siły wirtuanej Potrzebna będzie również funkcja rzeczywistego momentu (pochodzącego od obciążenia ciągłego q): q C q M P C Rys. 5.18. Wykres momentu zginającego pochodzącego od obciążenia ciągłego q Ponieważ funkcja wirtuanego momentu jest nieciągła na długości beki, pracę wirtuaną musimy iczyć jako sumę dwóch całek w granicach (; ) i ( ;) 1= = M M P EJ q EJ d= d q 6 EJ 3 M M P EJ = q 6 EJ [ 3 q d= 1 1 EJ d 3] = 7 q 3 48 EJ Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 15 Nie zapomnijmy o rachunku jednostek da sprawdzenia: [ =1=rd] kn m m3 = knm kn knm m m4 Radian jest niemianowany, datego właśnie napisaiśmy 1. Przykład 4 Da danego układu obiczyć przemieszczenie pionowe δy, poziome δ oraz kąt obrotu φ przekroju, uwzgędniając wszystkie wpływy sił wewnętrznych siły normanej N, siły tnącej T, momentu zginającego M. Pręt ten ma przekrój kołowy o średnicy cm (rys. 5.19). q =1 [kn/m] y r =5 [m] Rys. 5.19. Zadany łuk Dane: E=5 [GPa]=5 16 [kn /m ] G= E 1 =76875 1 3 [kn /m ] r=5 [m] q=1 [kn /m] κ= 1 9 =1,11 ν= 1 3 =,33 Wyznaczamy wiekości charakterystyczne przekroju: =,314159 [m ] J =,785398 [m 4 ] Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 16 by uprościć obiczenia, przyjmiemy układ współrzędnych biegunowych, ze środkiem w punkcie. Reacje pomiędzy współrzędnymi są następujące: =r sin y=r1 cos Ponadto: ds=r d Wyrażenie ds to odcinek łuku, różniczka łuku, d to różniczka kąta. Spójrzmy jakie ugięcia mają prawo wystąpić w naszym układzie. Przemieszczenia na rysunku są ceowo nakreśone z przesadą, by epiej ukazać istotę zagadnienia. Przykładem działania takiego obciążenia może być wiatr. δ δ y q =1 [kn/m] φ ' y r =5 [m] W ceu wyznaczenia równań sił wewnętrznych pochodzących od siły rzeczywistej i wirtuanej, musimy obiczyć składową poziomą i pionową tych sił. Uzaeżniamy zmianę nachyenia działającej siły od przyrostu (zmiany) kąta. Krótko mówiąc rzutujemy siły działające na kierunku osi ub osi y, na kierunki siły normanej N i tnącej T w przekroju łuku nachyonym pod kątem. q y cos q y y T N q y sin y' M ' Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 17 Układając równania równowagi da łuku obciążonego w sposób ciągły otrzymujemy funkcję: y '= T q y sin= '= N q y cos = M = M q y y = M = q r 1 cos Następnie, po wprowadzeniu współrzędnych biegunowych: T = q r sin1 cos N =q cos r1 cos Rzutowanie siły wirtuanej będziemy przeprowadzai w trakcie iczenia poszczegónych przypadków działania tej siły. Przemieszczenia poziome δ przekroju wyznaczymy przykładając jednostkową siłę po tym kierunku. 1 [-] 1 cos 1 1 sin y y T N r =5 [m] y' M ' Po zrzutowaniu otrzymaiśmy równania sił wewnętrznych: y '= T = 1 sin '= N = 1 cos M = M = 1 r 1 cos Wiemy, że przemieszczenia w podporze są zerowe, a co za tym idzie praca reakcji podporowych na Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 18 przemieszczeniach jest równa zeru. Natomiast praca siły wirtuanej przyłożonej po kierunku interesującego nas przemieszczenia nie jest równa zeru, ponieważ przemieszczenie to chcemy obiczyć. trzymujemy zatem wyrażenie na pracę sił zewnętrznych następującej postaci: L z = 1 y Zwróćmy uwagę, że praca jest dodatnia. Wynika to z faktu, iż siła wirtuana ma ten sam zwrot co założony kierunek przemieszczenia. bie wiekości mają zwroty przeciwne do zwrotu osi, jednak pomnożone przez siebie dwie ujemne wartości dają znak dodatni. Napiszmy od razu równanie pracy wirtuanej da przemieszczenia poziomego przekroju. Po ewej stronie równania mamy pracę sił zewnętrznych, która równa jest pracy sił wewnętrznych zapisanej po prawej stronie. 1 = s M M q EJ ds s T T q G ds s N N q ds E Po podstawieniu wprowadzonych funkcji: 1 = 1 sin G 1 r 1 cos EJ q r 1 cos r d q r sin1 cos r d 1 cos q cos r1 cos r d E Daej porządkujemy zapis: 1 = r 4 q EJ 1 cos 3 d q r G sin 1 cos d q r E cos 1 cos d wartości stałe wyciągamy przed znak całki: = qr4 EJ 1 cos 3 d q r G sin 1 cos d q r E cos 1 cos d Pozostaje nam tyko rozwiązać całki w poszczegónych wyrażeniach i podstawić wartości. Da uproszczenia zapisu rozwiążemy najpierw całki powyższych członów jako nieoznaczone, a wyniki umieścimy w granicach oznaczonych we wzorze ostatecznym. 1 cos 3 d = 1 cos 1 cos cos d = = 1 cos cos cos cos cos 3 d = =3 cos d cos 3 d 3 cos d d =3 cos d cos 3 d 3 sin Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 19 Pozostały nam do obiczenia dwie całki. biczmy je osobno i podstawimy do powyższego zapisu. Ponieważ: cos =cos sin cos =cos sin cos =cos 1 cos cos = 1 cos to: cos d = 1 d cos d = 1 1 4 sin cos 3 d = cos cos d cos =u du= sin cos dv=cos d v=sin = =sin cos sin cos d t=sin dt=cos d =sin cos 3 sin3 Zatem poszukiwana wartość całki nieoznaczonej: 1 cos 3 d =3 cos d cos 3 d 3 sin= =3 1 1 4 sin sin cos 3 sin3 3 sin= = 5 3 4 sin sin cos 3 sin3 3 sin Dwie pozostałe całki z równania pracy wirtuanej nie są już skompikowane i można je obiczyć na podstawie powyższych rachunków. Przedstawmy więc ostateczną postać równania pracy wirtuanej da przemieszczenia poziomego. q r G = qr4 EJ 5 3 4 sin sin cos sin cos 1 3 sin3 3 sin 3 sin3 q r E sin sin cos 4 3 sin3 Po uporządkowaniu otrzymujemy wzór: = qr4 EJ 5 4 11 r 3 q G 4 1 3 q r E 4 3 Podstawmy teraz parametry przekroju i wartość obciążenia: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 1 1 5 4 = 5 1 6,785398 1 5 1 5 4 4 11 3 9 76875 1 3,314159 4 1 3 1 5 5 1 6,314159 4 3 =,1949,6,115,45,388,1187=,54634,5198,465=,547 [m] Zauważmy, że pierwszy człon w powyższym wyrażeniu jest największy. Jest to wpływ momentu zginającego, który stanowi 99% końcowego efektu przemieszczenia. Siła tnąca i normana mają znikomy wpływ na przemieszczenia (z wyjątkiem kratownic, w których działa tyko siła normana i prętów ściskanych w układach nie kratowych). Dodatnia wartość wyniku mówi, że przemieszczenie ma taki zwrot jaki założyiśmy. Koejnym zadaniem jest wyznaczenie składowej pionowej przemieszczenia punktu w łuku. W tym ceu przykładamy wirtuane obciążenie pionowe. Różnica będzie tyko w rzutach siły wirtuanej na kierunki ' i y'. 1 sin 1 [-] 1 1 cos y y T N r =5 [m] y' M ' Rozpiszemy równanie równowagi: y '= T = 1 cos '= N = 1 sin M = M = 1 = 1 r sin Po podstawieniu do równania pracy wirtuanej: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 1 1 y = s M M q EJ ds s T T q G ds s N N q ds E funkcji sił wirtuanych i rzeczywistych, otrzymujemy równanie: 1 cos G 1 y = 1 r sin EJ q r 1 cos r d q r sin1 cos r d 1 sin q cos r 1 cos r d E Następnie upraszczamy je: y = qr4 EJ sin1 cos d q r sin cos 1 cos d G q r E cos sin 1 cos d i wyciągamy stałe przed znak całki: y = qr4 EJ sin1 cos d q r G q r E sin cos 1 cos d Rozwiążmy całki powyższego równania i wstawmy je do wyrażeń w odpowiednich granicach tak jak to robiiśmy w poprzednim punkcie zadania. sin 1 cos d = sin sin cos sin cos d = cos cos cos3 3 sin cos 1 cos d = sin cos sin cos d = cos cos3 3 Rozwiązania wstawiamy do wyrażenia na przemieszczenie: y = qr4 EJ cos cos cos3 3 q r G q r E cos cos3 3 i daej obiczamy wartości w granicach całkowania: Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... y = 1 6 q r 4 EJ G 1 E q r 1 6 Po uwzgędnieniu danych początkowych otrzymujemy wartość przemieszczenia: y =,1949 1 3 1 9 76875 1 1 6 1 5 3 5 1,314159 1 6 = =,6469 69 1 9 136,9313=,6469 6,11936 =,647 [m] Pozostała nam do obiczenia ostatnia składowa przemieszczenia przekroju a mianowicie kąt obrotu. W ceu obiczenia tej wiekości, przykładamy w tym przekroju jedynkowy moment skupiony. M =1 [- ] 1 y y T N r =5 [m] y' M ' Zauważmy, że funkcje siły normanej i poprzecznej nie wystąpią w wyrażeniu opisującym pracę wirtuaną. Wystąpi tyko moment skupiony będący taki sam na całej długości łuku. M 1= M = 1 [ ] W wyrażeniu na pracę wirtuaną 1 = s M M q EJ ds s T T q G ds s N N q ds E znikną człony opisujące wpływ siły normanej i tnącej. trzymamy zatem równanie: 1 = s M M q ds EJ Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 3 do którego podstawiamy funkcje momentu wirtuanego i rzeczywistego 1 = 1 q r 1 cos r d EJ Podziemy całe to równanie przez jedynkę wirtuaną jeszcze przed rozpisaniem go, czyi po prostu nie piszmy tej wiekości w poniższych obiczeniach. q r 1 cos r d = q r3 1 cos cos d = EJ EJ = q r3 EJ 1 sin 1 4 sin = qr3 EJ 3 4 = Następnie uwzgędniamy parametry wyjściowe i otrzymujemy wynik: =,38818 3 4 =,1386 [rad ]=,79 [deg ] Przykład 5 Da kratownicy przedstawionej na rysunku 5. obiczyć przemieszczenie pionowe punktu m oraz wzajemne zbiżenie punktów j i k, korzystając z metody pracy wirtuanej. Przemieszczenia wywołane są działaniem siły P [kn]. Dane: E=const sin =,8 cos =,6 j G 1 G G 3 P [kn] 4, S 1 K 1 S K K 3 S 3 S 4 D 1 m D D 3 k [m] 3, 3, 3, Rys. 5.. Zadana kratownica Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 4 W kratownicy tej sztywność prętów E jest stała, nie występują także siły tnące i momenty zginające w prętach (wynika to z definicji kratownicy). Pręty pasa górnego oznaczono iterą G, pasa donego D, krzyżuce K oraz słupki jako S. Spójrzmy, jak będzie wygądało ogóne równanie pracy wirtuanej da prętów powyższej kratownicy: 1 i = j s j N j N P ds E j Wynika z tego, że obiczenie przemieszczenia punktu sprowadza się do pomnożenia siły od obciążenia wirtuanego w danym pręcie przez siłę panującą w tym pręcie wywołaną obciążeniem rzeczywistym i długości tego pręta. Następnie sumujemy wszystkie ioczyny i dzieimy wynik przez sztywność E. trzymana wiekość jest rzeczywistym przemieszczeniem danego punktu. Licząc siły w prętach, będziemy zakładai rozciąganie (wynik ze znakiem minus oznacza więc ściskanie w pręcie). Wyznaczmy siły powstałe na skutek działania obciążenia zewnętrznego P: -,8(3) P -P,8(3) P -P P [kn] H =P [kn] -,5 P -,5 P R =,(6) P [kn] R =,(6) P [kn] biczmy reakcje podporowe: Y : R =R M : R 6, P 4, = R =R =,6 [kn ] Wyznaczmy siły w poszczegónych prętach: Siły w prętach: S 1, S, S 3, S 4, D 3, K 3, G 1 będą zerowe (wynika to z równowagi więzów). Siły w prętach G i G 3 będą równe co do wartości sie P i będą to siły ściskające. biczmy teraz siły w prętach K 1 i K : Y : K 1 sin= K sin R K 1 sin= K 1 =,833 P K =,833 P Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 5 Pręt K1 jest ściskany, natomiast pręt K jest rozciągany. Sprawdźmy równowagę węzła G1 - G: P,833 P cos = Pozostaje nam obiczyć jeszcze siły w prętach D1 i D: X : D 1 =D D K cos = D =D 1 =,5 P W prętach D1 i D występuje ściskanie. biczmy zatem przemieszczenie pionowe punktu m. Przykładamy w tym punkcie siłę wirtuaną skierowaną pionowo i obiczamy reakcje podporowe i siły w prętach wywołane działaniem tej siły. Jest to ukazane na poniższym rysunku, zwróćmy uwagę na bezwymiarową wartość sił w prętach i podporach. H = [-] -,65,375 -,65 1,375 m 1 [-] R =,5 [-] R =,5 [-] Z symetrii układu wynika, że reakcje R = R =,5 [-]; D 1=D ; K 1=K. Z równowagi węzła m wynika, że siła w pręcie S 1=1 [-]. biczmy więc siły w prętach K 1 i D 1: Y : R K 1 sin= K 1 =K =,65 [ ] X : D 1 K 1 cos = D 1 =D =,375 [ ] biczmy więc wartość przemieszczenia pionowego punktu m: 1 = 1 [,65,8333 P 5,,65,8333 P 5, 1 P 4, E,375,5 P 3, ]= 1,15 P [m] E Ujemny znak wyniku oznacza, że punkt m dozna przemieszczenia w górę (uniesie się). W następnym przykładzie nie będziemy uwzgędniai prętów zerowych w siłach rzeczywistych i wirtuanych (w powyższym zadaniu uwzgędniiśmy ioczyn siły słupka zerowego (S) z układu rzeczywistego i wirtuanego). Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater
Część 1 5. TEMPERTUR, SIDNI PDÓR I ŁĘDY MNTŻU W RÓWNNIU... 6 Przejdźmy do wyznaczenia wzajemnego zbiżenia punktów j i k. W ceu wyznaczenia wzajemnego zbiżenia punktów musimy przyłożyć siły jedynkowe na inii łączącej te dwa punkty, skierowane do siebie. Wynik ujemny interpretujemy jako wzajemne oddaenie tych punktów (rys. 5.1). H = [-] 1 [-] -,9138 [-] j -,346 [-] -,346 [-] -,461 [-] -,461 [-],576 [-] -,576 [-] -,346 [-] -,346 [-] -,9138 [-] R = [-] R = [-],576 [-] 1 [-] k Jest to układ przeciwnie skierowanych sił, co daje zerowe reakcje podporowe. Z równowagi więzów wynika, że siły w słupkach S i S 3 są zerowe, a co za tym idzie siła w pręcie K będzie równa co do wartości sie w pręcie K 3 i K 1, ecz przeciwnie skierowana. Dane: sin =,461 cos =,9138 Wyznaczmy teraz siły w poszczegónych prętach (zwróćmy też uwagę na symetrię układu, która jest nam bardzo pomocna). X : 1 cos D 3 = D 3 =G 1 =,9138 Y : S 4 1 sin = S 4 =S 1 =,461 Y : S 4 K 3 sin = K 3 =K 1 =,576 K =,576 X : G 3 K 3 cos = G 3 =G =D 1 =D =,346 Możemy teraz przystąpić do obiczenia szukanego przemieszczenia: 1 = 1 [ P,346 3,,5 P,346 3,,8333 P,576 5, E,8333 P,576 5, ]=,97 P E Zatem punkty j i k oddaą się od siebie. Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybyska P., Sysak., Wdowska. mamater