MECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW - OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH

Transkrypt

1 ECHANIKA I WYTRZYAŁOŚĆ ATERIAŁÓW - OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH ZAD. 1. OBLICZYĆ SIŁY TNĄCE ORAZ OENTY ZGINAJĄCE W BELCE ORAZ NARYSOWAĆ WYKRESY TYCH SIŁ Wyznaczamy siły reakcji. Obciążenie ciągłe q/ należy zastąpić silą skupioną o wartości równej q/ x długość odcinka belki, na który to obciążenie działa: W celu wyznaczenia sił reakcji należy napisać równania równowagi. Suma rzutów na oś Y =0: P R qa qa R 0 iy A B Suma momentów względem punktu A: A = qa + qa 5a + qa(4a + a + a) R B (4a + a + 3a) = 0 oment należy także uwzględnić w sumie momentów!!! Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy: 9 RA qa 8 15 RB qa 8

2 Belkę dzielimy na trzy przedziały: A-1; 1-; B. Obliczanie sił wewnętrznych przedział A-1 0 x 4a- ponieważ odcinek A-1 ma długość 4a omenty zginające: omenty zginające jest to suma momentów części belki oddzielonej przekrojem względem środka tego przekroju. qa qax 8 oment =qa jest ze znakiem -, ponieważ moment ten powoduje rozciąganie górnej części 9 belki. oment siły 7 8 qa ma znak dodatni ponieważ siła ta rozciąga dolną część belki. Podstawiamy wartości graniczne x: 9 ( x 0) qa qa 0 qa ( x 4 a) qa qa 4a qa qa qa 8 Siły tnące: Siły tnące jest to suma rzutów wszystkich sił działających na cześć belki, która jest oddzielona przekrojem, na oś prostopadłą do osi belki. W tym przypadku oś belki jest wzdłuż osi x, w związku z tym należy rzutować siły na oś y. 9 T qa 8

3 Siła 9 8 qa ma wartość dodatnią zgodnie ze znakowaniem (rozwiązujemy belkę od strony lewej do prawej, siła jest skierowana do góry, w związku z czym siła tnąca ma wartość dodatnią). 9 T ( x 0) qa 8 9 T ( x 4 a) qa 8 Wykres: Wykres momentów zginających rysujemy zawsze po stronie rozciąganej belki.

4 Obliczanie sił wewnętrznych przedział 1-0 x a - ponieważ odcinek A-1 ma długość a, W tym przedziale występuje obciążenie ciągłe q/, które działa na odcinek belki o długości x, w związku z czym można je zastąpić siłą skupioną o wartości qx/. omenty zginające: 9 qx x qa qa(4 a x) ( x 0) qa qa(4 a) 0 qa qa qa 8 9 qa a 7 ( x a) qa qa(4 a a) qa 8 8 oment zginający jest w tym przypadku funkcją kwadratową, w związku z tym należy dodatkowo obliczyć moment w środku przedziału (x=a/): a 9 a qa a ( x ) qa qa(4 a ) 3qa Sił tnące: 9 qx T qa 8 9 T ( x 0) qa 8 9 qa 5 T ( x a) qa qa 8 8

5 Wykres: Obliczanie sił wewnętrznych przedział -B 0 x 3a- ponieważ odcinek A-1 ma długość 3a

6 W przedziale -B występuje obciążenie ciągłe q/, które działa na odcinek belki o długości x, w związku z czym można je zastąpić siłą skupioną o wartości qx/. Natomiast w przedziale 1- działa obciążenie ciągłe q/ na długości a, w związku z czym można je zastąpić siłą skupioną o wartości qa/. omenty zginające: qa a qx x qa qa(4 a ) ( ) 8 a x x qax 9 9 qa a 7 ( x 0) qa qa(4a a 0) ( 0) qa qa a 3qa 3a ( x 3 a) qa qa(4a a 3 a) ( 3 a) 3qa qa a 3 3 3qa 3a 9qa ( x a) qa qa(4 a a a) ( a) qa a Siły tnące: 9 qa qx T qa 8 qa 9 qa 3 T ( x 0) qa qa qa qa 3qa 15 T ( x 3 a) qa qa 8 8

7 Wykres:

8 ZAD.. OBLICZYĆ SIŁY TNĄCE ORAZ OENTY ZGINAJĄCE W BELCE ORAZ NARYSOWAĆ WYKRESY TYCH SIŁ. Belka jest belką wspornikową, o następujących siłach reakcji: Oprócz reakcji poziomej i pionowej pojawia się moment względem punktu wsparcia A. Obciążenie ciągłe q zastępujemy siłą skupioną o wartości qa: Równania równowagi: P H 0 ix A P qa V 0 iy A qa qa a A A 0 A = qa qa a + A = 0 Stąd: H 0 V A A qa A 3qa

9 Obliczanie sił wewnętrznych: Przedział 1-: 0 x a- ponieważ odcinek 1- ma długość a omenty zginające: qa oment ma wartość ujemną, ponieważ powoduje rozciąganie górnej części belki. W całym przedziale ma wartość stałą. Siły tnące: T 0

10 Przedział -A: 0 x a- ponieważ odcinek -A ma długość a omenty zginające: x qa qx Obciążenie ciągłe q działa na odcinek belki o długości x, dlatego zastępujemy je silą skupioną o wartości qx. (0) qa a ( a) qa qa 3qa Ponieważ moment zginający w tym przedziale jest funkcją kwadratową, dodatkowo liczymy momenty w następujących punktach: a a a 9 ( x ) qa q qa 4 8 a 3 ( x a) qa qa qa ( x a) qa q a a qa 4 8 Siły tnące: T qx T (0) 0

11 T ( a) qa Wykres:

12 ZAD. 3. OBLICZYĆ SIŁY TNĄCE ORAZ OENTY ZGINAJĄCE W BELCE PRZEGUBOWEJ ORAZ NARYSOWAĆ WYKRESY TYCH SIŁ. Jest to belka przegubowa (przegub w punkcie B). Obciążenie ciągłe zastępujemy siłą skupioną 4qa (q a) i zaznaczamy siły reakcji. W przegubie nie ma siły reakcji. W belce przegubowej dochodzą dwa dodatkowe równania równowagi. Są to: L 0 - suma momentów sił działających na lewą części belki względem przegubu B B równa się 0. P 0 - suma momentów sił działających na lewą części belki względem przegubu B B równa się 0. Ostatecznie równania równowagi belki mają postać: B L = R A a 4qa a = 0 B P = R C a + qa 4a R D 6a = 0 P R 4qa R qa R 0 P iy A c D ix H D 0 Sumy rzutów sił na oś y i oś x dotyczą sił działających na całą belkę. Stąd: R qa A 7 Rc qa qa RD H D 0 Siła RD ma wartość ujemną, co oznacza, że zwrot siły będzie przeciwny do zwrotu założonego.

13 Obliczanie sił wewnętrznych Przedział A-B: 0 x a- ponieważ odcinek A-B ma długość a Obciążenie ciągłe q działa na odcinku belki równym x, stąd można je zastąpić siłą skupioną qx. omenty zginające: x qax qx ( x 0) 0 a ( x a) qa a q a 0 oment zginający jest funkcją kwadratową, w związku z tym należy obliczyć jego wartości w dodatkowych punktach przedziału:

14 a a a a 3 ( x ) qa q qa 4 4 a ( x a) qa qa qa ( x a) qa a qx a qa 4 4 Siły tnące: T qa qx T ( x 0) qa T ( x a) qa q a qa T ( x a) qa q a 0 Wykres: Przedział B-C:

15 0 x a - ponieważ odcinek B-C ma długość a Obciążenie ciągłe q działa na odcinku belki równym a, stąd można je zastąpić siłą skupioną 4qa. omenty zginające: qa( a x) 4 qa( a x) ( x 0) qa(a 0) 4 qa( a 0) 0 ( x a) qa(a a) 4 qa( a a) 4qa Siły tnące: T qa 4qa qa Wykres:

16 Przedział C-1: 0 x a- ponieważ odcinek C-1 ma długość a

17 Obciążenie ciągłe q działa na odcinku belki równym a, stąd można je zastąpić siłą skupioną 4qa. omenty zginające: 7 qa(a a x) 4 qa( a a x) qax 7 ( 0) ( 0) 4 ( 0) 0 4 x qa a a qa a a qa qa 7 ( x a) qa(a a a) 4 qa( a a a) qa a qa Siły tnące: 7 3 T qa 4qa qa qa Wykres:

18 Przedział 1-D: 0 x a- ponieważ odcinek 1-D ma długość a

19 Obciążenie ciągłe q działa na odcinku belki równym a, stąd można je zastąpić siłą skupioną 4qa. omenty zginające: 7 qa(a a a x) 4 qa( a a a x) qa( a x) qax 7 ( 0) ( 0) 4 ( 0) ( 0) 0 x qa a a a qa a a a qa a qa qa 7 ( x a) qa(a a a a) 4 qa( a a a a) qa(a a) qa a 0 Siły tnące: 7 1 T qa 4qa qa qa qa Wykres:

20