ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych

Transkrypt

1 ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych bez pisania funkcji

2 Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu domniemany globalny układ współrzędnych ze zwrotem osi jak na rysunku (nawet jeśli go nie rysujemy). Układ własny wersor normalny zewnętrzny do płaszczyzny podziału, wersor styczny o zwrocie jak od wersora normalnego idą wskazówki zegara, wersor momentów, który ciągnie wyróżnione włókna.

3 Związki różniczkowe w układzie płaskim dq z d = q z dm Q dn q d = + y z d = + ( dq q d = ) ( dm Q d = + ) ( dn n d = + ) q składowa obciążenia ciągłego równoległa do osi układu związanego z osią elementu belkowego lub ramowego (kierunek podłużny) z q składowa obciążenia ciągłego prostopadła do osi układu związanego z osią elementu belkowego lub ramowego (kierunek poprzeczny)

4 Znak w związkach różniczkowych podyktowany jest skrętnością układu globalnego Uwaga: w drugiej płaszczyźnie znaki są inne Układ przestrzenny - konwencja zwrotu osi układu Prawoskrętny układ globalny. Układ własny jest również prawoskrętny i jeśli normalna zewnętrzna jest zgodna z osią X globalną to pozostałe wersory też są zgodne ze zwrotami poszczególnych osi układu globalnego Analizę przeprowadzamy osobno w każdym przedziale charakterystycznym Nie ma konieczności pisania funkcji, gdy znany jest jej typ oraz wartość początkowa i końcowa w przedziale

5 Podstawowe przypadki q( ) = 0 (brak obciążenia ciągłego w danym przedziale) Q( ) funkcja stała M ( ) funkcja liniowa q = (stałe obciążenie ciągłe w danym przedziale) M funkcja kwadratowa ( ) constans Q( ) funkcja liniowa ( ) Szczególny przypadek: jeśli istnieje 0 (ekstremum lokalne funkcji momentu ; Q( ) = M ( ) 0 0 ( ) a+b przedziale) Q( ) funkcja kwadratowa ( ) = M 0 ekstr q = (obciążenie ciągłe trójkątne lub trapezowe w danym M funkcja 3 stopnia

6 Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla belek Wykresy N i Q Wykres sił dodatnich może być narysowany zarówno po górnej jak i dolnej stronie elementu Znak umieszczamy pod wykresem Wartości określamy w punktach charakterystycznych* Wykres M nie umieszczamy znaku wykres rysujemy po stronie włókien rozciąganych Wartości określamy w punktach charakterystycznych*

7 * Wykres N może być nieciągły w danym punkcie belki prostej, tylko wtedy gdy występuje tam siła skupiona mająca niezerową składową na kierunek podłużny Wykres Q może być nieciągły w danym punkcie belki prostej, tylko wtedy gdy występuje tam siła skupiona mająca niezerową składową na kierunek poprzeczny Wykres M może być nieciągły w danym punkcie belki prostej, tylko wtedy gdy występuje tam moment skupiony Jeśli wykres jest nieciągły to musimy obliczać wartość lewostronną i prawostronną w danym punkcie Jeśli wykres jest ciągły to musimy obliczać wartość lewostronną albo/lub prawostronną w danym punkcie i wiadomo, że z drugiej strony wartość jest ta sama.

8 Zadanie. sporządzenie wykresów funkcji sił przekrojowych

9 W przypadku gdy nie ma potrzeby obliczania siły przekrojowej z lewej i prawej strony punktu charakterystycznego obliczenia przeprowadza się tylko raz. = 0 F (0) = 5 F (0) = 2,5 M (0) = 0 z y = 2 F (2) = 5 F (2) = 2,5 M (2) = 5,0 z y + = 2 F (2) = = 0 F (2) = = 0 M (2) = = 25 y z

10 = 4 F (4) = = 0 F (4) = = 0 z M (4) = = 25 y + = 4 F (4) = 5 z = 6 F (6) = 0 F (6) = 5 M (6) = + 15 z y

11 + = 6 F (6) = 20 M (6) = 20 z = 8 F (8) = 0 F (8) = 0 M (8) = 0 z y y

12 Wykresy:

13 Wypukłość wykresu momentów jak wiatr wieje w żagle Przykład na kartkówkę

14

15 omówienie wypukłości wykresów Q, M

16 Odtwarzanie obciążeń na belce z podanych wykresów Nie zawsze jest możliwe (może brakować danych) Muszą być podane podpory, ( jeśli nie to uzyskujemy tylko siły i nie wiadomo czy są to obciążenia czy reakcje podporowe)

17 I II III

18 Przedział I Początkowa wartość siły podłużnej -1, siła skupiona o wartości 1 skierowana przeciwnie do wersora normalnego lokalnego układu własnego. Początkowa wartość siły poprzecznej -1, siła skupiona o wartości 1 skierowana przeciwnie do wersora stycznego lokalnego układu własnego. P1 = 1 kn Wykres sił poprzecznych liniowy, to obciążenie ciągłe ma wartość stałą. Skierowanie przeciwne do wersora układu lokalnego. P1 + q li = 3 kn 1+ q li = 3 kn Wykres momentów zaczyna się od zero, to brak momentu skupionego na końcu belki Dla końca przedziału I q li q li P1 l 1 + = 4 knm 1 l1 + = 4 knm 2 2 Z dwóch ostatnich punktów wynika q = 1 kn / m l1 = 2 m

19 Przedział II Skok siły podłuznej o wartość 1, zwrot skoku do góry czyli zgodny z wersorem normalnym. Skok siły poprzecznej o wartość 5, zwrot skoku do góry czyli zgodny z wersorem stycznym. Siła skupiona podporowa o wartości 5 kn. Brak skoku momentu, to brak momentu skupionego na początku przedziału II. Taki sam kąt nachylenia wykresu sił poprzecznych jak w przedziale I i wykres liniowy. q = 1 kn / m, l 2 = 2 m (z proporcji rysunku) ekstremów na wykresie momentów brak

20 Przedział III (analiza od końca belki) Brak obciążenia ciągłego Q=constans, reakcja podpory przesuwnej Brak obciążenia podłużnego, Początkowa wartość siły poprzecznej -4, siła skupiona o wartości 4 skierowana przeciwnie do wersora stycznego lokalnego układu własnego. P2 = 4 kn. Początkowa wartość momentu 12, po stronie włókien górnych. Koniec przedziału III ( na styku z II) Skok momentu o 2 w kierunku włókien dolnych oglądanych od strony prawej Skok siły poprzecznej o wartość 4 o zwrocie zgodnym ze styczną l = 2 m z proporcji geometrycznych III

21 Sprawdzanie poprawności: wartości skoków na poszczególnych wykresach, kąty nachylenia wykresów po obu stronach

22 PRZYKŁAD z ekstremami momentów M ( A ) = R 7 C = 0 R = 3.8 kn X = 0 H A 5 = 0 H A = 5 C kn reakcje podporowe: M ( C ) = 0 R A = 11.6 kn Sprawdzenie: Y = = 0

23 Przedział AB miejsce zerowe wykresu sił poprzecznych = = m Przedział CD miejsce zerowe wykresu sił poprzecznych = = m

24

25 Wartości momentu zginającego: = = = = 8.0 knm M ( 0) = 0 M ( ) M M M M ( ) ( ) ( ) 5 = = 16.0 ( ) knm knm 7 = = 0.8 knm = = knm