9. Mimośrodowe działanie siły

Transkrypt

1 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY Mimośrodowe działanie siły 9.1 Podstawowe wiadomości Mimośrodowe działanie siły polega na jednoczesnym działaniu w przekroju pręta siły normalnej oraz dwóc momentów zginającyc. Siły te zostały przedstawione na rysunku 9.1. Przedstawione na nim siły przekrojowe związane są z dowolnym układem osi środkowyc Y 0Z 0 i są dodatnie. M Y0 MZ0 Y 0 M Y0 M Z0 X Y 0 X Z 0 Z 0 Rys Siły przekrojowe przy mimośrodowym działaniu siły. Wektor momentu zginającego jest prostopadły do płaszczyzny działania momentu zginającego, a jego zwrot określa reguła śruy prawoskrętnej. Śrua ta ędzie się wkręcała zgodnie ze zwrotem wektora momentu zginającego. Wynika z tego, że dodatni moment zginający M Y0 rozciąga włókna dolne pręta natomiast dodatni moment zginający M Z0 rozciąga włókna, któryc współrzędne y 0 są ujemne. Mimośrodowe działanie siły występuje najczęściej w słupac al. Ponadto ala musi yć wyposażona w suwnicę, która ędzie powodowała powstanie jednego z momentów zginającyc. Rysunek 9.2 przedstawia słup ali ociążony mimośrodowo. Siła normalna oraz moment zginający M Y0 powstają w wyniku działania ociążenia działającego w płaszczyźnie ramy. atomiast moment zginający M Z0 powstaje w wyniku działania ociążenia prostopadłego do płaszczyzny ramy. Będzie to na przykład ociążenie amowaniem suwnicy przenoszone przez elkę podsuwnicową, parcie wiatru na ścianę szczytową ali. Rysunki 9., 9.4, 9.5, 9.6 oraz 9.7 przedstawiają inne przykłady al z elkami podsuwnicowymi. azwa mimośrodowe działanie siły ierze się stąd, że działanie siły normalnej i dwóc momentów zginającyc możemy zastąpić statycznie równoważnym stanem, w którym siła normalna zostanie przeniesiona do pewnego punktu, którego współrzędne ędą nazywały się mimośrodami. Mimośrody spełniają warunki M Y0 = e Z0. (9.1) M Z0 = e Y0. (9.2)

2 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 2 Rys Słup ali ociążony mimośrodowo. Rys. 9.. Hala z elką podsuwnicową. Rys Hala z elką podsuwnicową.

3 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY Rys Hala z elką podsuwnicową. Rys Hala z elką podsuwnicową. Rysunek 9.8 przedstawia oa statycznie równoważne ociążenie przekroju pręta. Jak widać z tego rysunku dodatnia siła normalna na dodatnim mimośrodzie e Z0 jest równoważna dodatniemu momentowi zginającemu M Y0. atomiast dodatnia siła tnąca na ujemnym mimośrodzie e Y0 jest równoważna dodatniemu momentowi zginającemu M Z0. Dlatego we wzorze (9.2) po lewej stronie jest znak minus.

4 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 4 Rys Hala z elką podsuwnicową. e Y0 Y 0 M Y0 M Z0 X Y 0 e Z0 X Z 0 Z 0 Rys.9.8. Statycznie równoważne ociążenie przekroju pręta. 9.2 Wyznaczenie naprężeń normalnyc aprężenia normalne w przypadku mimośrodowego działania siły wyznacza się przy założeniu ipotezy płaskic przekrojów (Bernoulliego). Stwierdza ona, że płaski przekrój prostopadły do osi pręta w konfiguracji pierwotnej (przed odkształceniem) pozostaje nadal płaski i prostopadły do wygiętej osi pręta w konfiguracji aktualnej (po odkształceniu). Rysunki 9.9 oraz 9.10 przedstawiają odpowiednio elkę swoodnie podpartą wykonaną z gąki w konfiguracji pierwotnej (przed odkształceniem) i aktualnej (po odkształceniu). a rysunkac tyc został zaznaczony kąt prosty między osią pręta i przekrojem. Dzięki temu założeniu możemy przyjąć, że odkształcenia liniowe po kierunku osi X e X w dowolnym punkcie przekroju ędą liniową funkcją położenia tego punktu w układzie osi środkowyc Y 0Z 0. Możemy to zapisać w postaci

5 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 5 Rys Pręt (elka swoodnie podparta) przed odkształceniem. Rys Pręt (elka swoodnie podparta) po odkształceniu. X =a 0 a 1 y 0 a 2 z 0. (9.) Ccąc wyznaczyć naprężenia normalne s X należy zastosować prawo Hooke'a ędzie miało postać identyczną jak dla osiowego działania siły czyli X =E X, (9.4) w którym E oznacza moduł Younga, który jest jedną ze stałyc materiałowyc.

6 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 6 Po podstawieniu (9.4) do równania (9.) otrzymano wzór na naprężenia normalne w postaci X = 0 1 y 0 2 z 0. (9.5) Definicje poszczególnyc sił przekrojowyc (siły normalnej i momentów zginającyc M Y0 i M Z0) mają postać = X d, M Y0 = X z 0 d, (9.6) (9.7) M Z0 = X y 0 d. (9.8) Minus we wzorze (9.8) wynika z tego, że dodatnie naprężenia normalne w ćwiartkac, w któryc współrzędna y 0 jest ujemna powoduje powstanie dodatniego momentu zginającego M Z0. Podstawiając (9.5) do (9.6) otrzymano = 0 1 y 0 2 z 0 d. (9.9) Całkę (9.9) możemy przedstawić jako sumę całek wyciągając przed znak całki stałe 0, 1 i 2. W wyniku tego otrzymano = 0 d 1 y 0 d 2 z 0 d. (9.10) Wzór (9.10) można przekształcić do postaci = 0 1 S Z0 2 S Y0. (9.11) Ponieważ układ Y 0Z 0 jest układem osi środkowyc to momenty statyczne S Y0 i S Z0 wynoszą zero. Stała 0 ędzie miała ostatecznie postać 0 =. (9.12)

7 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 7 Podstawiając (9.5) do (9.7) otrzymano M Y0 = 0 1 y 0 2 z 0 z 0 d. (9.1) Wzór (9.1) po wymnożeniu, zamianie całki sumy na sumę całek i wyciągnięciu stałyc 0, 1 i 2 przed znak całki ędzie miał postać M Y0 = 0 z 0 d 1 y 0 z 0 d 2 z 2 0 d. (9.14) Wzór (9.14) można przekształcić do postaci M Y0 = 0 S Y0 1 I Y0Z0 2 I Y0. (9.15) Ostatecznie wzór (9.15) ędzie miał postać M Y0 = 1 I Y0Z0 2 I Y0. (9.15) Podstawiając (9.5) do (9.8) otrzymano M Z0 = 0 1 y 0 2 z 0 y 0 d. (9.16) Wzór (9.16) po wymnożeniu, zamianie całki sumy na sumę całek i wyciągnięciu stałyc 0, 1 i 2 przed znak całki ędzie miał postać M Z0 = 0 y 0 d 1 y 0 2 d 2 y 0 z 0 d. (9.17) Wzór (9.17) można przekształcić do postaci M Z0 = 0 S Z0 1 2 I Y0Z0. (9.18) Ostatecznie wzór (9.18) ędzie miał postać

8 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 8 M Z0 = 1 2 I Y0Z0. (9.19) Wzory (9.15) i (9.19) tworzą układ równań w postaci { 1 2 I Y0Z0 = M Z0 1 I Y0Z0 2 I Y0 =M Y0. (9.20) Wyznacznik główny tego układu wynosi 2 W =I Y0 I. Y0Z0 (9.21) Wyznacznik W 1 wynosi W 1 = M Z0 I Y0 M Y0 I Y0Z0. (9.22) Ostatecznie stała 1 wynosi 1 = M I M Y0 Y0 Y0Z0 2 (9.2) I Y0 Wyznacznik W 2 wynosi W 2 =M Y0 M Z0 I Y0Z0. (9.24) Ostatecznie stała 2 wynosi 2 = M I M I Y0 Z0 Z0 Y0Z0 2 I Y0. (9.25) Ostatecznie wzór na naprężenia normalne ma postać X = M I M Y0 Y0 Y0Z0 y 2 0 M I M I Y0 Z0 Z0 Y0Z0 z. 2 0 (9.26) I Y0 I Y0

9 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 9 Jeżeli osie środkowe są jednocześnie osiami głównymi (I Y0Z0=0) to wzór (9.26) ędzie miał postać X = M Z0 I Z0 y 0 M Y0 I Y0 z 0. (9.27) Podstawiając wzory (9.1) i (9.2) do wzoru 9.26 otrzymano X = e I e I Y0 Y0 Z0 Y0Z0 y 2 0 e I e Z0 Y0 Y0Z0 z. 2 0 (9.28) I Y0 I Y0 Wzór (9.28) można przekształcić do postaci X = 1 e Y0 I Y0 e Z0 I Y0Z0 I Y0 y 2 0 e Z0 e Y0 I Y0Z0 0 z. (9.29) 2 I Y0 Wzór (9.29) ędzie pomocny przy oliczaniu położenia osi oojętnej. W punktac leżącyc na osi oojętnej naprężenia normalne wynoszą zero. Warunek ten ędzie spełniony, wtedy gdy przyrówna się wyrażenie w nawiasie do zera (drugi przypadek czyli siła normalna równa zero odrzucono). Wzór (9.29) ędzie miał postać 1 e Y0 I Y0 e Z0 I Y0Z0 y 2 0 e Z0 e Y0 I Y0Z0 z 2 0 =0. (9.0) I Y0 I Y0 Wzór (9.0) stanowi równanie osi oojętnej, który najwygodniej doprowadzić do postaci odcinkowej. Postać odcinkową prostej przedstawia równanie y 0 y p z 0 z p =1, (9.1) które graficznie zostało przedstawione na rysunku Równanie (9.0) ędzie miało e Y0 I Y0 e Z0 I Y0Z0 y 2 0 e Z0 e Y0 I Y0Z0 z 2 0 =1. (9.2) I Y0 I Y0

10 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 10 y p Y 0 y0 y p z p z 0 =1 z p Z 0 Rys Odcinkowa postać prostej. y 0 z 0 =1 2 2 I Y0 I Y0 I. Y0Z0 (9.) e Y0 I Y0 e Z0 I Y0Z0 e Z0 e Y0 I Y0Z0 Współrzędne odcinkowe prostej wynoszą ostatecznie 2 I y p = Y0 e Y0 I Y0 e Z0 I Y0Z0, (9.4) 2 I z p = Y0 e Z0 e Y0 I Y0Z0. (9.5) Jeżeli układ osi środkowyc jest układem osi głównyc (dla układu osi głównyc I Y0Z0 równa się zero) to wzory (9.4) i (9.5) ędą miały postać y p = I Zgl e Ygl, (9.6) z p = I Ygl e Zgl. (9.7) Wprowadzając pojęcie promienia ezwładności, który dla układu osi głównyc wynosi

11 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 11 = i I Ygl Ygl, (9.8) = i I Zgl Zgl, (9.9) wzory (9.6) i (9.7) można sprowadzić do postaci y p = i 2 Zgl, e Ygl (9.40) z p = i 2 Ygl. (9.41) e Zgl Z analizy wzorów (9.40) i (9.41) wynika, że w układzie osi głównyc oś oojętna przecodzi przez te ćwiartki układu współrzędnyc, w któryc nie znajduje się punkt przyłożenia siły normalnej. Wzory (9.4), (9.5), (9.40) i (9.41) ędą także pomocna przy wyznaczeniu rdzenia przekroju. 9. Rdzeń przekroju Rdzeniem przekroju nazywamy taki oszar, w którym przyłożona siła normalna powoduje w całym przekroju naprężenia normalne s X jednakowego znaku. Znak naprężenia normalnego jest oczywiście taki sam jak znak siły normalnej. Rdzeń przekroju jest oszarem wypukłym. Oznacza to, że jeżeli w takim oszarze połączymy dwa dowolne punkty i B odcinkiem to odcinek ten cały znajduje się wewnątrz oszaru. Przedstawia to rysunek Oszar wypukły Oszar wklęsły B B Rys Oszar wklęsły i wypukły.

12 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 12 Ponieważ w środku ciężkości naprężenie normalne ma taki sam znak jak siła normalna (naprężenie jest równe ilorazowi siły normalnej i pola powierzcni) więc środek ciężkości musi się znajdować wewnątrz rdzenia przekroju. Jeżeli przekrój posiada jedną lu więcej osi symetrii to także i rdzeń przekroju ędzie miał tyle samo osi symetrii. Rdzeń przekroju nie może wycodzić poza oszar wypukły, który można zudować na przekroju (przekrój może yć oszarem wklęsłym). Ccąc wyznaczyć położenie rdzenia przekroju należy jednostkową siłę normalną przykładać w narożnikac oszaru wypukłego zudowanego na przekroju czyli znane są wartości e Y0 i e Z0 (e Ygl i e Zgl w układzie osi głównyc). Korzystając z wzorów (9.4) i (9.5), a w układzie osi głównyc z wzorów (9.40) i (9.41) można wyznaczyć wartości y P i z P. a rysunku 9.1 przedstawiono kilka przykładowyc przekrojów i zudowanyc na nic oszarów wypukłyc. Jednostkową siłę należy przykładać w oznaczonyc punktac oszarów wypukłyc Rys Przykładowe przekroje i oszary wypukłe zudowane na nic. Jednym z najczęściej spotykanyc przekrojów jest przekrój prostokątny. Przedstawia go rysunek Rys Przekrój prostokątny.

13 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 1 Pole powierzcni przekroju prostokątnego wynosi =. (9.42) Główny moment ezwładności względem osi wynosi I Ygl = 12. (9.4) Kwadrat promienia ezwładności względem tej osi wynosi 12 i Ygl = = (9.44) Główny moment ezwładności względem osi Zgl wynosi I Zgl = 12. (9.45) Kwadrat promienia ezwładności względem tej osi wynosi 12 i Zgl = = (9.46) Jednostkową siłę normalną przykładamy w punkcie numer 1, który ma współrzędne {eygl= 2 e Zgl = 2. (9.47) Współrzędna y P wynosi

14 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 14 2 y p = i 2 Zgl 12 = e Ygl 2 = 6. (9.48) Współrzędna z P wynosi 2 z p = i 2 Ygl 12 = e Zgl 2 = 6. (9.49) Oś oojętną dla jednostkowej siły przyłożonej w punkcie numer 1 przedstawia rysunek Rys Oś oojętna dla jednostkowej siły normalnej w punkcie numer 1. Ze względu na to, że przekrój prostokątny posiada dwie osie symetrii nie ma potrzey oliczania położenia pozostałyc osi oojętnyc ze wzorów (9.40) i (9.41). Wystarczy stwierdzić, że współrzędne punktów przyłożenia siły e Ygl równają się 6 lu 6 natomiast współrzędne ezgl równają się 6 lu 6. Położenie osi oojętnyc ustala się na podstawie zasady, która oowiązuje w układzie osi głównyc, że oś oojętna przecodzi przez te ćwiartki układu współrzędnyc w któryc nie jest przyłożona siła normalna. Położenie odpowiednic osi oojętnyc przedstawia rysunek Rysunek 9.17 przedstawia rdzeń przekroju dla przekroju prostokątnego.

15 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY Rys Osie oojętne dla jednostkowyc sił normalnyc Rys Rdzeń przekroju dla przekroju prostokątnego. 9.4 Elementy nie przenoszące rozciągania Elementami nie przenoszącymi rozciągania ędą pręty wykonane z etonu, ponieważ eton ma ardzo niską wytrzymałość na rozciąganie, która jest 10-krotnie niższa niż wytrzymałość na ściskanie. Elementami takimi ędą także stopy fundamentowe, ponieważ w gruncie nie występują naprężenia rozciągające. W tym punkcie ędą rozpatrywane pręty lu elementy konstrukcyjne ściskane, w któryc siła normalna ściskająca znajduje się poza rdzeniem przekroju. Jak wiadomo, jeżeli siła znajduje się poza rdzeniem w przekroju pręta lu elementu konstrukcyjnego wykonanego z materiału przenoszącego ściskanie i rozciąganie wystąpiłyy zarówno naprężenia ściskające jak i rozciągające. Jeżeli mamy do czynienia prętem lu elementem konstrukcyjnym wykonanym z materiału nie przenoszącego rozciągania naprężeń rozciągającyc nie ędzie.

16 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 16 W dalszej części tego punktu ędą analizowane pręty lu elementy konstrukcyjne mające przekrój prostokątny ociążone siłą normalną ściskającą i jednym momentem zginającym. Przekrój taki został przedstawiony na rysunku M Ygl Rys Przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo. Wektor momentu zginającego M Ygl przedstawia rysunek M Ygl Rys Przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo. Moment zginający M Ygl możemy zastąpić siłą normalną ściskającą na mimośrodzie, który wynosi e Zgl = M Ygl. (9.50) Mimośród e Zgl ędzie ujemny ponieważ moment zginający M Ygl jest dodatni natomiast siła normalna jest ujemna. Zakładamy ponadto, że mimośród ten jest większy niż, czyli siła normalna znajduje się poza 6 rdzeniem. Siłę normalną na mimośrodzie przedstawia rysunek 9.20.

17 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 17 e Zgl Rys Siła normalna na mimośrodzie. Zakłada się, że naprężenia normalne ędą miały kształt klina o podstawie trójkąta prostokątnego. Wykres naprężeń został przedstawiony na rysunku e Zgl 0 L c e Zgl 0 L Rys aprężenia w przekroju prostokątnym.

18 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 18 Zgodnie z rysunkiem 9.21 odległość siły normalnej od krawędzi przekroju olicza się ze wzoru c= 2 e Zgl. (9.51) Siła normalna i wypadkowa z naprężeń normalnyc muszą yć w równowadze. Przedstawia to rysunek c ezgl 0 W L Rys Równowaga siły normalnej i wypadkowej z naprężeń normalnyc. W praktyce sprowadza się to do dwóc warunków. Pierwszy z nic wynika z tego, że wypadkowa z naprężeń normalnyc równa się ojętości wykresu tyc naprężeń. Otrzymano pierwszy warunek równowago w postaci W = = L. (9.52) Drugi warunek równowagi sprowadza się do tego, ay siła normalna i wypadkowa z naprężeń normalnyc znajdowały się na jednej linii pionowej. Wynika z tego, że wymiar L wynosi c= L L= c. (9.5) Podstawiając wzór (9.5) do (9.52) otrzymano zależność wyrażającą naprężenie s 0 w postaci 0 = 2 c. (9.54) aprężenie normalne s 0 jest oczywiście ujemne (ściskające). Rysunek 9.2 przedstawia przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo. Moment zginający M Ygl ma zwrot przeciwny do zaznaczonego na rysunku 9.18.

19 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 19 M Ygl Rys Przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo. Statycznie równoważne ociążenie przedstawia rysunek M Ygl Rys Przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo. Mimośród e Zgl ędzie dodatni ponieważ moment zginający M Ygl jest ujemny a także i siła normalna jest ujemna. Siłę normalną na mimośrodzie przedstawia rysunek e Zgl Rys Siła normalna na mimośrodzie.

20 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 20 Rysunek 9.26 przedstawia wykres naprężeń normalnyc, które olicza się ze wzoru (9.54). e Zgl L 0 e Zgl c 0 L Rys Wykres naprężeń normalnyc. Rysunek 9.27 przedstawia sytuację, w której przekrój prostokątny jest ociążony siłą normalną i momentem zginającym M Zgl. M Zgl Rys Przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo.

21 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 21 Statycznie równoważne ociążenie przedstawia rysunek M Zgl Rys Przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo. Moment zginający możemy zastąpić siłą normalną na mimośrodzie, który wynosi e Ygl = M Zgl. (9.55) Mimośród e Ygl ędzie dodatni, ponieważ moment zginający M Zgl jest dodatni natomiast siła normalna jest ujemna. Siłę normalną na mimośrodzie przedstawia rysunek e Ygl Rys Siła normalna na mimośrodzie. Wykres naprężeń normalnyc przedstawia rysunek 9.0. Wypadkowa z naprężeń normalnyc wynosi W = = L. (9.56)

22 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 22 L e Ygl 0 c e Ygl 0 W L Rys Wykres naprężeń normalnyc. Długość L równa się L= c. (9.57) Ostatecznie wzór na naprężenia normalne na postać 0 = 2 c. (9.58) Rysunek 9.1 przedstawia przekrój prostokątny ociążony siłą normalną i momentem zginającym o przeciwnym zwrocie. Rysunek 9.2 przedstawia statycznie równoważne ociążenie. Mimośród, na którym działa siła normalna został przedstawiony na rysunku 9.. Mimośród ten wyznacza się ze wzoru (9.55) i jest ujemny, ponieważ siła normalna jest ujemna i moment zginający M Zgl jest ujemny. Rysunek 9.4 przedstawia wykres naprężeń normalnyc oliczonyc ze wzoru (9.58). Podsumowując wzory (9.54) i (9.58) na oliczenie naprężeń normalnyc należy stwierdzić, że ma on ogólną postać

23 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 2 2 siła normalna 0 = odległość wymiar, (9.59) w którym: odległość - odległość punktu przyłożenia siły normalnej od liższej krawędzi przekroju prostokątnego, wymiar wymiar przekroju prostokątnego prostopadły do osi, na której jest przyłożona siła normalna. M Zgl Rys Przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo. M Zgl Rys Przekrój prostokątny ociążony mimośrodowo. 9.5 Przykład liczowy Wyznaczyć wykres naprężeń normalnyc w przekroju przestawionym na rysunku 9.5. Siła normalna ściskająca o wartości -400,0 k jest przyłożona w punkcie numer 5. Wymiary przekroju są podane w centymetrac. Położenie środka ciężkości przedstawia rysunek 9.6. Carakterystyki geometryczne przekroju wynoszą =818,4 cm 2, (9.60)

24 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 24 e Ygl Rys. 9.. Siła normalna na mimośrodzie. L e Ygl 0 e Ygl c 0 L Rys Wykres naprężeń normalnyc. I Y0 =47460 cm 4, (9.61) I Z0 =8000 cm 4, (9.62)

25 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 25 I Y0Z0 = cm 4. (9.6) 27,0 15, ,0 15,0 5 27,0 4 12,0 15,0 15,0 [cm] Rys Wymiary przekroju pręta. 27,0 15, ,0 15,0 5 Y 0 1,55 1,45 1,55 27,0 4 Z 0 19,24 22,76 [cm] 12,0 15,0 15,0 Rys Położenie środka ciężkości przekroju pręta.

26 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 26 Współrzędne punktu przyłożenia siły normalnej (numer 5) wynoszą e Y0 = 19,24 cm, (9.64) e Z0 = 1,55 cm. (9.65) Momenty zginające wynoszą M Y0 = 400,0 1,55= 620,0 kcm, (9.66) M Z0 = 400,0 19,24=7696 kcm. (9.67) Podstawiając do wzoru (9.26) otrzymano postać funkcji naprężeń normalnyc X = 400, y 818, z (9.68) Równanie (9.68) ma więc ostatecznie postać X = 0,4888 0,1245 y 0 0,0895 z 0. (9.69) Ccąc wyznaczyć postać odcinkową osi oojętnej należy równanie (9.69) przyrównać do zera 0,4888 0,1245 y 0 0,0895 z 0 =0. (9.70) Równanie (9.70) można przekształcić do postaci 0,1245 y 0 0,0895 z 0 =0,4888. (9.71) Dzieląc oustronnie równanie (9.71) przez 0,4888 otrzymano

27 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 27 0,2547 y 0 0,1717 z 0 =1. (9.72) Postać odcinkową osi oojętnej przedstawia poniższe równanie y 0,9 z 0 5,82 =1. (9.7) Współrzędne odcinkowe osi oojętnej wynoszą więc y p =,9 cm, (9.74) z 0 = 5,82 cm. (9.75) Położenie osi oojętnej przedstawia rysunek 9.7. oś oojętna 1 2 Y 0-5,82 5 -,9 4 Z 0 Rys Położenie osi oojętnej. Taela 9.1 przedstawia wartości naprężeń normalnyc w punktac 1 do 5 wyliczonyc ze wzoru (9.69) Taela 9.1. Wartości naprężeń normalnyc w punktac 1-5. r y0 z0 s X s X [cm] [cm] [k/cm 2 ] [MPa] 1 19,24-1,45-1,755-17,55

28 0,0-4,88 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 28 r y0 z0 s X s X 2-7,76-1,45 1,607 16,07-22,76 1,55 1,208 12,08 4 7,24 1,55-2,528-25, ,24 1,55 -,014-0,14 Wykres naprężeń normalnyc w przekroju pręta przedstawia rysunek ,08 +16, ,55-25,28 [MPa] 1 2-0,14 Y 0-5,82 5 -,9 4 Rys Wykres naprężeń normalnyc w przekroju pręta. Z 0

29 9. MIMOŚRODOWE DZIŁIE SIŁY 29 (9.1)