Zadania do rozdziału 6 Zad.6.. Wprowadzić równanie ruchu drgań wahadła matematcznego. Obicz okres wahadła matematcznego o długości =0 m. Wahadło matematczne jest to punkt materian (np. w postaci kuki K o masie m i bardzo małm promieniu) zawieszon na nieważkiej i nierozciągiwej nici. Wchając nić o niewieki kąt β od położenia pionowego i puszczając swobodnie kukę K wwołujem jej drgania dokoła położenia równowagi D. W daszch rozważaniach pomijać będziem sił oporu zakładając, że na kukę działa tko siła ciężkości F = mg. Siłę tę rozkładam na dwie składowe. Jedna z nich F działa wzdłuż nici powodując tko jej naprężenie, druga F stczna do toru wahadła, wwołuje jego ruch w kierunku punktu równowagi D z przspieszeniem a. Przspieszenie iniowe a obiczam ze wzoru a = a = εx = ε d β ε = Zatem d β a = Przspieszenie a wwołuje siła F = F sin β. gdzie ε to wektor przspieszenia kątowego wahadła, którego wartość wnosi: Stosując II zasadę dnamiki Newtona da ruchu postępowego otrzmujem m a = F 40
Znak (-) prz F bo wektor F jest przeciwnie skierowan do wchenia β. d β m = mg sin β d β g = sin ϕ () Widzim, że powższe równanie ruchu wahadła matematcznego nie jest równaniem ruchu drgań harmonicznch o ogónej postaci d A = ωo A () Gd kąt β wchenia nici od położenia pionowego są małe (nie przekraczają 5-6 o ), wówczas da β mierzonego w radianach zachodzi sin β β Wted równanie () przjmuje postać d β g = ϕ (3) Równanie (3) jest równaniem drgań harmonicznch wahadła matematcznego. Porównując () i (3) widzim, że g ω o = π ω o = gdzie okres drgań Stąd = π g = π 0 m 9.8m / s πs 6.8s Okres drgań wahadła matematcznego o długości =0 m wnosi 6.8 s. Zad.6.. Wprowadź równanie ruchu drgań wahadła fizcznego wokół osi 0 umieszczonej w odegłości d od środka ciężkości S tego wahadła. Masa wahadła wnosi m zaś moment bezwładności wnosi I. 4
Wahadło fizczne jest to brła sztwna dowonego kształtu o środku ciężkości w punkcie S, zawieszona w ten sposób, że może się obracać bez tarcia dookoła osi poziomej przechodzącej przez punkt 0. Odegłość 0S od środka ciężkości do osi obrotu oznaczm przez d, masę brł przez m, zaś moment bezwładności brł wzgędem osi obrotu przez I. Na rsunku wahadło jest już wchone od położenia równowagi. Miarą wchenia jest kąt θ oznaczon na rsunku. W tm położeniu na wahadło działa moment sił ciężkości M, równ M = M = d x F = mgd sin θ. Moment M skierowuje wahadło w stronę położenia równowagi (przeciwnie do wchenia θ) co uwzgędnia znak (-). Stosując drugą zasadę dnamiki Newtona da ruchu obrotowego brł sztwnej otrzmujem I ε = M d θ I = mgd sin θ d θ mgd = sin θ () I Widzim, że powższe równanie ruchu wahadła fizcznego nie jest równaniem ruchu drgań harmonicznch o ogónej postaci d A = ωo A () Gd kąt θ wchenia wahadła od położenia pionowego są małe (nie przekraczają 5-6 o ), wówczas da θ mierzonego w radianach zachodzi sin θ θ Wted równanie () przjmuje postać 4
d θ mgd = θ (3) Równanie (3) jest równaniem drgań harmonicznch wahadła fizcznego. Porównując () i (3) widzim, że częstość kołowa ω drgań własnch wahadła fizcznego wnosi ω o = mgd Ioczn mgd jest maksmaną wartością momentu sił ciężkości odpowiadającą wcheniu o wahadła o kąt θ = 90 od położenia równowagi. Nazwam ją momentem kierującm wahadła i oznaczam iterą D: D=mgd. Zatem D ω o =, zaś okres drgań = π D Zauważm, że wahadło matematczne (zad.6.) można uważać za przpadek szczegón wahadła fizcznego. Podstawiając wahadła matematcznego: I = m i D=mg otrzmujem znan wzór na okres = π m mg = π g Zad.6.3. Rura o przekroju S = 0,3 cm zgięta w kształcie iter U wpełniona jest słupem ciecz o masie m = g i gęstości ρ = 3,6 g/cm 3.Ciecz wtrącono z położenia równowagi. Cz drgania będą harmoniczne? Od czego zaeż okres drgań. Gd wtrącim ciecz z równowagi o x to na całą masę m ciecz działa siła F ( x) x S ρ g = powodująca powrót ciecz do położenia równowagi. Stosując drugą zasadę dnamiki Newtona da tego układu otrzmujem m a = ( x) F () 43
d x Wiedząc, że a = () możem zapisać: d x m = x S ρ g d x S ρ g = x () m Widzim, że równanie ruchu drgań słupa ciecz w U-rurce jest równaniem ruchu drgań harmonicznch o ogónej postaci d A = ωo A (3) Porównując () i (3) obiczam Sρg ω o =, oraz m = π m Sρp = π 0.kg 4 3 3 (0,3 0 ) m (3,6 0 ) kg / m 9.8m / s 0.8s Zad.6.4. Obiczć ogartmiczn dektrement tłumienia λ drgań, jeżei w ciągu t = 0 s trwania ruchu, energia mechaniczna drgającej na sprężnie o stałej sprężstości k mas m maeje do połow. Okres drgań ruchu tłumionego wnosi = s. Z definicji Aoe λ = n = β β A e ( t+ ) o Da chwii t =0 ampituda drgań wnosi: A = Aoe = Ao Da chwii t =t ampituda drgań wnosi: A = Aoe Energia mechaniczna E w każdej chwii t drgań jest równa sumie energii potencjanej E p i kinetcznej E k i wnosi: gdzie A to ampituda drgań w danej chwii. E = E p + E k = ka 44
Zatem w chwii t = 0 energia układu wnosi E = ka, a w chwii t = t energia układu wnosi E = ka. ka E A Zatem = = = E ka A A Czi = A Ae Zatem A = Ao, A = Aoe Ao = Aoe ; βt e = ; βt = n β t = n Stąd β = n t Znając β i obiczam λ λ = β = t n s λ = n == 0.n 0.0693 0s Logartmiczn dektrement tłumienia λ wnosi 0.0693. Zad.6.5. Równanie drgań niegasnącch dane jest w postaci = 0 sin(0,5πt) [cm]. a) Znaeźć równanie fai, jeśi prędkość υ rozchodzenia się drgań wnosi 300 m/sek. b) Napisać i przedstawić graficznie równanie drgań da punktu odegłego o x = 600 m od źródła drgań. c) Przedstawić anaitcznie i graficznie równanie drgań da punktów fai w momencie czasu t = 4s od początku drgań. Równanie fai możem zapisać 45
x ( x, t) = A sin ω t () υ Równanie (źródła fai) drgań niegasnącch ma postać () t 0sin( 0.5π t) = () Równanie drgań punktu da x=0, czi źródła fai, opisane przez równanie fai () wnosi 0 ( 0, t) = A sinωt = A sin ωt (3) υ Porównując () i (3) zauważam, że π A=0 cm ω = 0.5π = s Wiedząc, że π ω = obiczam π π = ; = 4s. Ad.a Ogóne równanie fai ma postać π x 4 300 Ad.b Równanie fai da x = 600 m ma postać ( x, t) = 0sin t π 600 4 300 π π ( 600, t) = 0sin t = 0sin t π = 0sin t Ad.c. Równanie fai da t=4 s ma postać Widzim, że π x 300 ( x,4) = 0sin 4 = 0sin π ( x,4) πx = 0sin 600 π π k = = λ 600 π x 300 46
Zad.6.6. Drgania akustczne mające częstość ν=500 Hz i ampitudę A=5 mm rozchodzą się w powietrzu. Długość fai wnosi λ=70 cm. Znaeźć: a) prędkość rozchodzenia się drgań, b) maksmaną prędkość cząstek powietrza. Równanie fai ma postać: x υ Ad.a Międz prędkością rozchodzenia drgań ( x, t) = A sin ω t υ = λ = λ ν υ, λ, i ν zachodzi związek ν = 0.7 m 500 = 350m / s s Prędkość rozchodzenia się drgań w powietrzu wnosi 350 m/s. Ad.b Maksmaną prędkość drgań cząstek V obiczam z zaeżności d V = = d x V = Aωcosω t υ gd cos t x ω = υ to V max = Aω x A sin ω t υ Ae Wted π ω = = πν V max = A πν 47
V max = 0.05 m 6.8 500 s V max = 78.5m / s Maksmana prędkość drgań cząstek powietrza wnosi 78.5 m/s. Zad.6.7. Jaką różnicę faz φ będą miał drgania dwóch punktów, znajdującch się w odegłości x =0 m i x =6 m od źródła drgań. Okres drgań wnosi = 0,04 s. i prędkość rozchodzenia się drgań - υ=300 m/sek. Równanie fai ma postać gdzie x ( x, t) = A sin ω t = A sin φ () υ x φ = ω t - to faza drgań punktu (x,t). υ ( x, t) = A sin[ φ( x, t) ] = A sin ω t x υ ( x, t) = A sin[ φ( x, t) ] = A sin ω t Zatem różnica faz φ = φ(, t) ( x, t) Ae Więc x φ x υ x x x x φ = ω t ω t = ω υ υ υ π ω = π x φ = x υ ( ) π x φ = x λ λ = υ = 300 m / s 0.04 = m x x = 0 m 6 m = 6 m ( 6 m) π φ = m = π Różnica faz φ drgań dwu punktów x i x wnosi -π. 48