B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2 2006 Bogusław GUZIK* SZACOWANIE MODELU RNKOWEGO CKLU ŻCIA PRODUKTU Przedsawiono zasadnicze podejścia do saysycznego szacowania modelu rynkowego cyklu życia produku. Omówiono najczęssze rudności esymacji w związku z niekomplenością (fragmenarycznością) danych saysycznych. Sporo uwagi poświęcono wynikającym z porzeb prakyki modyfikacjom modeli radycyjnych. Opisano budowę modelu cyklu życia produku za pomocą funkcji ypu wzros-spadek. Najogólniejsze, i dające najwięcej możliwości, jes zaproponowane podejście, polegające na szacowaniu modelu segmenowego, złożonego z rosnącej oraz malejącej funkcji logisycznej. Słowa kluczowe: modele cyklu życia produku, funkcje wzros-spadek, funkcja logisyczna 1. Rynkowy cykl życia produku Rynkowy cykl życia produku o pewna funkcja zmiennej czasowej, kóra opisuje kszałowanie się sprzedaży produku od chwili wprowadzenia go na rynek, po zakończenie sprzedaży. Rynkowy cykl życia produku o en fragmen cyklu życia produku, w kórym ma miejsce jego sprzedaż. Jes o swego rodzaju rend sprzedaży. Nie jes o jednak rend radycyjny, lecz funkcja spełniająca pewne założenia wynikające z eorii ekonomii i prakyki. Przede wszyskim musi o być funkcja obejmująca przynajmniej dwie podsawowe fazy zmian sprzedaży fazę wzrosu sprzedaży oraz fazę spadku. Sandardowy rynkowy model cyklu życia produku obejmuje rzy fazy: wzros, dojrzałość i spadek 1, co zilusrowano na rysunku 1. Symbol oznacza wielkość sprzedaży * Kaedra Ekonomerii, Akademia Ekonomiczna, al. Niepodległości 10, 60-967 Poznań, e-mail: Bogusław.Guzik@ae.poznan.pl 1 Nie ma zgodności auorów co liczby eapów cyklu życia produku. Niekórzy auorzy wyodrębniają ylko dwie fazy (cykl życia i recykl), inni rzy, czery, a nawe sześć; por. B. Sojkin, Eap wprowadza-
32 B. GUZIK produku, jes zmienną czasową. Umówimy się, że = 1 oznacza momen dokonania pierwszej obserwacji empirycznej (kóry niekoniecznie oznacza momen rozpoczęcia sprzedaży); przy ym kolejne obserwacje empiryczne mają numery = 1, 2, 3,..., T. Rys. 1 Próbując zidenyfikować cykl życia produku na podsawie danych saysycznych, spoyka się różne syuacje, niekoniecznie zgodne z modelem sandardowym: 1. Przede wszyskim dane mogą być fragmenaryczne i obejmować ylko albo fazę wzrosu (lub jej część), albo fazę spadku (lub jej część), albo jakiś inny fragmen cyklu życia produku. 2. Faza wzrosowa może charakeryzować się jednoliym kierunkiem zmian, na przykład wzrosem coraz szybszym albo coraz wolniejszym. Może eż charakeryzować się zmienną prędkością: najpierw wzros coraz szybszy, poem coraz wolniejszy (lub odwronie). To samo doyczy fazy spadkowej. 3. Dolny poziom fazy spadkowej może być zerowy (sprzedaż spada do zera), ale może być dodani (sprzedaż sabilizuje się na pewnym niskim poziomie). Podobnie jes z dolnym poziomem w fazie wzrosowej sprzedaż może rozwijać się począkowo bardzo powoli, może eż od razu osiągnąć dużą warość. 4. Możliwe są eż różnego rodzaju zaburzenia cyklu recykle, zaburzenia sezonowe. Z krókiego przeglądu możliwych syuacji wynika, że skonsruowanie jednoliego modelu cyklu życia produku odpowiadającego wszyskim syuacjom jes prakycznie biorąc niemożliwe. Dalej zajmujemy się nasępującym przypadkiem szczególnym (podobnym jak na rysunku 1): faza wzrosu charakeryzuje się począkowo wzrosem coraz szybszym, a poem coraz wolniejszym i ma górną asympoę poziomą (górny pułap); nia w cyklu życia produku [w:] Wprowadzanie nowego produku na rynek (red. B. Sojkin), Wyd. AE w Poznaniu, Poznań 2003. Jeśli zaś wziąć pod uwagę cały cykl życia produku, kóry rozpoczyna się eapami począkowymi: (1) badania nad produkem, (2) wprowadzenie produku na rynek, a kończy eapem zaprzesania sprzedaży (lub produkcji) i uylizacji niesprzedanych produków oraz środków echnicznych służących do sprzedaży (produkcji) ip., o ych eapów będzie jeszcze więcej nawe 10. O cyklu życia produku obszernie napisano w książce: L. Garbarski, I. Rukowski, W. Wrzosek, Markeing punk zwrony nowoczesnej firmy, PWE, 2000.
Szacowanie modelu rynkowego... 33 faza spadku charakeryzuje się począkowo spadkiem coraz szybszym, a poem coraz wolniejszym i ma dolną asympoę poziomą (dolny pułap); faza środkowa (faza sabilizacji) może być bardzo króka lub długa; maeriał saysyczny może doyczyć ylko jednej z faz (albo wzrosu, albo spadku), albo obu ych faz. 2. Esymacja modelu na podsawie fragmenarycznych danych z fazy wzrosowej Niekiedy jes ak, że obserwowane dane saysyczne doyczą ylko fragmenu fazy wzrosowej (począkowego 2 rys. 2 lub końcowego 3 rys. 3). Rys. 2 Rys. 3 Parząc czyso saysycznie na zaprezenowane przebiegi, należałoby powiedzieć, że dane z rysunku 2 upoważniają ylko do oszacowania rendu rosnącego coraz szybciej (na przykład rendu wykładniczego lub poęgowego). Z kolei dane z rysunku 2 upoważniają do oszacowania rendu rosnącego coraz wolniej (np. logarymicznego lub hiperbolicznego) 4. Trendy e nie mogą być jednak uznane za modele rynkowego cyklu życia produku, gdyż z eorii i prakyki badania cyklu życia produków wiadomo, że przebieg jes niemonooniczny (zmienia kierunek): po fazie wzrosu wysąpi faza sabilizacji, a nasępnie faza spadku. Eksrapolacja akich rendów zaś jes monooniczna. 2 Na przykład dlaego, że sprzedaż produku rozpoczęła się sosunkowo niedawno. 3 Ponieważ sprzedaż rwa od ak dawna, że nie ma danych z okresu wprowadzenia produku na rynek. 4 Przeglądy najczęściej używanych w ekonomii modeli ekonomerycznych zawiera prawie każdy podręcznik ekonomerii, na przykład: B. Guzik, Ekonomeria, Wyd. AE Poznań, Poznań 2005, rozdz. 8 10. W książce ej opisano eż najpopularniejsze meody esymacji akich modeli.
34 B. GUZIK Jeśli dane saysyczne są fragmenaryczne, można zasosować jedno z rzech nasępujących podejść, w zależności od ego, kóry fragmen cyklu życia produku chcemy oszacować. Podejście 1. Szacujemy odpowiedni rend monooniczny, rakując go jako model ego fragmenu cyklu życia produku, kórego doyczą posiadane dane saysyczne. Poprzesanie ylko na jednym fragmencie fazy nie jes jednak ciekawe. W oczywisy sposób ineresuje nas bowiem dalszy przebieg zjawiska, czyli prognozy sprzedaży w przyszłości, a wiemy, że eksrapolacja rendu (np. wykładniczego) nie może być długorwała wobec wynikającej z naury cyklu życia produku pewności przełączenia (rys. 4); najpierw na wzros coraz wolniejszy, poem wręcz na spadek. eksrapolacja rendu prognozowane przełączenie Rys. 4 W każdym razie eksrapolować aki rend możemy ylko do momenu przełączenia. Momen en rzeba prognozować na podsawie dodakowych badań, co samo w sobie może być bardzo rudne. Jeśli idzie o modelowanie przebiegu sprzedaży produku poza maeriał saysyczny (eksrapolacja w przód lub/i wsecz), o można byłoby wykorzysać analogie do sprzedaży podobnych produków, dla kórych oszacowany zosał prakycznie cały cykl życia. Podejście 2. Określa się a priori ogólną posać rendu dla całej fazy wzrosowej i na podsawie fragmenarycznych danych szacowany jes ów rend jako model całej fazy wzrosowej. Jes o rudne, ale poprzez dobór odpowiednich funkcji maemaycznych możliwe. Na przykład można oszacować, omówioną w nasępnym rozdziale, funkcję logisyczną lub funkcję wykładniczo-hiperboliczną, lub podobnego ypu funkcję zw. s-kszałną (por. rys. 5).
Szacowanie modelu rynkowego... 35 funkcja s-kszałna dane empiryczne Rys. 5 To podejście jes ciekawsze od poprzedniego, gdyż na podsawie danych fragmenarycznych próbuje się odgadnąć (prognozować) dalszy przebieg cyklu życia produku. Jes zrozumiałe, że rzeba u bardzo rozważnie określić ogólną posać modelu cyklu życia w fazie wzrosowej, gdyż informacja saysyczna doyczy np. ylko ½ fazy i ławo o pomyłki, skukujące zaskakującymi i różnorodnymi przebiegami poza zakresem danych empirycznych (rys. 6). dane empiryczne Rys. 6 Podejście 3. Określa się a priori ogólną posać modelu całego cyklu życia produku i szacuje się ów model na podsawie danych fragmenarycznych z fazy wzrosowej. Podobnie jak wcześniej, jes o wprawdzie kłopoliwe, wymaga bowiem usalenia hipoeycznego kszału, i o całego, modelu cyklu życia produku oraz dodakowo zapewnienia w procesie esymacji posulaów co do warości paramerów, ale możliwe do wykonania. W szczególności można oszacować omówione w rozdziale 4 funkcje ypu wzros-spadek, na przykład funkcję poęgowo-wykładniczą 5 (rys. 7). 5 Funkcja wyraża się równaniem = A a e c.
36 B. GUZIK funkcja poęgowo-wykładnicza dane empiryczne Rys. 7 Pewnym kłopoem w ego ypu obliczeniach jes niesabilność oszacowań modelu, gdyż cały model jes szacowany na podsawie małego fragmenu cyklu. Można wskazać wiele modeli, kóre będą prakycznie ak samo dobre w obszarze posiadanych danych saysycznych, a przy ym będą się wyraźnie różniły w dalszych odcinkach cyklu. 2. Esymacja modelu na podsawie pełnych danych dla fazy wzrosu Rozparujemy syuację, gdy dane saysyczne doyczą całej (rys. 8) lub prawie całej (rys. 9) fazy wzrosu: Rys. 8 Rys. 9 Generalnie biorąc, można byłoby zasosować dwa podejścia: Podejście 1. Na podsawie danych doyczących fazy wzrosowej szacujemy cały model cyklu życia produku.
Szacowanie modelu rynkowego... 37 Można u wykorzysać wspomniane funkcje ypu wzros-spadek (niekóre z nich opisano w rozdziale 4). Podejście o wymaga sformułowania hipoezy co do posaci modelu dla całego cyklu życia produku (rys. 10). dane empiryczne funkcja ypu wzros-spadek Rys. 10 Podejście 2. Na podsawie danych doyczących fazy wzrosowej szacujemy model ylko dla fazy wzrosowej i przyjmujemy en rend za model cyklu życia produku w fazie wzrosu. Szacując model dla fazy wzrosowej na podsawie danych z fazy wzrosowej, można zasosować zw. funkcje s-kszałne (sigmoidalne), wśród kórych w analizach ekonomicznych najważniejsze znaczenie ma funkcja logisyczna oraz funkcja wykładniczo-hiperboliczna. 1. Rosnący rend logisyczny (rys. 11) wyraża się, jak wiadomo, wzorem: = a 1+ be c, (1) gdzie paramery a, b > 0, naomias c < 0 6. a Rys. 11 6 W Polsce na ema ej funkcji pisano już dawno, na przykład: O. Lange, Wsęp do ekonomerii, wyd. II, PWN, Warszawa 1961; Z. Pawłowski, Uwagi o warunkach wyznaczania rendu logisycznego, Przegląd Saysyczny nr 1, 1967; W. Szwarc, Uwagi o meodzie empa wzrosu, Handel Wewnęrzny, nr 2 3, 1966; Z. Czerwiński, Maemayka na usługach ekonomii, wyd. III, PWN, Warszawa 1972.
38 B. GUZIK Paramer a jes oszacowaniem maksymalnego poziomu sprzedaży produku. W lieraurze proponuje się różne meody szacowania modelu logisycznego na przykład meodę Hoellinga lub meodę arbiralnie usalanego parameru a (poziomu nasycenia) 7. Można eż korzysać z profesjonalnych pakieów obliczeń saysycznych. Jeśli jednak idzie o powszechnie dosępne oprogramowanie kompuerowe, o poleca się wykonywanie odpowiednich obliczeń w Solverze arkusza kalkulacyjnego Excel 8. 2. Rosnący rend wykładniczo-hiperboliczny jes określony wzorem: b / = Ae, (2) gdzie paramer A > 0, naomias b < 0, przy ym > 0. Paramer A określa górną asympoę, czyli maksymalny poziom zjawiska (jes on odpowiednikiem parameru a funkcji logisycznej). Przebieg rendu wykładniczo-hiperbolicznego 9 jes podobny do przebiegu sandardowego rendu logisycznego, z ym że począkowa faza wzrosu coraz szybszego jes w przypadku rendu wykładniczo-hiperbolicznego znacznie krósza. Warość z rendu dla = 0 jes równa zero 10. a Rys. 12 Trend wykładniczo-hiperboliczny można oszacować pośrednio poprzez oszacowanie formy zlinearyzowanej albo jak w przypadku rendu logisycznego korzy- 7 Por. np. B. Guzik, Ekonomeria, Wyd. AE, Poznań 2005, s. 206 212. 8 Solver o, jak wiadomo, moduł obliczeń opymalizacyjnych. Może być jednak z powodzeniem zasosowany w esymacji ekonomerycznej, gdyż zagadnienia dopasowania modelu do danych empirycznych o akże zagadnienia opymalizacji. Zaleą Solvera jes o, że może być użyy do realizacji szerokiej klasy meod esymacji: przy różnych kryeriach dopasowania (np. dla minimalizacji zwykłej lub uogólnionej sumy kwadraów, minimalizacji sumy modułów resz, minimalizacji resz względnych id.) oraz przy szerokiej klasie liniowych lub nieliniowych warunków pobocznych. Wadą jes o, że jes o procedura ieracyjna, niekoniecznie dająca dokładne opimum. Dla celów prakycznych jes ona jednak wysarczająca. 9 Niekiedy zwanego funkcją Gomperza lub rendem odwronie wykładniczym. 10 Bo przy b < 0 wykładnik b/ będzie równy, a funkcja e x dla x = jes równa 0.
Szacowanie modelu rynkowego... 39 sając z pakieów obliczeń saysyczno-ekonomerycznych, albo za pomocą Solvera arkusza Excel. Modelowanie faz wzrosowych za pomocą funkcji logisycznej lub funkcji wykładniczo-hiperbolicznej jes znane i dlaego nie będziemy rozwijać ej problemayki 11. Chcielibyśmy jeszcze przedsawić dwie modyfikacje klasycznej funkcji logisycznej. Modyfikacja 1 przesunięcie po osi Sandardowa funkcja logisyczna (przy paramerze c ujemnym i paramerach a oraz b dodanich) dla momenów czasu położonych na lewo od = 0 ma warości dodanie, ale bliskie zeru 12. W odniesieniu do modelu cyklu życia produku oznacza o sugesię, iż prawie zerowy poziom sprzedaży wysępuje dopiero w bardzo odległej przeszłości, po czym począkowo sprzedaż rośnie bardzo wolno (i dla = 0 osiąga poziom dodani). Jednak nie zawsze ma o miejsce: 1 Sprzedaż produku mogła być prowadzona od dawna; sąd już nawe dla < 0 mogła osiągać warość wyraźnie dodanią, czyli pewne minimum, równe powiedzmy d > 0 (rys. 13). przebieg zmodyfikowany d przebieg sandardowy d n przebieg zmodyfikowany Rys. 13 Rys. 14 2 Może być eż odwronie sprzedaż osiąga niezerowy poziom dopiero dla momenu n > 0 (rys. 14). Wedy formalnie poziom zjawiska dla < n będzie ujemny. Aby o zapisać, rzeba przyjąć, że minimalny poziom d jes (formalnie) ujemny 13. Ten minimalny poziom d jes jeszcze jednym paramerem modelu. Zmodyfikowane równanie modelu ma posać: 11 Doświadczenia empiryczne wskazują, że lepszy opis faz wzrosu orzymuje się częściej za pomocą rendu logisycznego niż rendu wykładniczo-hiperbolicznego. 12 Bardziej poprawnie: dla sandardowa funkcja logisyczna dąży do zera. 13 Ale funkcja jes modelem cyklu życia produku dopiero dla > n.
40 B. GUZIK a = + d, (a, b > 0; c < 0). (3) c 1+ be W ym wypadku oszacowanie maksymalnego poziomu sprzedaży zapiszemy jako g = a + d. (4) Podobnie można proponować uwzględnienie dolnego poziomu dla funkcji wykładniczo-hiperbolicznej: b / = Ae + d, (A > 0, b < 0 ). (5) Oszacowaniem maksymalnego poziom sprzedaży jes g = A + d. (6) Modyfikacja 2 przesunięcie po osi Sandardowy przebieg logisyczny zazwyczaj nie odpowiada spoykanej niekiedy w prakyce syuacji, że sprzedaż od razu, od momenu uruchomienia, jes duża, a jej przebieg w fazie począkowej jes zbliżony do przebiegu w środkowej fazie wzrosu sandardowego. Uwzględnienie ego posulau prakycznego prowadzi do przesunięcia przebiegu sandardowego po osi czasu na lewo, czyli usawienia punku odliczania na lewo od = 0 (zob. rys. 15 przebieg empiryczny I). przebieg empiryczny I przebieg sandardowy przebieg empiryczny II Rys. 15. Może eż być inaczej sprzedaż rozpoczyna się później niż w momencie =1, co oznacza przesunięcie przebiegu sandardowego po osi czasu na prawo (rys. 15 przebieg empiryczny II). Punkem odliczania jes wówczas pewien momen na prawo. Formalnie przesunięcia akie można zapisać jako przenumerowanie zmiennej czasowej. Zamias zmiennej oryginalnej bierze się wedy zmienną pomocniczą: x = + p 14. (7) 14 Na przykład przesunięcie p = 5. Wedy obserwacja doycząca czasu = 0 ma numer x = 5, a obserwacja doycząca = 5 ma numer x = 0 i będzie nowym punkem odliczania.
Szacowanie modelu rynkowego... 41 Paramer p może być usalany a priori lub szacowany. Przesunięy model logisyczny ma posać: a = + d, (a, b > 0; c < 0), (8) cx 1+ be gdzie x = + p. Podobnego ypu przesunięcia po osi czasu, czyli przenumerowanie zmiennej czasowej mogą doyczyć innych funkcji, np. funkcji wykładniczo-hiperbolicznej 15 i innych 16. Przesunięcie p musi być akie, aby odpowiednia funkcja była dobrze określona 17. Funkcje sandardowe są szczególnym przypadkiem funkcji z przesunięciem p = 0. Przykład Dysponujemy nasępującymi danymi doyczącymi wielkości sprzedaży: 11 12 13 15 17 19 21 25 1 2 3 4 5 6 7 8 31 37 45 55 65 79 83 9 10 11 12 13 14 15 Dane empiryczne zaprezenowano na rysunku 16. 100 y y 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Rys. 16 Chcemy oszacować logisyczny model fazy wzrosowej cyklu życia produku: 15 b / x Wedy = Ae + d, (A > 0, b < 0; x > 0). 16 Dodajmy, że przesunięcie jes nieisone (nieporzebne), np. gdy zmienna zależna jes wielomianową funkcją zmiennej. Przykładowo jes ono nieisone dla rendu wykładniczego, gdyż w przypadku rendu wykładniczego rend dla ln jes liniową funkcją. 17 Na przykład dla funkcji wykładniczo-hiperbolicznej musi być p 0.
42 B. GUZIK a = + d, (ba > 0; c < 0). c 1+ be Uwzględniamy poziom minimalny d, gdyż warość zjawiska w momencie = 1 jes zby duża w porównaniu z wynikającym ze sandardowego przebiegu funkcji logisycznej 18. Po zasosowaniu klasycznej meody najmniejszych kwadraów (realizowanej przez Solver Excela) orzymano nasępujące oszacowanie fazy wzrosowej cyklu życia produku: 106,5 = + 10, 9, R 2 = 0,002 19. 0,384 1+ 140,4e Model pasuje bardzo dobrze do wyników obserwacji, gdyż wyjaśnił aż 99,8% zaobserwowanej zmienności sprzedaży. Oszacowano, że maksymalny poziom sprzedaży (w fazie wzrosowej i ewenualnej fazie dojrzałości) wynosi około 117,4 jednosek 20. Oszacowano eż, że minimalny poziom sprzedaży wynosił 10,9 jednosek. Przebieg modelu w fazie wzrosowej (i ewenualnej fazie dojrzałości) podano na rysunku 17. 140,0 120,0 100,0 y model 80,0 60,0 40,0 20,0 0,0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 Rys. 17 18 W każdym razie nie zaszkodzi uwzględnić poziom minimalny d. Gdyby go nie było, wedy w wyniku esymacji orzymamy d bardzo małe lub zerowe. 19 R 2 współczynnik zgodności (deerminacji), czyli sopnia wyjaśnienia zmienności zmiennej przez oszacowany model. 20 a + d = 106,5 + 10,9 = 117,4.
Szacowanie modelu rynkowego... 43 Jak długo będzie rwała faza dojrzałości oraz jaka będzie faza spadkowa nie wiadomo, gdyż funkcja logisyczna akich sugesii nie daje. Trzeba byłoby o ile odważylibyśmy się na szacowanie całego cyklu życia produku na podsawie fragmenarycznych danych zasosować inne funkcje, na przykład funkcje ypu wzros-spadek. Przebieg fazy spadkowej można by eż odgadywać poprzez analogie do cyklu życia innych produków, znajdujących się już w fazie spadkowej. 3. Esymacja modelu cyklu życia produku na podsawie danych z fazy spadkowej Przyjmijmy eraz, że dane saysyczne doyczą ylko fazy spadku całej (rys. 20) lub jej fragmenu (rys. 18, 19). Rys. 18 Rys. 19 Rys. 20 Jeśli idzie o podsawowe ujęcia, o idee esymacji modelu cyklu życia są analogiczne do omówionych dla przypadku fazy wzrosowej. W szczególności można mówić o rzech podejściach: Podejście 1. Esymacja modelu ylko dla ego fragmenu cyklu życia produku, kórego doyczą posiadane dane (np. esymacja modelu dla okresu coraz wolniejszego spadku, jeśli dane doyczą ego okresu rys. 19 lub esymacja modelu fazy spadkowej na podsawie danych z całej fazy spadku rys. 20). Podejście 2. Esymacja modelu dla całej fazy spadku na podsawie danych fragmenarycznych (np. na podsawie danych z począku fazy spadkowej por. rys. 18). Modelem fazy spadkowej może być, na przykład, malejący rend logisyczny lub malejący rend wykładniczo-hiperboliczny. Podejście 3. Esymacja całego modelu cyklu życia produku na podsawie danych z fazy spadkowej (całej lub części). Można u wykorzysać cyowane już funkcje wzros-spadek, na przykład funkcję poęgowo-wykładniczą.
44 B. GUZIK Modelowanie fazy spadku za pomocą funkcji logisycznej Mówiąc o funkcji logisycznej, zazwyczaj ma się na myśli funkcję rosnącą, aką jak omawianą w poprzednim rozdziale. Funkcja logisyczna ma jednak jeszcze inne przebiegi w zależności od warości paramerów. W szczególności jes ona malejąca (począkowo coraz szybciej, poem coraz wolniej), jeśli paramer c jes dodani, a pozosałe paramery są eż dodanie (rys. 21): = a 1+ be c ; a, b > 0; ale przy ym również c > 0. (9) a Rys. 21 Paramer a określa górny pułap sprzedaży w fazie spadkowej. Dolny pułap sprzedaży w fazie spadkowej wynosi 0. Malejąca funkcja logisyczna (9) sugeruje, że w miarę upływu czasu sprzedaż zmierza do zera. Nie zawsze jes o usprawiedliwione i w wielu przypadkach można założyć, że w przyszłości sprzedaż będzie malała, ale nie do zera, lecz do pewnego minimalnego poziomu d > 0 (rys. 22). Może eż być ak, że sprzedaż szybko spadnie do zera, wedy d < 0 (rys. 23). a+d a+d d d Rys. 22 Rys. 23 Ogólniejsza wersja funkcji logisycznej malejącej jes więc nasępująca: = a 1+ be c + d, (b, a > 0; c > 0 ). (10)
Szacowanie modelu rynkowego... 45 Dolny poziom sprzedaży określa warość d, naomias górny pułap w fazie spadkowej o g = d + a. (11) Dodakowo może być konieczne przesunięcie wykresu funkcji po osi czasu 21, zn. przenumerowanie zmiennej czasowej. Mielibyśmy wedy malejący model logisyczny: a = + d, (a, b > 0; c > 0), (12) cx 1+ be gdzie x = + p. Modelowanie fazy spadku za pomocą funkcji wykładniczo-hiperbolicznej Malejący rend wykładniczo-hiperboliczny o funkcja o wzorze: b / = Ae, (A > 0, > 0; przy ym paramer b > 0). (13) Przebieg jes podobny do przebiegu malejącego rendu logisycznego, zob. rys. 21. Zasadnicza różnica jes aka, że malejący rend wykładniczo-hiperboliczny ma asympoę dolną równą A, a więc określa minimalny (równy A) poziom sprzedaży dla fazy spadkowej 22. W ogólnym ujęciu malejąca funkcja wykładniczo-hiperboliczna jes określona wzorem: = Ae b / x + d, (A > 0 ; b > 0; x > 0). (14) 4. Modelowanie dwufazowego cyklu życia produku za pomocą funkcji ypu wzros-spadek Obecnie zajmiemy się szacowaniem modelu cyklu życia produku, gdy dane saysyczne doyczą zarówno fazy wzrosu, jak i fazy spadku. Przy ym faza środkowa (sabilizacja) albo jes bardzo króka, albo nie wysępuje. 21 Na przykład konieczne jes przesunięcie na prawo, gdy chcemy, aby obserwacje z (niewidocznej, ale isniejącej) fazy wzrosowej miały numery dodanie 1, 2, 3,..., p. Wedy obserwacje z fazy spadkowej mają numery p + 1, p + 2,.... 22 Dodajmy, że dla = 0 warość z malejącego rendu wykładniczo-hiperbolicznego jes nieoznaczona i dlaego konieczne jes przenumerowanie obserwacji, ak aby dla pierwszej obserwacji fazy spadkowej warość zmiennej zależnej była oznaczona.
46 B. GUZIK Rys. 24 Modeli dla zjawiska pokazanego na rysunku 24 można poszukiwać w obrębie funkcji począkowo rosnących, a poem malejących, czyli funkcji ypu wzrosspadek. Oo przykłady akich funkcji. Krzywa normalna 23 (rys. 25): 2 1 ( b) = exp( ) (a, c > 0). (15) a c b Rys. 25 Krzywa sopnia rzeciego (rys. 26): 1 =, (a > 0, = 4ac b 2 > 0, x = + p 0). (16) 2 ax + bx + c Rys. 26 23 Jes o funkcja podobna do krzywej rozkładu normalnego.
Szacowanie modelu rynkowego... 47 Funkcja wykładniczo-kwadraowa (rys. 27): = bx Ae 2 + cx, ( A > 0, c < 0, x = +p 0). (17) Rys. 27 Funkcja poęgowo-wykładnicza (rys. 28): = Ax b e cx, (A > 0, b > 0, c < 0, x = +p 0) ; (18) p 0 przesunięcie zmiennej. Rys. 28 Parabola kwadraowa (rys. 29): = a 2 + b + c (a > 0, = b 2 4ac < 0, c < 0). (19) Rys. 29
48 B. GUZIK Zaleą ych funkcji jes o, że można oszacować cały cykl życia produku na podsawie ylko fragmenarycznych danych, np. obejmujących jedynie fazę wzrosu lub jej część, co ilusrowano w poprzednich rozdziałach na przykładzie funkcji poęgowo- -wykładniczej (16). Podane funkcje mają jednak dwie podsawowe wady z punku widzenia modelowania cyklu życia produku. Pierwszą jes o, że po fazie wzrosu od razu nasępuje faza spadku (nie ma fazy dojrzałości) i z ego powodu nadają się one do modelowania ylko wąskiej klasy cykli życia (bez fazy dojrzałości lub z ą fazą bardzo króką). Drugą zaś jes o, że (z wyjąkiem funkcji poęgowo-wykładniczej) są one symeryczne i dlaego ich sosowanie jes ograniczone ylko do przypadków, gdy faza spadku jes symerycznym odwzorowaniem fazy wzrosu. W przypadku paraboli (17) funkcja a może być sosowana jako model cyklu życia dla ych, dla kórych warość funkcji jes nieujemna. Podane funkcje można oszacować klasyczną meodą najmniejszych kwadraów (poprzez linearyzację lub bezpośrednio według kryerium minimalizacji sumy kwadraów resz). 5. Szacowanie rójfazowego cyklu życia produku za pomocą segmenów logisycznych Obecnie rozparujemy syuację, gdy punky empiryczne doyczą rzech podsawowych faz cyklu życia produku: wzrosu, dojrzałości, spadku (rys. 30). Rys. 30 W ej syuacji rzeba zasosować funkcją rzyfazową: najpierw wzros, poem sabilizacja (lub prawie sabilizacja) i na koniec spadek. Tego ypu przebiegi rójfazowe źle modeluje się funkcjami ypu wzros-spadek, podanymi w poprzednim paragrafie, i o ym gorzej, im faza dojrzałości jes dłuższa. Wydaje się, że najwygodniejsze podejście do modelowania rójfazowego cyklu życia produku o konsruowanie modelu złożonego z dwóch segmenów logisycznych, przy czym pierwszy segmen logisyczny jes rosnący, a drugi jes malejący.
Szacowanie modelu rynkowego... 49 Jes o model ogólny, gdyż pozwala opisywać cykle życia produku zarówno z króką, jak i z długą fazą sabilizacji. Przy ym modelowanie fazy sabilizacji jes prose i sprowadza się do przesuwania względem siebie rosnącego i malejącego segmenu logisycznego, co zilusrowano na rysunkach 31 oraz 32. segmen 1 segmen 2 m m Rys. 31 Rys. 32 Jeśli segmeny dość wcześnie nakładają się na siebie, o orzymujemy model z bardzo króką fazą środkową (rys. 31), jeśli zaś są one mocno rozsunięe, orzymujemy model z długą fazą środkową (rys. 32). Pierwszy segmen doyczy przedziału czasu kończącego się momenem m, drugi segmen doyczy przedziału czasu po momencie m. Momen en o zw. modulaor (przełącznik). Proponowany model segmenowy cyklu życia produku określony jes wzorem: = a1 1+ b1e a2 1+ b2e c 1 c 2 + d 1 + d 2 dla dla fazy wzrosu, zn. dla fazy spadku, zn. dla > m; m ( a, b ( a 2 1, b 2 1 > 0; > 0; c c < 0); 2 1 (20) > 0). Paramery modelu oznaczono lierami a, b, c, d (przy czym indeks 1 doyczy pierwszego segmenu, a indeks 2 drugiego segmenu. Inerpreację paramerów podano powyżej, na przykład d 1 o dolny poziom fazy wzrosowej, zaś d 2 o dolny poziom fazy spadkowej (mogą o być zarówno liczby dodanie, jak i ujemne). Maksymalny poziom sprzedaży w fazie wzrosowej wynosi a 1 + d 1, a w fazie spadkowej jes o a 2 + d 2. Paramerem zadania jes eż momen m (modulaor), w kórym nasępuje przełączenie z segmenu wzrosowego na segmen spadkowy. Modulaor oraz inne paramery, na przykład poziomy dolne, mogą być usalane a priori lub szacowane na podsawie danych saysycznych. Model (18) o najprosszy model segmenowy o segmenach logisycznych. W zasosowaniach rzeba go jednak dość częso modyfikować. Po pierwsze, rzeba zapewnić, by warości obu segmenów w modulaorze były sobie równe (jak na rys. 31, 32), aby nie powsawały rudne do wyłumaczenia uskoki segmenów. Po drugie, konieczne jes
50 B. GUZIK przenumerowanie zmiennej czasowej dla drugiego segmenu, aby jego punkem odliczania był modulaor, czyli momen, w kórym zaczyna się drugi segmen 24. Tak rozbudowany model o dwóch segmenach logisycznych rosnącym f 1 oraz malejącym f 2 ma więc posać: gdzie: f1( ) dla m, = (21) f2( ) dla > m, a1 f 1 () = 1+ b e c1 1 + d 1, (22) a2 f 2 () = + d c2 ( m) 2. (23) 1+ b2e Spełniony jes przy ym warunek poboczny, że oba segmeny sykają się w modulaorze, czyli że mają ę samą warość dla momenu = m: f 1 (m) = f 2 (m), (24) a paramery: a 1, a 2 > 0; b 1, b 2 > 0; c 1 < 0, c 2 > 0; (25) 1 < m < T (T liczba obserwacji). W procesie esymacji należy zapewnić spełnienie warunku pobocznego (22). Warunki znakowe (23), o ile przebieg ma kszał aki, jak na rysunku 30 (począkowo wzros, poem spadek), są spełnione niejako auomaycznie. Oczywiście jeśli nie ma podsaw, by wprowadzać dolny poziom fazy wzrosowej lub/i fazy spadkowej, o nie uwzględniamy odpowiedniego parameru d 1 lub d 2. Esymacja modelu wymaga procedur ogólniejszych niż na przykład szkolna meoda najmniejszych kwadraów. W szczególności obliczenia można przeprowadzić pod Solverem Excela lub za pomocą pakieów profesjonalnych. Przykład W abeli podano informacje o sprzedaży produku w ciągu 50 kolejnych miesięcy. Informacje e przedsawiono eż na rysunku 33. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 31 38 45 54 69 66 70 79 83 87 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 92 92 94 95 98 98 98 99 99 99 24 O przenumerowaniu obserwacji mówiono na przykład pod koniec rozdziału 3.
Szacowanie modelu rynkowego... 51 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 100 99 100 100 100 97 95 95 96 95 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 90 85 80 76 77 70 65 60 50 55 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 50 45 50 40 45 40 40 42 43 40 120 100 80 60 40 20 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 Rys. 33 Do przedsawionych danych dopasowano, według klasycznej meody najmniejszych kwadraów, model segmenowy (19), złożony z rosnącego oraz malejącego segmenu logisycznego. Przyjęo, że w modulaorze warości obu segmenów będą równe. Oszacowany model cyklu życia produku przyjął posać 25 : = 123,8 1+ 1,692e 60,9 1+ 0,0142e 0,261 23,2 0,317( 22) + 39,9 dla dla > 22 ; R 2 = 0,991. 22 Oszacowano, że maksymalny poziom sprzedaży w fazie wzrosu wynosi 100,5 26. Również mniej więcej yle samo wynosi oszacowany maksymalny poziom w fazie spadku, mianowicie 100,8 27. 25 Obliczenia wykonano meodą Newona pod Solverem Excela, według własnego arkusza obliczeniowego. 26 g 1 = a 1 + d 1 = 123,8 + ( 23,2) = 100,5. 27 g 2 = a 2 + d 2 = 60,9 + 30,9 = 100,8.
52 B. GUZIK 120 100 y model 80 60 40 20 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 Rys. 34 120 100 80 60 40 20 0 y poęgowo-wykładniczy 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 Rys. 35 120 100 80 60 40 20 0 y kwadraowo-wykładnicza 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 Rys. 36
Szacowanie modelu rynkowego... 53 Oszacowany minimalny poziom sprzedaży w fazie spadkowej wynosi ok. 39,9 28. To, że oszacowany minimalny poziom w fazie wzrosowej jes liczbą ujemną (d 1 = 23,2) oznacza, że pierwszy segmen przecina oś czasu w pewnym momencie < 0. Jes o oszacowanie momenu rozpoczęcia sprzedaży. Po przyrównaniu warości pierwszego segmenu do zera i rozwiązaniu równania względem orzymujemy, że oszacowany momen rozpoczęcia sprzedaży o p = 3 (czyli 4 miesiące wcześniej niż momen rozpoczęcia obserwacji sprzedaży, = 1). Dopasowanie modelu jes bardzo dobre, gdyż wyjaśnił on aż 99,1% zaobserwowanej zmienności sprzedaży. Bardzo dobre dopasowanie widać eż na rysunku 34. Dodajmy, że modele wzros-spadek, przedsawione w rozdziale 4, pasują gorzej od oszacowanego powyżej modelu o segmenach logisycznych. Współczynniki deerminacji przykładowo wynoszą: dla funkcji poęgowo-wykładniczej 96,4% (rys. 35); dla krzywej sopnia rzeciego 93,2% (rys. 36); dla funkcji wykładniczo-kwadraowej 93,1%. Oprócz gorszego dopasowania isone jes eż o, że funkcje e w odróżnieniu od pokazanego na rysunku 34 modelu o dwóch segmenach logisycznych niezby dobrze modelują fazę środkową oraz końce przebiegu. * * * Model rynkowego cyklu życia produku w posaci rendu o dwóch segmenach logisycznych rakujemy jako podsawową propozycję. Ważne jes o, że za pomocą owego modelu można opisać bardzo szeroką klasę rynkowych cykli życia produków, a szczególnie: 1. Można modelować fazę środkową, niezależnie od ego, czy jes ona bardzo króka, czy eż bardzo długa. Funkcje ypu wzros-spadek ej możliwości nie dają. 2. Faza spadkowa nie musi być symerycznym odwzorowaniem fazy wzrosowej; na przykład może mieć inną długość, inną inensywność zmian i inny poziom dolny. 3. Na podsawie minimalnego poziomu segmenu wzrosowego można oszacować począkowy momen sprzedaży (w przypadku d 1 < 0) lub minimalny poziom sprzedaży w dalekiej przeszłości (w przypadku d 1 > 0). 4. Oszacowany minimalny poziom segmenu spadkowego umożliwia prognozowanie momenu zakończenia sprzedaży (w przypadku gdy d 2 < 0) lub prognozowanie minimalnego poziomu sprzedaży w przyszłości (w przypadku d 2 > 0). 5. Można oszacować maksymalny poziom sprzedaży w fazie wzrosowej oraz w fazie spadkowej. 28 d 2 = 39,9.