5. apór hdrostatcn i równowaga ciał płwającch Płn najdując się w stanie równowagi oddiałwuje na ścian ogranicające ropatrwaną jego objętość i sił te nawane są naporami hdrostatcnmi. Omawiana problematka ma wiele praktcnch astosowań, pr cm tematkę niniejsego wkładu ogranicm do agadnień dotcącch oblicania naporów na ścian biorników awierającch ciece jednorodne. a rs. 5.1 pokaano biornik otwart awierając ciec wwierającą napór, któr od stron wewnętrnej jest sumą naporów pochodącch od ciśnień atmosfercnego i hdrostatcnego, podcas gd od ewnątr diała jednie napór atmosfer. II napór atmosfercn III napór atmosfercn napór ciec - wpadkow ( hdrostatcn ) I Rs.5.1. apór hdrostatcn na ścian biornika. Ponieważ diałające obu stron ścian napor od ciśnienia atmosfercnego równoważą się, stąd też w dalsch roważaniach uwględniać będiem tlko napór hdrostatcn, któr jest siłą wpadkową pochodącą od ciśnienia hdrostatcnego. Biorąc pod uwagę, że ciśnienie hdrostatcne mienia się wra głębokością oblicenia naporu wmagałob w ogólnm prpadku całkowania naporów elementarnch uwględnieniem wielkości powierchni i prestrennej orientacji ścian. Dla uproscenia roważm jednak tr oddielne prpadki, które wdielić możem godnie rs. 5.1: - napór na poiome ścian płaskie - napór na ścian płaskie orientowane dowolnie, pr cm prpadkiem scególnm może bć napór na pokaaną na rs. 5.1 płaską ścianę pionową - napór na ścian akrwione prestrennie, którego scególnm prpadkiem może bć ściana krwiną w jednej tlko płascźnie (patr rs. 5.1). prowadone w ten sposób ależności powolą na oblicenie naporów na ścian o dowolnm kstałcie, w którch awse wdielić będiem mogli jeden lub więcej powżsch prpadków. 5.1. apór ciec na powierchnie płaskie poiome Prpadek ten jest pewnością najprosts, gdż ropatrwana powierchnia pokaana na rs. 5. leż na powierchni ekwipotencjalnej, co onaca kolei, że na całej powierchni mam tę samą wartość ciśnienia hdrostatcnego. apór hdrostatcn wwieran na powierchnię płaską pre warstwę ciec o gęstości ρ i wsokości h będie godnie rs. 5. równ sile wpadkowej: ρ g h (5.1) 88
Onaca to, że napór ciec na płaskie, poiome dno biornika jest równ ilocnowi ciśnienia hdrostatcnego i pola powierchni, pr cm wpadkowa siła tego naporu jest ocwiście prłożona w środku geometrcnm (środku ciężkości) powierchni i skierowana pionowo w dół. pa ρ h V (powierchnia) pa Rs.5.. apór ciec na płaską poiomą powierchnię. ależności 5.1 wstępuje ilocn V h będąc objętością słupa ciec o polu podstaw równm powierchni dna i wsokości równej głębokości anurenia powierchni, co powala prekstałcić w. (5.1) do postaci: ρ g V (5.) która opisuje napór jako ciężar objętości V ciec najdującej się nad ropatrwaną powierchnią. Błędem błob jednak utożsamienie naporu ciężarem ciec najdującej się w nacniu, o cm prekonać może rs. 5.3 predstawiając tr różne biorniki o tm samm polu powierchni dna i napełnione ciecą o gęstości ρ do tej samej wsokości h. a) b) c) V V V h 1 3 Rs.5.3. Paradoks tevina dotcąc naporu na dno biornika. Mimo, iż w każdm e biorników miescą się różne objętości ciec, to napór na dno jest w każdm prpadku jednakow, tn.: 1 3 ρ g h Zwiąek ten ilustruje paradoks tevina o nieależności sił naporu na dno nacnia od ilości ciec awartej w biorniku. Zależność (5.) będie natomiast poprawnie określać wielkość sił naporu na dno, jeżeli pre V roumieć będiem objętość poorną ciec awartej nad dnem określoną jako objętość słupa ciec o polu podstaw równm powierchni dna i wsokości równej wsokości napełnienia biornika. Objętości poorne ciec anacono na rs. 5.3 pre ich akreskowanie, pr cm auważć można, że na rs. 5.3a objętość 89
poorna jest równa, na rs. 5.3b mniejsa a na rs. 5.3c więksa od recwistej objętości ciec awartej w biorniku. Opróc atem definicji apisanej w. (5.1) można również wielkość naporu wraić jako ciężar poornej objętości ciec awartej nad dnem, co apisano jako w. (5.). 5.. apór ciec na powierchnie płaskie dowolnie orientowane a) b) α c) 1 Rs.5.4. Prkład prostch i łożonch geometrii płaskich ścian biorników. Zagadnienie określenia naporu na płaską pionową ścianę predstawione na rs. 5.4a, jest scególnm prpadkiem konfiguracji geometrcnej predstawionej na rs. 5.4b, w której niewiadommi są wielkość i miejsce prłożenia naporu na ścianę płaską dowolnie orientowaną. Jeżeli kąt α określając na rs. 5.4b orientację płaskiej ścian ora kstałt i powierchnię ścian potraktujem jako wielkości mienne, wówcas uskane rowiąanie będie mogło bć astosowane do opisu naporów diałającch arówno na pojednce ścian płaskie jak i układ takich ścian, cego prkład pokaano na rs. 5.4c. Dla opisu tego agadnienia roważm powierchnię pokaaną na rs. 5.5, gdie kartejański układ współrędnch,, ostał wbran w taki sposób, że płascna pokrwa się e swobodną powierchnią ciec a oś skierowana jest godnie kierunkiem diałania sił ciężkości. Powierchnia leż w płascźnie 1 tworącej płascną kąt α. a powierchni wbieram małe otocenie d dowolnie położonego punktu A, którego głębokość anurenia wnosi. Elementarn napór diałając na otocenie punktu A wnosi: d n gdie n jest wersorem powierchni d natomiast p jest ciśnieniem hdrostatcnm w punkcie A, co powala apisać: d n ρ g d (5.4) p d 90
α d A 1 i n α α n X 1 j k k Rs.5.5. posób wnacania naporu hdrostatcnego na ścianę płaską dowolnie orientowaną. sstkie napor elementarne diałające na otocenie punktów składające na powierchnię są równoległe do siebie i skierowane w tę samą stronę, co powala apisać napór całkowit na powierchnię jako wpadkową będącą sumą wektorów równoległch, tn.: lub po prekstałceniach: d n ρ g d ρ g n Moduł wpadkowego naporu hdrostatcnego wnosi: 91 d (5.4) ρ g d (5.4a) a jego składowe na poscególne osie współrędnch są równe: ρ g cos n ; i d ρ g cos n ; j d (5.5) ρ g cos n ; k d ajemne relacje międ poscególnmi kierunkami pokaane na rs. 5.5 powalają apisać: π cos n ; i cos + α sin α π cos n ; i cos 0 cos n ; k co po podstawieniu do w. (5.5) daje: cos α ρ g sin α d j n α i X 1
0 ρ g cos α d rażenie: d jest momentem statcnm pola wględem płascn (wierciadła ciec) i może bć apisane jako: d c gdie c jest odległością środka geometrcnego (środka ciężkości) pola od wierciadła ciec, cli głębokością anurenia środka ciężkości pola. Podstawienie tej ależności do worów określającch składowe sił naporu powala apisać: ρ g c sin α 0 ρ g c cos α co daje następujące wrażenie na całkowitą siłę naporu: + + ρ g c (5.6) Onaca to, że napór hdrostatcn na dowolnie orientowaną powierchnię płaską jest ilocnem ciśnienia hdrostatcnego panującego w środku ciężkości i pola ropatrwanej powierchni. a) b) V c c C? C Rs.5.6. padkow napór hdrostatcn na powierchnię płaską a) i punkt jej prłożenia b). Jeżeli wobraim sobie, że powierchnia jest podparta punktowo w środku ciężkości, wówcas nieależnie od ustawienia powierchni wielkość sił naporu będie niemienna, bo precież niemienne będie ciśnienie hdrostatcne w środku ciężkości (punkt podparcia) i pole powierchni. skrajnm prpadku, gd ustawim powierchnię poiomo (patr rs. 5.6a) wówcas otrmam wrażenie identcne e w. (5.) bo precież dla powierchni poiomej apisać można: c V co łatwo sprawdić pre podstawienie powżsej relacji do (5.6). d ropatrwaliśm napor na powierchnie płaskie poiome, wówcas punktem prłożenia sił wpadkowej bł ocwiście środek ciężkości C anacon na rs. 5.6a. Dla powierchni płaskiej nachlonej, wielkość sił naporu licm identcnie jak dla powierchni poiomej, tn. jako ilocn pola powierchni i ciśnienia hdrostatcnego w środku ciężkości powierchni. Dla powierchni płaskiej dowolnie orientowanej ależność (5.6) określająca siłę naporu daje nam wielkość sił wpadkowej jako sumę elementarnch 9
naporów pokaanch na rs. 5.6b, ale rsunku tego widać, że punkt prłożenia tej sił musi leżeć na głębokości więksej niż wnosi anurenie środka ciężkości, tn. > c Jeżeli atem dla wnacania naporu potrebna jest najomość ciśnienia w środku ciężkości C anuronm na głębokości, to wpadkową siłę naporu należ prłożć w punkcie c wanm środkiem naporu, któr anuron jest na głębokości. spółrędne punktu wnacm warunku równowagi momentów w płascźnie 1 dla której apisać można następując wiąek międ głębokością anurenia punktu i współrędną 1 (patr rs. 5.5): 1 sin α (5.7) arunek równowagi momentów prjmuje postać: 1 ρ g 1 d a po uwględnieniu w. (5.4a) i (5.7): 1 ρ g sin α 1d ρ g sin α 1d skąd ostatecnie otrmujem wrażenie na odległość środka naporu od osi : 1 d 1 (5.8) 1 d Mianownik tego ułamka jest statcnm momentem pola wględem osi onacanm awcaj M, któr równ jest ilocnowi pola i odległości jego środka ciężkości od osi, tn.: d M 1 1c rażenie wstępujące w licniku w. (5.8) jest geometrcnm momentem bewładności pola wględem osi onacanm I, któr godnie twierdeniem teinera apisać możem: d I I + 1 s 1c gdie moment bewładności wględem osi prechodącej pre środek ciężkości Imoże s bć apisan jako ilocn powierchni i kwadratu ramienia bewładności i s, tn.: I i s + Podstawienie wrażeń określającch geometrcn i statcn moment pola do w. (5.8) powala apisać odległość środka naporu od osi następująco: i + 1 1c skąd po prekstałceniach: is 1 1c + (5.9) 1c Ponieważ drugi cłon powżsego wrażenia będąc różnicą rędnch punktów i C jest awse dodatni, tn.: is > 0 1c stąd też możem stwierdić, że punkt prłożenia środka naporu jest awse położon w więksej odległości od osi niż środek ciężkości. s 1c 1c 93
Znacnie łatwiejsm w interpretacji będie prejście e współrędnej 1 na współrędną określającą głębokość anurenia punktu naporu, którą oblicć można jako: is 1 sin α 1c sin α + sin α 1c a po prekstałceniach: is c + sin α (5.10) c Otrmujem więc potwierdenie, że w prpadku ścian płaskich dowolnie orientowanch środek naporu położon jest awse głębiej niż środek ciężkości ropatrwanej ścian. ie dotc to jednie ścian płaskich poiomch, dla którch podstawienie α 0 do w. (5.10) daje: c co stanowi potwierdenie sformułowanego już wceśniej wniosku o tożsamości punktów ciężkości i naporu pr ropatrwaniu naporów na płaskie, poiome dna. ajwięksa różnica głębokości anurenia i c wstępuje dla ścian pionowej ( α π / ), dla której otrmujem: is c + c arto również auważć, że chociaż godnie e w. (5.10) głębokość anurenia środka naporu jest funkcją kąta nachlenia ścian, to jak wnika e w. (5.9) punkt ten będie poostawał w stałej odległości od środka ciężkości. Jeżeli bowiem powierchnię będiem prechlać jak na rs. 5.6, tn. jeżeli położenie środka ciężkości powierchni będiem mieniać jak na rs. 5.5, tn. pre obrót wokół osi nie prechodącej pre środek ciężkości powierchni, wówcas mieniać się będie arówno głębokość anurenia środka ciężkości C jak i środka naporu, co łatwo można sprawdić analiując wor (5.9) i (5.10). ależ jednak wprowadić tu także bardo ważne astreżenie, iż wprowadone w niniejsm rodiale ależności są ważne tlko dla powierchni smetrcnch wględem osi prechodącch pre środek ciężkości powierchni i równoległch do osi 1, gdż tlko w tm prpadku punkt C i będą miał identcną współrędną (patr rs. 5.5). Jeżeli warunek ten nie jest spełnion, wówcas należ dodatkowo uwględnić warunek erowości momentów wględem osi 1, a agadnienie to naleźć można m.in. w podręcnikach J.sockiego i J.Bukowskiego. 5.3. apór ciec na powierchnie o dowolnm kstałcie. ajbardiej ogólnm prpadkiem w wnacaniu naporów hdrostatcnch jest oblicanie reakcji nieruchomego płnu na stwną ścianę o trójwmiarowej krwiźnie, cego prkładem może bć ściana o powierchni pokaana na rs. 5.7. sstkie sił elementarne diałające na powierchnię tworą prestrenn układ sił, któr można sprowadić do jednej wpadkowej sił: P ρ g n d (5.11) ora wpadkowego momentu sił nawanego niekied momentem głównm: M ρ g r n d (5.1) gdie r jest promieniem wnacającm położenie punktu, którego otoceniem jest elementarna powierchnia d. Rowiąanie tego agadnienia można również uskać nacnie prościej astępując prestrenn układ sił trema odpowiednio romiesconmi 94
składowmi sił wpadkowej, którch kierunki pokrwają się ocwiście osiami prjętego układu współrędnch. 0 c c c c Rs.5.7. krwiźnie. kładowe poiome naporu hdrostatcnego na ścianę o trójwmiarowej Załóżm, że na krwoliniowej powierchni pokaanej na rs. 5.7 wbierem elementarną powierchnię d, na którą diała napór: d ρ g n d któr na kierunki ora będie miał następujące składowe: d ρ g cos n ; i d d ρ g cos n ; j d Uwględniając, że: d d cos n ; i d d cos n ; j otrmujem następujące wrażenia na składowe poiome naporu: d ρ g d d ρ g d Całkując powżse wrażenia na całej powierchni można udowodnić, że składowa na dan kierunek poiom naporu na ropatrwaną powierchnię będie równa naporowi na ścianę płaską, której pole jest równe rutowi powierchni krwoliniowej na płascnę prostopadłą do danego kierunku. Jeżeli atem rutami powierchni krwoliniowej o polu na płascn, ora, będą figur płaskie o polach i (patr rs. 5.7), wówcas godnie e worem (5.6) składowe poiome sił naporu będiem mogli oblicć następująco: d ρ g c d (5.13) d ρ g c d gdie c ora c onacają głębokości anurenia środków ciężkości rutów powierchni ora. Uwględniając wnioski rod. 5.3 można stwierdić, że linie diałania tch sił 95
prechodić będą pre środki naporu powierchni ora, którch głębokość anurenia będie można oblicć prjmując, że dla ścian pionowch α π /, co daje: c c i + i + s c c c (5.14) 0 C V Rs.5.8. krwiźnie. kładowa pionowa naporu hdrostatcnego na ścianę o trójwmiarowej Inna asada obowiąwać będie pr wnacaniu składowej pionowej naporu, która równa jest ciężarowi słupa ciec awartego nad powierchnią, pr cm objętość tego słupa ciec godnie rs. 5.8 ogranicona jest powierchnią, jej rutem na powierchnię swobodną ora tworącmi pionowmi prechodącmi pre kontur ogranicając powierchnię, co powala apisać: ρ g V (5.15) Ponieważ wsstkie elementarne napor pionowe d są do siebie równoległe, więc linia diałania składowej naporu prechodi pre środek ciężkości C ropatrwanego słupa ciec, jak anacono na rs. 5.8. ależ auważć, że pole powierchni,, a co tego wnika także i wielkości składowch naporu,,, nie ależą od kstałtu powierchni lec od konturu obejmującego daną ścianę i od jej położenia pod swobodną powierchnią ciec. 5.4. apór na ciała anurone w ciec cególnm prpadkiem naporu na powierchnie krwoliniowe jest reakcja nieściśliwego płnu na powierchnię amkniętą, otacającą pewną brłę o objętości V pokaaną na rs. 5.9. Podobnie jak poprednio obieram kartejański układ współrędnch, w którm płascna pokrwa się e swobodną powierchnią a prostopadła do niej oś skierowana jest pionowo w dół. Ponieważ ropatrujem napór na powierchnię akrwioną, więc diałanie naporu hdrostatcnego sprowadi się do sił wpadkowej danej w. (5.11) ora głównego momentu sił M opisanego w. (5.1). Podobnie jak w prpadku naporu na powierchnie o dowolnm kstałcie agadnienie to można rowiąać nacnie 96
prościej, ropatrując poscególne składowe naporu na kierunki prjętego układu współrędnch. Dla wnacania składowch poiomch naporu astosujem asadę sformułowaną w rodiale poprednim, godnie którą składowe te są równe naporowi na powierchnię płaską będącą rutem powierchni krwoliniowej na płascnę prostopadłą do kierunku diałania ropatrwanej składowej. Jeżeli oblicać będiem napór w kierunku osi, wówcas będie on tożsam naporem na powierchnię anaconą na rs. 5.9. C Z c V Rs.5.9. apór hdrostatcn na ciało anurone w płnie. Zastosujm metodę prekrojów (patr rs. 1.10) precinając brłę V płascną równoległą do płascn w taki sposób, ab prekrój brł bł identcn konturem, co pokaano na rs. 5.9. a) b) 1 1 Rs.5.10. apor składowe na powierchnię ciała anuronego w płnie diałające w kierunku osi. Otrmam wówcas dwie cęści składowe brł V o identcnch prekrojach: 1 pokaanch na rs. 5.10, którch środki ciężkości rec jasna pokrwają się, co powala apisać: c1 c c gdie c jest głębokością anurenia środka ciężkości prekroju. padkowa naporów pokaanch na rs. 5.10a ma składową na oś równą : 1 ρ g c1 c1 ρ g c c natomiast napór diałając na brłę rs. 5.10b będie równ: ρ g c1 c1 ρ g c c co daje wpadkową naporu na kierunek : 1 0 Analogicne roumowanie można preprowadić dla kierunku otrmując ten sam wnik, tn.: 97
0 co powala stwierdić, że poioma składowa naporu hdrostatcnego diałająca w dowolnm kierunku na ciało anurone w płnie jest równa eru. a) C 1 1 V 1 1 b) V C Rs.5.11. apor składowe diałające w kierunku pionowm na powierchnię ciała anuronego w płnie. Jedną atem nieerową składową naporu na powierchnię ciała anuronego w płnie jest składowa pionowa, którą oblicm wkorstując asadę sformułowaną w rod. 5.3. Zgodnie tą asadą składowa pionowa naporu na powierchnię krwoliniową jest równa ciężarowi ciec awartej nad tą powierchnią, pr cm roważm tu osobno składowe naporu na powierchnie powstałe po precięciu brł o objętości V płascną równoległą do swobodnej powierchni i prechodącą pre środek ciężkości brł. apór na górną cęść powierchni ciała równ ciężarowi brł o objętości V 1 (rs. 5.11a) jest skierowan pionowo w dół, tn.: ρ g V 1 i prłożon jest w środku ciężkości c 1 brł 1 równ ciężarowi brł o objętości V skierowan jest pionowo do gór, tn.: ρ g V i prłożon w środku ciężkości c brł V, jak pokaano na rs. 5.11b. padkowa siła naporu będie atem równa: 1 ρ g ( V V1 ) a ponieważ różnica objętości V i V 1 jest równa objętości brł V, otrmujem ostatecnie: ρ g V (5.16) ciało co powala stwierdić, iż na ciało anurone w płnie diała siła wpadkowa naporu 98 1 V. apór na dolną cęść powierchni ciała Objętość ciała anuronego w płnie jest atem równa objętości płnu wpartego pre to
hdrostatcnego równa ciężarowi ciec wpartej pre to ciało i skierowana pionowo do gór. iła ta nawana jest wporem hdrostatcnm i linia jej diałania prechodi pre środek ciężkości brł płnu wpartej pre anurone ciało, pr cm punkt ten nawan jest środkiem wporu. Zależność (5.16) opisująca wpór hdrostatcn jest nana jako prawo Archimedesa. 5.5. Równowaga ciał płwającch a ciało anurone w płnie opróc sił wporu diała także siła ciężkości skierowana w dół i wobec tego stan ciała określon jest pre ich wajemną ależność, co apisać można: P (5.17) gdie P jest wpadkową siłą diałającą na ciało, a naki sił ciężkości i wporu wnikają e wrotu osi prjętego układu współrędnch (patr rs. 5.10). Jeżeli wpór ciała równ jest jego ciężarowi: (5.18) wówcas ciało będie poostawać w równowade anurone na dowolnej głębokości. Prjmując, że gęstość płnu wnosi ρ p a gęstość anuronego ciała o objętości V równa jest ρ c, al. (5.18) apisać można: ρ p g V ρc g V co daje warunek: ρ p ρ c (5.18a) godnie którm równowaga ciała anuronego całkowicie w płnie i poostającego w spocnku na dowolnej głębokości możliwa jest wówcas, gd gęstości ciała i płnu są sobie równe. V V Rs.5.1. Równowaga ciała cęściowo anuronego w płnie. Jeżeli ciężar ciała całkowicie anuronego w płnie nie równoważ wporu, tn.: > (5.19) która to stuacja achodi, gd: ρ p > ρ c (5.19a) wówcas pojawia się siła wpadkowa skierowana pionowo do gór i ciało będie się wnurać do chwili, gd w płnie anurona będie jednie objętość płnu V (rs. 5.1), dająca ciężar wpartego płnu równoważąc ciężar ciała: ρp g V ρc g V Zwiąek powżs prekstałcić można do postaci ρc V (5.19b) ρp V skąd wnika, że stosunek objętości anuronej ciała do całkowitej objętości będie określon pre ilora gęstości płwającego ciała i płnu. ajmniej interesującm punktu widenia astosowań praktcnch jest prpadek, gd ciężar ciała jest więks od sił wporu: 99
> (5.0) achodąc wówcas, gd: ρ c > ρ p (5.0a) tm prpadku siła wpadkowa jest skierowana pionowo w dół powodując opadanie ciała do chwili, gd spocnie ono na dnie oddiałwując na nie siłą P. a) M a b) M 0 c) M a Rs.5.13. Równowaga statecna a), obojętna b) i niestatecna c) ciała płwającego całkowicie anuronego. prpadkach określonch ależnościami (5.18) i (5.19) równowaga ciała płwającego wmaga spełnienia dodatkowch jesce warunków, ab można bło mówić o tw. równowade trwałej, kied ciało płwające nie tlko nie mienia wsokości swego środka ciężkości wględem stałoprestrennego układu współrędnch (tn. nie wnura się i nie tonie), lec także utrmuje stałe położenie. Jeżeli ciało płwające wtrącone e stanu równowagi pod wpłwem sił ewnętrnch powraca do stanu pocątkowego chwilą gd sił 100
ewnętrne prestają diałać, wówcas mówim o równowade statecnej a ciało takie (np. statek) nawam statecnm. Ropatrm najpierw prpadek ciała płwającego całkowicie anuronego, którego równowaga apisana w. (5.18) i (5.18a) może obejmować tr różne stan pokaane na rs. 5.13. Ponieważ sił ciężkości i wporu diałają w kierunku pionowm, stąd też poostawać będą one w równowade, jeżeli spełnion będie warunek, ab środek ciężkości i środek wporu leżał na osi pionowej wanej osią płwania, która musi pokrwać się osią pionową płwającego ciała. a) a M b) M 0 c) M a Rs.5.14. Równowaga statecna a), obojętna b) i niestatecna c) ciała płwającego cęściowo anuronego. pełnienie tego warunku ależ od wajemnego położenia środków ciężkości i wporu na osi płwania, pr cm dla uskania równowagi statecnej koniecnm jest, ab środek wporu położon bł wżej niż środek ciężkości, co predstawiono na rs. 5.13a. tm prpadku wstępowanie akłócenia równowagi i odchlenie osi smetrii ciała od osi płwania spowoduje, że sił wporu i ciężkości stworą parę sił dającą moment M nawan momentem prostującm. Moment ten będie dążł do prwrócenia stanu równowagi i stan taki nawan jest równowagą statecną, a ciało płwające jest statecne. Jeżeli środki ciężkości i wporu pokrwają się, wówcas wtrącenie ciała e stanu równowagi nie spowoduje wstąpienia jakiejkolwiek reakcji i płwające ciało nie będie 101
wkawać tendencji powrotu do stanu równowagi pocątkowej Taki stan ciała płwającego nawan jest równowagą obojętną a taki tp ciała płwającego pokaan na rs. 5.13b alican jest w okrętownictwie do grup obiektów niestatecnch. d środek ciężkości najduje się na osi płwania wżej niż środek wporu (rs. 5.13c), wówcas wtrącenie ciała e stanu równowagi powoduje powstanie momentu sił diałającego godnie kierunkiem wchlenia. Moment ten wan prechlającm powoduje dalse wchlenie ciała i uniemożliwia powrót do stanu pocątkowego a stan taki nawan jest równowagą niestatecną a ciało płwające jest obiektem niestatecnm. identcn sposób wraić możem warunki statecności dla ciał płwającch na powierchni w stanie cęściowo wnuronm, którego warunki równowagi międ siłami wporu i ciężkości dane są w. (5.19) i (5.19b). Jak pokaano na rs. 5.14a jeżeli środek wporu położon jest na osi płwania wżej niż środek ciężkości, wówcas wchlenie ciała położenia równowagi powoduje powstanie momentu prostującego, któr dąż do prwrócenia pierwotnego położenia ciała. Taki stan jest atem równowagą statecną a ciało pokaane na rs. 5.14a alicć można do grup statecnch. a) b) c) ϕ ϕkr ϕkr d) ϕkr ϕkr obsar statecności Rs.5.15. Krtcn kąt wchlenia ciała płwającego cęściowo wnuronego Jeżeli środek ciężkości pokrwa się e środkiem wporu (rs.5.14b) mam do cnienia równowagą obojętną gdż nie pojawia się wówcas moment prostując i takie ciało płwające poostaje w równowade w każdm położeniu. Położenie środka ciężkości nad środkiem wporu (rs. 5.14c) pr każdm odchleniu od stanu chwilowej równowagi powoduje powstanie momentu powodującego dalse pochlenie ciała co onaca, że jest to równowaga niestatecna. astosowaniach praktcnch arówno ciało rs. 5.14b jak i rs. 5.14c alicane są do ciał (statków) niestatecnch. Podsumowując dotchcasowe wnioski stwierdić można, iż równowaga statecna ciał płwającch wmaga spełnienia trech warunków: - po pierwse ciężar ciała musi bć równoważon siłą wporu, 10
- po drugie punkt prłożenia obdwu tch sił musą leżeć na osi płwania pokrwającej się osią pionową ciała, - po trecie punkt prłożenia sił wporu musi leżeć wżej niż środek ciężkości ciała. ależ jednak wrócić uwagę, że w prpadku ciał płwającch cęściowo anuronch spełnienie powżsch warunków (co pokaano na rs. 5.15a) daje równowagę statecną jednie pr takich kątach wchlenia ϕ, pr którch para sił ora daje moment prostując (patr rs. 5.15b). Zwięksenie kąta wchlenia powoduje jednak wędrówkę środka wporu, któr po prekroceniu krtcnej wartości ϕ kr może premieścić się w taki sposób, że amiast momentu prostującego otrmam moment pochlając. Zakres kątów wchlenia: ± ϕ kr określać będie wówcas tw. obsar statecności, w którm wstępować będie moment prostując, natomiast poa tmi obsarem wstępować będie moment pochlając, któr pogłębiać będie wchlenie. trakcie wchlania ciała płwającego cęściowo wnuronego środek ciężkości C obiektu płwającego nie mienia swego położenia, natomiast linia diałania sił wporu presuwa się w stronę cęści bardiej anuronej, co wnika e mian kstałtu objętości anuronej ciała (patr rs. 5.16). Linia diałania sił wporu precina wówcas oś płwania w punkcie M, któr nawam metacentrum, natomiast odległość od środka ciężkości do metacentrum mierona wdłuż osi płwania i onacona na rs. 5.16 jako odcinek m nawana jest wsokością metacentrcną. Jeżeli wsokość metacentrcna: m > 0 co onaca, że metacentrum położone jest na osi płwania powżej środka ciężkości, wówcas ciało płwające najduje się w równowade statecnej. M m C Rs.5.16. Metacentrum i wsokość metacentrcna. praktce, dla więksości statków wsokość metacentrcna utrmwana jest w akresie: m 0.15 1.3 [ m] ależnie od mas i kstałtu kadłuba. Można udowodnić, że okres swobodnch osclacji (wahań) statku T wiąan jest wsokością metacentrcną następującm wiąkiem proporcjonalności: 103 1 ( m) T ~ co onaca, że dla więksch m otrmujem skrócenie okresu osclacji natomiast małe wartości m prowadą do dłużsch okresów, tn. powolniejsch osclacji. Doświadcenie wkauje, że więksenie wsokości metacentrcnej ponad wartości podane powżej powoduje, że statek powraca gwałtownie do położenia równowagi, co powoduje powstanie dużch sił bewładności mogącch uskodić statek lub ładunek. Zbt małe natomiast wartości m dają co prawda łagodne (powolne) wahania statku, lec mniejsają margines bepieceństwa statecności, gdż małe błęd w romiesceniu ładunku mogą mienić na
tle położenie środka ciężkości, że statek może naleźć się w niedopuscalnm stanie równowagi obojętnej lub niestatecnej. okrętownictwie krteria statecności oparte są atem na wsokości metacentrcnej, jednak temat ten nie będie w ramach niniejsego wkładu serej rowijan a ainteresowan Ctelnik najdie więcej informacji m.in. w książkach J.sockiego i J.Bukowskiego. 104