Złożone działanie sił wewnętrznych w prętach prostych

Transkrypt

1 Złożone diałanie sił wewnętrnch w rętach rostch

2 Jeżeli sił wewnętrne nie redukują się włącnie do sił odłużnej N, orecnej T i momentu gnącego Mg c momentu skręcającego Ms, to radki takie nawa się łożonmi agadnieniami wtrmałości rętów.

3 NAPRĘŻENIA W PRĘCIE ROZCIĄGANYM LUB ŚCISKANYM I ZGINANYM

4 Roatrm ręt rost obciążon układem dwóch sił P równoważącch się (rs.1).ich rosta diałania nie okrwa się osią ręta, ma jednak jej kierunek. Obciążenie takie określa się jako rociąganie mimośrodowe. Osie i są głównmi osiami bewładności rekroju. Jako sił wewnętrne w dowolnm rekroju wstęują: siła odłużna N = P moment gnąc Mg = Pa. Jest to więc agadnienie równocesnego rociągania i ginania, które uwagi na to, że wektor momentu gnącego ma kierunek głównej osi bewładności rekroju, jest ginaniem rostm.

5 σ r σ g σ r +σ g P Mg N B x P n (Rs.1) a Narężenie sowodowane rociąganiem w dowolnm unkcie B wnosi N P σ r = = A A a narężenie od ginania Mg Pa σg = = I I W obu radkach wwołan stan narężenia jest jednoosiow. Składając narężenia σ r i σ g, otrmujem narężenie całkowite σ = σ P A r + σg = + Pa I

6 lub o odstawieniu I ż =Ai (gdie i ż -romień bewładności rekroju wględem osi ) σ Porównując σ = 0, otrmujem równanie osi obojętnej a 1 + o i P a = 1 + A i = 0 Jest to równanie linii rostej, równoległej do osi, resuniętej wględem niej o n = i / a Na rs. (1) oś obojętna linii recina rekrój ręta; mniejsając mimośród a możem ją odsunąć oa rekrój ręta. Wówcas wstąią włącnie narężenia dodatnie, choć o miennch wartościach.

7 Na rkładie ręta ściskanego mimośrodowo siłą P (rs.) roważm radek, gdie oróc diałania sił osiowej wstęuje ginanie ukośne. W dowolnm rekroju ręta wstąią: siła odłużna N = - P i moment gnąc Mg = Pa, owodując ginanie ukośne x P a N Mg α a Rs. Rs.3

8 Moment gnąc rokłada się na dwa moment ginania rostego. M g = -P i M g = P, gdie i są odległościami rostej diałania P od gnącego w unkcje o wsółrędnch i, otrmujem x σ= N M + A I g M I g Oś obojętna () I ( I, I ) P Y a m Z n II ( II, II ) Mg m N Mg α a Mg n Narężenia Rs. Rs.3

9 Po wstawieniu odowiednich wrażeń na N, M g, M g otrmujem σ = P A P I P I () Podstawiając a I = Ai I = Ai σ = P A 1+ i + i (3) Po orównaniu σ = 0 otrmujem 1+ o + o = 0 i i (4) Jest to równanie miejsca geometrcnego unktów, w którm narężenie równe jest eru. Miejscem tm jest linia rosta nie rechodąca re środek rekroju. Jest to oś obojętna. Najwiękse wartości osiągają narężenia ściskające i rociągające na konture rekroju w unktach I i II (rs.3) najbardiej oddalonch od osi obojętnej o obdwu jej stronach.

10 Równanie (4) możem redstawić w ostaci o = i i i o (5) i i I = = tg α Po odstawieniu a I, (gdie α jest kątem nachlenia wektora momentu gnącego do osi ) otrmujem i I o = + o tg α I Kąt nachlenia β osi obojętnej do osi określa tgβ = tgα. I Jest on taki sam, jak w ginaniu ukośnm. I (6) Wnacm odcinki m i n, jakie oś obojętna odetnie na osiach i ( rs.3) i i m o 0 = n = o = 0 = = = (7)

11 Niech sile P rłożonej w unkcie B (rs. 4) odowiada oś obojętna l. Prjmuje się na niej dowoln unkt C ( c, c ). Ab badać jak będie się mieniało ołożenie unktu rłożenia sił P w radku obrotu osi obojętnej wokół unktu C, należ w równaniu osi obojętnej (4) wstawić a o i o stałe wartości c i c, traktując i jako mienne Z l 1 k B B Jest to równanie linii rostej k (e wględu na mienne i ). C B 1 l c 1+ + i i c = 0 l Rs.4

12 Obrotowi linii dookoła jednego unktu odowiada resuwanie się unktu rłożenia sił o linii rostej.w radku gd siłę P rłożm w unktach B 1, B leżącch na osiach głównch bewładności rekroju, łatwo wnacm osie obojętne l 1 i l równoległe do odowiednich osi głównch. Ich recięcie wnaca unkt obrotu osi obojętnej w radku resuwania się unktu rłożenia sił o rostej k. l l m m. 0 B B k n n Rs.5

13 RDZEŃ PRZEKROJU

14 Dla sił ściskającej w unkcje B 1 (rs.6) wnacam oś obojętna l 1. Prechodi ona re figurę rekroju, więc w obrębie rekroju wstąią narężenia ściskające i rociągające. Dla sił rłożonej w unkcje B, leżącej na rostej rechodącej re unkt B 1 i środek rekroju, oś obojętna l będie rechodić równolegle do osi l 1, lec oa rekrojem. l l l 1 W rekroju wstęują włącnie narężenia jednego naku (ściskające). B B B 1 k Rs.6

15 Miejsce geometrcne unktów rłożenia sił (diałającej osiowo), dla którch w rekroju wstęują narężenia włącnie jednego naku, nawa się rdeniem (jądrem) rekroju. Kontur rdenia wnacają unkt B (rs. 6), dla którch osie obojętne będą stcne do konturu rekroju, nie recinając go. l 4 l 3 Wnaceniem rdenia rekroju jest adaniem scególnie rostm, gd rekrój jest wielokątem (rs.7 ) 3 a l B A l 1 l 5 Rs.7

16 Równocesne diałanie momentu skręcającego i sił odłużnej lub momentu gnącego

17 Technicnm rkładem równocesnego skręcania i rociągania może bć awieson ionowo wał turbin wodnej. W celu określenia stanu narężenia w wale wnaca się oddielnie narężenia stcne τ jak dla skręcania i narężenia normalne σ jak dla rociągania. Do ocen wtrmałościowej należ, oierając się na odowiedniej hioteie wtrmałościowej, oblicć narężenia redukowane σ red i orównać je naręż ężeniem douscalnm σ do.

18 W wale okrągłm (rs.8) narężenie od rociągania rokłada się w rekroju równomiernie N σ = A Ms Narężenia stcne aś są najwiękse na obwodie τ max = Wo σ τ Rs.8

19 Bardo cęstm i towm w technice budow masn radkiem jest równocesne ginanie i skręcanie wału. Jeżeli wał jest o rekroju kołowm, wówcas rokład narężeń w rekroju redstawia się jak na rs.9. τ MAX σ MAX τ max M = W s o σ τ σ max = M g W Rs.9

20 Uważając, że dla materiałów srężsto - lastcnch (stali) najstosowniejsa jest hiotea energii odkstałcenia ostaciowego (hiotea Hubera Misesa), oblicam: M g M s red max 3 σ = σ + τmax = 3 σdo W + W o Uwględniając, że dla rekroju kołowego stosunek wskaźników wtrmałości wnosi W o /W =, skąd W o = W σ red = M g + W 3 4 M s σ do 3 M red = Mg + M moment redukowan lub s 4 astęc (11)

21 Dla materiałów srężsto - lastcnch (stali) stosowana jest także hiotea maksmalnch narężeń stcnch: σ σ g s red max 4 τ M M = + max = + 4 W W σ o do Uwględniając, że dla rekroju kołowego stosunek wskaźników wtrmałości wnosi W o /W =, skąd W o = W σ σ red red 43 M g + g + Ms s = 44 = σ W σ do do 3 M Mg + M moment redukowan lub red = g + s s 4 astęc M M M (11)

22 Mred W σ do warunek wtrmałości warunek wtrmałości dla wału ginanego i skręcanego d = 3 3M red πσ do W radku gd są określone: moment gnąc i skręcając ora narężenia douscalne, osukuje się najmniejsej douscalnej średnic wału

23 Wór na moment obrotow (skręcając) na wale Moment skręcające rekawane na wał (a omocą asa c kół ębatch) można oblicć jednego odstawowch worów mechaniki, jeżeli nam moc P rekawaną na wał i rędkość obrotową wału n woru. P P P M S = = = 9554, 14 ω π n n W ktorm : 60 P - moc w kw; n -rędkość obrotowa wału w obr/min; M s - moment skręcając w N m J m kg W 3 s s kg m N m = = = = m = s s s s N m