Mtoda Elmntów Skończonych w Modlowaniu Układów Mchatronicznych Układy prętow (Scilab)
str.1 I. MES 1D układy prętow. Podstawow informacj Istotą mtody lmntów skończonych jst sposób aproksymacji cząstkowych równań różniczkowych (któr okrślają zachowani funkcji niwiadomych wwnątrz rozpatrywango obszaru dla dango zjawiska fizyczngo), polgający na podzial obszaru obliczniowgo na mał podobszary o prostych kształtach, zwan lmntami skończonymi oraz spcjalny sposób konstruowania funkcji aproksymujących (tzw. funkcji kształtu) opirający się na funkcjach zdfiniowanych w lmntach skończonych. MES jako jdna z niwilu mtod potrafi modlować zjawiska w skomplikowanych obszarach obliczniowych, co stanowi jdną z jj podstawowych zalt w zastosowaniach praktycznych. (*) ALGORYTM POSTĘPOWANIA w MES Przyjęci modlu fizyczngo rozważango obiktu Tworzni/import gomtrii, okrślni typu stosowanych lmntów skończonych Dyskrtyzacja (podział na lmnty skończon) Wyznaczni lokalnych macirzy sztywności (lub jj odpowidników dla innych zjawisk fizycznych, np. macirzy przwodności ciplnj) Agrgacja utworzni globalnj macirzy sztywności, oraz wktora obciążń sztywności (lub jj odpowidników dla innych zjawisk fizycznych) Uwzględnini warunków brzgowych (np. mtoda kary) Rozwiązani układu równań MES KQ=F (statyka, liniowa spręzystość) Odczyt rzultatów (przmiszcznia w węzłach), wyznaczni rakcji w podporach, obliczni naprężń w prętach konstrukcji (lub ich odpowidników dla innych zjawisk fizycznych) (*) cyt. oprac. na podstawi K.Banaś Wprowadzni do MES http://www.mtal.agh.du.pl/~banas/wprowadzni_do_mes.pdf
str.2 II. Przykład modlowania układu prętowgo za pomocą MES 1. Przyjęci modlu fizyczngo rozważango obiktu, Pręt stalowy o zminnym przkroju, utwirdzony jdnym końcm, obciążony dwoma siłami. 2. Dyskrtyzacja - podział na lmnty skończon 3. Wyznaczni lokalnych macirzy sztywności Lokalna macirz sztywności dla lmntu prętowgo: k AE 1 1 L 1 1 gdzi: A pol przkroju lmntu skończongo, E moduł Younga, L długość lmntu skończongo W przykładzi nalży wyznaczyć 4 lokaln macirz sztywności, poniważ wyróżniono 4 lmnty skończon k A E 1 1 k k A E 1 1 k k 1 1 4 4 1 1 11 12 4 4 11 12... 1 1 4 4 L 1 1 1 k k L 21 k22 4 1 1 k21 k22 Poniważ cały pręt jst wykonany z jdngo matriału to E 1 = E 2 = E 3 = E 4 = E 4. Agrgacja Utworzni globalnj macirzy sztywności K oraz wktora obciążń K k F f T F w ogólności wktor obciążń F moż zawira równiż obciążnia masow (f ) oraz równomirni rozłożon T (tzw. trakcj)
str.3 Zagrgowana macirz sztywności dla przykładu ma postać: Uwagi: 1 1 k11 k12 0 0 0 1 1 2 2 k21 k22 k11 k12 0 0 2 2 3 3 K 0 k21 k22 k11 k12 0 3 3 4 4 0 0 k21 k22 k11 k12 4 4 0 0 0 k21 k 22 Zauważ, ż łącznia lokalnych macirzy sztywności występują w węzłach któr są wspóln dla sąsiadujących lmntów. Tworzy się tzw. pasmo, zaznaczon powyżj liniami przrywanymi. Tam gdzi ni występuj połączni poszczgólnych węzłów lmntm, tam w macirzy sztywności występują wartości zrow (np. 1-3, 1-4, 1-5, 2-4, itd.). Macirz posiadająca wil lmntów zrowych nazywa się macirzą rzadką. Poza tym, ż macirz sztywności jst macirzą rzadką i pasmową jst ponadto macirzą symtryczną, tj. K ij K ji Zagrgowany wktor obciążń (macirz kolumnowa) dla przykładu ma postać: 0 P F 0 0 2P 5. Uwzględnini warunków brzgowych mtoda kary Mtoda kary (ang. Pnalty approach) polga na zadaniu dużj sztywności w mijscach okrślnia warunku przmiszczniowgo. W ogólności, modyfikacji podlgają zarówno, globalna macirz sztywności, jak i globalny wktor obciążń wg następującgo schmatu: 1. Modyfikacja globalnj macirzy sztywności K dodajmy stałą C do lmntów lżących na przkątnj macirzy odpowiadającym odbraniu dango stopnia swobody 2. Modyfikacja macirzy kolumnowj obciążń F dodajmy iloczyn C u 1 do lmntu odpowiadającmu odbraniu przmiszcznia stała C dobirana jst zwykl jako iloczyn modułu maksymalnj wartości macirzy sztywności oraz pwngo mnożnika np. 10 4 (duża sztywność), tj. max K ij *10 4
str.4 W rozważanym przykładzi utwirdzni występuj w węźl nr 1, więc modyfikacja układu równań MES będzi następująca: k C k 0 0 0 Q 0 1 1 11 12 1 1 1 2 2 21 22 11 12 0 0 Q 2 P k k k k 2 2 3 3 0 k21 k22 k11 k12 0 Q 3 0 3 3 4 4 0 0 k Q 21 k22 k11 k12 4 0 4 4 0 0 0 k Q 21 k 22 5 2P Uwaga: W ogólności zadawan przmiszcznia ni muszą mić zrowych wartości (np. luz montażowy). Układ równań uwzględniający modyfikację wktora obciążń ma wtdy postać: K11 C K12... K1N Q1 F1 Cu1 K21 K22... K 2N Q 2 F 2 K K... K Q F N1 N 2 NN N N 6. Rozwiązani układu równań MES Zastosowani mtody kary umożliwia potraktowani wktora przmiszczń jako niwiadomj w równaniu MES: Odpowiada to przkształcniu równania do postaci KQ = F 1 Q = K F Uwaga: Zagrgowana macirz sztywności bz uwzględniania warunków brzgowych jst macirzą osobliwą. Uwzględnini warunków brzgowych (tutaj mtodą kary) powoduj, ż macirz ta przstaj być osobliwa i możliw jst rozwiązani powyższgo układu równań. 7. Odczyt rzultatów - przmiszcznia w węzłach, obliczni naprężń w poszczgólnych prętach Rozwiązani układu równań MES wyznacza przmiszcznia węzłow (wktor Q) Naprężni w poszczgólnych prętach wyznacza się z zalżności σ = E B q gdzi: q jst dwulmntowym wktorm przmiszczń dla lmntu, B jst macirzą gomtryczną lmntu okrśloną zalżnością: B 1 L 1 1
str.5 III. Kod do programu SciLab dla powyższgo przykładu Dan do przykładu: Moduł Younga E= 200 000MPa Siła P=1000N Długości poszczgólnych lmntów: L1=100mm; L2=50mm; L3=200mm; L4=100mm Pola przkroju poszczgólnych lmntów: A1=50mm 2 ; A2=40mm 2 ; A3=20mm 2 ; A4=5mm 2 //okrślni wartości obciążnia P=1000; //okrślni długości poszczgólnych lmntów L1=100; L2=50; L3=200; L4=100; //okrślni własności matriałowych E=25; //okrślni pól przkroju dla poszczgólnych lmntów A1=50 A2=40; A3=20; A4=5; //wyznaczni macirzy sztywności poszczgólnych lmntów K1=E*A1/L1*[1, -1; -1, 1]; K2=E*A2/L2*[1, -1; -1, 1]; K3=E*A3/L3*[1, -1; -1, 1]; K4=E*A4/L4*[1, -1; -1, 1]; //Zainicjowani globalnj macirzy sztywności KG=zros(5,5); //Agrgacja globalnj macirzy sztywności KG(1:2,1:2)=KG(1:2,1:2)+K1; KG(2:3,2:3)=KG(2:3,2:3)+K2; KG(3:4,3:4)=KG(3:4,3:4)+K3; KG(4:5,4:5)=KG(4:5,4:5)+K4; //Okrślni wktora sił węzłowych F=[0; -P; 0; 0; 2*P]; //Okrślni przmiszczniowych warunków brzgowych - mtoda kary C=max(KG)*10^4; //Okrślni stałj C modlującj sprężynę o dużj sztywności KG(1,1)=KG(1,1)+C; //Rozwiązani układu równań Q=inv(KG)*F; //okrślni wktora przmiszczń lmntu q1=q(1:2); q2=q(2:3); q3=q(3:4); q4=q(4:5); //okrślni macirzy gomtrycznych dla poszczgólnych lmntów B1=1/L1*[-1,1]; B2=1/L2*[-1,1]; B3=1/L3*[-1,1]; B4=1/L4*[-1,1]; //obliczni naprężń w poszczgólnych lmntach sig1=e*b1*q1; sig2=e*b2*q2; sig3=e*b3*q3; sig4=e*b4*q4; //wyświtlni wktora przmiszczń Q disp(q); //wyświtlni naprężń w lmntach disp(sig1, "Sigma 1="); disp(sig2, "Sigma 2="); disp(sig3, "Sigma 3="); disp(sig4, "Sigma 4=");
str.6 IV. Zadania do samodzilngo wykonania 1. Zapoznaj się dokładni z sposobm modlowania układów prętowych MES (pkt I i II) 2. Uruchom kod z pkt. III w programi SciLab oraz przanalizuj jgo działani. 3. Oblicz analityczni wydłużnia oraz naprężnia dla poszczgólnych części pręta wykorzystując dan z pkt. III. Rzultaty obliczń analitycznych porównaj z wynikami otrzymanymi w programi Scilab. 4. Napisz własny skrypt do programu SciLab wyznaczający przmiszcznia węzłow oraz naprężnia w prętach dla następującgo przykładu: Dan do przykładu: Moduł Younga E 1 = 200 000MPa (stal); E 2 = 70 000MPa (aluminium); Siła P=2000N Długości poszczgólnych lmntów: L1=100mm; L2=70mm; Pola przkroju lmntów: A1=60mm 2 ; A2=30mm 2 ; 5. Oblicz analityczni przmiszczni przkroju w którym przyłożona jst siła P oraz naprężnia dla obydwu części pręta. Rzultaty obliczń analitycznych porównaj z wynikami otrzymanymi w programi Scilab.