Zastosowanie metody elementów skończonych do rozwiązywania układów prętowych

Transkrypt

1 Instytt Mchaniki i Inżynirii Obliczniow Wydział Mchaniczny Tchnologiczny Politchnika Śląska fb.com/imiopolsl twittr.com/imiopolsl LORTORIUM WYTRZYMŁOŚCI MTERIŁÓW Zastosowani mtody lmntów skończonych do rozwiązywania kładów prętowych

2 ZSTOSOWNIE MES DO ROZWIĄZYWNI UKŁDÓW PRĘTOWYCH. CEL ĆWICZENI Zapoznani się z mtodą lmntów skończonych w aspkci zastosowania do rozwiązywania kładów prętowych. Zapoznani się z pakitm mtody lmntów skończonych (PROZC, KRT, ELK, RMD, PRO-MES, C, PTRN lb podobn) i go obsłgą w przypadk zagadniń prętowych. Wyznaczni rozkład przmiszczń i naprężń w ramach i kratownicach statyczni wyznaczalnych i niwyznaczalnych.. WPROWDZENIE Mtoda lmntów skończonych (MES) st dną z naczęści stosowanych mtod komptrowych (nmrycznych) słżących do rozwiązywania tzw. zagadniń brzgowych mchaniki. Istota mtody sprowadza się do zastąpinia modl ciągłgo kład mchaniczngo modlm dyskrtnym. Modl dyskrtny przym w rzltaci postać kład równań algbraicznych. W niniszym rozdzial przdstawiono zastosowani MES do rozwiązywania kładów prętowych, w tym prętów rozciąganych (ściskanych), blk, kratownic i ram. Podstawy tortyczn mtody lmntów skończonych dla kładów prętowych przdstawiono w litratrz zamiszczon na końc rozdział. W niniszym rozdzial przdstawiono mtodę lmntów skończonych wykorzystąc koncpcę całki ważon oraz tzw. sformłowani słab, któr szczgółowo przdstawiono w []. Inn, altrnatywn sformłowani, równoważn niniszm, można wyprowadzić z warnk minimalizaci nrgii potncaln.. PODSTWY TEORETYCZNE. Mtoda lmntów skończonych dla prętów rozciąganych (ściskanych) i kratownic Rozważany st pręt prosty o zminnym przkro () i dłgości L, wykonany z matriał o modl Yonga E, obciążony obciążnim ciągłym q() rozłożonym wzdłż dłgości pręta i siłą 0 na końc (rys. a, b). Pol przmiszczń osiowych spłnia następąc równani różniczkow któr nalży zpłnić warnkami brzgowymi w postaci: gdzi: a = a()=()e sztywność na rozciągani. d d( ) a( ) q( ) 0 dla 0 L, () a d ( 0) 0, 0, () by rozwiązać równani (), tzn. znalźć pol przmiszczń () przy warnkach brzgowych (), dzili się obszar pręta () na N odcinków o dłgości h, =,,...,N, któr nazywa się lmntami skończonymi (rys. c). Rozważmy typowy lmnt skończony = (, ) = (, + ), którgo końc maą współrzędn = i = (rys. a). L

3 ZSTOSOWNIE MES DO ROZWIĄZYWNI UKŁDÓW PRĘTOWYCH Oznaczmy przmiszcznia węzłow i i siły normaln i, i =,, zdfiniowan na rys. b. Poszkiwan pol przmiszczń na lmnci aproksymować będzimy za pomocą pwngo wilomian potęgowgo n ( ) U N ( ), gdzi są niznanymi wartoś- ciami węzłowymi przmiszczń, natomiast N ( ) są fnkcami intrpolacynymi zwanymi takż fnkcami kształt. Wówczas równani różniczkow () spłnion st na lmnci tylko w sposób przybliżony. W cl oblicznia niznanych wartości przmiszczń węzłowych żądamy, aby równani różniczkow () spłnion było przz przybliżni która okrślona st następąco: U w snsi tzw. całki ważon, gdzi w() tzw. fnkca ważona. d d w( ) a q 0, () a) L d 0 a L b) q() = 0 0 c) q() h h h d a h N N N+ Nmr lmnt Nmr węzła Rys.. a) Pręt rozciągany; b) idalizaca matmatyczna; c) dyskrtyzaca lmntami skończonymi

4 ZSTOSOWNIE MES DO ROZWIĄZYWNI UKŁDÓW PRĘTOWYCH Całkąc równani () przz części otrzym się: gdzi: dw d 0 a wq w( ) w( ), () są siłami normalnymi w węzłach lmnt. d d a, a Równani () nazywa się sformłowanim słabym zagadninia brzgowgo opisango równanim różniczkowym () z warnkami brzgowymi (). Trmin sformłowani słab pochodzi od tgo, ż w równani () słabsz są wymagania dotycząc różniczkowalności pola przmiszczń (). (5) a) h 0 h b) d a ( ) ( ) d a Rys.. a) Typowy lmnt skończony; b) dfinica przmiszczń i sił węzłowych W równani różniczkowym () () msi być fnkcą dwkrotni różniczkowalną, natomiast w sformłowani słabym () wymagani różniczkowalności obniżon st o dn rząd i fnkca U, aproksymąca pol przmiszczń () na lmnci skończonym, moż być fnkcą liniową i przym postać: ( ) ( ) ( ) ( ) U N N N, (6) gdzi fnkc kształt (fnkc intrpolacyn) wyrażaą się wzorami: N ( ), N ( ) W mtodzi lmntów skończonych podstawow równania mtody wyprowadzić można korzystaąc z sformłowania słabgo () przymąc, ż pol przmiszczń aproksymowan st przybliżnim (6), a fnkca wagowa wyrażona st przz fnkcę kształt, tzn. w( ) N( ) i w( ) N( ). Otrzym się wówczas dwa równania, któr w postaci macirzow przymą postać: (7)

5 ZSTOSOWNIE MES DO ROZWIĄZYWNI UKŁDÓW PRĘTOWYCH 5 K f ; (8) gdzi: K K i kwadratowa macirz sztywności lmnt zdfiniowana następąco: oraz: f f i h dn dn i dn dn i Ki a a 0 (9) macirz kolmnowa sił okrślona zalżnością: h i i i 0 (0) f q N q N N ( i ) i, () przy czym h st dłgością -tgo lmnt skończongo. Macirz K i f dla liniowych fnkci kształt (7) maą postać: a K h, () f q h Macirz sztywności lmnt () st macirzą symtryczną. W równaniach (9), (0), () i () przyęto, ż a i q przymą stał wartości na. W przypadk kratownicy (kład prętowgo wykonango z prętów połączonych przgbowo i prznoszących tylko rozciągani bądź ściskani) przmiszcznia węzłow i siły węzłow wygodni st przdstawić w każdym węźl za pomocą dwóch składowych w kładzi lokalnym (rys. a) ak i globalnym (rys. b). y y h 0 0 a) b) Rys.. Elmnt skończony kratownicy: a) w kładzi lokalnym; b) w kładzi globalnym Zalżność między przmiszczniami węzłowymi i siłami węzłowymi w kładzi lokalnym (rys. a) ma postać: y () K ()

6 ZSTOSOWNIE MES DO ROZWIĄZYWNI UKŁDÓW PRĘTOWYCH 6 Macirz sztywności lmnt kratownicy w kładzi lokalnym K st wyrażona następąco: 0 0 E K, (5) h sym. 0 0 gdzi: E sztywność na rozciągani (ściskani) -tgo lmnt kratownicy; h dłgość -tgo lmnt kratownicy. W kładzi globalnym (rys. b) macirzow równani dla -tgo lmnt ma postać: gdzi macirz sztywności lmnt: Macirz transformaci T ma postać: K, (6) T K T K T (7) cos sin 0 0 sin cos 0 0 T 0 0 cos sin 0 0 sin cos Szczgółowy opis mtody lmntów skończonych dla pręta rozciągango (ściskango) i płaski kratownicy można znalźć w pracy []. Edkacyn programy MES do obydw zagadniń (odpowidnio PROZC i KRT) znadą się na stronach intrntowych: Mtoda lmntów skończonych dla prętów zginanych i ram Rozważany st pręt prosty (blka) o zminn sztywności b()=ei() (E modł Yonga, I momnt bzwładności) i dłgości L, obciążony obciążnim ciągłym o intnsywności q() oraz siłą F 0 i momntm M 0 na końc (rys. a). Pol przmiszczń poprzcznych (gięć) v = v() spłnia równani różniczkow: (8) d d v( ) b( ) q( ) dla 0<<L (9)

7 ZSTOSOWNIE MES DO ROZWIĄZYWNI UKŁDÓW PRĘTOWYCH 7 Równani (9) nalży zpłnić warnkami brzgowym: v(0), dv v0 0 0 d v d v b L M 0, b L F 0 Między momntami gnącymi M, siłami poprzcznymi T i obciążniami ciągłymi q() zachodzą następąc rlac (rys..b): a) d v dm dt,, (0) M b T q () q() F 0 M 0 y b) M M+dM Rys.. a) lka zginana; b) siły wwnętrzn w blc by rozwiązać równani (9), tzn. znalźć pol gięć v() przy warnkach brzgowych (0), dzilimy obszar pręta (0, L) na N lmntów skończonych (rys. 5a). Rozważmy typowy lmnt skończony (, + ) z zdfiniowanymi na rys. 5b przmiszczniami ogólnionymi (v, ) i siłami ogólnionymi (T, M ). Dla przyętych zwrotów przmiszczń i sił ogólnionych wprowadzono następącą notacę: oraz gdzi: T dv T+dT () d d v d v b, b d d v d v b, b ()

8 ZSTOSOWNIE MES DO ROZWIĄZYWNI UKŁDÓW PRĘTOWYCH 8, siły poprzczn;, momnty gnąc. a) N N+ h h h h N b) v v c Rys. 5 a) Podział blki na lmnty skończon; b) dfinica przmiszczń i sił ogólnionych Ugięci v() będzi aproksymowan na lmnci za pomocą pwngo wilomian V (). Wówczas równani różniczkow (9) spłnion st na lmnci w sposób przybliżony. Żądamy, aby równani (9) spłnion było przz V w snsi całki ważon: gdzi: w() fnkca ważona. 0 ( ) d d v w b q () Całkąc () przz części otrzymmy następąc sformłowani słab dla blki: d v d w dw dw b wq w w 0 ( ) ( ) (5) Warto zwrócić wagę, ż rząd różniczkowalności fnkci gięcia v() został obniżony z rzęd czwartgo do rzęd drgigo. Poniważ całkowita liczba warnków dotyczących przmiszczń ogólnionych dla lmnt blkowgo wynosi cztry (po dwa w każdym węźl), więc wygodni st przyąć cztroparamtrowy wilomian aproksymący dla v(): v( ) V ( ) N N N N N, (6)

9 ZSTOSOWNIE MES DO ROZWIĄZYWNI UKŁDÓW PRĘTOWYCH 9 gdzi fnkc kształt N maą postać: N, N h h h N, N h h h h W mtodzi lmntów skończonych podstawow równania mtody wyprowadzamy z sformłowania słabgo (5) przymąc przybliżni (6) oraz zakładaąc, ż fnkca ważona w() wyrażona st przz fnkc kształt, tzn. w N, w N, w N i w N. Otrzymmy wówczas cztry równania, któr w postaci macirzow maą postać : gdzi: K K K K K K K K K K K K K K K K K F F F F (7), (8) macirz sztywności lmnt blkowgo, któr lmnty okrślon są następąco: F macirz kolmnowa sił: K i dn (9) dni i i i F N q (0) Współczynniki K i są symtryczn, tzn. Ki Ki. Przy przyęt aproksymaci gięć v() za pomocą (6) macirz sztywności i sił przymą postać: 6 h h b h h h h K, ( b EI const.) h 6 h 6 h h h h h () 6 qh h F, ( q const.) 6 h Znaąc macirz sztywności i sił dla lmnt blkowgo można okrślić macirz sztywności i sił dla cał blki względniaąc warnki zgodności ogólnionych przmiszczń i warnki równowagi dla sił ogólnionych.

10 ZSTOSOWNIE MES DO ROZWIĄZYWNI UKŁDÓW PRĘTOWYCH 0 Rozważmy płaską ramę, którą dzilimy na lmnty skończon, =,,...,N. Elmnt skończony dla ramy st złożnim lmnt prętowgo o sztywności E i obciążni ciągłym q R i lmnt blkowgo o sztywności E I i obciążni ciągłym q Z. W każdym węźl mamy po trzy ogólnion przmiszcznia węzłow i odpowiadaąc im ogólnion siły węzłow. Uogólnion przmiszcznia i siły węzłow dla lmnt skończongo ramy mogą być przdstawion w kładzi lokalnym i globalnym (rys. 6). y 0 0 a) b) Rys. 6. Elmnt skończony ramy: a) w kładzi lokalnym; b) w kładzi globalnym W kładzi lokalnym lmnt skończony dla ramy st opisany równanim: K F () W równani tym macirz kolmnow ogólnionych przmiszczń i sił węzłowych są równ: R 6qh Z 6qh Z qh, F R () 6qh Z 5 6qh 5 Z 6 qh 6 Macirz sztywności lmnt skończongo w kładzi lokalnym ma postać: gdzi: y c h I 5 6 h 6 5 y c 0 0 c h 0 6 h 0 0 EI h h h h [ K ], () h c 0 0 c h 0 6 h 0 h h 0 h h

11 ZSTOSOWNIE MES DO ROZWIĄZYWNI UKŁDÓW PRĘTOWYCH Równani macirzow dla lmnt skończongo ramy w kładzi globalnym ma postać: K F (5) Macirz sztywności lmnt skończongo ramy K w powyższ zalżności ma postać: gdzi H T K H K H, (6) macirz transformaci w postaci: cos sin sin cos H cos sin sin cos Szczgółowy opis mtody lmntów skończonych dla blki i ramy można znalźć w pracy []. Edkacyn programy MES do obydw zagadniń (odpowidnio ELK i RMD) znadą się na stronach intrntowych: Przygotowani zadania do rozwiązania mtodą lmntów skończonych W cl rozwiązania konkrtngo zadania brzgowgo nalży tworzyć modl nmryczny rozpatrywango kład. W rzczywistym kładzi mchanicznym wyodrębnia się części składow, któr modl się ako pręty (blki) lb lmnty płaski dwwymiarow (płytow, tarczow, powłokow). Niktór fragmnty konstrkci mogą być modlowan lmntami przstrznnymi (trówymiarowymi). W niniszych rozwiązaniach ograniczono się do lmntów dnowymiarowych - prętowych i blkowych. Pręty (blki) modlowan są ako dwa węzły połączon za sobą odcinkim. Węzły rprzntą początk i konic lmnt prętowgo, odcink - dan gomtryczn i własności matriałow. W węzłach można przykładać siły skpion, momnty skpion lb przmiszcznia (liniow lb kątow). Wilkości t mogą być równiż wyznaczan w węzłach. Podział na węzły i lmnty msi względniać rzczywist własności kład. Siły skpion i momnty skpion mogą być przykładan tylko węzłach. W przypadk zastosowania lmntów prętowych połącznia w węzłach ni prznoszą momntów. W przypadk stosowania lmntów blkowych połącznia w węzłach prznoszą siły podłżn, siły poprzczn oraz momnty gnąc, a dla kładów przstrznnych równiż momnty skręcaąc. Elmnty prętow stosowan są do modlowania kratownic, zaś lmnty blkow do modlowania ram. Podczas tworznia modl nmryczngo nalży przstrzgać następących zasad:. Elmnty mogą łączyć się tylko w węzłach.. Siły skpion i momnty skpion mogą być zadawan tylko w węzłach.. Podpory mogą być miszczan tylko w węzłach.. Obciążnia ciągł nalży zadać zgodni z wytycznymi program komptrowgo lb zastąpić obciążniami skpionymi. 5. Momnty ciągł rozłożon nalży zadać zgodni z wytycznymi program komptrowgo lb zastąpić momntami skpionymi. 6. Podparci ciągł nalży zastąpić podporami w węzłach. (7)

12 ZSTOSOWNIE MES DO ROZWIĄZYWNI UKŁDÓW PRĘTOWYCH 7. Odlgłości pomiędzy węzłami (dłgości lmntów) powinny być w miarę równomirn. 8. Różnica pomiędzy nmrami węzłów w lmnci powinna być ak namnisza (pasmo minimaln). 9. Układ msi mić tak narzcon więzy (pnkty podparcia), aby ni tworzył mchanizm.. PRZEIEG ĆWICZENI Dla wybranych kładów prętowych lb blkowych przprowadzić oblicznia (wyznaczni przmiszczń, naprężń i rakci podporowych) przy życi program mtody lmntów skończonych wskazango przz prowadzącgo.. Przykładow zadania Zadani Dla pręta stopniowango podpartgo i obciążongo ak na rys. 7 wyznaczyć przmiszcznia pnktów, C oraz rozkład naprężń. Do obliczń przyąć różn warianty obciążń. Przykładow dan: = 0.0 m ; = m ; = m ; l = l = l = 0.5 m; P = 5 kn; P = kn; E = 0 Pa (stal). P P Zadani Rys. 7. Pręt rozciągany schmat statyczny Dla kratownicy płaski podpart i obciążon ak na rys. 8 wyznaczyć przmiszcznia pnktów, D oraz naprężnia w prętach. Do obliczń przyąć różn warianty obciążń. Przykładow dan: = = = = 5 = 0.0 m ; l = l =.0 m; l = l = 0.5 m; P = kn; P = kn E = 0 Pa (stal). C D l l l

13 ZSTOSOWNIE MES DO ROZWIĄZYWNI UKŁDÓW PRĘTOWYCH P P D l 5 l l l Rys. 8. Kratownica schmat statyczny Zadani Dla blki podpart i obciążon ak na rys. 9 wyznaczyć położni osi gięt oraz rozkład naprężń w przkro poprzcznym wzdłż osi blki. Wyznaczyć analityczni przmiszcznia końca swobodngo blki dla wskazango wariant obciążnia i porównać z wynikami otrzymanymi nmryczni. Do obliczń przyąć różn warianty obciążnia. Przykładow dan: l = l = 0.5 m; I = I = m ; W = W = m ; P = 7 kn; P = kn; M = knm; M = knm. E = 0 Pa (stal). M M P P C l l Rys. 9. lka wspornikowa schmat statyczny Zadani Dla ramy podpart i obciążon ak na rys. 0 wyznaczyć położni osi gięt oraz rozkład naprężń. Wyznaczyć analityczni przmiszcznia końca swobodngo D ramy dla wskazango wariant obciążnia i porównać z wynikami otrzymanymi nmryczni. Do obliczń przyąć różn warianty obciążnia. Przykładow dan: l = l =.0 m; l = 0.5 m I = I = I = m ; W = W = W = m ;

14 ZSTOSOWNIE MES DO ROZWIĄZYWNI UKŁDÓW PRĘTOWYCH P = 8 kn; P = kn; M = 5 knm; M = knm. E = 0 Pa (stal). M P P l C l l D M Rys. 0. lka statyczni niwyznaczalna schmat statyczny 5. OPRCOWNIE WYNIKÓW I WYTYCZNE DO SPRWOZDNI Sprawozdani powinno zawirać: I. Cl ćwicznia II. Krótki omówini podstaw MES- i zasad modlowania w MES-i III. Opis rozwiązywango zagadninia i modl nmryczngo (z rysnkami) IV. Wyniki obliczń w formi wydrków sporządzonych na drkarc. Wyniki powinny zawirać:. Rysnki gięć dla różnych wariantów obciążnia. Wykrsy naprężń dla wykonanych wariantów V. nalizę wyników VI. Wnioski 6. PRZYKŁDOWE PYTNI KONTROLNE. Do czgo słży mtoda lmntów skończonych?. Jaki są istotn cchy mtody lmntów skończonych?. Co to st macirz sztywności i w akim wzorz występ?. Co to są fnkc kształt? 5. Co to są lmnty skończon, aki rodza lmntów modlą dany przypadk wytrzymałościowy? 6. Jakich zasad nalży przstrzgać w przypadk rozwiązywania zagadninia mtodą lmntów skończonych?

15 ZSTOSOWNIE MES DO ROZWIĄZYWNI UKŁDÓW PRĘTOWYCH 5 7. LITERTUR. lch W., rczyński T., Fdliński P., John., Kokot G., Kś W.: Laboratorim z wytrzymałości matriałów. Wyd. Politchniki Śląski, Skrypt nr 85, Gliwic, 00.. ąk R., rczyński T.: Wytrzymałość matriałów z lmntami ęcia komptrowgo, WNT, Warszawa 00.. Jaworski.: Mtoda lmntów skończonych w wytrzymałości konstrkci, Wyd. Politchniki Warszawski, Warszawa 98.. Krszwski J.: Mtoda lmntów skończonych w dynamic konstrkci, PWN, Warszawa Pitrzak J., Rakowski G., Wrzśniowski K.: Macirzowa analiza konstrkci, PWN, Warszawa-Poznań Szmltr J.: Mtoda lmntów skończonych w mchanic, PWN, Warszawa Szmltr J.: Mtoda lmntów skończonych w statyc konstrkci, rkady, Warszawa Szmltr J.: Mtody komptrow w mchanic, PWN, Warszawa Zinkiwicz O.C.: Mtoda lmntów skończonych, rkady, Warszawa 97. Czy wisz, ż Jdnym z zaawansowanych programów komptrowych mtody lmntów skończonych st NSYS. Jst on stosowany m. in. do proktowania samochodów Frrari startących w wyścigach Gran Torismo. Źródło: