ZASTOSOWANIE METODY REDUKCJI OBSZARU OBLICZENIOWEGO W DYNAMICZNYCH ZAGADNIENIACH INTERAKCJI KONSTRUKCJI Z PODŁOŻEM

Transkrypt

1 ANDRZEJ TRUTY * ZASTOSOWANIE METODY REDUKCJI OBSZARU OBLICZENIOWEGO W DYNAMICZNYCH ZAGADNIENIACH INTERAKCJI KONSTRUKCJI Z PODŁOŻEM APPLICATION OF DOMAIN REDUCTION METHOD IN DYNAMIC PROBLEMS OF SOIL-STRUCTURE INTERACTION Strszczni W artykul omówiono podstawy i zastosowani mtody rdukcji obszaru obliczniowgo (DRM) w dynamicznych zagadniniach intrakcji konstrukcji budowlanych z podłożm gruntowym. Pokazano sposób sformułowania problmu, problmatykę dyskrtyzacji mo dli zrdukowanych oraz dwuwymiarowy przykład obliczniowy. Słowa kluczow: dynamika, intrakcja konstrukcja-grunt, mtoda rdukcji obszaru obli czniowgo Abstract Th domain rduction mthod (DRM) and its application for solving dynamic soil-structur intraction problms ar discussd in th papr. Th drivation of th mthod, som d-tails concrnd with discrtization of rducd dynamic modls and a two-dimnsional xampl ar prsntd. Kywords: dynamics, soil-structur intraction, domain rduction mthod * Dr hab. inż. Andrzj Truty, prof. PK, Instytut Gotchniki, Wydział Inżynirii Środowiska, Politchnika Krakowska.

2 Wstęp W większości praktycznych analiz dynamicznych zagadniń intrakcji konstrukcji budowlanych z gruntm, prowadzonych w dzidzini czasu oraz przy zastosowaniu dyskrtyzacji MES, mamy do czyninia z modlami obliczniowymi, któr wymagają bardzo dużych czasów obliczń, a często mogą wykraczać dość istotni poza zasoby (pamięć, wydajność) posiadango sprzętu komputrowgo klasy PC. W związku z tym zachodzi potrzba rdukcji liczby stopni swobody analizowango modlu dyskrtngo możliwi bz utraty dokładności otrzymywanych wyników. Mtoda rdukcji obszaru obliczniowgo (Domain Rduction Mthod, DRM) zaproponowana przz Bilaka [1, 6] umożliwia analizę takich modli dyskrtnych objmujących całość konstrukcji oraz niwilką część współpracującgo podłoża. Jako przykład można podać analizę drgań konstrukcji mostu, gdzi każda z podpór otoczona jst tylko niwilką częścią współpracującgo podłoża. W artykul omówion zostaną pwn aspkty tj mtody w odnisiniu do ośrodka gruntowgo traktowango jako jdnoskładnikowy, tj. bz udziału ciczy. Rozszrzni mtody DRM na ośrodk częściowo nasycony, al traktowany jako dwuskładnikowy opisan jst w raporci autora [5] i będzi przdmiotm odrębnj publikacji. Opis mtody DRM dla ośrodka dwuskładnikowgo, al całkowici nasycongo można znalźć w pracy doktorskij Kanto [4]. Sformułowani podan w ninijszj pracy, w odróżniniu od pracy Kanto, odnosi się do tzw. formy półdyskrtnj (przd wprowadznim schmatu całkowania po czasi), co daj dużą uniwrsalność z punktu widznia zastosowania dowolngo schmatu całkowania po czasi. 2. Podstawy mtody rdukcji obszaru obliczniowgo Konstrukcja mtody rdukcji obszaru obliczniowgo jst w swj istoci stosunkowo pro sta. Jj podstawą jst dkompozycja złożongo modlu obliczniowgo na tzw. modl tła, w którym analizujmy ruch podłoża w tzw. polu dalkim oraz modl zrdukowany (por. rys. 2), w którym analizujmy całą konstrukcję wraz z niwilką częścią przylgłgo podłoża. W wyniku analizy modlu tła w dowolnym punkci podłoża otrzymujmy wilkości przmisz czń u 0 (t), prędkości u () t i przyspiszń u (), t wywołan działanim źródła obciążnia P (t). Nalży tu zaznaczyć, ż zachowani podłoża w polu dalkim oraz części podłoża + w podobszarz Ω w modlu zrdukowanym musi być liniow, natomiast w podobszarz Ω. możmy stosować dowoln związki niliniow. Z koli w modlu zrdukowanym wydzilamy z obszaru podłoża dwa podobszary, tj. obszar wwnętrzny (Ω) oraz obszar zwnętrzny (Ω + ). Jako ż z podobszaru Ω + birzmy tylko jgo + + niwilką część, stąd na rys. 2 oznaczono go jako Ω. Brzg Γ rozdzila podobszary Ω i Ω, natomiast warstwę podłoża zawartą pomiędzy powirzchniami Γ i Γ + traktować bę dzimy jako tzw. warstwę brzgową, która w dyskrtnych modlach MES będzi pojdynczą warstwą + lmntów. Tn fikcyjny podział na podobszary Ω, Ω oraz wydzilni warstwy brzgowj powoduj, ż w modlu dyskrtnym MES pwn węzły siatki będzimy klasyfi kować jako wwnętrzn i, brzgow b oraz zwnętrzn (rys. 4). Węzły nalżąc do brzgu Γ będzimy nazywać węzłami brzgowymi (b), z koli węzły, + któr znajdują się w podobszarz Ω i ni nalżą do brzgu Γ, nazywać będzimy zwnętrznymi, a pozostał wwnętrznymi (i).

3 103 Rys. 1. Komplksowy modl podłoża, konstrukcji oraz źródła obciążnia P (t) Fig. 1. Full modl of subsoil and structur, and with a sourc of th loading P (t) Aby móc analizować ruch punktów w modlu zrdukowanym, Bilak zaproponował następującą dkompozycję wilkości kinmatycznych opisujących ruch w obszarz Ω + : u = u + w (1) 0 Po wykonaniu fikcyjngo podziału obszaru na podobszary Ω i Ω + możmy zapisać równania ruchu MES dla każdgo z tych podobszarów (dla uproszcznia w wzorach podanych poniżj pomijany będzi symbol nadkrślnia dla podobszaru Ω +. W podobszarz Ω. równania t przyjmą postać (zakładając, ż obciążni pochodznia sjsmiczngo jst jdynym człon sił zwnętrznych pozostaj równy zro): Mii M ib u i Cii C ib u i Kii K ib u i 0 Mbi Mbb u b Cbi Cbb u b Kbi Kbb u b Pb natomiast w podobszarz Ω + Mbb M b u b Cbb C b u b Kbb K b u b Pb, Mb M u Cb C u Kb K u P (2) (3) gdzi człon sił brzgowych wzdłuż fikcyjngo brzgu Γ oznaczono jako Pb. Obydwa układy równań możmy zapisać łączni dla całgo obszaru tj. Ω U Ω + M M ii ib 0 u i C C ii ib 0 u i Mbi Mbb Mbb Mb u b Cbi Cbb Cbb Cb u b 0 b b M M u 0 C C u K K ii ib 0 ui 0 Kbi Kbb Kbb Kb ub 0 0 b u K K P (4)

4 104 Rys. 2. Modl tła bz konstrukcji Fig. 2. Background modl without structur Rys. 3. Modl zrdukowany Fig. 3. Rducd modl Rys. 4. Wyróżnini węzłów wwnętrznych, brzgowych i zwnętrznych w siatc MES Fig. 4. Intrior, boundary and xtrior nods in FE msh Wykorzystując dkompozycję wilkości kinmatycznych w podobszarz Ω + na człony, opisujący ruch w polu dalkim oraz człon rzydualny (w odnisiniu do ruchu w polu dalkim) (por. równani (1)), powyższ równani przyjmi następującą postać: M M ii ib 0 u i C C ii ib 0 u i Mbi Mbb Mbb Mb u b Cbi Cbb Cbb Cb u b 0 b b M M w 0 C C u K K ii ib 0 ui Mb u Mb u Kb u Kbi Kbb Kbb Kb ub b w b K K P M u C u K u (5)

5 105 Pozostaj oczywiści problm, jak wyliczyć wktor sił P. Bilak zaproponował, aby wyli czyć tn człon z drugigo z równań w (2), al rozwiązango dla modlu ruchu w polu dalkim tj. bz udziału konstrukcji, co daj następujący wynik: P M u M u C u C u K u K u (6) b b b b b b Podstawiając wyrażni (6) do równania (5) otrzymujmy następujący fktywny wktor sił po prawj stroni układu 0 ff P Mb u Cb u Kb u (7) Mb u Cb u Kb u Nalży zwrócić uwagę, ż wktor tn posiada nizrow człony tylko i wyłączni w węzłach warstwy brzgowj. Wynika stąd, ż w obliczniach modlu zrdukowango wystarczy znajomość przmiszczń, prędkości i przyspiszń (w polu dalkim) tylko i wyłączni w węzłach warstwy brzgowj. W większości prowadzonych analiz sjsmicznych możmy zapisać i analizować równania ruchu w tzw. opisi całkowitym (tu wymusznia ralizujmy przz wymuszon przmiszcznia, prędkości lub przyspisznia w wybranych węzłach) lub w tzw. opisi względnym (względm sztywnj bazy), gdzi obciążni sjsmiczn ralizowan jst przz przyłoż ni wymuszongo przyspisznia a g podłoża (bazy) do wszystkich punktów konstrukcji i podłoża. W tym drugim przypadku wktor zwnętrznych sił węzłowych wywołany działa nim przyspisznia a g przyjmuj postać: F() t Ma g () t (8) a obliczan przmisznia lub przyspisznia są względnymi w stosunku do sztywnj bazy (ang. shaking tabl approach). W przypadku mtody DRM wktor (8) musi być zmodyfikowany w następujący sposób: Mii ag Miba g Mag () t Mbiag Mbbag Mbb ag Mb ag (9) 0 Jak łatwo zauważyć, pomijamy siły bzwładności w węzłach zwnętrznych, co wynika z faktu, iż M i = 0, M i = Schmat całkowania po czasi W przypadku zagadniń intrakcji konstrukcja podłoż wybór schmatu całkowania po czasi ma istotny wpływ na dokładność rozwiązania, a przd wszystkim na liminację wpływów wyższych częstotliwości, któr znacząco zakłócają czasow przbigi przyspiszń i prędkości dowolni wybrango punktu. Jst to szczgólni widoczn w przypadku dyskrtyzacji podłoża lmntami kontynualnymi. Potrzbny jst zatm taki schmat całkowania po czasi, który posiada odpowidni możliwości numryczngo tłuminia wyższych czę stotliwości. Ta-

6 106 kim schmatm jst np. schmat HHT (Hilbr-Hughs-Taylor) [3], w którym równani ruchu dla problmu niliniowgo zapisan jst w następujący sposób: gdzi: Ma Cv F ( u ) F (10) n1 n int n xt,n 2 t dn 1 dn tvn (1 2 ) an 2a n1 (11) 2 vn 1 vn t (1 ) an a n1 (12) t t (1 ) t (13) n n n1 natomiast paramtry schmatu całkowania HHT zdfiniowan są jak niżj: 1 0 (14) 3 (1 2 ) (15) 2 2 (1 ) (16) 4 Przyjęci a = 0 rdukuj schmat HHT do klasyczngo schmatu Nwmarka z zrowym tłuminim numrycznym. Nalży zdcydowani podkrślić, ż wprowadzni jakigokolwik tłuminia numryczngo do schmatu Nwmarka przy 2 i 4 skutkuj tym, iż 1 1 tłumion są zarówno doln, jak i górn częstotliwości. Schmat HHT w sposób kontrolowany obcina tylko i wyłączni częstotliwości górn i stąd tż zdcydowani jst zalcany do zagadniń intrakcji konstrukcji z podłożm. 4. Przykład drgań ramy płaskij poddanj wymuszniu harmonicznmu Na rys. 5 pokazano schmat analizowango układu konstrukcyjngo żlbtowj ramy płaskij o łącznj rozpiętości 20 m i wysokości 12 m. Wymiary przkroju poprzczngo słupów wynoszą 0.6 m 0.8 m, grubość płyty dnnj wynosi 0.8 m, natomiast wymiary przkroju po przczngo rygli poziomych wynoszą 0.4 m 0.75 m. Poniważ analizę wykonano przy za łożniu płaskigo stanu odkształcnia (na 1 m w kirunku poprzcznym), przyjęto, ż rozstaw analizowanych ram wynosi 6 m w kirunku poprzcznym, w związku z czym sztywność osiową i giętną podzilono przz 6. W analizi przyjęto, ż masa w poszczgólnych lmntach słupów i rygli poziomych jst pomijana, natomiast do rygli poziomych przyłożono masę rozłożoną po długości o wartości 750 kg/m. Schmat ramy i współpracującgo podłoża pokazano na rys. 6. W przypadku lmntów żlbtowych przyjęto paramtry matriałow E = kpa, v = 0.2, p = 0 kg/m 3 natomiast dla podłoża przyjęto E = kpa, v = 0.35 oraz p = 2000 kg/m 3. Miąższość współpracującgo podłoża wynosi 30 m. Wymuszni harmoniczn o częstotliwości f = 5 Hz ( = 2f) zadano w formi przmiszczń poziomych w węzłach dolnj krawędzi modlu obliczniowgo. Dla tak przyjętych wartości

7 107 Rys. 5. Gomtria ramy płaskij Fig. 5. Gomtry of planar fram Rys. 6. Gomtria analizowango układu rama-podłoż Fig. 6. Gomtry of fram-subsoil systm

8 108 paramtrów matriałowych podłoża prędkość fali poprzcznj wynosi v s = m/s, prędkość fali Rayligha VR = m/s, natomiast długość fali Rayligha wynosi odpowidnio λr = v r /f = 25.4 m. Clm ocny otrzymywanych wyników mtody DRM wykonano modl obliczniowy konstrukcji wraz z podłożm o łącznj długości 3600 m, przyjmując priodyczn warunki brzgow na pionowych brzgach modlu (por. rys. 7), co odpowiada ruchowi podłoża w polu dalkim. Analizowan modl DRM miały odpowidnio długości 50 m, 70 m, l00 m, 150 m oraz 200 m. W każdym z modli DRM (por. rys. 8) wyodrębniono warstwę l mntów zaklasyfikowanych jako lmnty strfy zwnętrznj oraz warstwę lmntów strfy brzgowj. Poniważ w modlu DRM w węzłach strfy zwnętrznj ninalżących do str fy brzgowj poszukujmy różnicy przmiszczń w stosunku do pola dalkigo, stąd tż na dolnj krawędzi nałożony został zrowy warunk brzgowy dla rzydualngo pola przmiszczń w. Na krawędziach pionowych modlu DRM (w strfi zwnętrznj) dodano lmnty tłumiąc typu Lysmra. Modl pola dalkigo (por. rys. 8, sprowadzony został do jdnowymiarowgo zagadninia warstwy ścinanj, któr można rozwiązać, stosując lmnty dwuwymiarow wraz z warunkim zgodności przmiszczń w węzłach na dwóch przciwnych pionowych brzgach siatki (priodyczn warunki brzgow). Obszar obliczniowy w modlu rfrncyjnym oraz w modlach DRM zdyskrtyzowano lmntami cztrowęzłowymi o wilkości 2 m. Przyjęto schmat HHT do całkowania po czasi wraz z krokim czasowym Δt = 0.01 s. Przanalizowano zagadnini bz tłuminia (w podłożu i konstrukcji) oraz z tłuminim, przyjmując odpowidnio współczynnik tłuminia Rayligha (do maci rzy sztywności) równy ( = s dla podłoża oraz = s dla konstrukcji, co odpowia da logarytmicznmu dkrmntowi tłuminia równmu δ = 0.3 dla podłoża oraz δ = 0.15 dla konstrukcji. Na rysunkach 10, 11 oraz 12 pokazano przbigi czasow względngo błędu rozwiąza nia dla przmiszcznia poziomgo punktu P (por. rys. 8) w modlach DRM o długościach całkowitych 200 m, 150 m oraz l00 m dla przypadku bz tłuminia. Maksymalna wartość tgo błędu wynosi 4% dla modlu 200 m, 6% dla modlu 150 m oraz 12% dla modlu o długości l00 m. Na rysunkach 14, 15, oraz 18 pokazano przbigi czasow względngo błędu rozwią zania dla punktu P w modlach DRM o długościach całkowitych 200 m, 150 m, 100 m, 70 m oraz 50 m dla przypadku z tłuminim. Maksymalna wartość tgo błędu wynosi 0.4% dla modlu 200 m, około 1% dla modli o długości 150 m, 100 m oraz 70 m i wzrasta do 4% dla modlu o długości 50 m. Jak łatwo zauważyć, gnrowany przz mtodę DRM błąd rozwią zania zalżny jst od wymiaru obszaru strfy wwnętrznj. Dodatkowym źródłm błędu są lmnty tłumiąc typu Lysmra, któr w przypadku fal powirzchniowych ni są w sta ni wyliminować fktu odbicia fal od brzgu obszaru. Wprowadzni tłuminia umożliwia istotną rdukcję wymiaru obszaru obliczniowgo. Aby uzyskać maksymalny błąd względny poniżj wartości 4% w przypadku bz tłuminia, wymiar modlu DRM musi wynosić około 200 m, co jst równ około 8 długościom fal Rayligha, natomiast w przypadku z tłu minim wystarczy ograniczyć wymiar modlu do 50 m, co jst równ 2 długościom fali Rayligha. 5. Wnioski W artykul zaprzntowano sformułowani zagadninia rdukcji wymiaru obliczniowgo w dynamicznych zagadniniach intrakcji konstrukcji budowlanych z gruntm w kontkści mtody lmntów skończonych. Oblicznia wykazują, ż mtoda ta umożliwia rdukcję liczby stopni swobody w modlu dyskrtnym, co ma bardzo istotn znaczni w za-

9 109 gadniniach trójwymiarowych. Rozwiązani dla pola dalkigo w tj mtodzi moż być wynikim pomocniczj analizy MES (np. jdnowymiarowy modl warstwy ścinanj), al równi dobrz moż pochodzić z rozwiązań analitycznych, co więcj wymiar przstrzni problmu pola dalkigo, moż być mnijszy od wymiaru przstrzni dla modlu zrdukowango. W tn sposób możmy np. rozwiązać zagadnini pola dalkigo korzystając z modlu osiowosymtryczngo (wówczas mamy automatyczni uwzględniony fkt tłuminia gomtryczngo), płaskigo stanu odkształcnia lub nawt jdnowymiarow go, podczas gdy modl zrdukowany jst modlm trójwymiarowym. Przykład takij analizy przdstawiony będzi w przygotowywanj przz autora pracy na tmat zabzpicznia zarurowango odwirtu gazowgo w strfi drgań wymuszonych przz drogow walc wibracyj n. Nadal otwartym problmm jst fktywność lmntów tłumiących, któr w przypadku fal powirzchniowych mogą wykazywać dość znacząc błędy. W związku z tym część błę dów gnrowanych przz mtodę DRM moż być wynikim nidoskonałości tych lmntów. Implmntacja lmntów tłumiących wyższgo rzędu wg koncpcji Givoli [2] pozwoli wyjaśnić tn problm w nidalkij przyszłości. Rys. 7. Modl rfrncyjny Fig. 7. Rfrnc modl Rys. 8. Modl pola dalkigo oraz modl zrdukowany Fig. 8. Fr fild and rducd modls

10 110 Rys. 9. Porównani przbigów czasowych u x (t) w punkci P dla modlu rfrncyjngo oraz modlu DRM 100 m (bz tłuminia) Fig. 9. Comparizon of u x tim historis at point P for rfrnc and 100 m wid DRM modl (without soil damping) Rys. 10. Błąd rozwiązania dla modlu DRM (bz tłuminia w podłożu) o szrokości 200 m Fig. 10. Error for 200 m wid DRM modl (without soil damping)

11 111 Rys. 11. Błąd rozwiązania dla modlu DRM (bz tłuminia w podłożu) o szrokości 150 m Fig. 11. Error for 150 m wid DRM modl (without soil damping) Rys. 12. Błąd rozwiązania dla modlu DRM (bz tłuminia w podłożu) o szrokości l00 m Fig. 12. Error for l00 m wid DRM modl (without soil damping)

12 112 Rys. 13. Porównani przbigów czasowych u x (t) w punkci P dla modlu rfrncyjngo oraz modlu DRM l00 m (z tłuminim) Fig. 13. Comparizon of u x tim historis at point P for rfrnc and 100 m wid DRM modl (with soil damping) Rys. 14. Błąd rozwiązania dla modlu DRM (z tłuminim w podłożu) o szrokości 200 m Fig. 14. Error for 200 m wid DRM modl (with soil damping)

13 113 Rys. 15. Błąd rozwiązania dla modlu DRM (z tłuminim w podłożu) o szrokości 150 m Fig. 15. Error for 150 m wid DRM modl (with soil damping) Rys. 16. Błąd rozwiązania dla modlu DRM (z tłuminim w podłożu) o szrokości l00 m Fig. 16. Error for l00 m wid DRM modl (with soil damping)

14 114 Rys. 17. Błąd rozwiązania dla modlu DRM (z tłuminim w podłożu) o szrokości 70 m Fig. 17. Error for 70 m wid DRM modl (with soil damping) Rys. 18. Błąd rozwiązania dla modlu DRM (z tłuminim w podłożu) o szrokości 50 m Fig. 18. Error for 50 m wid DRM modl (with soil damping)

15 115 Litratura [1] Bilak J., Loukakis K., Hisada Y., Youshimura C., Domain rduction mthod for thr-dimnsional arthquak modling in localizd rgions, part II: Thory, Bulltin of th sismological Socity of Amrica, 93, 2003, [2] Givoli D., Hagstrom Th., Patlashnko I., Finit lmnt formulation with highordr absorbing boundary conditions for tim-dpndnt wavs, Computr Mthods in Applid Mchanics and Enginring, 195, 2006, [3] Hughs T.J.R. Th finit lmnt mthod. Linar Static and Dynamic Finit Elmnt Analysis, Prntic Hall, Inc. A Division of Simon & Schustr, Englwood Cliffs, Nw Jrsy, [4] Kanto S., Dvlopmnt of tim intgration schms and advancd boundary conditions for dynamic analysis, Praca doktorska, Dpartmnt of Civil and Environmn-tal Enginring, Imprial Collg of Scinc, Tchnology and Mdicin, London, SW7 2BU, May [5] T ruty A., Dynamics in zsoil Raport instytutowy Z_Soil.PC , ZACE Srvics Ltd, Dcmbr [6] Youshimura C., Bilak J., Hisada Y., Frnandz A., Domain rduction mthod for thr-dimnsional arthquak modling in localizd rgions, part II: Vrification and applications, Bulltin of th sismological Socity of Amrica, 93, 2003,