ADAPTACYJNA ANALIZA POWŁOK ZDOMINOWANYCH GIĘTNIE O ZŁOŻONYM OPISIE MECHANICZNYM

Transkrypt

1 Mgr inż. Magdalna ZIELIŃSKA DOI: /mchanik Uniwrsytt Warmińsko-Mazurski w Olsztyni, Wydział Nauk Tchnicznych Dr hab. inż. Grzgorz ZBOIŃSKI Instytut Maszyn Przpływowych PAN w Gdańsku ADAPTACYJNA ANALIZA POWŁOK ZDOMINOWANYCH GIĘTNIE O ZŁOŻONYM OPISIE MECHANICZNYM Strszczni: Przntowan badania dotyczą adaptacyjnj analizy struktur o złożonym opisi mchanicznym z zastosowanim adaptacyjnych lmntów przjściowych. W ninijszj pracy porównano wyniki uzyskan z wykorzystanim różnych wariantów modlu przjściowgo: klasyczngo modlu przjściowgo oraz modlu udoskonalongo. Wariant udoskonalony gwarantuj ciągłą zmianę naprężń i odkształcń. W obu przypadkach zstawiono obrazy naprężń oraz rozkład błędów aproksymacji przd adaptacją typu hp sici początkowj i po nij. ADAPTIVE ANALYSIS OF BENDING-DOMINATED SHELLS OF COMPLEX MECHANICAL DESCRIPTIONS Abstract: Prsntd rsarch concrns an adaptiv analysis o structurs o complx mchanical dscription with application o adaptiv transition lmnts. Th prsnt work ocuss on comparison o th rsults obtaind with us o two dirnt variants o th transition lmnts: th classical transition modl and th nhancd modl. Th nhancd lmnts guarant th continuous chang o strsss and strains. In both cass th strss pattrns and approximation rror distributions bor and atr th hp-adaptation o th initial msh ar compard. Słowa kluczow: mchanika ciała stałgo, struktury złożon, modl przjściow, adaptacyjna mtoda lmntów skończonych Kywords: solid mchanics, complx structurs, transition modls, adaptiv init lmnt mthod 1. WPROWADZENIE W ninijszym artykul rozważono adaptacyjną mtodę lmntów skończonych typu hp w odnisiniu do cinkościnnych struktur złożonych z wykorzystanim adaptacyjnych lmntów przjściowych. Struktury złożon rozumian są tu jako struktury, w których występuj więcj niż jdn modl mchaniczny. Z względu na złożony opis mchaniczny uwzględniający występowani lmntów powłokowych pirwszgo rzędu i lmntów odpowiadających trójwymiarowj torii sprężystości (hirarchiczn lmnty powłokow wyższgo rzędu), prawidłow zamodlowani takich struktur wymaga wprowadznia lmntów przjściowych. 987

2 W ninijszj pracy skupiono się na problmatyc analizy powłok zdominowanych giętni z zastosowanim wspomnianych modli przjściowych. Ograniczono się tu do dwóch wariantów modli przjściowych. Pirwszym wariantm modlu przjściowgo jst tak zwany modl klasyczny, gwarantujący ciągłość naprężń i odkształcń na granicy pomiędzy modlami, jdnak z skokim wartości w polu naprężń oraz dużymi gradintami w polu odkształcń na tj granicy. Drugi rozpatrywany wariant modlu przjściowgo to tzw. modl udoskonalony, który zapwnia ciągłą zmianę naprężń i odkształcń w stri przjściowj między modlami (z wyliminowanim skoków naprężń i gradintów odkształcń na granicy modli). Wariant tn zapwnia ciągłą zmianę kinmatycznych założń torii Rissnra Mindlina. Chodzi tutaj o przjści od warunku braku wydłużnia prostych normalnych do powirzchni środkowj na prost, w stri powłokowj, do braku tgo warunku w stri trójwymiarowj. Nasz badania nakirowan są na stworzni modlu przjściowgo o cchach numrycznych (zbiżność rozwiązania, poziom błędu) ni gorszych niż w przypadku modli podstawowych (hirarchiczn modl powłokow i modl powłokowy pirwszgo rzędu). W clu ocny ktywności udoskonalonych lmntów przjściowych porównano siatki przd adaptacją mtodą lmntów skończonych typu hp z siatkami uzyskanymi po adaptacji. Porównano wyniki uzyskan dla struktur przy zastosowaniu klasyczngo oraz udoskonalongo lmntu przjściowgo. Porównania dokonano pod kątm rozkładów naprężń, w tym w szczgólności zdolności do usuwania wwnętrznj warstwy brzgowj, oraz poprawy zbiżności rozwiązania w przypadku zastosowania modlu udoskonalongo w modlach dyskrtnych powłok zdominowanych giętni. Wspomnian zjawisko wwnętrznj warstwy brzgowj występuj na granicy modlu powłokowgo pirwszgo rzędu i modlu przjściowgo. Występowani tgo zjawiska spowodowan jst skokim wartości w polu naprężń oraz dużych gradintów w polu odkształcń. Skok wartości jst wynikim obowiązywania płaskigo stanu naprężń w modlu powłokowym pirwszgo rzędu i braku takigo stanu w części hirarchicznj modlu przjściowgo (tak jak w hirarchicznym modlu powłokowym wyższgo rzędu lub trójwymiarowym). Natomiast duż gradinty odkształcń wynikają z braku wydłużń prostych normalnych do powirzchni środkowj w stri powłokowj pirwszgo rzędu. Warunk taki ni obowiązuj natomiast w części hirarchicznj modlu przjściowgo. Klasyczn modl i lmnty przjściow zostały opisan w pracach [1, 4]. Z koli wariant udoskonalony przdstawiono w [9, 10]. Wariant pośrdni (pomiędzy klasycznym a udoskonalonym), gwarantujący jdyni ciągłą zmianę naprężń w stri przjściowj, opisano w [2, 3, 8]. 2. ADAPTACYJNA METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH Zastosowani mtody lmntów skończonych do klasycznj torii sprężystości wymaga dokonania podziału obszaru trójwymiarowgo ciała sprężystgo V na E lmntów skończonych, zgodni z zalżnością: V E V 1 988, (1) gdzi: koljny numr lmntu, V = V + V domknięci obszaru otwartgo V, V S powirzchnia boczna ciała. Podział tn dla dowolnych dwóch lmntów i charaktryzują następując właściwości:

3 ( V V ) ( V V V V S S W powyższych zalżnościach obowiązuj: V V V V S (3) Aproksymacja lmntami skończonymi polga na wprowadzniu unkcji kształtu N ib opisujących stan wwnątrz lmntu (przmiszcznia w trzch kirunkach u i, i = 1, 2, 3) w oparciu o skończoną liczbę niwiadomych (stopni swobody), gdzi indks b A, do A 1,2,...,n oznacza stopiń swobody, a n do to liczba wszystkich stopni swobody. W tym przypadku niwiadom u i aproksymuj się sumą iloczynów unkcji kształtu i odpowiadających im stopni swobody: q N. W przypadku niadaptacyjnych mtod lmntów skończonych unkcj kształtu diniuj się w trójwymiarowj przstrzni wilomianów ustalongo stopnia p i dobira się w tn sposób, aby przyjmowały on wartość równą 1 w punkci lmntu (węźl) odpowiadającym stopniowi swobody, którmu są przypisan. W punktach przypisanych pozostałym stopniom swobody przyjmują on wartość równą 0. Suma unkcji w dowolnym punkci lmntu równa jst 1. ( ib b ab b q b S a, b A) ( N q q ) (4) E i 1 (2) N 1 (5) i Poniższy rysunk 1 przdstawia przykład unkcji kształtu dla lmntu jdnowymiarowgo stopnia drugigo (n = 2, w = n + 1 = 3). Rys. 1. Hirarchiczn unkcj kształtu na przykładzi lmntu jdnowymiarowgo stopnia drugigo: a) w węźl 1, b) w węźl 2, c) w węźl 3, d) suma wszystkich unkcji kształtu po przskalowaniu przz hirarchiczn węzłow stopni swobody 989

4 W przypadku mtod adaptacyjnych typu hp macirz klasycznych unkcji kształtu N zastępuj się macirzą χ tzw. hirarchicznych unkcji kształtu (rys. 1). Funkcj t są zdiniowan nizalżni w wirzchołkach, na krawędziach, na ścianach i w wnętrzu lmntu. Funkcj hirarchiczn umożliwiają łączni lmntów o różnych stopniach swobody. W oparciu o t unkcj buduj się macirz i wktory charaktrystyczn (macirz sztywności, wktor sił), któr wchodzą do równań globalnych MES. Wyprowadzni tych równań znalźć można w [1, 4]. W ninijszj pracy ograniczono się do przdstawinia trójkrokowgo schmatu adaptacyjngo mtody lmntów skończonych typu hp (rys. 2). Mtoda ta polga na połączniu mtod h i p, z których każda zapwnia jdyni algbraiczny stopiń rozwiązania. Rys. 2. Ogólny algorytm adaptacyjnj mtody lmntów skończonych typu hp Połączni obu mtod powoduj jakościową zmianę, która polga na uzyskaniu wykładniczgo stopnia zbiżności. Podstawowa zalżność opisująca zbiżność mtody hp odzwircidla akt, ż błąd aproksymacji jst odwrotni proporcjonalny do stopnia aproksymacji i wprost proporcjonalny do wymiaru lmntu: gdzi: h wymiar lmntu, p lokalny stopiń aproksymacji, 2 2 E 2 E h 2 h ~, (6) 2 1 p 1 2 p, są w ogólnym przypadku niznan i zalżą od charaktru problmu, pwna stała zalżna od typu zadania. 990

5 Powyższa zalżność umożliwia powiązani wymiaru h lmntu i/lub stopnia jgo aproksymacji p z oszacowaną wartością błędu w lmnci η ANALIZA WYNIKÓW W omawianych badaniach numrycznych rozpatrywano symtryczną ćwiartkę powłoki półwalcowj zdominowanj giętni. W przntowanj części analizy zastosowano siatkę równomirną lmntów pryzmatycznych. Analizowano tzw. modl czyst powłoki opart na toriach podstawowych 3D lub RM (odpowidnio trójwymiarowa i powłokowa Rissnra Mindlina) oraz modl miszan, uwzględniając lmnty 3D, 3D/RM i RM (odpowidnio trójwymiarow, przjściow, powłokow). Podział na stry odpowiadając modlom podstawowym i przjściowym prowadzono równolgl do brzgu prostoliniowgo, z zminnym udziałm części powłokowj i trójwymiarowj w modlu. Stra 3D przylgała do brzgu prostoliniowgo. Stra przjściowa składała się z jdnj warstwy lmntów przjściowych. W przntowanych badaniach numrycznych przdstawiono wyniki uzyskan podczas adaptacji typu hp. Głównym clm porównania wyników uzyskanych dla siatki początkowj i siatki po adaptacji jst ocna wpływu występowania lmntów przjściowych w strukturz na procs adaptacji. Jak wspomniano wczśnij, adaptacji poddany będzi zarówno wymiar h lmntu, jak równiż stopiń p aproksymacji. Przntowan wyniki uzyskano przy zastosowaniu klasyczngo modlu przjściowgo oraz udoskonalongo modlu przjściowgo. Porównan zostały siatki początkow (rys. 3a-10a) oraz siatki uzyskan po adaptacji (rys. 3b-10b). Siatka początkowa w przypadku obu wariantów modli przjściowych była taka sama (rys. 3a i 4a). Siatka końcowa zalżna jst od zastosowango wariantu modlu przjściowgo. Siatkę tę przdstawiono na rys. 3b i rys. 4b. Rys. 3. Klasyczny lmnt przjściowy zastosowan modl mchaniczn a) siatka początkowa, b) siatka końcowa 991

6 Rys. 4. Udoskonalony lmnt przjściowy zastosowan modl mchaniczn a) siatka początkowa, b) siatka końcowa Podobni jak w przypadku rozkładu modli w strukturz, stopiń aproksymacji wzdłużnj w siatc początkowj (rys. 5a i rys. 6a) i końcowj (rys. 5b i rys. 6b) jst zalżny od rozpatrywanych wariantów modli przjściowych. Rys. 5. Klasyczny lmnt przjściowy stopni aproksymacji a) siatka początkowa, b) siatka końcowa 992

7 Rys. 6. Udoskonalony lmnt przjściowy stopni aproksymacji a) siatka początkowa, b) siatka końcowa Analizując rozkład naprężń w przypadku zastosowania klasyczngo modlu przjściowgo, zauważyć można, ż zarówno w siatc początkowj (rys. 7a), jak i w siatc końcowj (rys. 7b) występuj wwnętrzna warstwa brzgowa na granicy modlu przjściowgo i powłokowgo pirwszgo rzędu. Rys. 7. Klasyczny lmnt przjściowy rozkład naprężń ktywnych a) siatka początkowa, b) siatka końcowa Na poniższych ilustracjach można zauważyć, ż zarówno w przypadku siatki początkowj (rys. 8a) jak i końcowj (rys. 8b), rozkład naprężń ktywnych ni wykazał obcności wwnętrznj warstwy brzgowj. Oznacza to, ż zarówno przd adaptacją sici, jak i po adaptacji, występuj ciągłość naprężń na granicy modlu przjściowgo i powłokowgo pirwszgo rzędu. 993

8 Rys. 8. Udoskonalony lmnt przjściowy rozkład naprężń ktywnych a) siatka początkowa, b) siatka końcowa Porównując poniższ ilustracj (rys. 9 i rys. 10), można zauważyć, ż zastosowany modl przjściowy ma wpływ na poziom błędów aproksymacji. Zastosowani udoskonalongo modlu przjściowgo (rys. 10) zmnijsza zarówno maksymalny, jak i śrdni błąd aproksymacji w strukturz w porównaniu do wyników uzyskanych przy zastosowaniu klasyczngo modlu przjściowgo (rys. 9). Rys. 9. Klasyczny lmnt przjściowy rozkład globalnych błędów aproksymacji: a) siatka początkowa, b) siatka końcowa 994

9 Rys. 10. Udoskonalony lmnt przjściowy rozkład globalnych błędów aproksymacji: a) siatka początkowa, b) siatka końcowa Analizując powyższ ilustracj, zauważyć można, ż w przypadku obu zastosowanych modli adaptacja sici początkowj ma wpływ na poziom błędów. Względn wartości globalngo błędu aproksymacji są odpowidnio równ 0,166 i 0,044 (klasyczny modl przjściowy) oraz 0,147 i 0,036 (udoskonalony modl przjściowy), co oznacza zmnijszni śrdnigo błędu po przprowadzniu procsu adaptacji typu hp. 4. WNIOSKI Zastosowani klasyczngo i udoskonalongo modlu przjściowgo prowadzi do podobngo, choć ni jdnakowgo, poziomu błędów w stri przjściowj i całj strukturz powłokowj. Skutkim podobngo poziomu błędów jst podobny przbig procsu adaptacji na krokach h i p. Przdstawion przykłady potwirdzają ktywność przyjętgo sposobu adaptacji w przypadku obu wariantów lmntów przjściowych. LITERATURA [1] Nosarzwska M.: Zastosowani lmntów przjściowych w adaptacyjnj analizi struktur sprężystych, praca magistrska, Wydział Nauk Tchnicznych, Uniwrsytt Warmińsko-Mazurski, Olsztyn, [2] Nosarzwska M., Zboiński G.: Ektywność przjściowych lmntów skończonych w hirarchicznym modlowaniu struktur złożonych, Modlowani Inżynirski, 7 (38), (2009), [3] Nosarzwska M., Zboiński G.: Now lmnty przjściow do hirarchiczngo modlowania i analizy struktur złożonych, raport wwnętrzny, Nr arch. 583/09, Instytut Maszyn Przpływowych PAN, Gdańsk

10 [4] Zboiński G.: Modlowani hirarchiczn i mtoda lmntów skończonych do adaptacyjnj analizy struktur złożonych, Zszyt Naukowy IMP PAN w Gdańsku. Studia i matriały, 520/1479/01, IMP PAN, Gdańsk, [5] Zboiński G.: Unrsolvd problms o adaptiv hirarchical modlling and hp-adaptiv analysis within computational solid mchanics, Computr Mthods in Mchanics Lcturs o th CMM Sria: Advancd Structural Matrials, t. 1 (rd. M. Kuczma, K. Wilmański), Springr Vrlag, Brlin, 2010, rozdz. 7, s [6] Zboiński G., Ostachowicz W.: An Algorithm o a Family o 3D-Basd, Solid-to-Shll, hpq/hp-adaptiv Finit Elmnts, Journal o Thortical and Applid Mchanics, 38 (2000), s [7] Zilińska M., Zboiński G.: Ektywność przjściowych lmntów skończonych w modlowaniu struktur złożonych zdominowanych mmbranowo, Mchanik, 7 (2011), 11 i (CD ROM). [8] Zilińska M., Zboiński G.: Opracowani zrdukowango numryczni sormułowania adaptacyjngo, opartgo na podjściu trójwymiarowym, bryłowo-powłokowgo lmntu przjściowgo zapwniającgo ciągłość pola naprężń pomiędzy modlami podstawowymi, raport wwnętrzny, Nr arch. 000/00, Instytut Maszyn Przpływowych PAN, Gdańsk, [9] Zilińska M., Zboiński G.: Analiza płyt i powłok zdominowanych mmbranowo z ciągłą zmianą naprężń i odkształcń w strach przjściowych, Mchanik, 7(2014), s. 601 i s (CD-ROM). [10] Zilińska M., Zboiński G., hp-adaptiv init lmnt analysis o thin-walld structurs with us o th shll-to-shll transition lmnts, [w:] Rcnt Advancs in Computational Mchanics, (rd. T. Łodygowski, J. Rakowski, P. Litwka), CRC Prss, Londyn 2014, s [11] Nosarzwska M., Zboiński G.: An algorithm o th nhancd 3D-basd solid-to-shll transition lmnts or adaptiv modlling and analysis o complx structurs, Short Paprs o th 18th Intrnational Conrnc on Computr Mthods in Mchanics, Zilona Góra (Poland), May 2009, Projkt został sinansowany z środków Narodowgo Cntrum Nauki przyznanych na podstawi dcyzji numr DEC-2011/01/N/ST8/