UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

Transkrypt

1 Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko

2 Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych można zapisać w postaci: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x a nn x n = b n n a ij x j = b j, dla i = 1, 2,..., n. j=1 A X = B. gdzie A jest nieosobliwą, kwadratową macierzą o wymiarze n n, B jest wektorem o n współrzędnych, X jest wektorem poszukiwanym o n współrzędnych.

3 Wzory Cramera Jeśli wyznacznik D = det(a) 0, co oznacza, że układ równań liniowych (URL) ma jedno rozwiązanie, to poszukiwany wektor X można uzyskać za pomocą wzorów Cramera: Przykład: Rozwiązanie x 1 = D 1 D, x 2 = D 2 D,..., x n = D n D. [ ] [ x1 x 2 ] [ = D = 41, D 1 = 123, D 1 = [ x1 ] ] [ ] 3 = x 2 1 Stosowanie takich wzorów wymaga obliczenia n + 1 wyznaczników. Z powodu wielkiej liczby działań nie stosujemy wzorów Cramera nawet dla układów niskiego stopnia.

4 Metody do rozwiązania URL Metody służące do rozwiązania układu równań AX = B można podzielić na: 1 metody dokładne, 2 metody iteracyjne (przybliżone). Decyzja wyboru odpowiedniej metody zależy od postaci macierzy A, specyfiki zagadnienia, które prezentuje układ. Układy równań liniowych mogą mieć: 1 jedno rozwiązanie 2 nieskończenie wiele rozwiązań 3 brak rozwiązań (układy sprzeczne)

5 Metody dokładne Przez metodę dokładną rozwiązywania układu równań liniowych rozumiemy metodę, która (przy braku błędów zaokrągleń) daje dokładne rozwiązanie po skończonej liczbie kroków. Metody dokładne, które będą omówione to: 1 podstawianie w przód i podstawianie wstecz dla układów trójkątnych 2 metoda eliminacji Gaussa 3 metoda Gaussa-Jordana 4 metoda Choleskiego-Banachiewicza

6 Układy trójkątne Układy trójkątne Macierz trójkątna górna Układy liniowe, których macierz jest trójkątna, rozwiązuje się szczególnie łatwo. Układ AX = B z macierzą A U trójkątną górną ma postać: u 11 x 1 + u 12 x u 1n 1 x n 1 + u 1n x n = b 1 u 22 x u 2n 1 x n 1 + u 2n x n = b u n 1n 1 x n 1 + u n 1n x n = b n 1 u nn x n = b n Jeżeli założymy, że u ii 0 (i = 1, 2,..., n), to niewiadome można obliczyć w kolejności x n, x n 1, x n 2,..., x 1, z wzorów: x n = b n u nn, x n 1 = b n 1 u n 1n x n u n 1 n 1,..., x 1 = b 1 u 1n x n u 1n 1 x n 1... u 12 x 2 u 11.

7 Układy trójkątne Układy trójkątne Macierz trójkątna górna i dolna Dla macierzy trójkątnej górnej wzory te można napisać w postaci: x i = b i n u ij x j j=i+1 u ii dla i = n, n 1,..., 1. Ponieważ niewiadome wyznacza się w kolejności od ostatniej do pierwszej, ten algorytm nazywa się podstawianiem wstecz. Układ równań AX = B z macierzą A L trójkątną dolną można rozwiązać podobnie. Przyjmując, że l ii 0 (i = 1, 2,..., n), można wyznaczać niewiadome za pomocą podstawiania w przód: x i = b i i 1 l ij x j j=1 l ii dla i = 1, 2,..., n.

8 Układy trójkątne Układy trójkątne Przykład Rozwiązać układ liniowych równań AX = B, gdzie: A = 0 4 8, B = równanie: n = 3 x n = b n /a nn x 3 = b 3 /a 33 = 1 n 3 równanie: i = 2 s = a ij x j s = a 2j x j = a 23 x 3 = 8 j=i+1 j=2+1 x i = (b i s)/a ii x 2 = (b 2 8)/a 22 = 2 n 3 równanie: i = 1 s = a ij x j s = a 1j x j = a 12 x 2 + a 13 x 3 = 2 j=i+1 j=1+1. x i = (b i s)/a ii x 1 = (b 1 2)/a 11 = 1 Rozwiązanie: X = [ 1, 2, 1 ] T

9 Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Podstawową metodą dokładną rozwiązywania dowolnych układów równań liniowych jest metoda eliminacji Gaussa. Pomysł polega na eliminacji niewiadomych w pewien systematyczny sposób doprowadzając macierz do postaci trójkątnej. Taki układ trójkątny już potrafimy rozwiązać. 1 Efektywna metoda rozwiązywania układów równań liniowych. 2 Wymaga w przybliżeniu n 3 /3 mnożeń, np. dla n = 10 daje to 333 operacje mnożenia. 3 Dla porównania: metoda Cramera wymaga około 2(n + 1)! mnożeń, co dla n = 10 daje mnożeń.

10 Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Rozważmy układ równań: lub A X = B a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x a (1) 1n x n = b (1) 1 a (1) 21 x 1 + a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x a (1) 2n x n = b (1) a (1) n1 x 1 + a (1) n2 x 2 + a (1) n3 x a nn (1) x n = b n (1) Górny indeks (1) oznacza dany układ równań wyjściowy do obliczeń. Metoda eliminacji Gaussa polega na wykonaniu dwóch etapów obliczeń: I. eliminacji w przód II. podstawianiu wstecz

11 Metoda eliminacji Gaussa Etap I {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 / ( a21 a 11 ) + {2r} {2r} a (1) 21 x 1 + a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x 3 = b (1) 2 {3r} a (1) 31 x 1 + a (1) 32 x 2 + a (1) 33 x 3 = b (1) 3 Załóżmy teraz, że a Wówczas z ostatnich 2 równań możemy wyeliminować x 1 odejmując od i tego równania pierwsze pomnożone przez: m i1 = a i1 a 11 dla i = 2 Przekształcone równania przybierają postać: {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 {2r} a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2 {3r} a (1) 31 x 1 + a (1) 32 x 2 + a (1) 33 x 3 = b (1) 3

12 Metoda eliminacji Gaussa Etap I {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 / ( a31 a 11 ) + {3r} {2r} a (1) 21 x 1 + a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x 3 = b (1) 2 {3r} a (1) 31 x 1 + a (1) 32 x 2 + a (1) 33 x 3 = b (1) 3 Załóżmy teraz, że a Wówczas z ostatnich 2 równań możemy wyeliminować x 1 odejmując od i tego równania pierwsze pomnożone przez: m i1 = a i1 a 11 dla i = 3 Przekształcone równania przybierają postać: {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 {2r} a (2) 22 x 2 + a (2) 32 x 3 = b (2) 2 {3r} a (2) 23 x 3 + a (2) 33 x 3 = b (2) 3

13 Metoda eliminacji Gaussa Etap I {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 {2r} a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2 / ( a32 a 22 ) + {3r} {3r} a (2) 32 x 3 + a (2) 33 x 3 = b (2) 3 Ostatecznie przekształcony układ równań ma postać: {1r} a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x 3 = b (1) 1 {2r} a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x 3 = b (2) 2 {3r} + a (3) 33 x 3 = b (3) 3 a więc układ trójkątny, który rozwiązujemy w Etapie II stosując podstawianie wstecz.

14 Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Eliminację wykonuje się w n 1 krokach o numerach k = 1, 2, 3,..., n 1. W k tym kroku elementy a (k) ij dla j, j > k przekształca się wg wzorów: a (k+1) ij = a (k) ij m ik a (k) kj b (k+1) i = b (k) i m ik b (k) k gdzie m ik = a(k) ik a (k) kk dla: i = k + 1, k + 2,..., n; j = k + 1, k + 2,..., n.

15 Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: A = 2 8 2, B = Etap I : krok k = 1; wiersz i = 1 [2, 4, 10] [4] wiersz i = 2, m 21 = a 21 /a 11 = 1 [ 2 8 2] [12] [ ] [ 4] = [0 4 8] [16] wiersz i = 3, m 31 = a 31 /a 11 = 0.5 [1 1 9] [12] [1 2 5] [2] = [0 3 4] [10].

16 Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa Przykład A = B = krok k = 2 wiersz i = 2 [0, 4, 8] [16] wiersz i = 3, m 32 = a 32 /a 22 = 0.75 A = [0 3 4] [10] [0 3 6] [12] = [0 0 2] [ 2] B = Etap II (podstawianie wstecz) przykład dla układów trójkątnych.

17 Metoda Gaussa-Jordana pełnej eliminacji Metoda Gaussa-Jordana Układ równań o postaci: a (1) 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + a (1) 13 x a (1) 1n x n = b (1) 1 a (1) 21 x 1 + a (1) 22 x 2 + a (1) 23 x a (1) 2n x n = b (1) a (1) n1 x 1 + a (1) n2 x 2 + a (1) n3 x a nn (1) x n = b n (1) Przekształcamy następująco: Pierwsze równanie dzielimy przez a (1) 11, a następnie od i tego wiersza, i = 2, 3,..., n, odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez a (1) i1, otrzymując: x 1 + a (2) 12 x 2 + a (2) 13 x a (2) 1n x n = b (2) 1 a (2) 22 x 2 + a (2) 23 x a (2) 2n x n = b (2) a (2) n2 x 2 + a (2) n3 x a nn (2) x n = b n (2)

18 Metoda Gaussa-Jordana pełnej eliminacji Metoda Gaussa-Jordana Następnie drugie równanie dzielimy obustronnie przez a (2) 22 i od i tego wiersza, i = 1, 3,..., n, odejmujemy wiersz drugi pomnożony przez a (2) i2. x 1 + a (3) 13 x a (3) 1n x n = b (3) 1 x 2 + a (3) 23 x a (3) 2n x n = b (3) a (3) n3 x a nn (3) x n = b n (3) Po n 1 eliminacjach otrzymujemy układ postaci: czyli gotowe rozwiązanie. x 1 = b (n) 1 x 2 = b (n) 2 x n = b n (n)

19 Metoda Gaussa-Jordana pełnej eliminacji Metoda Gaussa-Jordana Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: A = 2 8 2, B = wiersz 1 [2, 4, 10] [4]/a 11 [1, 2, 5] [2] a) od wiersza 2 [ 2, 8, 2] [12] odejmujemy wiersz 1 [1, 2, 5] [2] a 21 = [ 2, 4, 10] [ 4] [0, 4, 8] [16] b) od wiersza 3 [1, 1, 9] [12] odejmujemy wiersz 1 [1, 2, 5] [2] a 31 = [1, 2, 5] [2] [0, 3, 4] [10]

20 Metoda Gaussa-Jordana pełnej eliminacji Metoda Gaussa-Jordana Przykład Po 1. eliminacji: A = B = wiersz 2 [0, 4, 8] [16]/a 22 [0, 1, 2] [4] a) od wiersza 1 [1, 2, 5] [2] odejmujemy wiersz 2 [0, 1, 2] [4] a 12 = [0, 2, 4] [ 8] [1, 0, 9] [10] b) od wiersza 3 [0, 3, 4] [10] odejmujemy wiersz 2 [0, 1, 2] [4] a 32 = [0, 3, 6] [12] [0, 0, 2] [ 2]

21 Metoda Gaussa-Jordana pełnej eliminacji Metoda Gaussa-Jordana Przykład Po 2. eliminacji: A = B = wiersz 3 [0, 0, 2] [ 2]/a 33 [0, 0, 1] [1] a) od wiersza 1 [1, 0, 9] [10] odejmujemy wiersz 3 [0, 0, 1] [1] a 13 = [0, 0, 9] [9] [1, 0, 0] [1] b) od wiersza 2 [0, 1, 2] [4] odejmujemy wiersz 3 [0, 0, 1] [1] a 23 = [0, 0, 2] [2] [0, 1, 0] [2] A = B = Po 3. eliminacji: wektor B stanowi rozwiązanie

22 Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Rozkład LU W wielu zagadnieniach numerycznych celowym jest przedstawienie danej macierzy A w postaci iloczynu dwóch macierzy trójkątnych takich, aby A = L U. Procedura wyznaczenia tych macierzy nosi nazwę rozkładu LU. A = L U = l 11 l 21 l 22 l 31 l 32 l l n1 l n2 l n3... l nn u 11 u 12 u u 1n u 22 u u 2n u u 3n.... u nn Wtedy układ A X = B jest równoważny układowi L U X = B. Etapy rozwiązywania układu równań A X = B: I. Rozkład A = L U II. Rozwiązanie układu z macierzą dolnotrójkątną L Y = B Y (stosując podstawianie w przód) III. Rozwiązanie układu z macierzą górnotrójkątną U X = Y X (stosując podstawianie wstecz)

23 Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Metody rozkładu trójkątnego Rozkład trójkątny nie jest jednoznaczny i można go realizować w różny sposób: 1 gdy l ii = 1 metodą Doolittle a, 2 gdy u ii = 1 metodą Crouta, 3 gdy u ii = l ii metodą Choleskiego-Banachiewicza. Rozkład L U można zrealizować: metodą Gaussa, traktując równość A = L U jako układ n 2 równań z n 2 niewiadomymi l ij dla i > j i niewiadomymi u ij dla i j. Równania te wygodnie rozwiązywać na przemian wierszami i kolumnami zgodnie z rysunkiem.

24 Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Metoda Choleskiego-Banachiewicza Dla macierzy symetrycznych dodatnio określonych schematy zwarte są szczególnie atrakcyjne, gdyż wybór elementów głównych nie jest potrzebny. Zwykle przyjmuje się, że elementy przekątniowe w L są rzeczywiste i U = L T. A = L L T = l 11 l 21 l 22 l 31 l 32 l l n1 l n2 l n3... l nn l kk = (a kk k 1 lkp 2 ) l ik = p=1 gdzie: k = 1, 2,..., n; i = k + 1, k + 2,..., n. l 11 l 21 l l n1 l 22 l l n2 l l n3... l nn a ik k 1 l ip l kp p=1 l kk

25 Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Metoda Choleskiego-Banachiewicza Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: A = , B = I. Wykonujemy rozkład A = L L T : = l l 21 l l 31 l 32 l (1 kolumna macierzy L) a 11 = l11 2 l 11 = 2 a 21 = l 21 l 11 l 21 = 8/2 = 4 a 31 = l 31 l 11 l 31 = 4/2 = = l l 32 l 33. l 11 l 21 l 31 0 l 22 l l l 22 l l 33

26 Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Metoda Choleskiego-Banachiewicza Przykład = 4 l l 32 l l 22 l l (2 kolumna macierzy L) a 22 = l l 22 2 l 22 = = 1 a 32 = l 31 l 21 + l 32 l 22 l 32 = ( 1 + 8)/1 = = l l 33

27 Triangularyzacja metoda Choleskiego-Banachiewicza Metoda Choleskiego-Banachiewicza Przykład (3 kolumna macierzy L) = l l 33 a 33 = l l l 2 33 l 33 = = 2 II. L Y = B Y 6 Y = 7 2 (podstawianie w przód) L = III. U X = Y X 2 X = 0 1 (podstawianie wstecz)

28 Metody przybliżone Rozważane dotąd metody rozwiązywania układów równań liniowych są metodami bezpośrednimi, wymagającymi wykonania skończenie określonych działań. Metody iteracyjne w przeciwieństwie do tamtych startują z przybliżenia początkowego, które stopniowo się ulepsza (zmierza) aż do otrzymania dostatecznie dokładnego rozwiązania. Metody iteracyjne (przybliżone), które będą omówione to: 1 metoda Jacobiego 2 metoda Gaussa-Seidla

29 Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego W metodzie Jacobiego (metoda iteracji prostej) tworzy się ciąg przybliżeń x (1), x (2),... według wzoru: x (k+1) i = n j=1,j i a ij x (k) j + b i a ii i = 1, 2,..., n. 1. Zbieżność procesu iteracyjnego zależy jedynie od właściwości macierzy A. 2. Metoda jest zbieżna gdy zachodzą nierówności: i 1 a ii > a ij, i = 1, 2,..., n, j i tj. jeśli wartości bezwzględne współczynników na przekątnej są dla każdego równania układu większe od sumy wartości bezwzględnych pozostałych współczynników tego równania. 3. Jako początkowe przybliżenie wybiera się często wektor x (0) = 0.

30 Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: A = 2 8 2, B = Jak widać macierz A nie spełnia warunków zbieżności procesu iteracyjnego..

31 Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: A = , B = Warunki zbieżności są spełnione 2. Przyjmujemy: a) początkowe przybliżenie x (0) = 0 b) kryterium przerwania procesu iteracyjnego: tempo zbieżności: ε 1 = x(k+1) x (k) < ε 1 x (k+1) dop wielkość residuum: ε 2 (k+1) = max x i 1 i<n ε 3 = A x(k+1) B A x (0) B. x (k) i < ε 2 dop < ε3 dop

32 Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego Przykład x (k+1) i = 1. iteracja k = 0 dla x (0) = n j=1,j i a ij x (k) j + b i a ii i = 1, 2,..., n. x (1) 1 = (a 12 x (0) 2 + a 13 x (0) 3 b 1 )/a 11 = 1.3 x (1) 2 = (a 21 x (0) 1 + a 23 x (0) 3 b 2 )/a 22 = 1.4 x (1) 3 = (a 31 x (0) 1 + a 32 x (0) 2 b 3 )/a 33 = x (1) = oraz ε 1 = 1.0, ε 2 = 1.4, ε 3 = 0.36

33 Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego Przykład 2. iteracja k = 1 x (1) = x (2) 1 = (a 12 x (1) 2 + a 13 x (1) 3 b 1 )/a 11 = 0.88 x (2) 2 = (a 21 x (1) 1 + a 23 x (1) 3 b 2 )/a 22 = 0.87 x (2) 3 = (a 31 x (1) 1 + a 32 x (1) 2 b 3 )/a 33 = 0.84 x (2) = oraz ε 1 = 0.59, ε 2 = 0.56, ε 3 = 0.13

34 Metoda Jacobiego Metoda Jacobiego Przykład 3. iteracja k = 8 x (9) = iteracja k = 15 x (16) = Rozwiązanie: otrzymano po wykonaniu 16 iteracji. oraz ε 1 = 1.25e 3, ε 2 = 5.05e 4, ε 3 = 3.28e 4 oraz ε 1 = 4.19e 7, ε 2 = 4.62e 7, ε 3 = 1.10e 7 x = x (16)

35 Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla stanowi pewną modyfikację metody iteracji prostej. Polega ona na tym, że przy obliczaniu przybliżenia (k + 1) niewiadomej x i, bierze się pod uwagę obliczone poprzednio przybliżenia (k + 1) niewiadomych x 1, x 2,..., x i 1. Iteracja odbywa się wg wzoru: x (k+1) i = i 1 j=1 a ij x (k+1) j n j=i+1 a ij x (k) j + b i a ii i = 1, 2,..., n. Podane poprzednio twierdzenia o zbieżności procesu iteracyjnego pozostają w mocy.

36 Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla Przykład Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: A = , B = Warunki zbieżności są spełnione 2. Przyjmujemy: a) początkowe przybliżenie x (0) = 0 b) kryterium przerwania procesu iteracyjnego: tempo zbieżności: ε 1 = x(k+1) x (k) < ε 1 x (k+1) dop wielkość residuum: ε 2 (k+1) = max x i 1 i<n ε 3 = A x(k+1) B A x (0) B. x (k) i < ε 2 dop < ε3 dop

37 Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla Przykład x (k+1) i = i 1 1. iteracja k = 0, j=1 a ij x (k+1) j n j=i+1 a ij x (k) j + b i a ii i = 1, 2,..., n. x (1) 1 = (a 12 x (0) 2 + a 13 x (0) 3 b 1 )/a 11 = 1.3 x (1) 2 = (a 21 x (1) 1 + a 13 x (0) 3 b 2 )/a 22 = 1.01 x (1) 3 = (a 31 x (1) 1 + a 32 x (1) 2 b 3 )/a 33 = dla x (0) = 0 0 x (1) = oraz ε 1 = 1.0, ε 2 = 1.3, ε 3 = 0.155

38 Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla Przykład 2. iteracja k = 1 x (2) 1 = (a 12 x (1) 2 + a 13 x (1) 3 b 1 )/a 11 = x (2) 2 = (a 21 x (2) 1 + a 13 x (1) 3 b 2 )/a 22 = x (2) 3 = (a 31 x (2) 1 + a 32 x (2) 2 b 3 )/a 33 = dla x (1) = x (2) = oraz ε 1 = 0.173, ε 2 = , ε 3 = 2.096e 4

39 Metoda Gaussa-Seidla Metoda Gaussa-Seidla Przykład 3. iteracja k = 4 x (5) = Rozwiązanie x (5) 1 = (a 12 x (4) 2 + a 13 x (4) 3 b 1 )/a 11 = 1.0 x (5) 2 = (a 21 x (5) 1 + a 13 x (4) 3 b 2 )/a 22 = 1.0 x (5) 3 = (a 31 x (5) 1 + a 32 x (5) 2 b 3 )/a 33 = oraz ε 1 = 6.23e 7, ε 2 = 9.29e 7, ε 3 = 2.04e otrzymano po wykonaniu 5 iteracji. x = x (5)

40 Porównanie metod iteracyjnych Układ równań liniowych porównanie metod iteracyjnych Przykład Rozwiązać układ 2 liniowych równań A x = b metodami iteracyjnymi i porównać tempo zbieżności oraz wartości residuum. [ ] [ ] [ ] A =, B =, x (0) =. 0 ε 1 dop = ε3 dop = ε3 dop = Metoda Jacobiego Gaussa-Seidla Liczba kroków 6 4 x x ε e e-04 ε e e-04 ε e e-06

41 Porównanie metod iteracyjnych Ilustracja rozwiązania Jacobi Gauss-Seidel x x 1

42 Obliczanie macierzy odwrotnych Macierzą odwrotną macierzy kwadratowej A nazywamy macierz kwadratową A 1 spełniającą związek gdzie I jest macierzą jednostkową. Jeśli przyjmiemy, że X = A 1, to AX = I, czyli AA 1 = I, (1) Ax i = e i, i = 1, 2, n (2) gdzie x i i e i jest i tą kolumną odpowiednio w X i I. Tak więc kolumny macierzy A 1 są rozwiązaniami układów liniowych z prawymi stronami równymi kolumnom macierzy jednostkowej I.