Wprowadzenie do Metody Elementu Skończonego
|
|
- Daria Podgórska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wprowadzenie do Metody Elementu Skończonego Krzysztof Balonek, Sławomir Gozdur Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej, AGH, Kraków, Poland kbalonek@g10.pl, slagozd@gmail.com Praca dostępna w internecie: fatcat.ftj.agh.edu.pl/~i6balone/mes.pdf, fatcat.ftj.agh.edu.pl/~i6gozdur/mes.pdf Streszczenie Metoda elementów skończonych (MES) jest jednym z szeroko stosowanych narzędzi obliczeniowych w nauce i inżynierii. W niniejszej pracy staraliśmy się przedstawić podstawowe właściwości metody i jej zastosowania. Na początku przedstawiamy pojęcie elementu skończonego i matematyczne uzasadnienie jego wprowadzenia, następnie opisujemy algorytm wykorzystywany w MES i strukturę wykorzystujących go aplikacji. Na koniec przeglądamy dziedziny w których MES znalazł zastosowanie i określamy jego miejsce wśród narzędzi obliczeniowych.
2 SPIS TREŚCI 2 Spis treści 1 Wprowadzenie 3 2 Analiza Skończenie Elementowa Element Skończony Analiza Skończenie Elementowa Matematyczna teoria FEM 5 4 Etapy rozwiązywania problemu 6 5 Adaptacyjna metoda elementów skończonych 8 6 Zagadnienia wielkiej skali 8 7 Etapy realizacji symulacji 8 8 Struktura aplikacji 8 9 Obszary zastosowań MES 9 10 Podsumowanie 9
3 1 Wprowadzenie 3 1 Wprowadzenie Metoda Elementów Skończonych(z ang FEM - Finite Element Method) jest jednym z podstawowych narzędzi stosowanych w obliczeniach inżynierskich i naukowych. Podstawowym założeniem tej metody jest rezygnacja z analitycznego rozwiazania problemu na rzecz podziału obszaru na elementy skończone (np. odcinki dla przestrzeni jednowymiarowej) i przeprowadzenie obliczeń tylko dla wyróżnionych punktów (węzłów tego podziału). Poza węzłami rozwiązanie przybliżane jest na podstawie wyników otrzymanych dla poszczególnych węzłów. Rozwój MES/FEM przebiegał równolegle z rozwojem komputerów i wynikał głównie z potrzeby analizy coraz bardziej złożonych konstrukcji. Pierwszą pracę na temat metody opublikował w 1943 francuski matematyk Courant (nowa metoda podziału na odcinki/elementy ). Na początku prace dotyczyły tylko prostych przypadków jednowymiarowych: obliczenia prowadzone były dla ciał o stałych własnościach materiałowych, dających się opisać za pomocą równań liniowych, np. w latach pięćdziesiątych w firmie Boeing analizowano za jej pomocą właściwości skrzydeł typu delta. W latach sześćdziesiątych pojawia się nazwa ëlement skończonyï dopracowano do dopracowania matematycznej strony metody, po raz pierwszy zastosowano także FEM w obliczeniach niekonstrukcyjnych. Do lat osiemdziesiątych najbardziej zaawansowane modele zajmowały się w dalszym ciągu prostymi geometriami 1D i 2D, czasem o własnościach opisanych równaniami nieliniowymi. Dopiero wzrost mocy obliczeniowej komputerów pozwolił na modelowanie obiektów 3D o dowolnych geometriach i wprowadzenie metody do aplikacji CAE. 2 Analiza Skończenie Elementowa 2.1 Element Skończony Element skończony jest prostą figurą geometryczną (płaską lub przestrzenną), dla której określone zostały wyróżnione punkty zwane węzłami, oraz pewne funkcje interpolacyjne służące do opisu rozkładu analizowanej wielkości w jego wnętrzu i na jego bokach. Funkcje te nazywa się funkcjami węzłowymi, bądź funkcjami kształtu. Węzły znajdują się w wierzchołkach elementu skończonego, ale mogą być również umieszczone na jego bokach i w jego wnętrzu. Jeżeli węzły znajdują się tylko w wierzchołkach, to element skończony jest nazywany elementem liniowym (ponieważ funkcje interpolacyjne są wtedy liniowe). W pozostałych przypadkach mamy do czynienia z elementami wyższych rzędów. Rząd elementu jest zawsze równy rzędowi funkcji interpolacyjnych (funkcji kształtu). Liczba funkcji kształtu w pojedynczym elemencie skończonym jest równa liczbie jego węzłów. Funkcje kształtu są zawsze tak zbudowane, aby w węzłach których dotyczą ich wartości wynosiły jeden, a pozostałych węzłach przyjmowały wartość zero.
4 2.1 Element Skończony 4 Rysunek 1: Przykłady elementow skończonych w przestrzeniach 1-, 2- i 3- wymiarowej. Rysunek 2: Przykład dyskretyzacji modelu ciągłego. a) model ciągły, b) model dyskretny idealny, c) model dyskretny numeryczny
5 2.2 Analiza Skończenie Elementowa Analiza Skończenie Elementowa FEA (Finite Element Analysis) zajmuje się analizą konstrukcji za pomocą elementów skończonych. Typowym postępowaniem jest tutaj podział analizowanego systemu na podsystemy (elementy) i opis ich zachowań za pomocą zbioru parametrów. Następnie za pomocą macierzy dla każdego elementu określane są zależności tych parametrów; macierze te służą następnie do konstruowania równań opisujących całościowe zachowanie systemu. Widać tutaj ogólne przesłanie towarzyszące wprowadzeniu do obliczeń elementu skończonego: dzięki dyskretyzacji problemu możliwe jest uniknięcie skomplikowanego (często niemożliwego) rozwiązywania problemu od strony analitycznej. W jaki sposób omawiana metoda łączy się z FEM? Otóż każdy przypadek FEA można traktować jako przypadek szczególny FEM. Analiza skończenie elementowa jest dzisiaj szeroko stosowana w inżynierii, daje się także rozszerzyć na zagadnienia nieliniowe, jednak ze względu na mniejszą elastyczność i mniej rozwiniętą teorię ustępuje częściej stosowanej metodzie elementu skończonego. 3 Matematyczna teoria FEM Zajmujemy się przestrzenią liniową F ze zdefiniowanym iloczynem skalarnym <, >. Elementy przestrzeni F to funkcje, dla których zdefiniowane są działania dodawania i mnożenia. Wprowadźmy teraz liniową podprzestrzeń U przestrzeni F, z tym samym iloczynem skalarnym <, >, oraz liniowy operator różniczkowy A. Operator A określony jest na przestrzeni U, a jego wartości należą do F. Przy założeniu, że A jest operatorem symetrycznym i dodatnio określonym, możemy za jego pomocą wprowadzić nowy iloczyn skalarny w przestrzeni U: < u, v > A =< Au, v > dla funkcji u, v U (1) Zdefiniowany w ten sposób iloczyn skalarny nazywamy iloczynem energetycznym względem operatora A; przestrzeń U do której dołączymy ten iloczyn określamy jako przestrzeń energetyczną operatora A, a u A = < u, u > A norma energetyczną. Poszukujemy należącego do przestrzeni U rozwiązania równania różniczkowego Au = f gdzie f jest funkcją należącą do przestrzeni F. Rozwiązanie tego problemu za pomocą FEM polega na przybliżeniu rozwiązania u za pomocą wielomianowej funkcji sklejanej, wybranej z N-wymiarowej podprzestrzeni U N. Funkcję tą nazywamy elementem skończonym, przybliżającym dokładne rozwiązanie u. Spośród wszystkich elementów U N wybieramy tą, która spełnia warunek u u N A = min u u A Metoda elementu skończonego jest szczególnym przypadkiem metody Rayleigha- Ritza, z wprowadzonymi ograniczeniami dla postaci elementów U N.
6 4 Etapy rozwiązywania problemu 6 Algorytm wyznaczania elementu u N opiera się na poszukiwaniu liniowej kombinacji funkcji stanowiących bazę przestrzeni U N, dla której spełniony jest warunek minimalizowania błędu aproksymacji. 4 Etapy rozwiązywania problemu Proces szukania rozwiązania za pomocą FEM można podzielić ogólnie na trzy etapy: 1. zagadnienie różniczkowe jest przekształcane do postaci wariacyjnej lub całkowej 2. obszar dzielony jest na proste figury geometryczne (elementy skończone) 3. w każdym elemencie przybliżamy procesy za pomocą prostych funkcji bazowych Algorytm poszukiwania rozwiązania za pomocą FEM: 1. Na rozważany obszar należy nałożyć siatkę, dzieląc go na skończoną liczbę prostych geometrycznie elementów. 2. Zakłada się że poszczególne elementy połączone są ze sobą jedynie w skończonej liczbie punktów (węzły siatki). W węzłach określone zostaną wartości wielkości fizycznych, tworzące podstawowy układ niewiadomych. 3. Należy określić funkcje określające wartości wielkości fizycznych wewnątrz elementów (funkcje kształtu, funkcje węzłowe) w zależności od wartości w węzłach. 4. Stosując tak zwane funkcje wagowe przekształca się równania różniczkowe w równania algebraiczne 5. Równania poodaje się asemblacji. Korzystając z równań MES oblicza się wartości współczynników stojących przy niewiadomych oraz odpowiadające im wartości prawych stron (dla zadań niestacjonarnych uwzględnia się warunki początkowe). Liczba równań w tak otrzymanym układzie równa jest iloczynowi liczby węzłów w obiekcie i liczbie stopni swobody każdego węzła (liczbie niewiadomych w każdym węźle) 6. Do macierzy współczynników i wektorów prawych stron wprowadza są warunki brzegowe. 7. Otrzymany układ równań liniowych rozwiązuje się, w wyniku otrzymując poszukiwane wielkości fizyczne w węzlach. 8. Dalsze kroki zależą od typu rozwiązywanego zadania, np. oblicza się dodatkowe wielkości, lub (dla zadań niestacjonarnych) powtarza się asemblację i następne kroki aż do spełnienia zadanych warunków. Rozwiązanie uzyskane w ten sposób jest oczywiście rozwiązaniem przybliżonym. Dokładne oszacowanie błędu aproksymacji jest niemożliwe ze względu na nieznajomość prawdziwego rozwiązania, jednak opierając się na postaci rozwiązywanego problemu, kształtach elementów skończonych i własnościach przestrzeni aproksymacji można ograniczyć go z góry w celu określenia jakości metody.
7 4 Etapy rozwiązywania problemu 7 Rysunek 3: Przykład zastosowania Adaptacyjnej MES: siatka adaptacyjna konstruowana tak, aby przeprowadzać poprawę aproksymacji tylko tam, gdzie jest ona najbardziej potrzebna. Ilustracja przedstawia diapir - strukturę geologiczną, powstałą w wyniku migracji skał ku powierzchni Ziemi. Zazwyczaj starsze skały o mniejszej gęstości przebijają skały młodsze (najczęściej osadowe) o gęstości większej. Struktury diapirowe mają najczęściej postać kominów, grzybów, ścian itp. Źródło: diapir 2-phases.gif
8 5 Adaptacyjna metoda elementów skończonych 8 5 Adaptacyjna metoda elementów skończonych Biorąc pod uwagę sposób w jaki szacujemy błąd aproksymacji istnieje możliwość zwiększenia precyzji metody przez zmniejszanie rozmiarów elementów skończonych i podnoszenie stopnia aproksymacji. Oczywiście wiąże się to z większym zapotrzebowaniem na moc obliczeniową rozwiązaniem jest oparcie się na znajomości zjawiska i wprowadzenie tych zmian lokalnie, w miejscach w których szczególnie zależy nam na zminimalizowaniu błędu (zobacz rys. 3). 6 Zagadnienia wielkiej skali jednak Dla uzyskania wysokiej dokładności obliczeń często konstruuje się modele o bardzo dużej liczbie stopni swobody, nierzadko przekraczającej milion. W celu rozwiązaniu tak dużych problemów stosuje się zaawansowane algorytmy o jak najmniejszej złożoności obliczeniowej oraz równoległe systemy komputerowe (klastry, gridy). 7 Etapy realizacji symulacji Pierwszym krokiem jest wybór bądź stworzenie modelu matematycznego zjawiska. Model taki jest następnie przekształcany w model numeryczny równania różniczkowe przekształcane są do postaci całkowej lub wariacyjnej, wybierane są techniki szacowania błędu. Następnym krokiem jest wybór algorytmów które posłużą do rozwiązywania układów równań, całkowania numerycznego, dyskretyzacji czasowej itp. Mając model numeryczny i algorytmy można przejść do implementacji wyboru struktur danych, sposobu realizacji, analizy architektury systemu komputerowego. Problem zostaje wymodelowany geometrycznie, zaprojektowana i nałożona zostaje siatka (istotny jest tutaj wybór kształtu elementu skończonego). Utworzony układ równań liniowych zostaje rozwiązany, a wyniki prezentowane są (najczęściej) w formie graficznej. 8 Struktura aplikacji Współczesne aplikacje komputerowego wspomagania projektowania CAE (ang. Computer Aided Engineering) wykorzystujące metodę elementów skończonych składają się z trzech wzajemnie współpracujących elementów: preprocesor służy m.in. do importu lub przygotowania geometrii, doboru rodzaju elementów skończonych, dyskretyzacji kontinuum, a także przyłożenia warunków brzegowych procesor (solver) - moduł przeznaczony do budowy oraz rozwiązania układu równań, na podstawie którego uzyskuje się poszukiwane wartości danych wielkości fizycznych postprocesor (moduł służący do prezentacji oraz wspomagania interpretacji uzyskanych wyników
9 9 Obszary zastosowań MES 9 9 Obszary zastosowań MES MES znalazła zastosowanie w rozmaitych dziedzinach nauki i inżynierii do aproksymacji podstawowych równań różniczkowych fizyki matematycznej: mechanika ciała odkształcalnego równania teorii sprężystości i plastyczności mechanika płynów równania Naviera - Stokesa akustyka równania falowe elektromagnetyzm równania Maxwella fizyka atomowa równania Schrödingera medycyna modelowanie implantów, pól fizycznych wewnątrz ciała człowieka, tkanek, przepływu krwi 10 Podsumowanie Modelowanie z wykorzystaniem MES pozwala rozwiązać problemy dla których wyznaczenie analitycznego rozwiązania jest często niemożliwe, jednak nie zastąpi całkowicie innych metod modelowania (np. fizycznego). W zasadzie powinno się używać - jeśli tylko to możliwe - kilku metod analizy jednocześnie w celu poprawnej analizy zagadnienia. Przy rozwiązywaniu problemu metodą elementów skończonych należy pamiętać że samo osiatkowanie modelu nie jest jedynym ważnym elementem modelowania (choć niewątpliwie bardzo istotnym z punktu widzenia chociażby dokładności wyników). Otrzymanie pierwszych wyników jest przeważnie łatwe, ale otrzymanie wyników dokładnych wiąże się z rozwiązaniem analitycznym problemu, o czym często się zapomina. Specjaliści radzą aby przed rozpoczęciem rozwiązywania danego problemu MES dobrze zrozumieć rzeczywisty proces. Ze względu na to, że MES jest matematyczną implementacją problemu fizycznego, należy znać założenia i ograniczenia modeli teoretycznych. Kompetentny użytkownik musi wiedzieć jak zachowują się poszczególne elementy a otrzymane wyniki powinny być sprawdzone aby mieć pewność że problem został opisany prawidłowo.
10 References 1. Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski: Metody numeryczne, Wyd. Naukowo- Techniczne., Warszawa A. Budzyński. Krótki wstęp do zastosowania Metody Elementów Skończonych do numerycznych obliczeń inżynierskich [online]. Dostępny w Internecie: 3. R. Cacko. Metoda elementów skończonych (MES), wykład z Modelowania Procesów Materiałowych [online]. Dostępny w Internecie: 4. K. Banaś. Metoda Elementów Skończonych [online]. Seminarium BIT CM UJ, 17 maja Dostępny w internecie:
Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe)
METODA ELEMENTÓW W SKOŃCZONYCH 1 Pierwsze komputery, np. ENIAC w 1946r. Obliczenia dotyczyły obiektów: o bardzo prostych geometriach (najczęściej modelowanych jako jednowymiarowe) stałych własnościach
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
Bardziej szczegółowo[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE W MECHANICE
METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE wykład dr inż. Paweł Stąpór laboratorium 15 g, projekt 15 g. dr inż. Paweł Stąpór dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoProjektowanie elementów z tworzyw sztucznych
Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Wykorzystanie technik komputerowych w projektowaniu elementów z tworzyw sztucznych Tematyka wykładu Techniki komputerowe, Problemy występujące przy konstruowaniu
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoŁagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych
Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych dr inż. Grzegorz DZIERŻANOWSKI dr hab. inż. Wojciech GILEWSKI Katedra Mechaniki Budowli i Zastosowań Informatyki 10 XII 2009 - część I 17 XII 2009 -
Bardziej szczegółowow analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoZastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D
Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoPolitechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2016/2017
Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Karta przedmiotu Wydział Inżynierii Środowiska obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 206/207 Kierunek studiów: Budownictwo Profil:
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoInżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści
Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, 2017 Spis treści Od autorów 11 I. Klasyczne metody numeryczne Rozdział 1. Na początek 15 1.1.
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowopt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ
Ćwiczenie audytoryjne pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Autor: dr inż. Radosław Łyszkowski Warszawa, 2013r. Metoda elementów skończonych MES FEM - Finite Element Method przybliżona
Bardziej szczegółowo8. Metody rozwiązywania układu równań
8. Metody rozwiązywania układu równań [K][u e ]=[F e ] Błędy w systemie MES Etapy modelowania metodami komputerowymi UKŁAD RZECZYWISTY MODEL FIZYCZNY MODEL DYSKRETNY Weryfikacja modelu fiz. Weryfikacja
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązania równania Schrödingera
Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do MES. Krzysztof Banaś. 24 października 2012
Wprowadzenie do MES Krzysztof Banaś 24 października 202 MES (Metoda Elementów Skończonych 2 ) jest jednym z podstawowych narzędzi komputerowego wspomagania badań naukowych i analiz inżynierskich, o bardzo
Bardziej szczegółowoMetody obliczeniowe - modelowanie i symulacje
Metody obliczeniowe - modelowanie i symulacje J. Pamin nstitute for Computational Civil Engineering Civil Engineering Department, Cracow University of Technology URL: www.l5.pk.edu.pl Zagadnienia i źródła
Bardziej szczegółowoSieci obliczeniowe poprawny dobór i modelowanie
Sieci obliczeniowe poprawny dobór i modelowanie 1. Wstęp. Jednym z pierwszych, a zarazem najważniejszym krokiem podczas tworzenia symulacji CFD jest poprawne określenie rozdzielczości, wymiarów oraz ilości
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: PODSTAWY MODELOWANIA PROCESÓW WYTWARZANIA Fundamentals of manufacturing processes modeling Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na specjalności APWiR Rodzaj
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie
Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie Wprowadzenie Metoda Elementów Skończonych (MES) należy do numerycznych metod otrzymywania przybliżonych rozwiązań
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Inżynieria Biomedyczna Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy moduł kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) przedmiotu
Karta (sylabus) przedmiotu [Budownictwo] Studia I stopnia Przedmiot: Metody obliczeniowe Rok: III Semestr: VI Rodzaj zajęć i liczba godzin: Studia stacjonarne Studia niestacjonarne Wykład 15 16 Ćwiczenia
Bardziej szczegółowodr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska
Program wykładów z metod numerycznych na semestrze V stacjonarnych studiów stopnia I Podstawowe pojęcia metod numerycznych: zadanie numeryczne, algorytm. Analiza błędów: błąd bezwzględny i względny, przenoszenie
Bardziej szczegółowoProjektowanie systemów EM. Metoda elementów skończonych
Projektowanie systemów EM Metoda elementów skończonych Wstęp Podstawy obliczeń MES Etapy definicji modelu numerycznego Rodzaje problemów moduły obliczeniowe Wybrane wyniki obliczeń 2 dr inż. Michał Michna
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowo3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która
3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x
Bardziej szczegółowozakładane efekty kształcenia
Załącznik nr 1 do uchwały nr 41/2018 Senatu Politechniki Śląskiej z dnia 28 maja 2018 r. Efekty kształcenia dla kierunku: INFORMATYKA WYDZIAŁ AUTOMATYKI, ELEKTRONIKI I INFORMATYKI WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY nazwa
Bardziej szczegółowoSzukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Bardziej szczegółowoI semestr WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI. Wymagania na ocenę dopuszczającą. Dział programu: Liczby naturalne
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI Wymagania na ocenę dopuszczającą I semestr Dział programu: Liczby naturalne Oblicza różnice czasu proste Wymienia jednostki opisujące prędkość, drogę, czas. Rozwiązuje
Bardziej szczegółowoMechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych
Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych 1 Sterowanie procesem oparte na jego modelu u 1 (t) System rzeczywisty x(t) y(t) Tworzenie
Bardziej szczegółowo4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów
Bardziej szczegółowoMateriały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ.
Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ. Jolanta Zimmerman 1. Wprowadzenie do metody elementów skończonych Działanie rzeczywistych
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 15 30
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim PAKIETY MATEMATYCZNE Nazwa w języku angielskim Mathematical Programming Packages Kierunek studiów (jeśli
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 16/01/2017 WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Repetytorium złożoność obliczeniowa 2 Złożoność obliczeniowa Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoModelowanie w projektowaniu maszyn i procesów cz.5
Modelowanie w projektowaniu maszyn i procesów cz.5 Metoda Elementów Skończonych i analizy optymalizacyjne w środowisku CAD Dr hab inż. Piotr Pawełko p. 141 Piotr.Pawełko@zut.edu.pl www.piopawelko.zut.edu.pl
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 9. TEMATYKA: Triangulacja i triangulacja Delaunay a
TEMATYKA: Triangulacja i triangulacja Delaunay a Ćwiczenia nr 9 DEFINICJE: Triangulacja (w geodezji i astronomii): metoda wyznaczania w terenie współrzędnych punktów, wykorzystująca taką własność trójkąta,
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop
Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop. 2015 Spis treści Przedmowa do wydania pierwszego 7 Przedmowa do wydania drugiego 9
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla programu kształcenia (kierunkowe efekty kształcenia) WIEDZA. rozumie cywilizacyjne znaczenie matematyki i jej zastosowań
TABELA ODNIESIEŃ EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA PROGRAMU KSZTAŁCENIA DO EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA OBSZARU KSZTAŁCENIA I PROFILU STUDIÓW PROGRAM KSZTAŁCENIA: POZIOM KSZTAŁCENIA: PROFIL KSZTAŁCENIA:
Bardziej szczegółowoPendolinem z równaniami, nierównościami i układami
Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami 1. Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych. Równaniami z jedną niewiadomą są, np. równania: 2 x+3=5 x 2 =4 2x=4 9=17 x 3 2t +3=5t 7 Równaniami
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
Bardziej szczegółowoWzornictwo Przemysłowe I stopień (I stopień / II stopień) akademicki (ogólno akademicki / praktyczny) kierunkowy (podstawowy / kierunkowy / inny HES)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2014/2015
Bardziej szczegółowoMetody obliczeniowe - modelowanie i symulacje
Metody obliczeniowe - modelowanie i symulacje J. Pamin Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej Strona domowa: www.l5.pk.edu.pl Zagadnienia
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoTeoria pola elektromagnetycznego 1. Wprowadzenie
Teoria pola elektromagnetycznego 1. Wprowadzenie Paweł Witczak Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych PŁ Wykaz literatury 1. M. Krakowski, Elektrotechnika teoretyczna, Tom II Pole Elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoI. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza.
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Potęgi. Logarytmy. Funkcja wykładnicza. dobrą, bardzo - oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; - zna
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoNumeryczna algebra liniowa
Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak podstawowe operacje na wektorach i macierzach, a także rozwiązywanie układów
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoMetoda Różnic Skończonych (MRS)
Metoda Różnic Skończonych (MRS) METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek () Równania różniczkowe zwyczajne
Bardziej szczegółowoNumeryczna algebra liniowa. Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1
Numeryczna algebra liniowa Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1 Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;
Bardziej szczegółowoWYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą
1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku
Bardziej szczegółowoRozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki dr inż. Marek Wojtyra Instytut Techniki Lotniczej
Bardziej szczegółowoPROJEKT I ANALIZA WYTRZYMAŁOŚCIOWA STOJAKA MOTOCYKLOWEGO W ŚRODOWISKU AUTODESK INVENTOR
POSTĘPY W INŻYNIERII MECHANICZNEJ DEVELOPMENTS IN MECHANICAL ENGINEERING 6(3)/2015, 57-66 Czasopismo naukowo-techniczne Scientific-Technical Journal Robert POLASIK, Kamil ZIMNICKI PROJEKT I ANALIZA WYTRZYMAŁOŚCIOWA
Bardziej szczegółowoKARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia Metody obliczeniowe Informacje ogólne 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Państwowa Szkoła Wyższa im. Papieża Jana Pawła II,Katedra Nauk Technicznych,
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Obliczenia Naukowe Nazwa w języku angielskim : Scientific Computing. Kierunek studiów : Informatyka Specjalność
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
Bardziej szczegółowoKierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne
Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Specjalność: Matematyka finansowa Rocznik: 2014/2015 Język wykładowy: Polski Semestr
Bardziej szczegółowoautomatyka i robotyka II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014
Bardziej szczegółowoTomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)
Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoZastosowanie wybranych metod bezsiatkowych w analizie przepływów w pofalowanych przewodach Streszczenie
Zastosowanie wybranych metod bezsiatkowych w analizie przepływów w pofalowanych przewodach Streszczenie Jednym z podstawowych zagadnień mechaniki płynów jest analiza przepływu płynu przez przewody o dowolnym
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Wykład nr 2 Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n (nazywane węzłami interpolacji) i wartości w węzłach y 0,..., y n. Od węzłów żądamy spełnienia warunku x i x j dla
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę
Bardziej szczegółowoSymulacja przepływu ciepła dla wybranych warunków badanego układu
Symulacja przepływu ciepła dla wybranych warunków badanego układu I. Część teoretyczna Ciepło jest formą przekazywana energii, która jest spowodowana różnicą temperatur (inną formą przekazywania energii
Bardziej szczegółowoW wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku.
W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku. Nie wolno dzielić przez zero i należy sprawdzić, czy dzielna nie jest równa zeru. W dziedzinie liczb
Bardziej szczegółowoFizyka komputerowa(ii)
Instytut Fizyki Fizyka komputerowa(ii) Studia magisterskie Prowadzący kurs: Dr hab. inż. Włodzimierz Salejda, prof. PWr Godziny konsultacji: Poniedziałki i wtorki w godzinach 13.00 15.00 pokój 223 lub
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoKierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne
Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Specjalność: Matematyka w informatyce Rocznik: 2013/2014 Język wykładowy: Polski
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowoKierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne
Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Specjalność: Matematyka ubezpieczeniowa Rocznik: 2013/2014 Język wykładowy: Polski
Bardziej szczegółowoKierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne
Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Specjalność: Matematyka finansowa Rocznik: 2013/2014 Język wykładowy: Polski Semestr
Bardziej szczegółowoKatarzyna Jesionek Zastosowanie symulacji dynamiki cieczy oraz ośrodków sprężystych w symulatorach operacji chirurgicznych.
Katarzyna Jesionek Zastosowanie symulacji dynamiki cieczy oraz ośrodków sprężystych w symulatorach operacji chirurgicznych. Jedną z metod symulacji dynamiki cieczy jest zastosowanie metody siatkowej Boltzmanna.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać
Bardziej szczegółowozna metody matematyczne w zakresie niezbędnym do formalnego i ilościowego opisu, zrozumienia i modelowania problemów z różnych
Grupa efektów kierunkowych: Matematyka stosowana I stopnia - profil praktyczny (od 17 października 2014) Matematyka Stosowana I stopień spec. Matematyka nowoczesnych technologii stacjonarne 2015/2016Z
Bardziej szczegółowo01, 02, 03 i kolejne numer efektu kształcenia. Załącznik 1 i 2
Efekty kształcenia dla kierunku studiów Studia Przyrodnicze i Technologiczne (z językiem wykładowym angielskim) - studia I stopnia, stacjonarne, profil ogólnoakademicki - i ich odniesienia do efektów kształcenia
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów Autorzy: Maria Kosiorowska Marta Kornafel Grzegorz Kosiorowski Grzegorz Szulik Sebastian Baran Jakub Bielawski Materiały przygotowane w ramach projektu
Bardziej szczegółowo12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów.
matematyka /.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. I. Przypomnij sobie:. Co to jest równanie /nierówność? Rodzaje nierówności. Ogólnie: Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI
Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński
Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych.
Ćwiczenia nr 2 metody połowienia, regula falsi i siecznych. Sformułowanie zagadnienia Niech będzie dane równanie postaci f (x) = 0, gdzie f jest pewną funkcją nieliniową (jeżeli f jest liniowa to zagadnienie
Bardziej szczegółowo