8. Metody rozwiązywania układu równań

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "8. Metody rozwiązywania układu równań"

Zuzanna Kowalczyk
4 lat temu
Przeglądów:

1 8. Metody rozwiązywania układu równań [K][u e ]=[F e ]

Błędy w systemie MES Etapy modelowania metodami komputerowymi UKŁAD RZECZYWISTY MODEL FIZYCZNY MODEL DYSKRETNY Weryfikacja modelu fiz. Weryfikacja modelu dysk.

2 Błędy w systemie MES Etapy modelowania metodami komputerowymi UKŁAD RZECZYWISTY MODEL FIZYCZNY MODEL DYSKRETNY Weryfikacja modelu fiz. Weryfikacja modelu dysk. Dane do programu komputerowego Weryfikacja danych MODEL MATEMATYCZNY PROGRAM KOMPUTEROWY Weryfikacja modelu mat. Weryfikacja programu WYNIKI OBLICZEŃ Wyniki wzorcowe Ocena poprawności obliczeń negatywna pozytywna KONIEC OBLICZEŃ

3 Ocena błędów wynikających z przybliżonego charakteru metody, a nie z pomyłek związanych z błędnym wprowadzaniem danych do systemu, lub też mylną interpretacją wyników ( Są to tzw. błędy merytoryczne związane z nieprawidłowymi danymi materiałowymi, wymiarami modelu, układem jednostek miar). Nie ma jednej definitywnej metody sprawdzenia dokładności, jeśli się nie zna poprawnych wyników otrzymanych w inny sposób. Obliczenia które przejdą jeden test sprawdzający mogą nie przejść innego. Błędy modelowe związane z przyjętym typem elementu skończonego Błędy numeryczne błędy zaokrągleń gdy złe uwarunkowanie lub duża liczba elementów Błędy aproksymacji zbyt mała liczba elementów lub zagęszczenie siatki Błędy merytoryczne nieprawidłowe dane materiałowe, elementy, wymiary modelu, układ jednostek, itp.

4 Błędy mogą wynikać z: Znacznych uproszczeń modelu fizycznego Niewłaściwego zastosowania do dyskretyzacji elementów skończonych. (elementy belkowe typu Bernouliego mają największy błąd modelowy, elementy belkowe Timoschenki mniejszy a elementy bryłowe najmniejszy, jeśli chodzi o uwzględnienie efektów lokalnych) Zastosowanie zbyt rzadkiej siatki podziału ( brak zagęszczenia siatki w obszarach istotnych. Są to błędy aproksymacji Błędy numeryczne, czyli błędy zaokrągleń ( przy złym uwarunkowaniu, przy dużej liczbie elementów i dużej szerokości pasma) Uproszczenia obciążenia ciągłego do siły wypadkowej Trudności w określeniu rzeczywistych warunków brzegowych Ze złego fizycznego uwarunkowania, tzn. że przy rozwiązywaniu metoda przemieszczeń jest bardzo czuła na zmiany obciążeń.

5 W = x + y = 0, x + y = = W 1 = = 0.1 W 2 = = W = x + y = 0, x + y = = W 1 = = 0.1 W 2 = = x = 100 y=100.1 x = 50 y=50.1

6 Macierz sztywności konstrukcji może być: Dobrze uwarunkowana Żle uwarunkowana Osobliwa Uwarunkowanie zależy od ilorazu maksymalnej wartości elementu do minimalnej wartości na diagonali macierzy sztywności. W ANSYSIE elementy te nazywają się PIVOTS i są drukowane w zbiorze wynikowym. Największy wyraz na głównej przekątnej macierzy sztywności oznaczony jest przez MAX_PIVOT, a najmniejszy przez MIN_PIVOT. Wskaźnik uwarunkowania można określić wzorem MAX _ PIVOT COND LOG abs MIN _ PIVOT Obliczenia na PC są wykonywane w podwójnej precyzji, które dają 16 miejsc znaczących. Na dokładność wyniku wpływają także błędy zaokrągleń, związane ze wskaźnikiem uwarunkowania COND. Wskaźnik uwarunkowania COND decyduje o liczbie miejsc LMZN znaczących otrzymanego rozwiązania w postaci zależności: LMZN 16 COND Jeśli wskaźnik uwarunkowania COND jest większy od 13, to praktycznie układ jest źle uwarunkowany lub prawie osobliwy i uzyskane wyniki mogą nie mieć sensu.

7 W praktyce o uwarunkowaniu decyduje MIN_PIVOT, którego wartość powinna być większa od K 0, gdzie: K max 10 max_ PIVOT, 10 Złe uwarunkowanie występuje wtedy, gdy spełniony jest warunek 0 MIN _ PIWOT K 0 Gdy MIN_PIVOT jest zerowy lub ujemny, wówczas występuje osobliwość układu równań i zadanie nie może być rozwiązane.

8 Osobliwość układu równań może być spowodowana przez: Zerowe dane materiałowe lub elementowe Nieprawidłowe lub niejednoznaczne warunki brzegowe ( gdy jest możliwa sztywna translacja lub rotacja) Brak sklejenia węzłów siatki ( gdy występują w tym samym miejscu dwa różne węzły) Elementy prętowe, gdy tworzą mechanizm o stopniu ruchliwości różnym od zera Złe uwarunkowanie może być spowodowane: Zbyt dużą smukłością konstrukcji, przez stosowanie wydłużonych lub ukośnych elementów Przez duży iloraz powierzchni maksymalnego elementu do minimalnego elementu Przez stosowanie elementów powłokowych leżących w jednej płaszczyźnie Przy bardzo dużej liczbie stopni swobody konstrukcji i szerokim paśmie układu równań

W MES ie najczęściej należy oszacować błąd rozwiązania oraz błąd dyskretyzacji Błąd dyskretyzacji zależy głównie od liczby parametrów węzłowych, zastosowanych do opisu modelu Liczba tych parametrów N

9 W MES ie najczęściej należy oszacować błąd rozwiązania oraz błąd dyskretyzacji Błąd dyskretyzacji zależy głównie od liczby parametrów węzłowych, zastosowanych do opisu modelu Liczba tych parametrów N zwana liczbą stopni swobody LSS zależy od liczby elementów LE, co przy ograniczonym obszarze podziału prowadzi do zależności wartości błędu od największego wymiaru elementu h max oraz od liczby węzłów LW i liczby stopni swobody w węźle LSSW Jednak LW jak i LSSW zależą od funkcji interpolacyjnych, czyli przy wielomianach od ich stopnia p. Zatem: N f h, Ponieważ błąd dyskretyzacji e powinien dążyć do zera przy N dążącym do nieskończoności, więc wobec (1) może to mieć miejsce w dwóch przypadkach: p lim e 0 przy h lim e 0 przy p max min 0 (1) (2) (3)

10 W praktyce zwiększa się N do skończonej dużej liczby. Techniki ustalania wartości błędów dyskretyzacji miejsc ich występowania oraz sposobów doprowadzania wartości błędów do akceptowanego poziomu, oparte na zwiększaniu N noszą nazwę technik adaptacyjnych i mają różne wersje: Wersja h, przy ustalonej LSSE zwiększa się LE, zagęszcza siatkę podziału Wersja p, przy ustalonej LE zwiększa się LSSE, czyli zwiększa się stopień funkcji interpolacyjnych Wersja h+p

11 Zasady poprawnego modelowania w MES Stosuje się uproszczenia np. małe otwory bądź zaokrąglenia, gdzie nie ma koncentracji naprężeń. Dokładne modelowanie nie zawsze jest konieczne. Obliczenia tej samej konstrukcji można realizować na 3 etapach przybliżenia: Za pomocą modelu belkowego Za pomocą modelu powłokowego Za pomocą modelu bryłowego Stosuje się submodeling (najpierw obliczenia zgrubne coarse poźniej dokładne fine Możliwe jest łączenie elementów o liniowych funkcjach kształtu z elementami o kwadratowej funkcji kształtu (warunek: konieczność stosowania warstwy elementów pośrednich (transient))

12 Zasady prawidłowej dyskretyzacji. Przy generacji elementów skończonych należy kierować się następującymi zasadami: Elementy prostokątne są dokładniejsze od trójkątnych i nie wprowadzają sztucznej ortotropii. Należy stosować jak najmniej elementów trójkątnych, Elementy zbliżone do figur regularnych są dokładniejsze od elementów nieregularnych Elementy kwadratowe izoparametryczne wyższego rzędu ( z węzłami pośrednimi) są dokładniejsze od elementów liniowych, przy tej samej liczbie węzłów. Elementy regularne to takie, które mają proporcje boków 5>a/b>1/5 lub 5>a/h>1/5. Elementy wydłużone mogą mieć proporcje10>a/b>5 ( dopuszczalne a/b=10), gdzie a>b. Ukośne elementy dają gorsze wyniki niż prostokątne. Wklęsłe elementy czworokątne są w zasadzie niedopuszczalne Elementy wyższego rzędu lepiej opisują brzegi konstrukcji, powierzchnie zakrzywione i nadają się do miejsc, gdzie występują koncentracje naprężeń. Siatki elementów powinny być lokalnie zagęszczone w następujących miejscach W załomach zarysu konstrukcji, z uwzględnieniem promienia zaokrąglenia W pobliżu brzegu konstrukcji, W miejscach przyłożenia obciążenia skupionego Optymalna jest taka siatka elementów, dla której uzyskuje się rozwiązanie z takim samym błędem w każdym elemencie ( po wyłączeniu podobszarów zawierających punkty osobliwe)

14 Dla wielu praktycznych problemów inżynierskich nie udaje znaleźć się rozwiązania analitycznego (skomplikowany obszar rozwiązanie, nieliniowości). Dzięki metodzie numerycznej można łatwo i tanio zrozumieć zachowanie układu i zbadać wpływ rożnych parametrów na rozwiązanie przybliżone. W modelowaniu można uwzględnić więcej ważnych cech niż gdyby rozwiązanie miało być analityczne. Zalety MES: Uniwersalność, duża liczba elementów bibliotecznych Zastosowanie w zagadnieniach liniowych oraz nieliniowych Możliwość programowania tej metody w językach Fortran i C Otrzymywanie symetrycznej macierzy pasmowej (mały wpływ błędów zaokrągleń na wyniki). Wady MES: Aproksymacja przemieszczeń wielomianami niskiego stopnia Między brzegami elementów naruszona jest ciągłość odkształceń i naprężeń Konieczność zagęszczania siatki w obszarach koncentracji naprężeń Uciążliwa w zagadnieniach przestrzennych (potrzebna duża moc obliczeniowa)

Podobne dokumenty

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]