Arkusz 1 - karta pracy Całka oznaczona i jej zastosowania. Całka niewłaściwa

Podobne dokumenty
Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx

1 Definicja całki oznaczonej

Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

f(g(x))g (x)dx = 6) x 2 1

sin b) Wyznaczyć taką funkcję pierwotną do funkcji sin ( =, która przechodzi przez punkt (0,0)

Analiza Matematyczna

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7.

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

Funkcje jednej zmiennej - ćwiczenia 1. Narysuj relacje. Które z nich są funkcjami?

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

Równania róniczkowe liniowe. = 2. dx x. dy dy. dx y. y dx. dy y. dy 2

Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

H. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Reguła de L Hospitala. Reguła de L Hospitala - odpowiedzi. Różniczka funkcji. Różniczka funkcji - odpowiedzi. Styczna i normalna

Wzory uproszczonego mno zenia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b) (a + b).

Całki oznaczone. wykład z MATEMATYKI

CAŁKA NIEOZNACZONA f - funkcja określona w przedziale E. Funkcją pierwotną funkcji f w przedziale E nazywamy funkcję F taką, że

Wymagania kl. 2. Uczeń:

lim lim 4) lim lim lim lim lim x 3 e e lim lim x lim lim 2 lim lim lim Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x x 6x

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

4) lim. lim. lim. lim. lim. x 3. e e. lim. lim x. lim. lim. lim. lim 2. lim. lim. lim. Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x.

Ć W I C Z E N I E N R E-14

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

Rozwiązywanie zadań z dynamicznego ruchu płaskiego część I 9

ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB

dr inż. Zbigniew Szklarski

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Zastosowania całki oznaczonej

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

Analiza Matematyczna. Całka Riemanna

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2

Zadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.

Matematyka stosowana i metody numeryczne

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

Analiza Matematyczna (część II)

< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Wykład 8: Całka oznanczona

Przykład 2.6. Przekrój złożony z trzech kształtowników walcowanych.

ZASTOSOWANIA POCHODNEJ

Granica funkcji - Lucjan Kowalski GRANICA FUNKCJI

- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

2009 ZARZĄDZANIE. LUTY 2009

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

ZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH

9. Całkowanie. I k. sup

PARCIE GRUNTU. Przykłady obliczeniowe. Zadanie 1.

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Analiza Matematyczna MAEW101

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie

± - małe odchylenie od osi. ± - duże odchylenie od osi

x y = 2z. + 2y, z 2y df

Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?

Analiza Matematyczna. Lista zadań 10

XI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

cos(ωt) ω ( ) 1 cos ω sin(ωt)dt = sin(ωt) ω cos(ωt)dt i 1 = sin ω i ( 1 cos ω ω 1 e iωt dt = e iωt iω II sposób: ˆf(ω) = 1 = e iω 1 = i(e iω 1) i ω

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

O SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx

Transkrypt:

Arkusz - krt prcy Cłk oznczon i jj zstosowni. Cłk niwłściw Zdni : Obliczyć nstępując cłki oznczon 5 d 5 d + 5 + 7 d Zuwżmy, ż d, Stąd d, + 5 + 7 d + ] 7 + + ln d cos sin d d ]. d + d 5, d + 5 + 7 7 7 d + 7 d. d 7 7 ] 7 7 + 7 + + 7 + d + d d + d ln ln ln +. sin sin + cos cos +. cos d sin d sin cos. d + + +C d ln +C sin d cos+c cos d sin+c Zdni. n zjęcich Obliczyć nstępując cłki oznczon: d 7 + 5 d 5 d Zdni : Obliczyć przz części nstępując cłki oznczon sin + 5 cos d b cos d sin + C f g d b b f g sin d cos + C f g d d + C ln d f ln g f g d

] ln ln ln d ln ] d ln ] 9 + 9 5 9 + 9. f g cos cos d f g cos d sin ] sin sin d sin ] ] cos cos cos 8. sin sin d + cos Zdni. n zjęcich Obliczyć nstępując cłki oznczon: ln d 9 7 + 9 cos d 8 Zdni : Obliczyć przz podstwini nstępując cłki oznczon f f d ln f + C d rc tg + C + + d tg d f {}}{ + + f d ln + ln f sin cos d sin cos d ln + ln + ln 5 ln ln 5. f {}}{ sin cos f d ln cos ln f ln cos + ln cos ln + ln ln + ln + ln ln ln ln. sin t sin cos d dt t t cos d t 5 dt t sin t dt t sin t 5 5. ln ln t d ln }{{ } d d dt t t t dt t t ln dt t ln t 7. Zdni. n zjęcich Obliczyć przz podstwini nstępując cłki oznczon:

ctg d ln sin cos d 5 ln d 5 d ln ln Zdni : Obliczyć pol obszrów ogrniczonych krzywymi f +, g + D b g f d. Aby obliczyć pol obszru w pirwszym kroku nszkicujmy wykrsy funkcji f prbol wyznczymy mijsc zrow: brk i współrzędn wirzchołk:, i funkcji g prost wystrczy wyznczyć dw punkty nlżąc do wykrsu:, i,. W drugim kroku wyznczymy rgumnty będą to w tym przypdku grnic cłkowni, dl których wrtości funkcji f i g są równ. W tym clu rozwiązujmy równni f g, czyli + +. Stąd otrzymujmy równni kwdrtow, skąd i osttczni lub. Podstwijąc do wzoru funkcji f lub g otrzymujmy punkty przcięci wykrsów tych funkcji, orz, 5. Szkicujmy wykrsy funkcji f i g orz zznczny w ukłdzi współrzędnych szukny obszr D. y 5 D Wyznczmy wrtość szukngo pol obszru D. g f d + ] + + d + 9. + d Zdni. n zjęcich Obliczyć pol obszrów ogrniczonych krzywymi: prbolą y i prostą y + prbolmi y i y + 8 Zdni 5: Obliczyć długość łuku krzywj. Jżli Γ jst krzywą dną opism jwnym y f,, b], to jj długość jst równ Γ b + f d. f,, ]. Mmy f i wdług wzoru Γ + d d d. Zdni 5. n zjęcich Obliczyć długość łuku krzywj f, gdzi, ]. Odp.

Zdni : Obliczyć objętość bryły V powstłj z obrotu trpzu krzywoliniowgo prostokątwokół osi O Objętość bryły V R powstłj z obrotu trpzu krzywoliniowgo T wokół: i osi O jst równ b V f d, ii osi Oy jst równ b V f d. T {, y R :, y } Nich f dl, ]. Stosując powyższy wzór mmy V d d. Zuwżmy, ż brył V jst wlcm o wysokości h i prominiu podstwy r. Z wzoru n objętość wlc dostjmy ntychmist V r h. y T Zdni. n zjęcich Obliczyć objętość bryły V powstłj z obrotu trpzu krzywoliniowgo prostokąt T {, y R :, y } wokół osi Oy. Odp. Zdni 7: Obliczyć nstępując cłki niwłściw pirwszgo rodzju: ln d ε + +ε ln d. Obliczymy drugą cłkę nioznczoną. Mmy ln d }{{ ln d ln t } d dt t dt t + C ln + C. dt t t dt t + C Wrcjąc do wyjściowj cłki otrzymujmy ε + +ε d ] ln ln ] ln ln + ε ln ln + ε + +ε ε +. Zdni 7. n zjęcich Obliczyć nstępując cłki niwłściw pirwszgo rodzju: ln d Zdni 8: Obliczyć nstępując cłki niwłściw drugigo rodzju: + rc tg A rc tg d + A + + d.

Obliczymy drugą cłkę nioznczoną. Mmy rc tg + d rc tg + d rc tg t t d dt t dt t + + C rc tg + C. dt Wrcjąc do wyjściowj cłki otrzymujmy A rc tg A d ] A + + A + rc tg A] A + rc tg 8. A + rc tg A ] rc tg Zdni 8. n zjęcich Obliczyć nstępując cłki niwłściw drugigo rodzju: + d 5