CAŁKA NIEOZNACZONA f - funkcja określona w przedziale E. Funkcją pierwotną funkcji f w przedziale E nazywamy funkcję F taką, że

Transkrypt

1 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski CAŁKA NIEOZNACZONA - unkcj okrślon w przdzil E. Funkcją pirwotną unkcji w przdzil E nzwm unkcję F tką, ż F Np. unkcją pirwotną unkcji + R jst unkcj F + o F +, Zuwżm, ż unkcj F + + i F + tż są unkcjmi pirwotnmi tj unkcji. Oólni F + dzi C - dowoln stł, jst unkcją pirwotną unkcji +. Twirdzni. Jśli F jst unkcją pirwotną unkcji w przdzil E to kżd unkcj pirwotn m postć Φ F. Cłką nioznczoną unkcji w przdzil E jst ziór jj wszstkich unkcji pirwotnch czli ziór F, dzi F jst dowolną unkcją pirwotną unkcji. Stosujm zpis: d F Cłkowni oliczni cłki nioznczonj. Twirdzni. Jśli jst ciął w E to istnij w tm przdzil cłk nioznczon unkcji. Podstwow wzor: r+ r d C d d r r + E d ln d sin d cos cos d sin, d ln Inn wzor. d rct + d rcsin ln d ln t d ln cos ct d ln sin d t cos d ct sin Przkłd. d d Włsności. c d c d ± d d d [ ] ±

2 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski Przkłd d 6 d 4 d + d + Przkłd Cłkowni przz części. d d 6 d d d d d + Przkłd. d d 4 6 Przkłd. ln ln d d ln ln Cłkowni przz podstwini. d t t dt Wnioski. d ln Jśli d F to + d F + C Przkłd. t sin sin cos d cos d dt d dt cos t dt t sin Przkłd. sin sin t d d d ln cos cos cos Przkłd. cos d sin Przkłd. + d

3 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski Cłkowni przz rozkłd n ułmki prost. d d d d ln + + ln + Przkłd. Koszt krńcow koszt wprodukowni + sztuki wrż się wzorm: Widomo, ż koszt wprodukowni pirwszj sztuki wnosi. Jki jst koszt wprodukowni sztuk. Rozwiązni: K koszt wprodukowni sztuk unkcj kosztów. Poniwż K' to K 6 + d + Poniwż K to stąd C -8. Ztm K + 8 orz K 9. CAŁKA OZNACZONA Cłk oznczon unkcji ciąłj. - unkcj okrślon i ciął w przdzil <, >. d F F F dzi F - unkcj pirwotn unkcji w tm przdzil. Uw. Przjmuj się, ż d orz d d Przkłd. + d + Uw. włsności cłki oznczonj dtwność wzlędm przdziłów cłkowni Jśli c <, > to c d d + d c 6 równość cłk Nich unkcj ędzi cłkowln n przdzil [,] orz nich unkcj różni się od unkcji tlko w skończonj liczi punktów to przdziłu. Wt unkcj tkż jst cłkowln n przdzil [,] orz d d. C

4 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski zchowni nirówności prz cłkowniu Jżli unkcj i są cłkowln n [,], dl kżdo [,], to d d. 4 cłk unkcji niprzstj Nich unkcj ędzi niprzst i cłkowln n przdzil [-,]. Wt d. cłk unkcji przstj Nich unkcj ędzi przst i cłkowln n przdzil [-,]. Wt d d. 6 Intrprtcj omtrczn cłki oznczonj. Jśli dl <, > to d P pol oszru pod krzwą dl <, >. P 7 Śrdni cłkow. Tw o cłkowniu przz podstwini Jżli n. unkcj :[ α, β ] [, ] c d ϕ m ciąłą pochodną n przdzil [α,β],. ϕ α, ϕ β,. unkcj jst ciął n przdzil [,], to β d α ϕ t ϕ t dt Uw. W przpdku unkcj ϕ jst rosnąc, osttni wzór możn zpisć w postci: d ϕ β ϕ α ϕ t. ϕ t dt Tw. o cłkowniu przz części Jżli unkcj i mją ciął pochodn n przdzil [,], to. 4

5 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski [ ] d d. ZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH Pol trpzu krzwoliniowo Nich unkcj d i ędą ciął n przdzil [,] orz nich d dl kżdo,. Pol trpzu krzwoliniowo P orniczono wkrsmi unkcji d i orz prostmi, wrż się wzorm: [ d ] P d. Dłuość krzwj Nich unkcj m ciąłą pochodną n przdzil [,]. Dłuość krzwj L {, : [, ] } wrż się wzorm: L + [ ] d. Ojętość rł orotowj Nich unkcj niujmn ędzi ciął n przdzil [,]. Pondto nich T ozncz trpz krzwoliniow orniczon wkrsm unkcji, osią O orz prostmi,, dzi <. Ojętość rł V powstłj z orotu trpzu krzwoliniowo T wokół osi O wrż się wzorm: V π d. Pol powirzchni orotowj Nich unkcj niujmn m ciąłą pochodną n przdzil [,]. Pol powirzchni S powstłj z orotu wkrsu unkcji wokół osi O wrż się wzorm: + [ ] S π d. Przkłd. Koszt cłkowit wprodukowni sztuk towru wrż się wzorm: K,4 + 8 Jki jst śrdni koszt produkcji jśli produkcj wnosił i wzrosł do sztuk. Rozwiązni: Śrdni koszt produkcji wznczm jko śrdnią cłkową kosztów. 4 K c, + 8 K d, Zuwżm, ż K 66, K 4, K 8. Przkłd. Oliczć pol oszru zwrto międz krzwmi: - i P 4,

6 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski Cłk niwłściw niorniczon zkrs cłkowni. d lim d d lim d c d d + d, c ustlon licz, np. c. c Jśli rozptrwn rnic ni istnij lu ni jst skończon, to mówim, ż cłk jst roziżn. Przkłd. d lim lim d + d d lim rct π d lim ln limln Funkcj órnj rnic cłkowni. - jst ciął w <, >, cłk roziżn F t dt <, > - jśli ciął to F jst różniczkowln orz F. CAŁKA - zdni. Olicz cłki d ; d ; + c d ; + ln d + 7 d d d [ ] [ ] + [ C ] + + d ln [ ln, ] h d 6

7 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski i + d [ + ] [ ] j d + k d + l [ ln + ln + 4 ] d. Olicz cłki oznczon: 4 + d + 4 ln +,, + ; [ 6 ] d ; [ ln, ] c + d 4 [, + ]. Olicz pol oszru orniczono krzwmi: ; 4 ;, + ln 4 c ;, [ ] 4. Olicz cłki niwłściw: d ; d [ ] [ ] 7

8 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. Równni, w którch unkcj niwidom wstępuj pod znkim pochodnj pirwszo rzędu nzwm równnimi różniczkowmi pirwszo rzędu. Przkłd. czli ' jst równnim różniczkowm. d Rozwiązni tk prosto równni możm oddnąć, jst to rodzin prol C dowoln stł Tką rodzinę unkcji nzwm rozwiąznim oólnm równni różniczkowo. Jśli do równni dołączm dodtkow wrunk zwn wrunkim początkowm np. to, podstwijąc tn wrunk do wzoru n rozwiązni oóln otrzmm C i konkrtn rozwiązni +, zwn rozwiąznim szczólnm równni różniczkowo. W zdninich konomii mtmtcznj rozptruj się modl wzrostu ospodrczo w postci równń różniczkowch: Modl Domr di dt ρsi It inwstcj w chwili t, Modl Solow przpdk szczóln dl unkcji produkcji Co-Douls dk dt k sk α + λ kt ilorz kpitłu przz prcę w chwili t, Wrn tp równń i mto ich rozwiązwni. Równni o zminnch rozdzilonch. Równni, któr możm przdstwić w nstępującj postci d nzwm równnim różniczkowm o zminnch rozdzilonch. Modl Domr jst równnim to tpu. G, równni to możn zpisć w postci: d Rozwiązni to równni otrzmujm poprzz cłkowni stron czli równość: d + C 8

9 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski Przkłd: d Po rozdzilniu zminnch otrzmujm: Oliczm cłki: ln Ztm: stąd d d ln C C' dzi C ' ± Jst to rozwiązni oóln to równni. G dodtkowo ł podn wrunk początkow, np.:, to rozwiązni szczóln spłnijąc tn wrunk m postć: Równni różniczkow liniow, jdnorodn + P d Rozwiązujm j stosując mtodą rozdzilni zminnch i jko rozwiązni oóln otrzmujm: C Pd Równni różniczkow liniow, nijdnorodn + P d Rozwiązujm j np. z pomocą mto uzminnini stłj. Rozptrujm rozwiązni równni jdnorodno + P d C Pd Uzminnim stłą wstępującą w tm rozwiązniu, tzn. rozptrujm rozwiązni postci Pd C Oustronni różniczkujm wzlędm zminnj : d C ' Pd C P Pd 9

10 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski Wstwim wliczon wrtości do wjściowo równni i otrzmujm: ' C Pd ' czli C stąd Pd C d orz Przkłd. Pd d Njpirw rozwiążm równni jdnorodn: Pd + d Pd + d d d ln d ln d ~ C, dzi ~ C ± C Uzminnim stłą C ~ ~ C d ~ ' C ~ C Po podstwiniu do wjściowo równni otrzmujm koljno ~ ' C ~ ' C ~ C

11 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski Inn mtod rozwiązwni równń liniowch, nijdnorodnch opir się n włsności: Rozwiązni oóln równni nijdnorodno jst równ sumi rozwiązni oólno równni jdnorodno i dowolno rozwiązni szczólno równni nijdnorodno. Szczóln rozwiązwni równni nijdnorodno możm otrzmć mtodą przwiwni przwidujm, ż rozwiązni jst unkcją z prmtrmi, to smo tpu co, prz czm jśli przwiwni ni prowdzi do rozwiązni nlż j pomnożć przz. Przkłd. + d Jk wim z poprzdnio przkłdu, rozwiązni oólno równni jdnorodno jst równ C. Szczóln rozwiązwni równni nijdnorodno otrzmm mtodą przwiwni. Przwidujm, ż ędzi to rozwiązni postci +. Po podstwiniu do równni otrzmm + +. Porównując współcznniki prz jdnkowch potęch otrzmm,. Szczóln rozwiązwni równni nijdnorodno jst ztm równ, rozwiązni oóln równni nijdnorodno m postć + C jst równ sumi rozwiązni oólno równni jdnorodno i otrzmno rozwiązni szczólno równni nijdnorodno. Równni Brnoullio. m + P, dzi m, m, d Rozwiązujm j sprowdzjąc poprzz podstwini: m z do postci równni liniowo nijdnorodno. Oliczm pochodną zminnj z wzlędm i otrzmujm: dz m m d d Po podstwiniu nowch zminnch do wjściowo równni, przjmuj ono postć: dz + P m z m d I możm j rozwiązć stosując mtodę np. uzminni stłj. Modl Solow jst równnim to tpu. Inormcj o równnich różnicowch pirwszo rzędu. Bdjąc zjwisko w skrtnch chwilch czsu otrzmujm niki zlżność postci zwną równnim różnicowm n-to rzędu.,,...,, t t+ t+ n t W dlszm ciąu rozptrzm równni rzędu o stłch współcznnikch Jo rozwiąznim oólnm jst t + + t

12 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski t c + t + c stł dowoln c + t Jśli dl t, dn jst wrunk początkow to rozwiąznim szczólnm jst t + t t Przkłd. K t kpitł po t ltch K ulokujm n p% roczni procnt skłdn Mm zlżność K p + t+ K t Jst to równni rzędu, wrunkim początkowm jst K. Ztm K t p + K t RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE - Zdni Zdni Rozwiązć równni różniczkow stosując mtodę rozdzilni zminnnch. Odp. ln c, + c Zdni. Wznczć rozwiązni szczóln równni różniczkowo liniowo stosując mtodę uzminnini stłj Odp. ln +, Zdni. Wznczć rozwiązni szczóln równni różniczkowo liniowo stosując mtodę przwiwni Odp., +

13 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski MATEMATYKA II - zdni powtórzniow. Zdni. Olicz d ; d c + d + d 4 9 d Odp. d 4 d + ; ; c ; d 4 + ; ln ln + ; ln + ln ; Zdni. Cłkując przz części, wzncz nstępując cłki: ln d cosd c d d + d Odp. 4 + c sin + cos + c 9 c ln + c d + + c Zdni. Korzstjąc z podnch podstwiń, wzncz nstępując cłki: d t sin ln d t ln c d t + d + d t + + Odp. + c sinln cosln + c c + + c d c Zdni 4. Olicz pol powirzchni orniczonj wkrsmi unkcji,, 4, + +, Odp. 6 + ln, Zdni. Olicz pol oszru orniczono krzwmi: - ; ; - 4 Odp. 4, 7 c Zdni 6. Popt n pwin towr jst unkcją cn c p c. c + Oliczć śrdnią wrtość poptu jżli cn wzrośni od 4 do jdnostk. Odp. p œr 7 ln 4 Zdni 7.Wrtość sprzdż produkcji rki odziż po t dnich od stczni wnosi, s t 6 t zł dzinni.

14 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski wznczć wrtość sprzdż po dnich. po ilu dnich wrtość sprzdż odziż przkrocz zł? Odp. około 4468 zł, po 6 dnich. Zdni 8. Wdjność rootnik wrż się wzorm w t t 6 + t jdnostk n odzinę t - czs od rozpoczęci prc liczon w odzinch. Wzncz liczę jdnostk wtworzonch przz rootnik w ciąu 8 odzin prc. 8 Odp. około 99,6 jdnostki wskzówk: olicz cłkę w t dt Zdni 9. Nich Wt - wdjność rootnik po t odzinch prc mirzon w jdnostkch wtworzono produktu n odzinę prc. Norm dzinn wnosi 8 jdnostk. Oliczć procnt wtworzni dzinnj norm przz rootnik dl któro W t + t - 6 t. Cz rootnik tn moż prcowć w odzinch ndliczowch? Jk dłuo? zkłdm 8 odzinn dziń prc. Odp.,44%, moż mić 4 odzin ndliczow. Zdni. Zps Z ton pwno towru w mzni zmini się w ciąu misiąc dni i po upłwi t dni licząc od początku misiąc wrż się wzorm Z t, t +, t 8t +. W którm momnci zps towru jst njmnijsz? Jki jst śrdni zps w ciąu misiąc? Odp. Zmin Z 8, Z œr 4,. Zdni. Widomo, ż w czsi kcji chrttwnj przrost dochodu jst wolnijsz z upłwm czsu kcji tzn. stop przrostu dochodu mlj z czsm. Nich stop t wrż się wzorm S t t + zł dziń t-czs w dnich Zkłdjąc, ż stop kosztu kcji Kt jst stł i wnosi złdziń wznczć czs trwni kcji, któr dj mksmln dochód wznczć wilkość to dochodu D. c wznczć koszt tj kcji K. d wznczć zsk z tj kcji Z. Uw. Akcj trw ż stop przrostu dochodu zrówn się z stopą kosztów. Mm tż S t D t. Odp. t dni, D zł, c K zł, d Z zł Zdni. Popt n pwin towr jko unkcj cn c wrż się wzorm PP c c 4c + 4 jo podż PD c c Wznczć płną użtczność to towru PU. Uw. Użtczność towru U jst jo wrtością prz cni równowi. Ndwżk użtczności towru NU c PP c dc, dzi c jst cną równowi, c jst c cną prz którj popt jst równ zro. Płn użtczność wnosi PU U + NU. Odp. c, U, NU, PU. 4

15 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski Zdni. Olicz: d ; d + + Odp. ln;,7 4 Zdni 4. Olicz cłki niwłściw: Odp. roziżn Zdni. Rozwiązć równni różniczkow d ; d Odp. ± + c Odp c , Odp C d +, Odp. + ln + C d MATEMATYKA II TEST. Il wnosi cłk d? 8 A B C D 8 8. Il wnosi cłk 4 d? 4 A 4 B 4 8 C, D 4 4. Widomo, ż d. Il wnosi cłk + d? A B 4 C D 6 4. Śrdni cłkow unkcji w przdzil [-; ] wnosi: A B C D, Odpowidzi: D, C, A, 4D, 8 Litrtur: R.Kozrzwski, W.Mtuszwski, J.Zchrski, Mtmtk dl konomistów, część, J.Gwincki, Mtmtk dl konomistów,

16 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski 6 Zstwini pochodnch Funkcj Pochodn c α α α sin cos cos sin t t cos + ct ct sin ln sin rc rccos rct + rcct + lo ln ln Włsności pochodnj ± ± + o dzi ln ln ln lo

17 MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski Zstwini cłk nioznczonch Funkcj Cłk nioznczon C α + α α α + ln ln sin cos cos sin ct sin t cos + rct rc sin Włsności cłk nioznczonch n+ n d n + d ln d d d d d t d ϕ t dt c. przz części ϕ c. przz podstwini L.Kowlski 7.. 7