Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Transkrypt

1 1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre z nich są tzw. pnktmi stłymi (np. osnow) w nszym przykłdzie będą to pnkty, 12. Pnkty, których wysokości nie znmy to pnkty 1, 2,, 8. N tej sieci wykonno pomiry, które są jednk obrczone błędmi. Mmy 19 pomirów, które oznczymy przez N:(A-B) co ozncz pomir nr N określjący różnicę wysokości pomiędzy pnktmi A i B (o ile pnkt B jest wyższy niż A), n przykłd 1:(-1). Dne do rozwżnego niżej przykłd mją postć nstępjącą: Nr-pkt Y 1 12 bel 1: Wysokości pnktów stłych Obserwcj N:(AB) Wrtość h_ab 1:(-1) 2,998 2:(-2) 1,998 3:(-3) -1,8 4:(12-4) -2,998 5:(12-5),51 6:(12-6) 1,52 7:(12-7),296 8:(12-8) 1,95 9:(7-1) 1,75 1:(7-2),76 :(3-7) 2,3 12:(8-3) -3,96 :(4-7) 3,32 14:(1-2) -1,2 15:(6-4) -4,51 16:(6-8) -,43 17:(5-4) -3,57 18:(3-1) 4,3 19:(5-6),996 bel 2: Wrtości poszczególnych obserwcji 2.1. Wyznczenie początkowych przybliżeń N początek msimy wyznczyć początkowe przybliżenie poszczególnych wysokości. Możn to osiągnąć wybierjąc obserwcje, w których występją wszystkie pnkty. Poniewż jednk pewne pnkty są określone dokłdnie, słsznie będzie wykorzystć do tego cel pierwsze 8 obserwcji.

2 Mmy ztem początkowe przybliżeni pnktów określone n podstwie pierwszych ośmi opercji: Nr-pkt. wys zokr ,998 2, , ,2 5, ,52 7, ,95 bel 3: Początkowe przybliżeni wysokości pnktów Poszczególne obserwcje zpiszmy w postci mcierzy A nstępjącej postci, do której dołączymy wektor L: A L obs.\pkt h2-h1-h12 1:(-1) 1, 2:(-2) 1, 3:(-3) 1, 4:(12-4) 1, 5:(12-5) 1, 6:(12-6) 1, 7:(12-7) 1, 8:(12-8) 1, 9:(7-1) 1-1 -,3 1:(7-2) 1-1 -,4 :(3-7) -1 1,4 12:(8-3) 1-1 -,7 :(4-7) ,8 14:(1-2) -1 1,2 15:(6-4) 1-1,1 16:(6-8) ,4 17:(5-4) 1-1,8 18:(3-1) 1-1,3 19:(5-6) -1 1,5 bel 4: Mcierz współczynników A i wektor L Wektor L jest to różnic pomiędzy wrtościmi zmierzonymi (por. tbel 2), obliczonymi n podstwie początkowych przybliżeń pnktów. Pierwsze 8 wierszy zznczono kolorem zielonym, gdyż tm wektor L msi mieć wrtości zerowe n podstwie tych obserwcji wyznczone zostły początkowe przybliżeni, ztem jeśli te wrtości byłyby niezerowe, świdczy to o popełnionym błędzie! Kżdy z pnktów (z wyjątkiem stłych) m wysokość obrczoną pewnym błędem, którego nie znmy. Ztem dl przykłd wysokość pnkt 1 jest równ h1 + dh1, gdzie dh1 jest popełnionym błędem początkowego przybliżeni. Mmy ztem np. dl obserwcji 9:(7-1) nstępjące równnie: h 1 dh 1 h 7 dh 7 h 71, które przeksztłcić możn do dh 1 dh 7 h 1 h 7 h 71 =dh 1 dh 7 l 9 =v 9, gdzie v9 jest tzw. poprwką 9 równni. W postci mcierzowej cłość równni wygląd nstępjąco: A dh L=V Dążymy do minimlizcji smy kwdrtów poprwek, ztem po przeksztłceni mmy A A dh= A L więc dh= A A 1 A L.

3 3. Metod grpow Jeśli możemy podzielić wszystkie pnkty n 3 grpy o nstępjących włsnościch: grp nie m żdnego połączeni (obserwcji) pomiędzy grpą 1 i 2 grp 3 jest tzw. grpą łączną i są połączeni pomiędzy grpmi 1 i 3, orz 2 i 3 połączeni z pnktmi stłymi są nieistotne (mogą być z kżdej z grp) to możemy zrównoleglić obliczeni posłgjąc się metodą grpową. N przykłdzie z poprzedniego ćwiczeni: Do grpy 1 zliczmy pnkty 1, 2, 3 Do grpy 2 zliczmy pnkty 4, 5, 6 Do grpy 3 zliczmy pnkty 7, 8 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 L , ,4-1 1, ,7-1 1,2 1-1, ,8 1-1, ,4 1-1,8-1 1,5 1 1 bel 5: Mcierz A z podziłem n grpy bel 5 przedstwi mcierz z podziłem n poszczególne grpy. UWAGA! Mcierz msi wyglądć tk, jk powyżej w szczególności pol, które pozostwiono biłe mszą być zermi! Jkkolwiek inn wrtość w tym miejsc świdczy o błędnym podzile n grpy! A = l1 L = l2 l 3 x1 x = x2 x 3 Nstępnie kżdy z frgmentów (czerwony, zielony, niebieski) rozwiązjemy metodą pośredniczącą, le nie do końc. Wyznczmy mcierze AA, orz -AL osobno! Dlczego? Otóż okzje się, że jeśli mcierz A m postć jk powyżej, to AA (dlej oznczmy jko U) m proszczoną postć podobnie, jk -AL (ozn. b):

4 U = 23 C 23 l1 C = b = l2 33 D D = l1 23l2 33l3 Wrcjąc do prktycznych obliczeń. Dl grpy 1 mmy: A x1 x2 x3 x7 x8 L , ,4-1 1, ,7-1 1,2 1-1,3 Ztem: AA -AL x ,2 x ,2 x ,14 x , x ,7 W tym miejsc stosjemy metodę elimincji Gss tk, by doprowdzić do mcierzy jednostkowej po lewej stronie n górze, le tylko dl elementów pierwszej grpy. Ztem: x1 1 -,25 -,25 -,25,5 x2 2,75 -,25-1,25,25 x3 -,25 3,75-1,25-1,145 x7-1,25-1,25 2,75 -,15 x ,7 x1 1 -, ,36364, x2 1 -,991 -,45455,9991 x3 3, , , x7-1, , , x ,7 x1 1 -, ,7317, x2 1 -,4878 -,2439, x3 1 -, ,26829,3951 x7 1, , , x8 -,36585, ,34878 bel 6: Kolejne kroki metody Gss Zznczone n szro elementy będą nm potrzebne do wyznczeni element E. Równy jest on E =

5 Licząc ntomist ręcznie, msimy dodć to pole do nlogicznego z grpy 2 (niżej) i do (_33^)_33. Anlogicznie wyznczmy wektor F (z tym, że ttj mnożymy l) biorąc zcienione wektory. eoretycznie F = wyznczyć go możn jko: Anlogicznie dl grpy 2: l l l l1 1 l2 A x4 x5 x6 x7 x8 L ,8 1-1, ,4 1-1,8-1 1,5 AA -AL , , ,8-1 1,8-1 1,4 1 -,25 -,25 -,25 -,425 2,75-1,25 -,25,875-1,25 3,75 -,25-1 -,15 -,25 -,25,75, ,4 1 -, , , , ,991, , , , ,36364,727273, ,4 1 -, , ,44 1 -, , ,2 1 -,429 -, ,26, , ,36 -,429, ,14 bel 7: Metod pośrednicząc dl grpy 2 Mjąc jż obliczone mcierz E i wektor f odwrcmy mcierz E: E E-1 f 3, ,4814 -,38 -,4814 2,4174 -,165,3554,6678,6678, bel 8: E, f, E^{-1}

6 nstępnie przechodzimy do osttniego etp. Wyznczmy x3 = E^{-1}*f W tym momencie mmy jż wyznczone poprwki do pnktów grpy łącznej. N ich podstwie wyznczmy x1 = n1 cz*x3, gdzie n1 to niebieski wektor z tbeli 6, cz to czerwon mcierz z tejże. Anlogicznie wyznczmy x2, tylko posłgjąc się dnymi z tbeli 7.