zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

Transkrypt

1 Mtemtyk Poziom podstwowy zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom podstwowy rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1 Uzsdnij, że pole romu o przekątnych p i q wyrż się wzorem P = 1 pq Rozwiąznie: Przyjmij oznczeni: AC = p, BD = q Przypomnijmy, że przekątne w romie przecinją się pod kątem prostym i dzielą się n połowy Co możn powiedzieć o długościch oków? D AO = BO = q Pole trójkąt AOD wynosi 1 1 p 1 q = 1 8 pq Postępując nlogicznie, olicz pol pozostłych trójkątów: A p O C Pole trójkąt COD wynosi Pole trójkąt AOB wynosi Pole trójkąt COB wynosi B Pole romu ABCD jest sumą pól tych trójkątów i wynosi wsippl/now-mtur 1

2 Mtemtyk Poziom podstwowy Zdnie Uzsdnij, że pole trójkąt o okch,, c i kątch, P = 1 i wyrż się wzorem: c Rozwiąznie: Niech: h 1 ędzie wysokością pdjącą n ok wtedy P = 1 h 1 Stosując funkcje trygonometryczne, otrzymsz h 1 = => h 1 = γ orz h 1 = => h c 1 =, z tego wynik, że = c, = c P = 1 h 1 i h 1 =, podstwijąc otrzymsz P = 1 Niech h ędzie wysokością pdjącą n ok Stosując funkcje trygonometryczne, otrzymsz h = α=> h c = orz h = => h =, Z tego wynik, że c = orz = c Z pierwszego równni olicz c i podstw do drugiego c = = Podstwijąc otrzymsz: = P = 1 = 1 γ = 1 Postępując nlogicznie uzsdnij, że pole trójkąt o okch,, c i kątch,, γwyrż się wzorem P = 1 h h 1 wsippl/now-mtur

3 Mtemtyk Poziom podstwowy Zdnie Uzsdnij, że pole trójkąt równoocznego o oku długości jest równe P = 4 Rozwiąznie: Dl dowolnego trójkąt pole wyrż się wzorem: P = 1 h Wysokość w trójkącie równoocznym dzieli ok n połowy N mocy twierdzeni Pitgors w trójkącie prostokątnym mmy: h + ( 1 ) = h = h = 4 / h = Podstwijąc wyrżenie równe h do wzoru n pole trójkąt, otrzymmy P = 1 = 4 Zdnie 4 Olicz pole trójkąt równoocznego, wiedząc, że wysokość h = 1 h Rozwiąznie: Pole trójkąt równoocznego o oku długości wyrż się wzorem P = 4 Stosując twierdzenie Pitgors w prostokątnym, olicz długość oku : h + ( 1 ) = ( ) + ( 1 ) = 1 h = wsippl/now-mtur

4 Mtemtyk Poziom podstwowy Podstwijąc wyrżenie równe do wzoru n pole trójkąt, otrzymsz: P = Zdnie 5 Uzsdnij, że pole trójkąt o okch i i kącie ostrym P = 1 α Rozwiąznie: Dl dowolnego trójkąt P = 1 h zwrtym między nimi wyrż się wzorem C Stosując funkcje trygonometryczne w trójkącie, ACD otrzymsz: h =, czyli h = Podstw wyrżenie równe h do wzoru n pole P = 1 h A D B Zdnie 6 Uzsdnij, że pole o okch i c i kącie ostrym zwrtym między nimi wyrż się wzorem P = 1 c wsippl/now-mtur 4

5 Mtemtyk Poziom podstwowy Zdnie 7 Uzsdnij, że pole trójkąt o owodzie p wyrż się wzorem P = rp, gdzie r jest promieniem okręgu wpisnego w ten trójkąt Rozwiąznie: Ow = + + c = p Przypomnijmy wzór n pole dowolnego trójkąt o okch,, c i promieniu okręgu wpisnego w trójkąt r: P = + + c r Podstw do wzoru: r c P = wsippl/now-mtur 5

6 Mtemtyk Poziom podstwowy Zdnie 8 ) Uzupełnij zpis i wykż, że licz dzieli się przez = ( )( + 5) = 1( + ) ) Postępując nlogicznie jk w podpunkcie ), wykż, że licz dzieli się przez 110 c) 6 1 = (( ) 1)(( ) + 1) = ( 1)( + 1)( 6 + 1) = =( 1)( + + 1)( + 1)( 6 + 1) = 1( + 1)( 6 + 1) Licz 6 1 dzieli się przez 1 d) Postępując nlogicznie jk w podpunkcie c), wykż, że licz dzieli się przez 1 e) Wykż, że licz 1 1 jest podzieln przez = ( 6 ) ( 6 ) = ( 6 6 )( ) = (( ) ( ) )( ) = =( )( + )( ) = ( )( + + 4)( + )( ) = 1 19( + )( ) wsippl/now-mtur 6

7 Mtemtyk Poziom podstwowy f) Postępując nlogicznie jk w podpunkcie e), wykż, że licz 1 1 dzieli się przez 5 ODPOWIEDZI Zdnie 1 AC = p AO = 1 p BD = q BO = 1 q Pole trójkąt AOD wynosi 1 1 p 1 q = 1 8 pq Pole trójkąt COD wynosi 1 8 pq Pole trójkąt AOB wynosi 1 8 pq Pole trójkąt COB wynosi 1 8 pq Pole romu ABCD jest sumą pól tych trójkątów i wynosi pq = 1 pq Zdnie 4 = 6 P = Zdnie 5 = h h = α wsippl/now-mtur 7

8 Mtemtyk Poziom podstwowy Zdnie 8 ) = (6 5)(6 + 5) = 1(6 + 5) ) = (11 11)( ) = 110( ) d) = ((5 6 ) 1 ) = (5 6 1)( ) = ((5 ) 1)( ) = (5 1)(5 + 1)( ) = = (5 1)( )(5 + 1)( ) = 4( )(5 + 1)( ) f) 1 1 = ( 6 6 )( ) = ( )( + )( 6 + 4)( ) wsippl/now-mtur 8