PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA

POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Dla zadanego układu należy 1) Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych w prętach od zadanego obciążenia jednoparametrowego 2) Zbudować globalne macierze: sztywności i geometryczną przez agregację macierzy elementowych (1 pręt=1 element) 3) Obliczyć wartość obciążenia krytycznego i narysować postać wyboczenia 4) Obliczyć przemieszczenia i siły przekrojowe uwzględniając siły osiowe dla obciążenia krytycznego (wykonać jedna iterację) Dane: E=205GPa 1 Dla I 240 I x =4250cm 4 EI 1 =8712,5 knm 2 A=46,1cm 2 EA 1 =945050 kn 2 Dla I 260 I x =5740 cm 4 EI 2 =11767 knm 2 A=53,3 cm 2 EA 2 =1092650 kn Olga Szczepaniak KB2 Strona 1

Określenie liczby niewiadomych Liczba niewiadomych 15 zatem macierz sztywności będzie miała wymiar 15x15 Tabela powiązań 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 13 14 15 4 5 6 3 4 5 6 7 8 9 4 10 11 12 7 8 9 Wyznaczenie macierzy sztywności oraz wektorów obciążeń dla pojedynczych prętów Dla pręta nr I (EA 1, EI 1, L=5,32m) Macierz sztywności w układzie lokalnym jak dla pręta obustronnie utwierdzonego Olga Szczepaniak KB2 Strona 2

Kąt wiążący układ globalny z układem lokalnym α=-41 177640,977 0,000 0,000-177640,977 0,000 0,000 0,000 694,367 1847,017 0,000-694,367 1847,017 = 0,000 1847,017 6550,752 0,000-1847,017 3275,376-177640,977 0,000 0,000 177640,977 0,000 0,000 0,000-694,367-1847,017 0,000 694,367-1847,017 0,000 1847,017 3275,376 0,000-1847,017 6550,752 Dla pręta nr II (EA 1, EI 1, L=3,5m) Macierz sztywności w układzie lokalnym jak dla pręta obustronnie utwierdzonego Kąt wiążący układ globalny z układem lokalnym α=-90 270014,286 0 0-270014,29 0 0 0 2438,484 4267,347 0-2438,48 4267,347 = 0 4267,347 9957,143 0-4267,35 4978,571-270014,29 0 0 270014,286 0 0 0-2438,48-4267,35 0 2438,484-4267,35 0 4267,347 4978,571 0-4267,35 9957,143 Dla pręta nr III (EA 2, EI 2, L=5,0m) Macierz sztywności w układzie lokalnym jak dla pręta obustronnie utwierdzonego Kąt wiążący układ globalny z układem lokalnym α=0 Olga Szczepaniak KB2 Strona 3

218530 0 0-218530 0 0 0 1129,632 2824,08 0-1129,63 2824,08 = 0 2824,08 9413,6 0-2824,08 4706,8-218530 0 0 218530 0 0 0-1129,63-2824,08 0 1129,632-2824,08 0 2824,08 4706,8 0-2824,08 9413,6 Dla pręta nr IV (EA 1, EI 1, L=3,5m) Macierz sztywności w układzie lokalnym jak dla pręta z przegubem z lewej strony Kąt wiążący układ globalny z układem lokalnym α=-90 270014,286 0 0-270014,29 0 0 0 609,621 0 0-609,621 2133,673 = -270014,29 0 0 270014,286 0 0 0-609,621 0 0 609,621-2133,67 0 2133,673 0 0-2133,67 7467,857 Transformacja lokalnych macierzy sztywności Transformacja macierzy sztywności z układu lokalnego do układu globalnego przebiega wg prawa transformacji: Gdzie T macierz transformacji 0 0 Olga Szczepaniak KB2 Strona 4

cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 Dla pręta nr I Macierz transformacji ma postać T= 0,75471-0,65606 0 0 0 0 0,65606 0,75471 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,75471-0,65606 0 0 0 0 0,65606 0,75471 0 0 0 0 0 0 1 Macierz sztywności pręta I w układzie globalnym ma postać 101481,69-87612,82 1211,7519-101480,78 87612,289 1211,7519-87612,817 76854,568 1393,9611 87612,289-76854,568 1393,9611 1211,754 1393,9611 6550,7519-1211,7519-1393,9611 3275,3759-101480,78 87612,289-1211,7519 101480,78-87612,289-1211,7519 87612,289-76854,568-1393,9611-87612,289 76854,568-1393,9611 1211,7519 1393,9611 3275,3759-1211,7519-1393,9611 6550,7519 Dla pręta nr II Macierz transformacji ma postać: tran T= 0-1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0-1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 Macierz sztywności pręta II w układzie globalnym ma postać 2438,484 0 4267,347-2438,48 0 4267,347 0 270014,3 0 0-270014 0 4267,347 0 9957,143-4267,35 0 4978,571-2438,48 0-4267,35 2438,484 0-4267,35 0-270014 0 0 270014,3 0 4267,347 0 4978,571-4267,35 0 9957,143 Olga Szczepaniak KB2 Strona 5

Dla pręta nr III Dla pręta nr III lokalna macierz sztywności odpowiada macierzy globalnej 218530 0 0-218530 0 0 0 1129,632 2824,08 0-1129,63 2824,08 0,008 0 2824,08 9413,6 0-2824,08 4706,8-218530 0 0 218530 0 0 0-1129,63-2824,08 0 1129,632-2824,08 0 2824,08 4706,8 0-2824,08 9413,6 Dla pręta nr IV Macierz transformacji pręta IV odpowiada macierzy transformacji pręta II Macierz sztywności pręta IV w układzie globalnym ma postać 609,621 0 0-609,621 0 2133,673 0 270014,3 0 0-270014 0-609,621 0 0 609,621 0-2133,67 0-270014 0 0 270014,3 0 2133,673 0 0-2133,67 0 7467,857 Agregacja macierzy sztywności z układu lokalnego do globalnej macierzy sztywności Olga Szczepaniak KB2 Strona 6

101480,78-87612,29 1211,75-101480,78 87612,29 1211,75 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-87612,29 76854,57 1393,96 87612,29-76854,57 1393,96 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1211,75 1393,96 6550,75-1211,75-1393,96 3275,38 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-101480,78 87612,29-1211,75 322449,26-87612,29-5479,10-218530,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-2438,48 0,00-4267,35 87612,29-76854,57-1393,96-87612,29 347998,49 1430,12 0,00-1129,63 2824,08 0,00 0,00 0,00 0,00-270014,29 0,00 1211,75 1393,96 3275,38-5479,10 1430,12 25921,50 0,00-2824,08 4706,80 0,00 0,00 0,00 4267,35 0,00 4978,57 0,00 0,00 0,00-218530,00 0,00 0,00 219139,62 0,00-2133,67-609,62 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1129,63-2824,08 0,00 271143,92-2824,08 0,00-270014,29 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2824,08 4706,80-2133,67-2824,08 16881,46 2133,67 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-609,62 0,00 2133,67 609,62 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-270014,29 0,00 0,00 270014,29 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-2438,48 0,00 4267,35 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2438,48 0,00 4267,35 0,00 0,00 0,00 0,00-270014,29 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 270014,29 0,00 0,00 0,00 0,00-4267,35 0,00 4978,57 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4267,35 0,00 9957,14 Olga Szczepaniak KB2 Strona 7

Macierze geometryczne: Rozkład sił normalnych dla obciążenia jednoparametrowego N 1 =-26,268kN N 2 =-77,958kN N 3 =-20,743kN N 4 =-4,923kN A) Dla pręta nr I (N 1 =-26,268kN) - w układzie lokalnym 0-5,9251128-2,6268 0 5,9251128-2,6268 0-2,6268-18,632768 0 2,6268 4,658192 0 5,9251128 2,6268 0-5,9251128 2,6268 0-2,6268 4,658192 0 2,6268-18,632768 - w układzie globalnym: transformacja macierzy z układu lokalnego do globalnego przebiega wg schematu Kąt wiążący układ lokalny z globalnym α=-41 ; postać macierzy transformacji jest taka sama jak dla elementowej macierzy sztywności pręta -2,569-2,936-1,730 2,569 2,936-1,730-2,936-3,356-1,977 2,936 3,356-1,977-1,730-1,977-18,633 1,730 1,977 4,658 2,569 2,936 1,730-2,569-2,936 1,730 2,936 3,356 1,977-2,936-3,356 1,977-1,730-1,977 4,658 1,730 1,977-18,633 Olga Szczepaniak KB2 Strona 8

B) Dla pręta nr II (N 2 =-77,958kN) - w układzie lokalnym 0-26,7285-7,7958 0 26,72846-7,7958 0-7,7958-36,3804 0 7,7958 9,0951 0 26,72846 7,7958 0-26,7285 7,7958 0-7,7958 9,0951 0 7,7958-36,3804 - w układzie globalnym Kąt wiążący układ lokalny z globalnym α=-90 ; postać macierzy transformacji jest taka sama jak dla elementowej macierzy sztywności pręta -26,7285 0-7,7958 26,72846 0-7,7958-7,7958 0-36,3804 7,7958 0 9,0951 26,72846 0 7,7958-26,7285 0 7,7958-7,7958 0 9,0951 7,7958 0-36,3804 C) Dla pręta nr III (N 3 =-20,743kN) 0-4,97832-2,0743 0 4,97832-2,0743 0-2,0743-13,8287 0 2,0743 3,457167 0 4,97832 2,0743 0-4,97832 2,0743 0-2,0743 3,457167 0 2,0743-13,8287 - w układzie globalnym Kąt wiążący układ lokalny z globalnym α=-90 ; 0-4,97832-2,0743 0 4,97832-2,0743 0-2,0743-13,8287 0 2,0743 3,457167 0 4,97832 2,0743 0-4,97832 2,0743 0-2,0743 3,457167 0 2,0743-13,8287 Olga Szczepaniak KB2 Strona 9

D) Dla pręta nr IV (N 4 =-4,923kN) - w układzie lokalnym 0-1,68789 0 0 1,687886-0,9846 0 1,687886 0 0-1,68789 0,9846 0-0,9846 0 0 0,9846-3,4461 - w układzie globalnym; postać macierzy transformacji jest taka sama jak dla elementowej macierzy sztywności pręta -1,68789 0 0 1,687886 0-0,9846 1,687886 0 0-1,68789 0 0,9846-0,9846 0 0 0,9846 0-3,4461 Po agregacji otrzymano globalną postać macierzy geometrycznej: Olga Szczepaniak KB2 Strona 10

-2,57-2,94-1,73 2,57 2,94-1,73 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-2,94-3,36-1,98 2,94 3,36-1,98 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,73-1,98-18,63 1,73 1,98 4,66 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,57 2,94 1,73-29,30-2,94 9,53 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 26,73 0,00 7,80 2,94 3,36 1,98-2,94-8,33-0,10 0,00 4,98-2,07 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,73-1,98 4,66 9,53-0,10-68,84 0,00 2,07 3,46 0,00 0,00 0,00-7,80 0,00 9,10 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,69 0,00 0,98 1,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4,98 2,07 0,00-4,98 2,07 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-2,07 3,46 0,98 2,07-17,27-0,98 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,69 0,00-0,98-1,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 26,73 0,00-7,80 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-26,73 0,00-7,80 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 7,80 0,00 9,10 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-7,80 0,00-36,38 Olga Szczepaniak KB2 Strona 11

Uwzględniając warunki podparcia (q 1 =q 2 =q 3 =q 13 =q 14 =q 15 =q 11 =q 10 =0) i redukcję pręta 4 otrzymano globalną postać macierzy sztywności: 322449,26-87612,29-5479,10-218530,00 0,00 0,00-87612,29 347998,49 1430,12 0,00-1129,63 2824,08-5479,10 1430,12 25921,50 0,00-2824,08 4706,80-218530,00 0,00 0,00 219139,62 0,00-2133,67 0,00-1129,63-2824,08 0,00 271143,92-2824,08 0,00 2824,08 4706,80-2133,67-2824,08 16881,46 Oraz globalną postać macierzy geometrycznej: -29,30-2,94 9,53 0,00 0,00 0,00-2,94-8,33-0,10 0,00 4,98-2,07 9,53-0,10-68,84 0,00 2,07 3,46 0,00 0,00 0,00-1,69 0,00 0,98 0,00 4,98 2,07 0,00-4,98 2,07 0,00-2,07 3,46 0,98 2,07-17,27 Wyznaczenie wartości obciążenia krytycznego sprowadza się do rozwiązania równania równowagi układu: 0 Sprowadzając powyższe równanie do postaci problemu własnego otrzymano: 0 Do rozwiązania równania problemu własnego posłużono się programem UPW skąd otrzymano następujące wartości własne: 1-0,331470E+03 2-0,106308E+04 3-0,255714E+04 4-0,301283E+05 5-0,139979E+06 6-0,242216E+06 0,331470 10 0,331470 10 0,106308E 10 0,106308E 10 0,255714 10 0,255714 10 0,301283 10 0,301283 10 0,139979 10 0,139979 10 0,242216 10 0,242216E 10 Olga Szczepaniak KB2 Strona 12

,,,,, 331,470 Dla przyjętego wektor własny ma postać: q 4 = -0,182167E-01 q 5 = -0,385750E-02 q 6 = -0,999926E+00 q 7 = -0,138896E-01 q 8 = -0,378091E-02 q 9 = 0,522390E+00 Kolumnowa macierz przemieszczeń w układzie globalnym ma postać: q 1 = 0,00 q 2 =0,00 q 3 = 0,00 q 4 = -0,182167E-01 q 5 = -0,385750E-02 q 6 = -0,999926E+00 q 7 = -0,138896E-01 q 8 = -0,378091E-02 q 9 = 0,522390E+00 q 10 = 0,00 q 11 = 0,00 q 12 = 0,00 q 13 = 0,00 q 14 = 0,00 q 15 = 0,00 Przemieszczenia poszczególnych prętów: A) Dla pręta nr I - w układzie globalnym q 1 = 0,00 q 2 =0,00 q 3 = 0,00 q 4 = -0,182167E-01 q 5 = -0,385750E-02 q 6 = -0,999926E+00 - w układzie lokalnym q 1 = 0,00 q 2 = 0,00 q 3 = 0,00 q 4 = - 0,0111693 q 5 = - 0,0148988 q 6 = - 0,999926 Olga Szczepaniak KB2 Strona 13

B) Dla pręta nr II - w układzie globalnym q 4 = -0,182167E-01 q 5 = -0,385750E-02 q 6 = -0,999926E+00 q 13 = 0,00 q 14 = 0,00 q 15 = 0,00 - w układzie lokalnym q 1 = 0,00 q 2 = - 0,00 q 3 = - 0,00 q 4 = 0,0038575 q 5 = - 0,0182167 q 6 = - 0,99992 C) Dla pręta nr III - w układ globalny odpowiada układowi lokalnemu q 4 = q 1 = -0,182167E-01 q 5 = q 2 = -0,385750E-02 q 6 = q 3 = -0,999926E+00 q 7 = q 4 = -0,138896E-01 q 8 = q 5 = -0,378091E-02 q 9 = q 6 = 0,522390E+00 D) Dla pręta nr IV - w układzie globalnym q 7 = -0,138896E-01 q 8 = -0,378091E-02 q 9 = 0,522390E+00 q 10 = 0,00 q 11 = 0,00 q 12 = 0,00 - w układzie lokalnym q 1 =0,00 q 2 =0,00 q 3 = 0,00 q 4 = 0,0037809 q 5 = - 0,0138896 q 6 = 0,52239 Określenie postaci utraty stateczności Przemieszczenie punktów opisuje się ogólnie:, Można zapisać jako: Gdzie: u przemieszczenie po kierunku równoległym do elementu v przemieszczenie po kierunku prostopadłym do elementu Funkcje kształtu do wyznaczenia przemieszczeń prętów: Dla pręta obustronnie utwierdzonego 1 1 3 2 Olga Szczepaniak KB2 Strona 14

1 2 3 2 Dla pręta z przegubem z lewej strony 1 1 3 2 1 2 0 3 2 1 2 1 2 1 2 Stąd funkcje kształtu przyjmują postać - Dla pręta nr I L.p /L N 1 ( ) N 2 ( ) N 3 ( ) N 4 ( ) N 5 ( ) N 6 ( ) 0 0,00 0,000 1,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0 1 0,532 0,100 0,900 0,972 0,431 0,100 0,028-0,04788 2 1,064 0,200 0,800 0,896 0,681 0,200 0,104-0,17024 3 1,596 0,300 0,700 0,784 0,782 0,300 0,216-0,33516 4 2,128 0,400 0,600 0,648 0,766 0,400 0,352-0,51072 5 2,660 0,500 0,500 0,500 0,665 0,500 0,500-0,665 6 3,192 0,600 0,400 0,352 0,511 0,600 0,648-0,76608 7 3,724 0,700 0,300 0,216 0,335 0,700 0,784-0,78204 8 4,256 0,800 0,200 0,104 0,170 0,800 0,896-0,68096 9 4,788 0,900 0,100 0,028 0,048 0,900 0,972-0,43092 10 5,320 1,000 0,000 0,000 0,000 1,000 1,000 0 Przemieszczenia punktów przyjmują wartości Olga Szczepaniak KB2 Strona 15

L.p u v 0 0,00 0,00 0,00 1 0,532-0,00112 0,047459 2 1,064-0,00223 0,168678 3 1,596-0,00335 0,331917 4 2,128-0,00447 0,505438 5 2,660-0,00558 0,657501 6 3,192-0,0067 0,756369 7 3,724-0,00782 0,770301 8 4,256-0,00894 0,66756 9 4,788-0,01005 0,416406 10 5,320-0,01117-0,0149 - Dla pręta nr 2 L.p /L N 1 ( ) N 2 ( ) N 3 ( ) N 4 ( ) N 5 ( ) N 6 ( ) 0 0,000 0,000 1,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0 1 0,500 0,143 0,857 0,945 0,367 0,143 0,055-0,06122 2 1,000 0,286 0,714 0,802 0,510 0,286 0,198-0,20408 3 1,500 0,429 0,571 0,606 0,490 0,429 0,394-0,36735 4 2,000 0,571 0,429 0,394 0,367 0,571 0,606-0,4898 5 2,500 0,714 0,286 0,198 0,204 0,714 0,802-0,5102 6 3,000 0,857 0,143 0,055 0,061 0,857 0,945-0,36735 7 3,500 1,000 0,000 0,000 0,000 1,000 1,000 0 Przemieszczenia punktów przyjmują wartości L.p u v 0 0,000 0,0000 0,0000 1 0,500 0,0006 0,0602 2 1,000 0,0011 0,2005 3 1,500 0,0017 0,3601 4 2,000 0,0022 0,4787 5 2,500 0,0028 0,4956 6 3,000 0,0033 0,3501 7 3,500 0,0039-0,0182 - Dla pręta nr III Funkcje kształtu przyjmują postać Olga Szczepaniak KB2 Strona 16

L.p /L N 1 ( ) N 2 ( ) N 3 ( ) N 4 ( ) N 5 ( ) N 6 ( ) 0 0,000 0,000 1,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0 1 0,500 0,100 0,900 0,972 0,405 0,100 0,028-0,045 2 1,000 0,200 0,800 0,896 0,640 0,200 0,104-0,16 3 1,500 0,300 0,700 0,784 0,735 0,300 0,216-0,315 4 2,000 0,400 0,600 0,648 0,720 0,400 0,352-0,48 5 2,500 0,500 0,500 0,500 0,625 0,500 0,500-0,625 6 3,000 0,600 0,400 0,352 0,480 0,600 0,648-0,72 7 3,500 0,700 0,300 0,216 0,315 0,700 0,784-0,735 8 4,000 0,800 0,200 0,104 0,160 0,800 0,896-0,64 9 4,500 0,900 0,100 0,028 0,045 0,900 0,972-0,405 10 5,000 1,000 0,000 0,000 0,000 1,000 1,000 0 Przemieszczenia punktów przyjmują wartości L.p u v 0 0-0,0182-0,0038575 1 0,500-0,0178-0,4323329 2 1,000-0,0174-0,7273846 3 1,500-0,0169-0,9033394 4 2,000-0,0165-0,9745245 5 2,500-0,0161-0,9552667 6 3,000-0,0156-0,8598931 7 3,500-0,0152-0,7027308 8 4,000-0,0148-0,4981066 9 4,500-0,0143-0,2603477 10 5,000-0,0139-0,0037809 - Dla pręta nr IV L.p /L N 1 ( ) N 2 ( ) N 3 ( ) N 4 ( ) N 5 ( ) N 6 ( ) 0 0,000 0,000 1,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0 1 0,500 0,143 0,857 0,787 0,000 0,143 0,213-0,2449 2 1,000 0,286 0,714 0,583 0,000 0,286 0,417-0,45918 3 1,500 0,429 0,571 0,397 0,000 0,429 0,603-0,61224 4 2,000 0,571 0,429 0,236 0,000 0,571 0,764-0,67347 5 2,500 0,714 0,286 0,111 0,000 0,714 0,889-0,61224 6 3,000 0,857 0,143 0,029 0,000 0,857 0,971-0,39796 7 3,500 1,000 0,000 0,000 0,000 1,000 1,000 0 Olga Szczepaniak KB2 Strona 17

Przemieszczenia punktów przyjmują wartości L.p u v 0 0,000 0,0000 0,0000 1 0,500 0,0006 0,2410 2 1,000 0,0011 0,4516 3 1,500 0,0017 0,6012 4 2,000 0,0022 0,6595 5 2,500 0,0028 0,5960 6 3,000 0,0033 0,3802 7 3,500 0,0039-0,0182 Postać utraty stateczności: Obliczenie premieszczeń i sił przekrojowych uwzględniając siły osiowe dla obciążenia odpowiadającego połowie obciążenia krytycznego (jedna iteracja) Zadanie polega na rozwiązaniu problemu postaci: Gdzie 165,74 Olga Szczepaniak KB2 Strona 18

Wylicza się nową macierz sztywności Stąd rozwiązuje się zadanie postaci: Rama obciążona siłami przemnożonymi przez 1 2 331,47 0,5 165,74 Olga Szczepaniak KB2 Strona 19

Wykresy sił wewnętrznych otrzymano korzystając z programu RM-Win N 1 =-4353,59 kn N 2 =-12920,31 kn N 3 =-3437,89kN N 4 =-815,918kN Macierze geometryczne dla poszczególnych prętów: N 1 =-4353,59kN (wartość odczytana z programu RM-Win) - Dla pręta nr I W układzie globalnym 0-982,013-435,359 0 982,0128-435,359 0-435,359-3088,15 0 435,359 772,0366 0 982,0128 435,359 0-982,013 435,359 0-435,359 772,0366 0 435,359-3088,15 Po transformacji do układu lokalnego -425,82777-486,66095-286,68564 425,82518 486,66095-286,686-486,66095-556,18468-327,64117 486,65799 556,18468-327,641-286,68564-327,64117-3088,1465 286,6839 327,64117 772,0366 425,82518 486,65799 286,6839-425,82259-486,65799 286,6839 486,66095 556,18468 327,64117-486,65799-556,18468 327,6412-286,68564-327,64117 772,03663 286,6839 327,64117-3088,15 Olga Szczepaniak KB2 Strona 20

-Dla pręta nr II N 2 =-12920,31 kn W układzie globalnym 0-4429,82-1292,03 0 4429,821-1292,03 0-1292,03-6029,48 0 1292,031 1507,37 0 4429,821 1292,031 0-4429,82 1292,031 0-1292,03 1507,37 0 1292,031-6029,48 W układzie lokalnym -4429,82 0-1292,03 4429,821 0-1292,03-1292,03 0-6029,48 1292,031 0 1507,37 4429,821 0 1292,031-4429,82 0 1292,031-1292,03 0 1507,37 1292,031 0-6029,48 - Dla pręta nr III N 3 =-3437,89kN 0-825,094-343,789 0 825,0936-343,789 0-343,789-2291,93 0 343,789 572,9817 0 825,0936 343,789 0-825,094 343,789 0-343,789 572,9817 0 343,789-2291,93 Macierz sztywności w układzie lokalnym odpowiada macierzy sztywności w układzie globalnym 0-825,094-343,789 0 825,0936-343,789 0-343,789-2291,93 0 343,789 572,9817 0 825,0936 343,789 0-825,094 343,789 0-343,789 572,9817 0 343,789-2291,93 - Dla pręta nr IV N 4 =-815,918kN W układzie lokalnym Olga Szczepaniak KB2 Strona 21

0-279,743 0 0 279,7433-163,184 0 279,7433 0 0-279,743 163,1836 0-163,184 0 0 163,1836-571,143 W układzie globalnym -279,743 0 0 279,7433 0-163,184 279,7433 0 0-279,743 0 163,1836-163,184 0 0 163,1836 0-571,143 Zagregowana postać macierzy sztywności geometrycznej Olga Szczepaniak KB2 Strona 22

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1-425,83-486,66-286,69 425,83 486,66-286,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2-486,66-556,18-327,64 486,66 556,18-327,64 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3-286,69-327,64-3088,15 286,68 327,64 772,04 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4 425,83 486,66 286,68-4855,64-486,66 1578,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4429,82 0,00 1292,03 5 486,66 556,18 327,64-486,66-1381,28-16,15 0,00 825,09-343,79 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 6-286,69-327,64 772,04 1578,71-16,15-11409,55 0,00 343,79 572,98 0,00 0,00 0,00-1292,03 0,00 1507,37 7 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-279,74 0,00 163,18 279,74 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 8 0,00 0,00 0,00 0,00 825,09 343,79 0,00-825,09 343,79 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 9 0,00 0,00 0,00 0,00-343,79 572,98 163,18 343,79-2863,07-163,18 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 279,74 0,00-163,18-279,74 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 12 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 13 0,00 0,00 0,00 4429,82 0,00-1292,03 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-4429,82 0,00-1292,03 14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 15 0,00 0,00 0,00 1292,03 0,00 1507,37 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1292,03 0,00-6029,48 Olga Szczepaniak KB2 Strona 23

Po uwzględnieniu warunków podparcie i redukcji statycznej kąta obrotu otrzymano postać macierzy sztywności: -4855,64-486,66 1578,71 0,00 0,00 0,00-486,66-1381,28-16,15 0,00 825,09-343,79 1578,71-16,15-11409,55 0,00 343,79 572,98 0,00 0,00 0,00-279,74 0,00 163,18 0,00 825,09 343,79 0,00-825,09 343,79 0,00-343,79 572,98 163,18 343,79-2863,07 Macierz sztywności po zagregowaniu przyjmie postać: 322449,26-87612,29-5479,10-218530,00 0,00 0,00-87612,29 347998,49 1430,12 0,00-1129,63 2824,08-5479,10 1430,12 25921,50 0,00-2824,08 4706,80-218530,00 0,00 0,00 219139,62 0,00-2133,67 0,00-1129,63-2824,08 0,00 271143,92-2824,08 0,00 2824,08 4706,80-2133,67-2824,08 16881,46 Stąd suma macierzy sztywności i sztywności geometrycznej w układzie globalnym ma postać 317593,6-88099 -3900,39-218530 0 0-88099 346617,2 1413,97 0-304,54 2480,29-3900,39 1413,97 14511,95 0-2480,29 5279,78-218530 0 0 218859,9 0-1970,49 0-304,54-2480,29 0 270318,8-2480,29 0 2480,29 5279,78-1970,49-2480,29 14018,39 Siły przywęzłowe dla pręta nr III Obliczenie sił przywęzłowych (w obliczeniach korzysta się z wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń) 2 331,47 5 2 828,675 Olga Szczepaniak KB2 Strona 24

331,47 5 690,56 12 12 2 331,47 5 2 828,675 331,47 5 690,56 12 12 Wektor obciążenia zagregowany uwzględniający warunki podparcia P w = 4 0 5 14916,6 6 0 7 3314,8 8 9 0 0 R 0 = 4 0 5 828,675 6 690,56 7 0 8 828,675 9 690,56 P=P w -R 0 4 0 5 15745,275 6 690,56 7 3314,8 8 828,675 9 690,56 Gdzie: P w wektor sił przywęzłowych R 0 wektor sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego Otrzymano następujące wartości przemieszczeń q 4 =0,0110678 q 5 =0,0485481 q 6 = 0,0781606 q 7 =-0,0048819 q 8 = 0,0030351 q 9 =- 0,0874377 Wartości reakcji dla prętów oblicza z zależności: Olga Szczepaniak KB2 Strona 25

Obliczenie reakcji w poszczególnych prętach: -Dla pręta nr I Przemieszczenia w układzie globalnym q 1 = 0,00 q 2 = 0,00 q 3 = 0,00 q 4 = 0,0110678 q 5 = 0,0485481 q 6 = 0,0781606 Przemieszczenia w układzie lokalnym q 1 = 0,00 q 2 = 0,00 q 3 = 0,00 q 4 = -0,0236396 q 5 = 0,0438243 q 6 = 0,0781606 Nowa macierz sztywności w układzie lokalnym: 177640,977 0 0-177640,977 0 0 0-287,64578 1411,658 0 287,64578 1411,658 0 1411,658 3462,6055 0-1411,658 4047,413-177640,98 0 0 177640,977 0 0 0 287,64578-1411,658 0-287,64578-1411,66 0 1411,658 4047,41263 0-1411,658 3462,606 Macierze kolumnowe R 0 i są z powodu braku obciążenia zewnętrznego równe zeru Stąd reakcje w pręcie w układzie lokalnym wynoszą: 4199,3616 122,94191 254,4833-4199,3616-122,93383 208,77444 - Dla pręta nr II Przemieszczenia w układzie globalnym q 13 = 0,00 q 14 = 0,00 q 15 = 0,00 q 4 = 0,0110678 q 5 = 0,0485481 q 6 = 0,0781606 Przemieszczenia w układzie lokalnym q 1 = 0,00 q 2 = 0,00 q 3 = 0,00 q 4 = -0,0485481 q 5 = 0,0110678 q 6 = 0,0781606 Nowa macierz sztywności ma postać: 270014,3 0 0-270014 0 0 0-1991,34 2975,316 0 1991,341 2975,316 0 2975,316 3927,665 0-2975,32 6485,941-270014 0 0 270014,3 0 0 0 1991,341-2975,32 0-1991,34-2975,32 0 2975,316 6485,941 0-2975,32 3927,665 Olga Szczepaniak KB2 Strona 26

Macierze kolumnowe R 0 i są z powodu braku obciążenia zewnętrznego równe zeru Stąd reakcje w pręcie w układzie lokalnym wynoszą: 13108,681 254,59224 474,01477-13108,681-254,59243 274,05842 - Dla pręta nr III Przemieszczenia w układzie globalnym q 4 = 0,0110678 q 5 = 0,0485481 q 6 = 0,0781606 q 7 = -0,0048819 q 8 = 0,0030351 q 9 = -0,0874377 Przemieszczenia w układzie lokalnym q 1 = 0,0110678 q 2 =0,0485481 q 3 = 0,0781606 q 4 = -0,0048819 q 5 = 0,0030351 q 6 = - 0,0874377 218530 0 0-218530 0 0 0 304,5384 2480,291 0-304,536 2480,291 80 2480,291 7121,673 0-2480,29 5279,782-218530 0 0 218530 0 0 0-304,536-2480,29 0 304,5384-2480,29 0 2480,291 5279,782 0-2480,29 7121,673 Macierze kolumnowe R 0 i wynoszą R 0 = = 4 0 5 828,675 6 690,56 7 0 8 828,675 9 690,56 Stąd reakcje w pręcie w układzie lokalnym wynoszą: 3485,4879-837,82444-482,69227-3485,4879-819,52544 593,41371 Olga Szczepaniak KB2 Strona 27

Dla pręta nr IV Przemieszczenia w układzie globalnym q 7 = -0,0048819 q 8 = 0,0030351 q 9 = -0,0874377 q 10 = 0,00 q 11 = 0,00 q 12 = 0,00 Przemieszczenia w układzie lokalnym q 1 =0,00 q 2 =0,00 q 3 =0,00 q 4 = - 0,0030351 q 5 = - 0,0048819 q 6 = -0,0874377 270014,3 0 0-270014 0 0 0 329,8777 0 0-329,878 1970,489-270014 0 0 270014,3 0 0 0-329,878 0 0 329,8777-1970,49 0 1970,489 0 0-1970,49 6896,714 Macierze kolumnowe R 0 i są z powodu braku obciążenia zewnętrznego równe zeru Stąd reakcje w pręcie w układzie lokalnym wynoszą: 819,5204-170,6846 0,00-819,51949 170,6847-593,4131 Równanie wartości sił podłużnych obliczonych bez uwzględnienia sił osiowych z wartościami z pierwszej iteracji Nr pręta N 0 [kn] N 1 [kn] (N 1 -N 0 )/N 1 [%] 1-4353,59-4199,3616 3,7% 2-12920,31-13108,681 1,4% 3-3437,89-3485,4879 1,4% 4-815,918-819,5204 0,44% Olga Szczepaniak KB2 Strona 28