Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y Funkcję taką oznaczamy przez : X Y Wartość unkcji w punkcie oznaczamy przez () Deinicja (dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości) Niech : X Y Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną unkcji i oznaczamy przez D, a zbiór Y nazywamy jej przeciwdziedziną Ponad to zbiór { ( ) Y : D } nazywamy zbiorem wartości unkcji Jeżeli dany jest tylko wzór określający unkcję, to zbiór tych elementów z, dla których wzór ten ma sens nazywamy dziedziną naturalną unkcji Określić dziedziny naturalne podanych unkcji a) ( ) log( 1); b) ( ) 1 4 sin Deinicja (wykres unkcji) Wykresem unkcji : X Y nazywamy zbiór nazywamy dziedziną unkcji i oznaczamy przez {(, y) : X, y ( )} Wtedy zbiór X D, a zbiór Y Wykres unkcji Nie jest to wykres unkcji 1
Deinicja (unkcja na ) Funkcja odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, co notujemy : X Y, wtedy i tylko wtedy gdy na y Y X : ( ) y Geometrycznie unkcja : X Y jest na, gdy rzut prostokątny jej wykresu na oś OY pokrywa się ze zbiorem Y Deinicja (unkcja okresowa) Funkcja : X jest okresowa, jeżeli T X T X T oraz ( ) ( ) Liczbę T nazywamy okresem unkcji Najmniejszy okres unkcji nazywamy okresem podstawowym Deinicja (unkcja parzysta) y Y X : ( ) y Funkcja : X jest parzysta, jeżeli, X ( ) ( ) Funkcja jest parzysta, gdy oś OY jest osią symetrii jej wykresu Deinicja (unkcja nieparzysta) Funkcja : X jest nieparzysta, jeżeli, X ( ) ( ) Funkcja jest nieparzysta, gdy początek układu współrzędnych jest środkiem symetrii jej wykresu Deinicja (unkcja rosnąca) Funkcja jest rosnąca na zbiorze A D, jeżeli, A ( ) ( ( ) ( )) 1 1 1 Deinicja (unkcja malejąca) Funkcja jest malejąca na zbiorze A D, jeżeli, A ( ) ( ( ) ( )) 1 1 1 Deinicja (unkcja nierosnąca i niemalejąca)
Funkcja jest na zbiorze A D 1) niemalejąca, jeżeli 1 A 1 1 ) nierosnąca, jeżeli, A ( ) ( ( ) ( )), ( ) ( ( ) ( )) ; 1 1 1 Deinicja (unkcja monotoniczna) Funkcja jest monotoniczna na zbiorze, jeżeli jest rosnąca, malejąca, nierosnąca lub niemalejąca na tym zbiorze Deinicja (unkcja złożona) Niech zbiory X, Y, Z, W będą niepuste, przy czym Y Z oraz niech : X Y, g : Z W Złożeniem unkcji g i nazywamy unkcję g : X W określoną wzorem Uwaga ( g )( ) g( ( )), dla X Składanie unkcji nie jest przemienne Określić unkcje złożone, g, g, g g, ( ), g( ) cos 3
Deinicja (unkcja różnowartościowa) Funkcja jest różnowartościowa, gdy każda prosta pozioma przecina jej wykres w co najwyżej w jednym punkcie Deinicja (unkcja odwrotna) na Niech unkcja : X Y będzie różnowartościowa na dziedzinie Funkcją odwrotną do unkcji nazywamy unkcję Uwaga 1 : Y X określoną przez warunek 1 ( y) y ( ), gdzie X, y Y Wykres unkcji odwrotnej prostej y= 1 otrzymujemy z wykresu unkcji odbijając go symetrycznie względem Funkcje elementarne e e Funkcje hiperboliczne: 1) sinus hiperboliczny sh, gdzie, e e ) cosinus hiperboliczny ch, gdzie, sh 3) tangens hiperboliczny th, gdzie, ch ch 4) kotangens hiperboliczny cth, gdzie sh 4
Fakt (podstawowe tożsamości z unkcji hiperbolicznymi) 1 ch sh 1, dla każdego ; sh sh ch, dla każdego ; 3 ch sh ch, dla każdego ; Deinicja (sąsiedztwa punktu) 1) Sąsiedztwo o promieniu r> punktu S(, r) ( r, ) (, r) ) Sąsiedztwo lewostronne S(, r) ( r, ) 3) Sąsiedztwo prawostronne S(, r) (, r) Deinicja (Heinego granicy właściwej w punkcie) Niech oraz niech unkcja będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S ( ) Liczba g jest granicą właściwą unkcji w punkcie, co zapisujemy ( ) g, wtedy i tylko wtedy, gdy ( n){ n} S( ) ( ( n) ) ( ( n) g) n n Obrazowo: unkcja ma w punkcie granicę właściwą g, gdy jej wartości odpowiadające argumentom dążącym do dążą do liczby g Deinicja (Heinego granicy niewłaściwej w punkcie) Niech oraz niech unkcja będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S ( ) Funkcja ma granicę niewłaściwą w punkcie, co zapisujemy Twierdzenie (o arytmetyce granic unkcji) ( ), wtedy i tylko wtedy, gdy ( n){ n} S( ) ( ( n) ) ( ( n) ) n n 5
Jeżeli unkcje i g mają granice właściwe w punkcje, to 1) ( ( ) g( )) ( ) g( ); ) ( ( ) g( )) ( ) g( ); 3) c ( ) c ( ); gdzie c ; 4) ( ( ) g( )) ( ) g( ) ; ( ) ( ) 5) ( ), o ile g( ) g( ) Uwaga Podobnie jak dla ciągów, symbole g ( ) ; 6) g( ) g( ) ( ( )) ( ) 1 nazywamy wyrażeniami nieoznaczonymi Ich wartości zależą od postaci unkcji je tworzących Obliczyć podane granice a) 5 1 ; 5 b) ; 1 c) ( 1 ); d) 1 ln Fakt (granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych) sin 1 tg 1 a 1 ln aa, 1 1 e 1 1 e ln(1 ) 1 arcsin 1 arctg 1 Obliczyć podane granice a) sin 7 ; sin5 b) 5 7 7 1 6
Deinicja (asymptota pionowa lewostronna) Prosta ASYMPTOTY FUNKCJI a jest asymptotą pionową lewostronną unkcji jeżeli: ( ) albo ( ) a a Podobnie deiniuje się asymptotę pionową prawostronną Deinicja (asymptota pionowa obustronna) Prosta jest asymptotą pionową obustronna, gdy jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną Fakt (o lokalizacji asymptot pionowych unkcji) Funkcja może mieć asymptoty pionowe jedynie w skończonych krańcach dziedziny, które do niej nie należą (w punktach nie należących do dziedziny poza i ) Wyznaczyć asymptoty pionowe podanych unkcji a) 1 ( ) e ; b) ( ) 3 1 1 7
Deinicja (asymptota ukośna unkcji) Prosta y A B jest asymptotą ukośną unkcji w wtedy i tylko wtedy, gdy jeżeli: ( A ) oraz B= ( ) A Fakt (warunek istnienia asymptot poziomych) Prosta y B jest asymptotą poziomą unkcji w B= ( ) Uwaga Analogicznie wyglądają warunki istnienia asymptot w Uwaga Jeżeli unkcja posiada asymptotę poziomą, to nie posiada ukośnych Znaleźć asymptoty poziome i ukośne unkcji a) ( ) ; b) 1 Deinicja (unkcja ciągła w punkcie) ( ) 3 8 4 Niech oraz niech unkcja będzie określona przynajmniej na otoczeniu O ( ) Funkcja jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy ( ) ( ) ( ) 8
Funkcja ciągła w punkcie Funkcja nieciągła w punkcie Obrazowo: unkcja jest ciągłą w punkcie, gdy jej wykres nie przerywa się w tym punkcie Zbadać ciągłość unkcji 1 dla 1 ( ) 1 dla 1 Dobrać parametry ab, tak, aby unkcja Deinicja (unkcja ciągła na zbiorze) sin dla 1 ( ) a +b dla 1 była ciągła Funkcja jest ciągła na zbiorze, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru 9
Nieciągłość unkcji Nieciągłość typu skok ( ) ( ) Nieciągłość typu luka ( ) ( ) ( ) Twierdzenie (o ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu unkcji) Jeżeli unkcje i g mają granice właściwe w punkcje, to Jeżeli unkcje i g są ciągłe w punkcie, to unkcje g, g, g, (o ile g ( ) ) są ciągłe w g punkcie 1