Zeszyty Naukowe Metody aalizy daych Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie 93 IN 1898-6447 Zesz Nauk UEK, 013; 93: 37 45 DOI: 1015678/ZNUEK01309303 Katedra Matematyki Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie Modele wskaźikowe ryku kapitałowego wykorzystujące ukcję regresji wektorów losowych treszczeie Jedą z ważiejszych kategorii modeli ryku kapitałowego staowią modele wskaźikowe yrażają oe liiową zależość stóp zwrotu z kokretych (pojedyczych) aktywów od wybraego zestawu czyików Czyikami tymi są a ogół stopy zwrotu odpowiedio kostruowaych porteli; mogą imi być p wybrae ideksy giełdowe Kluczowe zaczeie w modelach wskaźikowych mają współczyiki wrażliwości modelowaej stopy zwrotu a zmiay wybraych czyików spółczyiki te zae są w teorii i praktyce iasów jako tzw współczyiki b, a jedą z metod ich wyzaczaia jest aaliza regresji e wcześiejszych pracach autor wykazał, że możliwa jest jedozacza kostrukcja ukcji regresji dla dwóch wektorów losowych iekoieczie o tych samych wymiarach yik te w iiejszym opracowaiu staowi dogody pukt wyjścia do uogólieia postaci modeli wskaźikowych, a przypadek gdy wektor wybraych stóp zwrotu jest ukcją iego wektora czyików (p wektora stóp zwrotu z iych aktywów) Uzyskay w te sposób współczyik β z oczywistych powodów będzie miał postać macierzową łowa kluczowe: potęga wektora, momety rozkładu, ukcja regresji, modele wskaźikowe
38 1 prowadzeie Podstawowym pojęciem, a którym opiera się propozycja przedstawioa w iiejszym opracowaiu, jest potęga wektora w przestrzei Hilberta zapropoowaa mi w pracach [atar 1993 i 1996b] Przypomijmy, że jeżeli (, +, ) jest dowolą przestrzeią Hilberta ad ciałem skalarów z iloczyem skalarym : : :x " oraz jeżeli v d i k d N0 = N," 0, to k-tą potęgę wektora v deiiujemy astępująco: Deiicja oraz k 1 v 0 = 1 d v $ v dlak-ieparzystych k v = * k 1 v v dlak-parzystych Potęgowaie wektorów umożliwiło z kolei zdeiiowaie w aturaly sposób mometów łączych dowolego rzędu dowolego wektora losowego ξω : " k przypadku mometów zwykłych przyjęto bowiem mk = E^ξ h, zaś w przypadku mometów cetralych µ k = E 6 ^ξ m1h @ Uzyskae w te sposób charak- k terystyki wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa istotie różią się od zaych w literaturze tzw mometów mieszaych Poadto z własości potęgi wektora losowego wyika mi skalary charakter mometów łączych rzędu parzystego oraz wektorowy charakter mometów rzędu ieparzystego (por p [atar 1993, 1996b i 009]) łasość ta uzasadia (a iewątpliwie: sprzyja) wykorzystaiu odpowiedich mometów do kostrukcji miar położeia oraz miar rozproszeia rozkładów wielowymiarowych, takich jak p wariacja, asymetria, kurtoza czy eksces (por [Budy 009, Budy i atar 009, atar 1996a i 006]) Dla dwóch wektorów losowych ξω : " oraz ηω : " o wartościach w tej samej przestrzei Hilberta zdeiiowao z kolei ich momet mieszay rzędu k + l k l jako mkl = E^ξ $ η h zczególy przypadek mometu mieszaego wektorów ξ i η, tz momet m 11 azwao ich kowariacją i przyjęto klasycze ozaczeie cov(ξ, η) praktyce ajczęściej wykorzystywaym przypadkiem przestrzei Hilberta jest s-wymiarowa przestrzeń euklidesowa z aturalym (euklidesowym) iloczyem skalarym Dlatego kolejym krokiem w rozwijaiu propoowaej kocepcji charakteryzacji wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa było sormułowaie pytaia o własości łączego rozkładu wektora (ξ, η), gdzie ξω : " oraz ηω : " m rówież są wektorami losowymi iekoieczie o tych samych wymiarach, tz iekoieczie = m ażym zagadieiem okazało się badaie wzajemej zależości wektorów ξ i η tym kotekście rozważao
Modele wskaźikowe ryku kapitałowego 39 w szczególości warukowe wartości oczekiwae jedego z wektorów losowych przy pewych założeiach czyioych o drugim z ich ak sormułoway problem w prosty sposób prowadził do regresji liiowej dwóch wektorów losowych o dowolych wymiarach (por [Budy i atar 01, Najma i atar 010, Osiewalski i atar 1999]) pracy [Budy i atar 01] udowodioo astępujące dwa twierdzeia wierdzeie 1 Jeżeli : Ω " oraz Y : Ω " są wektorami losowymi spełiającymi waruki D < + 3, D Y < + 3 oraz D 0, to wartość oczekiwaa E6 ^Y a bh @ Y, h, h osiąga miimum dla a = oraz b = EY D D Y E Łatwo moża zauważyć, że powyższe twierdzeie jest prostym uogólieiem a przypadek wielowymiarowy zaego w literaturze sposobu dopasowywaia metodą ajmiejszych kwadratów prostej regresji dwóch jedowymiarowych zmieych losowych Podkreślmy jeszcze raz, że powyższe uogólieie okazało się możliwe dzięki wykorzystaiu przypomiaej wcześiej kocepcji mometów łączych Jeszcze dalej idącego uogólieia dostarcza twierdzeie wierdzeie Niech = ^1,,, h : Ω " oraz Y = ^Y1, Y,, Y h : Ω " będą wektorami losowymi takimi, że i, Yj d L ^Ωh = ' : Ω " # dp < + 31 oraz m m det Σ 0, przy czym Σ jest macierzą mometów rzędu drugiego (wariacji- -kowariacji) wektora ówczas wartość oczekiwaa E6 ^Y A$ bh @ osiąga miimum dla 1 A= Kow^Y, h $ / oraz B= EY A$ E, gdzie: E6^Y1 EY1h^1 E1h@ g E6^Y1 EY1h^m Emh@ E6^Y EYh^1 E1h@ g E6^Y EYh^m Emh@ Kow^Y, h = g g g E6^Y EYh^1 E1h@ g E6^Y EYh^m Emh@ Propozycja ukcji regresji iasowych wektorów losowych Niech r = ^r1, r,, r h : Ω " będzie wektorową zmieą ryzyka (dokładiej: wektorem m zmieych ryzyka), p wektorem losowych stóp zwrotu z aktywów m m Ω
40 o umerach: 1,,, m szczególości możemy przyjąć, że są to rykowe losowe stopy zwrotu możliwe do osiągięcia a akcjach spółek: s 1, s,, s m Niech z kolei = ^ 1,,, h : Ω " będzie -wymiarowym wektorem czyików ryzyka Każdy z czyików i, dla i = 1,,,, jest zatem jedowymiarową zmieą losową i może być iterpretoway p jako stopa zwrotu z wybraego ideksu rykowego bądź jako iy czyik (a ogół makroekoomiczy), którego wartości zdaiem modelującego ryek wpływają a realizacje wektora r, a więc także a wartości jego składowych r i, gdzie i = 1,,, m Zakładamy poadto, że macierz wariacji-kowariacji wektora jest ieosobliwa, tz det Σ 0 Założeie to ozacza, że wariacja rozkładu wektora w sesie ilksa (za: [Morriso 1990]) jest iezerowa, czyli że rozkład -wymiarowy ie jest w istocie rozkładem w podprzestrzei o wymiarze miejszym iż Jeszcze iaczej: ieosobliwość macierzy Σ ozacza liiową iezależość współrzędych (składowych) wektora Będziemy poszukiwać modelu liiowej regresyjej zależości wektorów r i, czyli modelu postaci: r = B$ + A+ U, (1) gdzie: A = 6 αi@ i B = m # 1 6 bij@ są macierzami rzeczywistymi odpowiediego m# wymiaru; zaś U = 6 u i @ jest m-wymiarowym wektorem losowym o zerowym m # 1 wektorze wartości oczekiwaych spełiającym poadto waruki: oraz, u h 0 dla i = 1,,, ; j = 1,,, m takich, że i j () i j = u, u h 0 dla i, j d " 1,,, m, takich, że i j (3) i j = O ile jest wektorem wspólych czyików ryzyka dla wszystkich zmieych ryzyka, to współrzęde wektora losowego U mogą być iterpretowae jako tzw czyiki specyicze dla poszczególych zmieych ryzyka Świadczą o tym powyższe założeia o braku skorelowaia między różymi czyikami specyiczymi oraz między każdym z tych czyików a różiącymi się wskaźikami (umerami) zmieymi ryzyka Iymi słowy, a każdą zmieą ryzyka może mieć wpływ tylko jede specyiczy czyik ryzyka (specyiczy właśie dla daej zmieej ryzyka) pecyikacja modelu (1) polega a zalezieiu postaci macierzy A oraz B tym celu wykorzystamy twierdzeie Bezpośredio z jego tezy wyika, że: B = Kow^r, h $ /, (4) 1 gdzie / jest macierzą (stopia ) odwrotą do macierzy /, zaś macierz Kow^r, h jest postaci: 1
Modele wskaźikowe ryku kapitałowego 41 E6^r1 Er1h^1 E1h@ g E6^r1 Er1h^ Eh@ E6^r Erh^1 E1h@ g E6^r Erh^ Eh@ Kow^r, h = g g g E6^rm Ermh^ 1 E1h@ g E6^rm Ermh^ Eh@ m# ymiary macierzy Kow^r, h oraz / zapewiają wykoalość możeia 1 Kow^r, h $ / i decydują o tym, że jego wyik jest macierzą stopia m#, czyli B = B m # = 6 b ij @ m# Z tezy twierdzeia otrzymujemy rówież postać macierzy A Jest bowiem: A = Er B$ E (5) Poieważ Er (jako wektor wartości oczekiwaych współrzędych wektora r) jest macierzą wymiaru m # 1, B macierzą wymiaru m#, oraz Er macierzą wymiaru # 1, więc ostateczie A = A m # 1 = 6 α i 1@, a to ozacza, że A jest m # 1 wektorem m-wymiarowym obec uzyskaych w (4) oraz (5) postaci macierzy B i A poszukiway model (rówość (1)) przyjmuje postać: / / (6) 1 1 r = Kow^r, h$ $ + Er Kow^r, h$ $ E + U Powyższa zależość jest rówaiem macierzowym, więc w istocie otrzymaliśmy rówań takich, że dla każdego i= 1,,, jest: przy czym r = β $ + β + + β $ + α + u, (6') i i1 1 i $ im m i i α = Er β $ E β $ E β $ E, i i i1 1 i im m b ij jest j-tym elemetem i-tego wiersza macierzy B (dla każdego j = 1,,, m), zaś u j jest i-tym czyikiem specyiczym spełiającym założeia () oraz (3) 3 Przykład ukcji regresji wektorów losowych Dotychczasowe ogóle rozważaia zilustrujemy przykładem, który przy założeiu iewielkich wymiarów wektorów r oraz pozwoli lepiej zrozumieć zagregowae macierzowe związki, a poadto w rozważaym przypadku wskaże a eektywą postać współczyików α i β 3 Niech zatem r = ^r1, r, r3h : Ω " oraz = ^ 1,, 3h : Ω " będą odpowiedio wektorami zmieych i czyików ryzyka
4 O wektorze czyików ryzyka zakładamy poadto, że macierz jego mometów rzędu drugiego / jest macierzą ieosobliwą, czyli: det / ar 1 1, h = det> H = ar 1$ ar cov 1, 0, ar h 1 Przy powyższych założeiach poszukujemy regresyjego liiowego modelu r = B$ + A+ U, (1') gdzie: b11 b 1 α 1 u 1 B = b1 b, A = α, U = u, b3 1 b 3 α 3 u 3 przy czym: A i B są macierzami rzeczywistymi, a U jest wektorem losowym, którego współrzęde spełiają waruki: E(U) = 0, i, u j h = 0 oraz ui, u j h = 0, dla i j obec ieosobliwości macierzy / istieje macierz do iej odwrota o postaci: ar cov, ^ 1 h 1 ar 1$ ar cov 1, ar 1$ ar cov 1, = /, 1h ar 1 ar 1$ ar 6 1, h ar 1$ ar 6 1, @ h@ Poadto: cov r, cov r, ^ 1 1h ^ 1 h Kow^r, h = r, 1h r, h r3, 1h r3, h tąd a mocy tezy twierdzeia mamy: b11 b 1 1 B = Kow^r, h $ / = b1 b = b31 b 3 cov r1, 1 $ ar cov r1, $ cov 1, cov r1, $ ar 1 cov r1, 1 $ cov, ^ h ^ h ^ h ^ h ^ h ^ 1 h ar 1$ ar 6 1, h@ ar 1$ ar 6 1, h@ r, 1h$ ar r, h$ 1, h r, h$ ar 1 r, 1h$ 1, h (5') = ar 1$ ar cov 1, ar 1$ ar cov 1, r3, 1h$ ar r3, h$ 1, h r3, h$ ar r3, 1h$ 1, h ar 1$ ar 6 1, h@ ar 1$ ar 6 1, h@
Modele wskaźikowe ryku kapitałowego 43 oraz Er1 β11$ E1 β1 $ E α 1 A = Er B$ E = Er β1$ E1 β$ E = α Er3 β31$ E1 β3 $ E α 3 Ostateczie poszukiway model (1') przyjmuje postać: r 1 β11 $ 1+ β1$ + α1+ u 1 r = r = β1 $ 1+ β$ + α+ u, r 3 β31 $ 1+ β3$ + α3+ u 3 gdzie dla i = 1,, 3: ri, 1h$ ar ri, h$ 1, h b i1 =, ar 1$ ar 6 1, h@ (6'') ri, h$ ar 1 ri, 1h$ 1, h b i =, ar 1$ ar 6 1, h@ ri, 1h$ ar ri, h$ 1, h α i = Eri $ E1 ar 1$ ar 6 1, h@ ri, h$ ar 1 ri, 1h$ 1, h $ E ar 1$ ar 6 1, h@ 4 Uwagi końcowe Uzyskay w rówaiu (6) w przypadku szczególym w rówaiu (6'') model jest, podobie jak zae w literaturze iasowej modele wielowskaźikowe (por [oss 1976, harpe 1963]), dogodym arzędziem do badaia zależości wybraych zmieych ryzyka od ustaloego uprzedio zestawu czyików ryzyka ym razem możliwe staje się badaie tej zależości jedocześie dla wszystkich zmieych, a macierz (5) w przykładzie: (5') dostarcza stosukowo prostego sposobu wyzaczaia współczyików β Ich iterpretacja rówież jest prosta i aturala: β ij jest miarą wrażliwości i-tej zmieej ryzyka (czyli r i ) a zmiay wartości j-tego czyika ryzyka (czyli j ), β ij jest bowiem odpowiedią pochodą cząstkową ri ukcji ri = ri^ 1,,, h, tz b ij = j Podkreślmy jeszcze raz, że kometoway wyik uzyskao, wykorzystując ową kocepcję tzw mometów łączych wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa
44 Zauważmy poadto, że w przypadku szczególym, gdy będziemy uwzględiać tylko jede czyik ryzyka 1, to każde z rówań (6') przyjmie postać ri = βi1$ 1+ αi+ ui (dla i = 1,,, m), czyli okaże się tożsame z zapropoowaym przez F harpe a [1963] jedowskaźikowym modelem ryku kapitałowego arto a koiec zapytać o postać uzyskaego modelu, w przypadku gdy jak to czyią iektórzy autorzy (por p [yki 008]) założymy brak skorelowaia między każdymi dwoma czyikami ryzyka, czyli że i, j h = 0, gdy i j ówczas, co szczególie wyraźie widać w macierzy (5') przy założeiu ri, jh 1, h = 0, współczyiki wrażliwości są postaci b ij = ar Literatura Budy K [009], Kurtoza wektora losowego, Prace Naukowe Uiwersytetu Ekoomiczego we rocławiu, r 78, seria: Ekoometria, r 6 Budy K, atar J [009], Kurtosis o a adom ector pecial ypes o Distributios, tatistics i rasitio New eries, vol 10, r 3 Budy K, atar J [01], egresja liiowa z wykorzystaiem owej deiicji mometów wektorów losowych, Zeszyty Naukowe Uiwersytetu Ekoomiczego w Krakowie, r 89 Morriso DF [1990], ielowymiarowa aaliza statystycza, PN, arszawa Najma P, atar J [010], egresja wektorów losowych dla wielowymiarowego rozkładu ormalego [w:] Badaia ekoometrycze w teorii i praktyce, red A Barczak, Katowice Osiewalski J, atar J [1999], Multivariate Chebyshev Iequality Based o a New Deiitio o Momets o a adom ector, Przegląd tatystyczy, r oss A [1976], he Arbitrage heory o Capital Asset Pricig, Joural o Ecoomic heory, vol 59 yki, istrumety i istytucje iasowe [008], red J Czekaj, PN, arszawa harpe F [1963], A impliied Model or Port Folio Aalysis, Maagemet ciece, vol 19 atar J [1993], Momets o a adom ariable i a Hilbert pace, Discussio Paper, r 1, Cracow Academy o Ecoomics (także w: Przegląd tatystyczy 1999, r ) atar J [1996a], Nierówość Czebyszewa dla wielowymiarowych zmieych losowych, Badaia Operacyje i Decyzje, r atar J [1996b], O iektórych miarach rozproszeia rozkładów prawdopodobieństwa, Przegląd tatystyczy, z 3 4 atar J [006], Półiezmieiki i momety w charakteryzacji wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa [w:] Matematyka język uiwersaly, Księga jubileuszowa dla uczczeia 70 urodzi Proesora adeusza taisza, red E maga, ydawictwo Akademii Ekoomiczej w Krakowie, Kraków atar J [009], Nowe charakterystyki warukowych rozkładów wielowymiarowych, tudia i Prace Uiwersytetu Ekoomiczego w Krakowie, r 3 j
Modele wskaźikowe ryku kapitałowego 45 Idicatory Models o the Capital Market that Use the egressio Fuctio o adom ectors Oe o the more importat categories o the capital market, idicatory models show the liear depedece o rate rom speciic (idividual) assets o a selected set o actors hese actors are usually the proitability o appropriately costructed portolios; these ca iclude, or example, speciic stock idexes he coeiciets o the sesitivity o the rates o the chages o speciic actors are essetial or the idicatory models I iacial theory ad practice those coeiciets are kow as beta coeiciets ad oe method o determiig them is regressio aalysis I the previous works the author showed that costructio o the regressio uctio o two radom vectors ot ecessarily o the same dimesios is possible hat result i this paper is a coveiet startig poit to geeralisig the idicatory model orm or cases where the vector o selected repaymet rates is a uctio o other vector actors (eg the repaymet rate vector o other assets) he beta coeiciet obtaied i this way, or obvious reasos, will have a matrix orm Keywords: power o a vector, momets o a distributio, regressio uctio, idicatory models