Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron WPPT, Matematyka Stosowana
Sposoby komunikacji Chcesz się skontaktować z przyjacielem Wysyłasz list? Wykorzystujesz cząstki Telefonujesz? Wykorzystujesz fale Cząstka malutkie skupienie materii zdolne do przeniesienia energii Fala energia wypełniająca rozległy obszar w przestrzeni PRZECIWSTAWNE???
Co to jest fala? Przekazywanie energii bez przenoszenia materii Może się wydawać, że sama materia też jest przenoszona, ale Fala poprzeczna Cząstki poruszają się w górę i w dół
Fale wokół nas Fale sprężyste - zaburzenie pewnego ośrodka Fale elektromagnetyczne - do rozchodzenia się nie jest potrzebny ośrodek Fale de Broglie a (mechanika kwantowa)
Różnice pomiędzy falami Potrzebują ośrodka (sprężyste) Dźwięk (powietrze) Fale na wodzie (woda) Fala meksykańska (ludzie) Fala na sznurku (sznurek) Nie potrzebują ośrodka (elektromagnetyczne) Światło Mikrofale Fale radiowe Promieniowanie Rentgenowskie
Fale poprzeczne i podłużne Fala poprzeczna Fala podłużna Jakie znasz fale poprzeczne? Jakie znasz fale podłużne?
Fale poprzeczne i podłużne Fale poprzeczne elektromagnetyczne wiele sprężystych (jakie?) Fale podłużne dźwięk inne sprężyste (jakie?)
Drgania i fale Fala skorelowany zbiór drgań (oscylacji) Fala poprzeczna wzdłuż sznurka: każdy punkt oscyluje w kierunku poprzecznym do sznurka Fala dźwiękowa (podłużna): każda cząsteczka powietrza drga w kierunku rozchodzenia się fali Musimy najpierw zrozumieć drgania Jeden stopień swobody: przykłady? Dwa stopnie swobody: przykłady? Trzy stopnie swobody
Drgania układów o jednym stopniu swobody - ćwiczenia x - wychylenie ciężarka z położenia równowagi θ kąt (wychylenie ciężarka z położenia równowagi) natężenie prądu w zwojnicy
Uwaga na kierunek siły to łatwe! x = 0: położenie równowagi 0 x x < 0 F x = kx > 0 0 F x = kx < 0 x 0 x > 0 x x < 0: wychylenie z położenia równowagi x > 0: wychylenie z położenia równowagi
Ruch harmoniczny małe wychylenia Z II zasady Newtona: F x = ma x = m dv x dt = m d2 x dt 2 Prawo Hooke a: F x = kx F = F x, F y, F z = ( kx, 0,0) Potencjał m d2 x dt 2 = kx W = P 2 P 1 F dl d 2 x dt 2 + k m x = 0
Potencjał skąd to się bierze, że małe Potencjał rozwijamy w szereg Taylora wokół poł. rów. x = 0: U x = U 0 + U 0 x + 1 2 U 0 x 2 + Jeśli x małe to 3 człony powinny być wystarczające U 0 - człon stały (punkt odniesienia), niech U 0 = 0 Skoro x = 0 to położenie równowagi tzn. U x ma minimum w x = 0 U 0 = 0 Zostaje człon U 0 x 2 ; jeśli minimum w x = 0 to U 0 > 0 U 0 = k U x = 1 2 kx2
Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego (od tyłu) faza ruchu przemieszczenie w chwili t x t = Acos (ωt + φ) amplituda częstość kołowa czas faza początkowa Na marginesie Dlaczego faza początkowa? x 0 = Acos (φ) dla φ = 0 mamy: x t = Acos ωt UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Różne fazy
Dlaczego ω to jakaś częstość (kołowa)? x t = Acos (ωt) x t = x t + T, T to okres cos ωt = cos ω t + T z własności cosinusa: cos ωt = cos (ωt + 2π) cos ωt + 2π = cos( ωt + ωt) 2π = ωt ω = 2π T = 2πf Częstość (liczba okresów w 1s) oznaczana: f lub ν
Ruch harmoniczny i ruch po okręgu W 1610, skonstruowanym przez siebie teleskopem odkrył 4 główne księżyce Jowisza Sonda Juno (NASA ) film poklatkowy, rozpoczyna się w dniu 12 czerwca (Juno 10 milionów mil od Jowisza), a kończy się w dniu 29 czerwca (3 miliony mil). Galileo Galilei (1564 1642) Portrait by Giusto Sustermans Źródło: Wikipedia
Ruch harmoniczny i ruch po okręgu Ruch ze stałą prędkością kątową ω Jakim wzorem zadane położenie Q na OX? x = Acosθ = Acos(ωt + φ) Restnik Halliday Walker
Jaka siła odpowiada takiemu ruchowi? x t = Acos (ωt + φ) Policzmy prędkość i przyśpieszenie: v t = dx = Aω sin ωt + φ dt a t = dv dt = Aω2 cos ωt + φ Z II zasady dynamiki Newtona: = ω 2 x(t) F = ma = ω 2 mx = kx k = ω 2 m ω = k m
Energia mechaniczna oscylatora łatwo obliczyć wstawiając x oraz v, że: E = K + U Restnik Halliday Walker
Wahadła Wahadło matematyczne Model matematyczny Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici Wahadło fizyczne Rzeczywiste wahadło Dowolny (skomplikowany) rozkład masy
Wahadło matematyczne Siła powodująca wahania: F = mgsinθ II zasada dynamiki Newtona: F = ma = m d2 x dt 2 = mx Jak powiązać długość łuku x z kątem θ? x = Lθ x = Lθ Czyli: mlθ = mgsinθ UNIVERSITY PHYSICS,Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Wahadło matematyczne mlθ = mgsinθ θ + g L sinθ = 0 Dla małych wychyleń θ możemy przybliżyć sinθ θ Dlaczego możemy tak przybliżyć? Co to znaczy małe wychylenie? θ + g L θ = 0 Równanie oscylatora harmonicznego podobne: x + k m x = 0
Wahadło matematyczne i pomiar przyśpieszenia ziemskiego Wahadło matematyczne i oscylator harmoniczny: θ + g L θ = 0 x + k m x = 0 Częstość kątowa: k = ω 2 m ω = k m = g L Okres nie zależy od masy ani wychylenia?! ω = 2π T = 2πν T = 2π ω = 2π L g
Wahadło matematyczne i klocek na sprężynie Restnik Halliday Walker
Łączenie sprężyn jaka zastępcze k? równoległe szeregowe
Łączenie sprężyn równoległe rozciągnięcie obu sprężyn takie samo: x sumaryczna siła F = mg, mg kx = 0, F = F 1 + F 2 = mg = kx Sprężyna nr 1 rozciągana o x pod wpływem F 1 F 1 = k 1 x Sprężyna nr 2 rozciągana o x pod wpływem F 2 F 2 = k 2 x Sumaryczna siła kx = k 1 x + k 2 x k = k 1 + k 2
Łączenie sprężyn szeregowe x całkowite rozciągnięcie sprężyny k 1 F = mg, mg kx = 0, F = mg = kx, x = F k Sprężyna nr 1 rozciągana o x 1 pod wpływem F k 2 F = mg = k 1 x 1, x 1 = F k 1 Sprężyna nr 2 rozciągana o x 2 pod wpływem F m F = mg = k 2 x 2, x 2 = F k 2 Całkowite: x = x 1 + x 2 x = F k = F k 1 + F k 2 1 k = 1 k 1 + 1 k 2
Drgania tłumione Opór powietrza, wody itd. tłumi oscylacje Załóżmy, że siła oporu: F x = bv x = b dx dt II zasada dynamiki: ma x = bv x kx m d2 x dx = b dt2 dt kx mx + bx + kx = 0 x + b m x + k m x = 0 x + 2βx + ω 0 2 x = 0
Ćwiczenie: Drgania tłumione Rozwiąż równanie: mx + 2βx + ω 0 2 x = 0 Rozwiązania szukaj w postaci: x t = e αt Otrzymasz rozwiązanie: x t = C 1 e α 1t + C 2 e α 2t, gdzie α 1,2 = β ± β 2 ω 0 2 x t = e βt C 1 e β2 ω 0 2 t + C2 e β2 ω 0 2 t
Ćwiczenie: Drgania tłumione x t = e βt C 1 e β2 ω 0 2 t + C2 e β2 ω 0 2 t Drgania nietłumione: β = 0 x t = C 1 e ω 0 2 t + C2 e ω 0 2 t = C 1 e i ω 0 2 t + C2 e i ω 0 2 t = C1 e iω 0t + C 2 e iω 0t
Ćwiczenie: Drgania tłumione x t = e βt C 1 e β2 ω 2 0 t + C2 e β2 ω 2 0 t Drgania słabo tłumione β < ω 0 β 2 ω 2 0 < 0 x t = e βt C 1 e i ω 0 2 β 2 t + C2 e i ω 0 2 β 2 t x t = e βt C 1 e iω1t + C 2 e iω1t, ω 1 = ω 2 0 β 2 Drgania krytyczne β = ω 0 x t = C 1 e βt + C 2 te βt
W zależności od tłumienia β/ω 0 x t = e βt C 1 e β2 ω 0 2 t + C2 e β2 ω 0 2 t Małe tłumienie (a) Krytyczne tłumienie (b) Silne tłumienie (c)
Drgania wymuszone mx + bx + kx = F t x + 2βx + ω 0 x = f t Siła okresowa wymuszająca: f t = f 0 cos ωt Rachunek bardziej skomplikowany patrz Taylor Częstość drgań własnych ω 0 = k m Częstość z tłumieniem ω 1 = ω 0 2 β 2 Częstość rezonansowa ω = ω 2 = ω 0 2 2β 2 ω 0
Amplituda drgań Drgania wymuszone i rezonans Drgania swobodne przykłady? Drgania wymuszone małe tłumienie Częstość siły wymuszającej/częstość własna
Drgania układów o dwóch stopniach swobody k m κ m k Równania Newtona: m Dodaj równania: m x 1 x 2 m(x 1 + x 2 ) = k(x 1 +x 2 ) mx 1 = kx 1 κ x 1 x 2 mx 2 = kx 2 κ x 2 x 1 Jak to rozwiązać? Dwie metody! x 1 t + x 2 t = 2A s cos ω s t + φ s, ω s = k m,
Drgania układów o dwóch stopniach swobody k m κ m k Równania Newtona: m m mx 1 = kx 1 κ x 1 x 2 mx 2 = kx 2 κ x 2 x 1 Jak to rozwiązać? Dwie metody! x 1 x 2 Odejmij równania: m(x 1 x 2 ) = (k + 2κ)(x 1 x 2 ) x 1 t x 2 t = 2A f cos ω f t + φ f, ω f = k + 2κ m,
Drgania układów o dwóch stopniach swobody k m κ m k Równania Newtona: m m mx 1 = kx 1 κ x 1 x 2 mx 2 = kx 2 κ x 2 x 1 Jak to rozwiązać? Dwie metody! x 1 x 2 x 1 t = A s cos ω s t + φ s + A f cos ω f t + φ f x 2 t = A s cos ω s t + φ s A f cos ω f t + φ f ω s = k m, ω f = k + 2κ m
Drgania układów o dwóch stopniach swobody metoda ogólna mx 1 = kx 1 κ x 1 x 2 mx 2 = kx 2 κ x 2 x 1 Postulujemy rozwiązanie w postaci: x 1 = A 1 exp iωt, x 2 = A 2 exp iωt Co możemy zapisać (to umiecie): x 1 x = A 1 2 A 2 exp iωt Możemy też szukać rozwiązania w postaci (to umiecie): x 1 x 2 = A 1 A 2 exp αt
Mody normalne x 1 t = A s cos ω s t + φ s + A f cos ω f t + φ f x 2 t = A s cos ω s t + φ s A f cos ω f t + φ f ω s = k m, ω f = k + 2κ m Dla A f = 0 otrzymujemy: x 1 t = x 2 t = A s cos ω s t + φ s Dla A s = 0 otrzymujemy: x 1 t = x 2 t = A f cos ω f t + φ s Kulki poruszają się z tą samą częstością mody normalne
Polecana literatura http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/waves/ oscillations.pdf normalmodes.pdf