Dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny. Fizyka układów złożonych

Transkrypt

1 Dynamika nieliniowa i chaos deterministyczny Fizyka układów złożonych

2 Wahadło matematyczne F θ = mgsinθ Druga zasada dynamiki: ma = mgsinθ a = d2 x dt 2 = gsinθ Długość łuku: x = Lθ Równanie ruchu: θ ሷ + g L sinθ = UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 22 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

3 Jak to rozwiązać? θ ሷ + g L sinθ = sinθ = θ θ3 3! + θ5 5! Jeśli założysz, że θ, wtedy sinθ = θ θ ሷ + g L θ = łatwo rozwiązać (jak?) Ale co to znaczy θ? (doświadczenie)

4 Małe kąty Dla małych kątów (oscylator harmoniczny) ሷ θ + g L θ = Otrzymujemy: θ t = θ cos Wtedy prędkość kątowa: ሶ θ t = θ g L sin g L t g L t

5 Przestrzeń konfiguracyjna dla oscylatora harmonicznego 5, d/dt t

6 Przestrzeń fazowa dla oscylatora harmonicznego d/dt 5-5 Każdy punkt w tej przestrzeni określa stan układu Przestrzeń położeń i pędów x, y, z, p x, p y, p z Dla układu wielu cząstek x, y, z, x 2, y 2, z 2, p x, p y, p z, p x2, p y2, p z2,

7 A jeśli interesują nas duże kąty? θ ሷ + g L sinθ = Jak to rozwiązać? A co jeśli jakieś dodatkowe siły? Tłumienie Wymuszanie cykliczne Wahadło może zadziwić!

8 Wymuszane wahadło 2 d sin 2 dt Acos( t)

9 Czy układ słoneczny jest stabilny? 887 król Szwecji Oscar II: nagroda 25 koron Poincare (854-92), francuski matematyk zdobył tę nagrodę Problem stabilności układu słonecznego nie jest rozwiązany do dziś.

10 Co to znaczy stabilny? Punkt stały niestabilny Punkt stały stabilny

11 Co zrobił Poincare? Ograniczył się do modelu 3 oddziałujących ciał. prosty model - skomplikowane zachowanie Problem 3 ciał i równania dynamiki, 89 (27 stron)

12 Dynamika populacji dlaczego nas to interesuje?

13 Rysie i zające cykle w układzie drapieżca ofiara

14 Liczba much w eksperymencie zmiany cykliczne?

15 Może to też wyglądać tak Populacja Pantofelków w labolatorium Popularny skorupiak ( pchła wodna ) Populacja fok na wyspie Świętego Pawła, Alaska

16 Równanie logistyczne n n n n n n n n n n n n n x x r x c r r x c rc c c c r c c c ) ( a P. F. Verhulst (belgijski matematyk), 845:

17 x x x x Przykłady <a< t t <a< <a< <a< t

18 c(t+) c(t+) c(t+) Co możemy otrzymać? Punkty stałe Cykle Chaos a= c(t) a= c(t) a= c(t)

19 c(t+) Punkty stałe x n ax n x n a=2.75 x n x n x *.6.4 x*, x ** a.3.2. a c(t)

20 Typy punktów stałych f '( x*) przyciągający (stabilny) f '( x*) f ' f ' f ' f ' odpychający (niestabilny) odpychający schodkowo przyciągajacy schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie

21 Typy punktów stałych równania logistycznego a a a f a f x a f 2 ', () ' ), 2 ( ' a a x x x x f x ax f *, * * *, a a a a odpychający schodkowo przyciągający schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie

22 c(t+) c(t) a= c(t) a a 2 a 3 a t odpychający schodkowo przyciągający schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie

23 c(t+) c(t) a= c(t) a a 2 a 3 a t odpychający schodkowo przyciągający schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie

24 c(t+) c(t) a= c(t) a a a 3 a odpychający schodkowo przyciągający schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie t

25 c(t+) c(t) a= c(t) a a a 3 a odpychający schodkowo przyciągający schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie t

26 Jak znaleźć cykl?.9.8 f(x).9.8 f(f(x)) a= f(x).9.8 f(f(x)) a=

27 c(t+) c(t) a= c(t) t a a 2 2 a 3 a 3 4 odpychający schodkowo przyciągający schodkowo przyciągający spiralnie odpychający spiralnie

28 c(t+) c(t) a= c(t) t Chaos deterministyczny

29 Drzewo podwajania okresu,diagram Feigenbauma, bifurkacyjny

30 Zbiór Cantora Pierwszy Fraktal na krawędzi chaosu

31 Iteracja dla a= c(t) t

32 Iteracja dla a=3.7 i t= c(t) t

33 Iteracja dla a=3.7 i t= c(t) t

34 Okienka okresowe ,3.857

35 Oszustwa koło okienek: cykl czy nie? c(t) t

36 Intermitencja= fazy laminarności na przemian z chaosem c(t) t

37 Iteracja równania logistycznego koncentracja początkowa liczba iteracji function[c,t]=logist(c,a,n) t=::n; c t ac t c t c()=c; for i=:n c(i+)=a*c(i)*(-c(i)); end

38 Diagram Feigenbauma for i=: a=.4*i; n=5; [c,t]=log(.,a,n); x=ones(,)*a; plot(x,c(n-99:n),'.'); hold on; end function[c,t]=log(c,a,n) t=::n; c()=c; for i=:n c(i+)=a*c(i)*(-c(i)); end

39 Rainfall (mm) Opady deszczu Rainfall between Apr and Jun (95-2) Normal: 854 mm Year * up to

40 Jak skomplikowany musi być model?

41 Wrażliwość na warunki początkowe

42 Konwekcja Gorące powietrze unosi się do góry chmury burzowe powstają w wyniku konwekcji. 962, Saltzman równania dla prostej konwekcji

43 Model pogody wg. Lorenza Edward Lorenz, MIT w 96 (w wieku 44 lat) Przypadek a może lenistwo? Odkrycie małe zmiany warunków początkowych prowadzą do

44 Układ Równań Lorenza jeszcze więcej uproszczeń dx dt dy dt dz dt ( yx) x y xz xy z Wielkości wybrane przez Saltzmana

45 Lenistwo Lorenza i jego Królewska Pszczoła

46 Przestrzeń konfiguracyjna i fazowa

47 Narysujmy to w przestrzeni

48 Cechy atraktora Lorenza Trajektorie są przyciągane przez ograniczony obszar przestrzeni fazowej Ruch jest nieregularny Wrażliwość na warunki początkowe (sekwencja pętli) Ten atraktor jest dziwny!

49 atraktor Roesslera (976) x' ( y z) y' x ay z' b xz cz a.2, b.2, c 5.7

50 Wzorzec chaosu wyrabianie ciasta rozciąganie składanie

51 Gdzie są rodzynki? Odległość rośnie wykładniczo

52 Chaos i losowość Data: Dr. C. Ting Który z tych szeregów czasowych jest chaotyczny, a który losowy?

53 Mapa powrotów prawdę ci powie: x(t+)od x(t) Odwzorowanie Henona x n+ =.4 - x 2 n +.3 y n y n+ = x n Biały szum

54 Pomyśl o tym